資源簡(jiǎn)介

2.2.2　直線的方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程
1.已知某直線的傾斜角為60°,在y軸上的截距為2,則此直線的方程為(　　)
A.y=x+2
C.y=-x-2
2.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-1),傾斜角為45°的直線方程為(　　)
A.x+y+1=0　　　　B.x+y-1=0
C.x-y+3=0　　　　D.x-y-3=0
3.(多選題)下列說(shuō)法正確的有(　　)
A.若直線y=kx+b經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則點(diǎn)(k,b)在第二象限內(nèi)
B.直線y=ax-3a+2過(guò)定點(diǎn)(3,2)
C.過(guò)點(diǎn)(2,-1),斜率為-的點(diǎn)斜式方程為y+1=-(x-2)
D.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3
4.若直線y=x+1繞著其上一點(diǎn)P(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線l,則直線l的點(diǎn)斜式方程為　　　　　　.
5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在第一象限內(nèi),A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直線AB的方程;
(2)直線AC和BC的方程.
題組二　直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程
6.已知直線l在x軸上的截距為3,在y軸上的截距為-2,則l的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　
A.=1
C.=1
7.若直線l過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(-1,-1),則直線l的方程為(　　)
A.2x-3y-1=0　　　　B.2x-3y+1=0
C.2x+3y+1=0　　　　D.2x+3y-1=0
8.(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)
A.過(guò)點(diǎn)A(-2,-3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程為x+y+5=0
B.直線=1在y軸上的截距為3
C.若直線l的一個(gè)方向向量是e=(-1,),則直線l的斜率為-
D.過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線的方程可表示為
9.兩條直線=1與=1的圖形可能是(　　)
10.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1),被x軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),則反射光線所在直線的方程為　　　　.
11.過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),若P為AB的中點(diǎn),則直線l的截距式方程是　　　　　　　　.
12.若直線l在x軸上的截距比在y軸上的截距大1,且過(guò)定點(diǎn)A(6,
-2),則直線l的方程為　　　　　　　.
題組三　直線的一般式方程
13.在平面直角坐標(biāo)系中,直線x-y+3=0繞它與x軸的交點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°所得的直線方程是(　　)
A.x-
C.x-=0
14.若方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一條直線,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A.m≠0　　　　 B.m≠2
C.m≠±2　　　　D.m≠±2且m≠0
15.(1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),且傾斜角為的直線的一般式方程;
(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),且一個(gè)方向向量為v=(1,)的直線的一般式方程;
(3)在△ABC中,點(diǎn)A(8,4),B(4,-1),C(-6,3),求BC邊上中線所在直線的一般式方程.
題組四　直線方程幾種形式的相互轉(zhuǎn)化
16.已知直線kx+y-6k+2=0恒過(guò)點(diǎn)P,則P的坐標(biāo)為(　　)
A.(0,-2)　　　　B.(-2,0)　　　　
C.(6,-2)　　　　D.(-6,2)
17.若ac>0,bc<0,則直線ax+by+c=0的圖形可能為(　　)
　　　　A B C D
18.設(shè)直線l的方程為(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根據(jù)下列條件分別確定m的值.
(1)直線l在x軸上的截距為-3;
(2)直線l的傾斜角為45°.
能力提升練
題組　直線方程的應(yīng)用
1.已知直線l過(guò)原點(diǎn),且平分平行四邊形ABCD的面積,若該平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B(1,4),D(5,0),則直線l的方程為(　　)
A.y=x　　　　 B.y=2x+3
C.y=-x+5　　　　D.y=x
2.(多選題)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(-1,1),且與直線l1:2x-y+3=0以及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.直線l與直線l1的斜率互為相反數(shù)
B.直線l與直線l1的傾斜角互補(bǔ)
C.直線l在y軸上的截距為-1
D.這樣的直線l有兩條
3.已知直線=1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且斜率小于1,則下列不等式中正確的是(　　)
A.|a|<|b|　　　　 B.
C.(b-a)(b+a)>0　　　　D.
4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P(3,2)的直線l與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),三角形AOB的面積為16,則符合條件的直線的條數(shù)為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　
C.3　　　　D.4
5.已知直線l1:y=x-k+4,直線l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,則當(dāng)k>4時(shí),四邊形面積的取值范圍是　　　　.
6.如圖,為了綠化城市,擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一塊矩形草坪,另外△AEF內(nèi)部為一文物保護(hù)區(qū)域,不能占用,經(jīng)過(guò)測(cè)量,AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)才能使草坪的面積最大
7.設(shè)m為實(shí)數(shù),直線(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0.
(1)求證:無(wú)論m為何值,直線必過(guò)定點(diǎn)M,并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)M引直線l1,使它與兩坐標(biāo)軸的正半軸的截距之和最小,求l1的方程.
答案與分層梯度式解析
2.2.2　直線的方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.A 2.D 3.ABC 6.C 7.A 8.ABD 9.B 13.C
14.B 16.C 17.B
1.A　由題意得,直線的斜率k=tan 60°=,又直線在y軸上的截距為2,故直線的方程為y=x+2.故選A.
2.D　因?yàn)橹本€的傾斜角為45°,所以直線的斜率為1,又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,-1),所以直線方程為y+1=x-2,即x-y-3=0.故選D.
3.ABC　對(duì)于A,由直線y=kx+b過(guò)第一、二、四象限,知k<0,b>0,故點(diǎn)(k,b)在第二象限內(nèi),故A正確;
對(duì)于B,將直線方程y=ax-3a+2整理得y-2=a(x-3),故直線過(guò)定點(diǎn)(3,2),故B正確;
顯然C正確;
對(duì)于D,直線方程為y=-2x+3,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
4.答案　y-4=-(x-3)
解析　∵直線y=x+1的斜率為1,∴其傾斜角為45°.∴直線l的傾斜角為135°,∴直線l的斜率為tan 135°=-1.又點(diǎn)P(3,4)在直線l上,∴直線l的點(diǎn)斜式方程為y-4=-(x-3).
5.解析　(1)因?yàn)锳(1,1),B(5,1),所以直線AB平行于x軸,所以直線AB的方程為y=1.
(2)由題意知,直線AC的傾斜角為∠A=45°,所以kAC=tan 45°=1.又直線AC過(guò)點(diǎn)A(1,1),所以直線AC的方程為y-1=x-1,即y=x.
同理可知,直線BC的傾斜角為180°-∠B=135°,所以kBC=tan 135°=-1.又直線BC過(guò)點(diǎn)B(5,1),所以直線BC的方程為y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
6.C　
7.A　由題意可得直線l的方程為,即2x-3y-1=0.故選A.
8.ABD　對(duì)于A,當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A(-2,-3)和原點(diǎn)時(shí),直線方程為y=x;當(dāng)直線l不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線l的方程為=1,將A(-2,-3)代入,得=1,解得a=-5,所以直線l的方程為x+y+5=0,故A中說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于B,在=1中,令x=0,得y=-3,所以直線在y軸上的截距為-3,故B中說(shuō)法錯(cuò)誤.顯然C中說(shuō)法正確.對(duì)于D,只有當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時(shí),才能表示為,故D中說(shuō)法錯(cuò)誤.故選ABD.
9.B　直線=1在x軸,y軸上的截距分別是m,-n,直線=1在x軸,y軸上的截距分別是n,-m,因此四個(gè)截距中兩正兩負(fù),對(duì)照選項(xiàng)中圖形知B正確.
10.答案　x+y-2=0
解析　易知點(diǎn)(3,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)(3,-1)在反射光線所在直線上,故反射光線所在直線的方程為,化簡(jiǎn)得x+y-2=0.
11.答案　=1
解析　設(shè)點(diǎn)A(m,0),B(0,n),由點(diǎn)P(1,3)是AB的中點(diǎn)可得m=2,n=6,即A,B的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,6),則直線l的截距式方程為=1.
12.答案　=1或+y=1
解析　設(shè)直線l在y軸上的截距為a(a≠0,a≠-1),則l在x軸上的
截距為a+1,則l的方程為=1,將A(6,-2)代入,得=1,即a2-3a+2=0,∴a=2或a=1,∴直線l的方程為=1或+y=1.
13.C　易知直線x-y+3=0的斜率為,傾斜角為60°,與x軸的交點(diǎn)為A(-,0).繞A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°所得的直線的傾斜角為60°-30°=30°,故斜率為tan 30°=,∴旋轉(zhuǎn)后所得的直線的方程為y-0=),即x-=0.故選C.
14.B　當(dāng)m2-4=0時(shí),m=2或m=-2;
當(dāng)m2-2m=0時(shí),m=0或m=2.
∵方程(m2-4)x+(m2-2m)y+1=0表示一條直線,∴m2-4,m2-2m不能同時(shí)為0,∴m≠2.故選B.
15.解析　(1)因?yàn)橹本€的傾斜角為,所以直線的斜率k=tan,又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),所以所求直線方程為y=x+2,即x-y+2=0.
(2)由直線的一個(gè)方向向量為v=(1,),得直線的斜率為,又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),所以所求直線方程為y-2=(x-1),即=0.
(3)易得BC的中點(diǎn)為(-1,1),又A(8,4),
所以BC邊上中線所在直線的方程為,即x-3y+4=0.
16.C　由kx+y-6k+2=0,得k(x-6)+y+2=0.
令所以直線恒過(guò)點(diǎn)(6,-2).故選C.
17.B　將直線方程ax+by+c=0化為斜截式方程為y=-.因?yàn)閍c>0,bc<0,所以ab<0,->0,所以->0,所以直線不經(jīng)過(guò)第四象限.故選B.
18.解析　(1)由題意得解得m=-.
故當(dāng)m=-時(shí),直線l在x軸上的截距為-3.
(2)由題意得解得m=.
故當(dāng)m=時(shí),直線l的傾斜角為45°.
能力提升練
1.D 2.ABC 3.D 4.D
1.D　由于直線l平分平行四邊形ABCD的面積,所以其必過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn),而B(niǎo)(1,4),D(5,0),所以對(duì)角線的交點(diǎn)為(3,2),又直線l過(guò)原點(diǎn),所以其方程為y=x.
2.ABC　由于直線l與l1及x軸圍成一個(gè)底邊在x軸上的等腰三角形,所以l與l1的傾斜角互補(bǔ),斜率互為相反數(shù),故A,B中結(jié)論均正確;易知直線l的方程為y-1=-2(x+1),因此其在y軸上的截距為-1,故C中結(jié)論正確;易知這樣的直線l只有一條,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.
3.D　由題意得a<0,b>0,-<1,所以a<0|b|,,故A,B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,易得b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,故C錯(cuò)誤.
對(duì)于D,易得>0,所以,故D正確.
故選D.
4.D　由題意得直線l不過(guò)原點(diǎn),所以設(shè)直線l:=1.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,2)在直線l上,所以=1,所以.
因?yàn)槿切蜛OB的面積為16,所以|ab|=16,所以,所以
,整理得3b2-32|b-2|=0.
當(dāng)b≥2時(shí),方程為3b2-32b+64=0,解得b=或b=8,均滿足題意,將b=和b=8分別代入=1中,得a的值為12,4.
當(dāng)b<2時(shí),方程為3b2+32b-64=0,解得b=或b=,均滿足題意,將b=和b==1中,得a的值為-8+4
.
綜上,滿足題意的直線共有4條.故選D.
5.答案　
解析　l2的方程可化為y=-+4.
當(dāng)k>4時(shí),+4>0.
易知l1,l2過(guò)定點(diǎn)(2,4),直線l1與x軸交于點(diǎn),直線l2與y軸交于點(diǎn),
∴四邊形的面積S=-8,
∵k>4,∴0<,∴S∈.
6.解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則E(30,0),F(0,20),所以直線EF的方程為=1.
在線段EF上取一點(diǎn)P(m,n),0≤m≤30,0≤n≤20,作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,則矩形PQCR即為要建的矩形草坪.
設(shè)矩形PQCR的面積是S,則S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).又因?yàn)?1(0≤m≤30),所以n=20,故S=(100-m)
(0≤m≤30),所以當(dāng)m=5時(shí),S有最大值,此時(shí)=5,即當(dāng)點(diǎn)P為線段EF上靠近點(diǎn)F的六等分點(diǎn)時(shí),草坪的面積最大.
7.解析　(1)由(2m+1)x+(m+1)y-5m-3=0,得m(2x+y-5)+x+y-3=0.
令所以直線過(guò)定點(diǎn)M(2,1).
(2)由題意設(shè)l1:=1(a>0,b>0),則=1,所以a+b=(a+b)≥3+2,當(dāng)且僅當(dāng)=1,即a=+1時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)l1的方程為=1,即y=-+1.
2(共26張PPT)
知識(shí) 清單破
2.2.2　直線的方程
2.2.3　兩條直線的位置關(guān)系
知識(shí)點(diǎn) 1 直線的方程形式與適用條件
名稱 點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式 截距式 一般式
方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2,y1≠y2) + =1 (a≠0,b≠0) Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
已知條件 直線上一定點(diǎn) (x0,y0),斜率k 斜率k,直線在 y軸上的截距b 直線上兩點(diǎn)(x1,y1)(x2,y2)　 直線在x軸上的非零截距a, 直線在y軸上的非零截距b 系數(shù)A,B,C
適用 范圍 不垂直 于x軸 的直線 不垂直 于x軸 的直線 不垂直于 x軸和y 軸的直線 不垂直于 x軸和y 軸,且不 過(guò)原點(diǎn)的 直線　 平面內(nèi)
所有直線
知識(shí)點(diǎn) 2 兩條直線的位置關(guān)系
1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
　　已知相交直線l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),則方程組
的解就是這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
2.已知直線l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),則l1與l2的位置關(guān)系和方程
組 的解的情況如下表所示:
方程組的解的情況 一組 無(wú)數(shù)組 無(wú)解
l1和l2的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 1 無(wú)數(shù) 0
l1和l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
3.利用直線方程(斜截式和一般式)判斷兩直線的位置關(guān)系
斜截式: l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0)
l1與l2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
l1∥l2
或
l1⊥l2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
斜截式: l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),
l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0)
l1與l2重合
或
知識(shí)辨析 判斷正誤，正確的畫(huà)“ √” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ” .
1.直線的截距是非負(fù)實(shí)數(shù). (　 )

提示
直線的截距可以為負(fù)實(shí)數(shù).
2.若直線方程為Ax+By+C=0(A2+B2≠0),則直線的斜率為- .(　 )

3.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直線相同.(　 )
提示

方程 = 表示不垂直于坐標(biāo)軸的直線,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)的直線,只要直線上的兩點(diǎn)不重合,直線都可以用(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示.
4.若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線相交. (　 )

提示
兩直線的方程組成的方程組有無(wú)數(shù)組解時(shí),兩直線重合.
5.若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行. (　 )

6.若兩條直線垂直,則它們的斜率之積必為-1. (　 )

當(dāng)兩直線垂直時(shí),若兩直線l1,l2的斜率均存在,則斜率之積必為-1;若直線l1的斜率為0,則直線
l2的斜率不存在.
提示
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 直線方程的選擇和求解
1.已知一點(diǎn)的坐標(biāo),求過(guò)該點(diǎn)的直線方程,一般選用點(diǎn)斜式方程,再由其他條件確定直線的斜
率.注意斜率不存在的情況.
2.已知直線的斜率,一般選用斜截式方程,再由其他條件確定直線的截距.
3.已知兩點(diǎn)坐標(biāo),一般選用兩點(diǎn)式方程或點(diǎn)斜式方程,若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),則選用截距
式方程.
4.過(guò)一確定的點(diǎn)且與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
(1)確定已知直線的斜率,再利用平行(垂直)關(guān)系得出所求直線的斜率,最后由點(diǎn)斜式求方程.
(2)利用待定系數(shù)法,已知直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0),與其平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1=
0(C1≠C),與其垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+C2=0,再由直線所過(guò)的點(diǎn)確定C1或C2即可.
5.經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)為(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+
C2)=0(不包括l2,其中 + ≠0, + ≠0),也可先確定直線l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo),再利用其他條件
確定直線的斜率,最后由點(diǎn)斜式求方程.
典例 求滿足下列條件的直線方程:
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,-2),且與y軸平行;
(2)過(guò)P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn);
(3)過(guò)點(diǎn)(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù);
(4)過(guò)點(diǎn)(2,2)且與3x+4y-20=0平行或垂直.
解析 (1)與y軸平行的直線的斜率不存在.
∵所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,-2),∴該直線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5,故直線方程為x=5.
(2)解法一:過(guò)P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn)的直線方程為 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二:易知過(guò)P,Q兩點(diǎn)的直線的斜率存在,且kPQ= =-1,∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即
x+y-1=0.
(3)①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí),設(shè)直線方程為 + =1,又直線過(guò)點(diǎn)
(3,4),∴ + =1,解得a=-1.∴所求直線方程為 + =1,即x-y+1=0.
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0,即直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為y=kx.又直線
過(guò)點(diǎn)(3,4),
∴4=k·3,解得k= ,
∴所求直線方程為y= x,即4x-3y=0.
綜上,所求直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.
(4)解法一:直線3x+4y-20=0的斜率為- ,故過(guò)(2,2)且與其平行的直線方程為y-2=- (x-2),即3x+
4y-14=0;過(guò)(2,2)且與其垂直的直線方程為y-2= (x-2),即4x-3y-2=0.
解法二:設(shè)與直線3x+4y-20=0平行、垂直的直線方程分別為3x+4y+a=0(a≠-20),4x-3y+b=0,把
(2,2)代入,解得a=-14,b=-2,∴所求直線方程分別為3x+4y-14=0,4x-3y-2=0.
易錯(cuò)警示 若題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距“相等”“互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸
上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí),可采用截距式求直線的方程,但一定
要注意考慮截距為0的情況.
疑難 2 直線方程的應(yīng)用
1.求直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的方法
(1)將直線方程化為點(diǎn)斜式:y-b=k(x-a),則該直線過(guò)定點(diǎn)(a,b).
(2)特殊值法:給直線方程中的參數(shù)賦兩組特殊值,得到直線系中的兩條不平行直線,聯(lián)立兩直
線方程,得到兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),該交點(diǎn)就是直線所過(guò)的定點(diǎn).
(3)將直線方程整理為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0( + ≠0, + ≠0)的形式,求出直線A1x
+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn),該交點(diǎn)即為直線所過(guò)的定點(diǎn).
2.當(dāng)遇到過(guò)定點(diǎn)的直線時(shí),可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程,再綜合其他知識(shí)解決問(wèn)
題,需要注意直線的斜率不存在的特殊情況.
講解分析
典例1 已知直線l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:無(wú)論a為何值,直線l總經(jīng)過(guò)第一象限;
(2)若直線l不經(jīng)過(guò)第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)證明:5ax-5y-a+3=0可化為y- =a ,∴直線l的斜率為a,且過(guò)定點(diǎn) .
∵點(diǎn) 在第一象限內(nèi),
∴無(wú)論a為何值,直線l總經(jīng)過(guò)第一象限.
(2)記 為A,如圖所示,kOA= =3,
∴要使l不經(jīng)過(guò)第二象限,只需a≥kOA,∴a≥3.

典例2 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),且與x軸,y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B.
(1)求△AOB面積的最小值以及此時(shí)直線l的方程;
(2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),求直線l的方程.
解析 解法一:設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為 + =1.
因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),所以 + =1.
(1)由于1= + ≥2 =2 ,所以ab≥24,所以S△AOB= ab≥12,當(dāng)且僅當(dāng) = 且 + =1,即
a=6,b=4時(shí)取等號(hào).
故△AOB面積的最小值為12,此時(shí)直線l的方程為 + =1,即2x+3y-12=0.
(2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 ,當(dāng)且僅當(dāng) = 且 + =1,
即a=3+ ,b=2+ 時(shí)取等號(hào),所以直線l的方程為 + =1,即2x+ y-6-2 =0.
解法二:依題意,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則k<0.易得直線l的方程為y-2=k(x-3),A ,B(0,2-3k）.
(1)S△AOB= (2-3k) = · .由于k<0,所以S△AOB≥ · =
×(12+12)=12,當(dāng)且僅當(dāng)-9k=- ,即k=- 時(shí)取等號(hào).
故△AOB面積的最小值為12,此時(shí)直線l的方程為y-2=- (x-3),即2x+3y-12=0.
(2)易得|OA|=3- ,|OB|=2-3k.因?yàn)閗<0,所以-k>0,所以|OA|+|OB|=3- +2-3k= +(-3k)+5≥2
+5=2 +5,當(dāng)且僅當(dāng)- =-3k,即k=- 時(shí)取等號(hào),所以直線l的方程為y-2=- (x-
3),即2x+ y-6-2 =0.
疑難 3 兩條直線平行、垂直的判定
講解分析
1.判定兩直線平行的方法
(1)利用斜率判斷:
①方程的系數(shù)為常數(shù)時(shí),判斷斜率是否存在,若存在,將方程化為斜截式,設(shè)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+
b2,則l1∥l2 k1=k2且b1≠b2;若都不存在,則要判斷兩直線是否重合.
②方程的系數(shù)含參數(shù)時(shí),設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),
則l1∥l2
這種判定方法避開(kāi)了對(duì)斜率是否存在的討論,可以避免因考慮不全而造成的失誤.
(2)利用直線的方向向量判斷:求出兩直線的方向向量,通過(guò)判斷兩向量是否共線,進(jìn)而判斷兩
條直線是否平行.
2.判定兩直線垂直的方法
(1)利用斜率判斷:
①方程的系數(shù)為常數(shù)時(shí),若一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在,則這兩條直線垂
直;若兩條直線的斜率都存在,將直線的方程化為斜截式,設(shè)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1⊥l2 k1k2
=-1.
②方程的系數(shù)含參數(shù)時(shí),設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0( + ≠0),l2:A2x+B2y+C2=0( + ≠0),則l1⊥
l2 A1A2+B1B2=0.這種方法可避免討論斜率存在與否.
(2)利用直線的方向向量判斷:設(shè)直線l1的方向向量為n,直線l2的方向向量為m,則l1⊥l2 n⊥m
n·m=0.
典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點(diǎn),試判斷四邊形ABCD的形狀.
思路點(diǎn)撥 作出圖形,計(jì)算斜率,判斷對(duì)邊是否平行、鄰邊是否垂直,進(jìn)而得出結(jié)論.
解析 A,B,C,D四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.

易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .
因?yàn)閗AB=kCD,且AB與CD不重合,
所以AB∥CD.
因?yàn)閗AD≠kBC,
所以AD與BC不平行.
因?yàn)閗AB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD.
故四邊形ABCD為直角梯形.
利用平行、垂直關(guān)系求參數(shù)的值
(1)作出示意圖,確定問(wèn)題中的平行、垂直關(guān)系,利用斜率、方向向量等條件列出相關(guān)方程,進(jìn)
行求解.
(2)充分分析圖形特征,有多種情況的,要分類依次求解.
(3)解題時(shí)要注意斜率不存在的情況是否符合題意.
疑難 4 兩條直線平行、垂直的應(yīng)用
講解分析
典例 已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角梯形,求m和
n的值.
思路點(diǎn)撥 分析直角頂點(diǎn)的位置,利用兩底邊所在直線平行、直角腰與底邊所在直線垂直列
方程求解.
解析 當(dāng)AB∥CD,AB⊥AD時(shí),由圖a可知,A(2,-1),∴m=2,n=-1.

圖a
圖b
當(dāng)AD∥BC,AD⊥AB時(shí),由圖b可知,
即
解得
所以m=2,n=-1或m= ,n=- .
易錯(cuò)警示 由幾何圖形的特征求頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),注意判斷圖形是否唯一,防止遺漏某種情況而
導(dǎo)致錯(cuò)誤.2.2.3　兩條直線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及其應(yīng)用
1.直線3x+my-1=0與4x+3y-n=0的交點(diǎn)為(2,-1),則m+n的值為(　　)
A.12　　　　B.10　　　　C.-8　　　　D.-6
2.直線kx-y+2k+1=0與x+2y-4=0的交點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A.(-6,2)　　　　 B.
C.
3.直線y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為(　　)
A.
4.直線l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y軸所圍成的三角形的面積為　　　　.
題組二　兩條直線的平行、重合
5.若直線l1的傾斜角為135°,直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,-1),Q(3,-6),則直線l1與l2的位置關(guān)系是(　　)
A.垂直　　　　B.平行
C.重合　　　　D.平行或重合
6.已知過(guò)A(m,1),B(-1,m)(m≠-1)兩點(diǎn)的直線與過(guò)P(1,2),Q(-5,0)兩點(diǎn)的直線互相平行,則m=(　　)
A.　　　　D.2
7.已知直線l過(guò)點(diǎn)(0,3),且與直線x+y+1=0平行,則l的方程是(　　)
A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0
C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0
8.設(shè)a∈R,則“a=”是“直線l1:x+2ay-1=0和直線l2:(a-1)x+ay+1=0平行”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
9.已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,1),B(1,0),C(4,3),則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　)
A.(3,4)　　　　B.(1,3)　　　　
C.(3,1)　　　　D.(3,8)
題組三　兩條直線的垂直
10.過(guò)點(diǎn)(0,1)且與直線2x-y+1=0垂直的直線方程是(　　)
A.x-2y+1=0　　　　B.x+2y-2=0
C.2x+y-2=0　　　　D.x-2y-1=0
11.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(-3,0),B(6,
2),C(0,-6),則邊AC上的高所在直線的方程為(　　)
A.x+2y-2=0　　　　B.x-2y-2=0
C.x-2y-4=0　　　　D.2x+y-14=0
12.已知兩點(diǎn)A(2,0),B(3,4),直線l過(guò)點(diǎn)B,且交y軸于點(diǎn)C(0,y),O是坐標(biāo)原點(diǎn),O,A,B,C四點(diǎn)共圓,則y的值是(　　)
A.19　　　　B.　　　　C.5　　　　D.4
13.點(diǎn)A(1,2)關(guān)于直線l:x+2y-1=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　.
14.已知l1,l2不重合,直線l1過(guò)點(diǎn)
A(-2,m)和點(diǎn)B(m,4),直線l2的斜率為-2,直線l3的斜率為-,若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為　　　　.
能力提升練
題組　兩直線的位置關(guān)系及其應(yīng)用
1.將一張畫(huà)了直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長(zhǎng)度相等)的紙折疊一次,使點(diǎn)(2,0)與點(diǎn)(-2,4)重合,點(diǎn)(2 021,2 022)與點(diǎn)(m,n)重合,則m+n=(　　)
A.1　　　　 B.2 023　　　　
C.4 043　　　　D.4 046
2.若直線2mx+y-2=0與直線x+(3-m2)y+2=
0互相垂直,且交點(diǎn)位于第三象限,則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.-3
3.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)B(2,1),C(-6,3),其垂心為H(-3,2),則頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　)
A.(-19,-62)　　　　B.(19,-62)
C.(-19,62)　　　　D.(19,62)
4.若直線l1:x+(m+1)y-2m-2=0與直線l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于點(diǎn)P,對(duì)任意實(shí)數(shù)m,直線l1,l2分別恒過(guò)點(diǎn)A,B,則|PA|+|PB|的最大值為(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.2
5.(多選題)已知三條直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m的值可能為(　　)
A.2　　　　B.-
6.已知點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B在直線l:x+y=0上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)線段AB最短時(shí),直線AB的一般式方程為　　　　　.
7.直線l經(jīng)過(guò)直線l1:2x+3y+2=0與l2:3x-4y-2=0的交點(diǎn),且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形,則直線l的方程為　 　　.
8.某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為A(-3,-4),B(6,3),交通樞紐的坐標(biāo)為C(0,-1),計(jì)劃經(jīng)過(guò)C修建一條馬路l(l看成一條直線,l的斜率為k),若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則k=　　　　.
9.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),
C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　　.
10.已知直線l1經(jīng)過(guò)A(-m,1),B(-4,-m+3),直線l2經(jīng)過(guò)C(-1,2),
D(-4,m+2).
(1)若l1∥l2,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若l1⊥l2,求實(shí)數(shù)m的值.
11.已知兩直線l1:x+y-1=0和l2:2x-y=0,定點(diǎn)A(1,1).
(1)若直線l1恰好為△ABC的角平分線BD所在的直線,直線l2是邊AB上的中線CM所在的直線,求△ABC的邊BC所在直線的方程;
(2)若直線l過(guò)點(diǎn)A,與直線l2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P,與x軸正半軸交于點(diǎn)Q,求△POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小時(shí),直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
2.2.3　兩條直線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.B 2.C 3.C 5.D 6.A 7.C 8.C 9.A
10.B 11.B 12.B
1.B　將(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,將(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.
2.C　解方程組
由兩直線的交點(diǎn)在第四象限可得解得-,故實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選C.
3.C　解方程組
∴直線y=2x+10與y=x+1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-9,-8).
將其代入y=ax-2中,得-8=a·(-9)-2,∴a=.故選C.
4.答案　9
解析　易知直線l1,l2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,12),(0,3).
由
故所求三角形的面積S=×(12-3)×|-2|=9.
5.D　由題意得,直線l1的斜率為tan 135°=-1,直線l2的斜率為=-1,∴直線l1與l2平行或重合.
易錯(cuò)警示　當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí),由兩直線平行可以推出兩直線
的斜率相等;但由兩直線的斜率相等推不出兩直線平行,此時(shí)還有可能重合,解題時(shí)要注意驗(yàn)證.
6.A　由題意得kAB=kPQ,又kPQ=,所以,解得m=.故選A.
7.C　設(shè)直線l的方程為x+y+t=0(t≠1).由點(diǎn)(0,3)在直線x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直線l的方程為x+y-3=0.故選C.
方法點(diǎn)撥　與直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0(A2+B2≠0,m≠C).
8.C　若l1∥l2,則1×a=2a(a-1),所以a=0或a=.
當(dāng)a=0時(shí),l1:x-1=0,l2:-x+1=0,此時(shí)l1,l2重合,與題意不符;
當(dāng)a=時(shí),l1:x+3y-1=0,l2:y+1=0,l1∥l2,滿足題意.
所以“a=”是“l(fā)1∥l2”的充要條件.故選C.
9.A　設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),
由題意得AB∥DC,AD∥BC,則有kAB=kDC,kAD=kBC,
所以所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,4).
10.B　與直線2x-y+1=0垂直的直線方程可設(shè)為x+2y+C=0,將(0,1)代入可得2+C=0,解得C=-2,
故所求直線的方程為x+2y-2=0.故選B.
方法點(diǎn)撥　與直線Ax+By+C=0垂直的直線可設(shè)為Bx-Ay+m=0(A2+B2≠0).
11.B　易得直線AC的斜率為=-2,
∴邊AC上的高所在直線的斜率為,
又B(6,2),∴邊AC上的高所在直線的方程為y-2=(x-6),即x-2y-2=0.故選B.
12.B　由O,A,B,C四點(diǎn)共圓可得四邊形OABC的對(duì)角互補(bǔ).又由題意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故選B.
13.答案　
解析　設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b),
則
所以對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.
14.答案　-10
解析　由題意得=-2,解得m=-8,-2×=-1,解得n=-2,所以m+n=-10.
能力提升練
1.C 2.C 3.A 4.A 5.AD
1.C　記A(2,0),B(-2,4),則kAB==-1.
由題知過(guò)點(diǎn)(2 021,2 022)與點(diǎn)(m,n)的直線與直線AB平行,所以=-1,所以m+n=4 043.故選C.
2.C　因?yàn)橹本€2mx+y-2=0與直線x+(3-m2)y+2=0互相垂直,所以2m+3-m2=0,解得m=3或m=-1.
當(dāng)m=3時(shí),由,不符合題意;
當(dāng)m=-1時(shí),由,滿足題意.故選C.
3.A　設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y).
由已知得AH⊥BC,BH⊥AC,且直線AH,BH的斜率存在,
所以
解得故頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-19,-62).
4.A　由x+(m+1)y-2m-2=0,得x+y-2+m(y-2)=0,令所以A(0,2).
同理,得B(2,0).
因?yàn)?×(m+1)+(m+1)×(-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,故|PA|2+|PB|2=|AB|2=8,所以|PA|+|PB|≤=4,當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=2時(shí),等號(hào)成立,所以|PA|+|PB|的最大值為4.故選A.
5.AD　因?yàn)槿龡l直線2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0能構(gòu)成三角形,所以直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行,且直線mx-y-1=0不過(guò)2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點(diǎn).
當(dāng)直線mx-y-1=0與2x-3y+1=0,4x+3y+5=0都不平行時(shí),m≠且m≠-.由所以直線2x-3y+1=0與4x+3y+5=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為,將其代入mx-y-1=0中,得m=-,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≠-且m≠±.結(jié)合選項(xiàng)可知,實(shí)數(shù)m的值可能為2和.故選AD.
6.答案　x-y+1=0
解析　當(dāng)線段AB最短時(shí),AB⊥l,所以kAB=1.所以直線AB的方程為y=x+1,化為一般式為x-y+1=0.
7.答案　17x+17y+12=0或17x-17y-8=0
解析　設(shè)直線l的方程為2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0.
∵直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形,∴直線l的斜率為±1,
∴2+3m=±(3-4m),解得m=或m=5.
∴直線l的方程為17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.
方法點(diǎn)撥　經(jīng)過(guò)兩直線l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)為(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2,其中≠0,≠0).
8.答案　
解析　若A,B兩個(gè)鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則有兩種情況:當(dāng)l與直線AB平行時(shí),k=;當(dāng)l與直線AB相交時(shí),直線l過(guò)AB的中點(diǎn),又AB的中點(diǎn)為,所以k=.故k=或k=.
9.答案　
解析　易得S△ABC=×2×1=1.
設(shè)直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點(diǎn)為M,則M.
由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,得b>0,所以-<0,故點(diǎn)M在射線OA上.
易得BC所在直線的方程為x+y=1.
設(shè)直線y=ax+b(a>0)和BC所在直線的交點(diǎn)為N,
由所以N.
①如圖1,當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)A重合時(shí),要滿足直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn),故N,
將A(-1,0),N代入直線y=ax+b(a>0)中,得a=b=.
②如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間時(shí),b>.
由題意得,三角形NMB的面積為,則,即,所以a=>0,解得b<,故.
③如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí),b<<-1,則b>a.
易得AC所在直線的方程為y=x+1.
設(shè)直線y=ax+b(a>0)和AC所在直線的交點(diǎn)為P,
由所以P.
由題意得,三角形CPN的面積為,則·(1-b)·|xN-xP|=,即(1-b)·,所以2(1-b)2=|a2-1|.
因?yàn)?1-,故1-.
綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍是.
10.解析　(1)由題意得直線l2的斜率存在且,所以直線l1的斜率也存在且,即m2-7m+6=0,解得m=1或m=6.
經(jīng)檢驗(yàn),均滿足題意.
(2)當(dāng)=0時(shí),m=0,此時(shí),不符合題意.
當(dāng)≠0時(shí),需滿足-=-1,即m2+m-12=0,解得m=3或m=-4.
11.解析　(1)設(shè)B(a,b),則M.
易知點(diǎn)B,M分別在直線l1,l2上,
所以故B(0,1).
設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x,y),則線段AA'的中點(diǎn)在直線l1上,且直線AA'與直線l1垂直,所以故A'(0,0).
因?yàn)閘1是∠ABC的平分線所在直線,所以點(diǎn)A'在直線BC上,所以直線BC的方程為x=0.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=1,則P(1,2),Q(1,0),所以S△POQ=1.
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-1)(k≠0,且k≠2).
由故P.
對(duì)于y-1=k(x-1),令y=0,得x=1-,故Q.
因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)、點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,
所以解得k>2或k<0.
故S△POQ=>1.
綜上,S△POQ的最小值為1,此時(shí)直線l的方程為x=1.
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