資源簡介

(共14張PPT)
知識 清單破
2.2.4　點到直線的距離
知識點 距離公式
1.點到直線的距離
點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距離d= .
注意:利用點到直線的距離公式解決相關問題時,不管設直線方程的何種形式,最后都要化成
一般式方程后才可用公式.
2.兩條平行直線間的距離
兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0)間的距離d= .
注意:①兩直線方程中x,y的系數對應相等;②求兩平行直線間的距離可轉化為求其中一條直
線上任意一點到另一條直線的距離.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.當點在直線上時,點到直線的距離公式仍然適用. (　 )
√
2.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離是 . (　 )

將直線方程化為一般式為kx-y+b=0,所以P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 .
提示
3.直線x+2y+1=0與2x+4y+3=0之間的距離d= . (　 )

講解分析
疑難 情境破
疑難 1 距離公式的應用
常見距離公式的應用問題的解題策略
(1)最值問題
①利用對稱轉化為兩點之間的距離問題.
②利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離問題.
③利用距離公式將問題轉化為一元二次函數的最值問題,通過配方求最值.
(2)求參數問題:利用距離公式建立關于參數的方程或方程組,通過解方程或方程組求參數的
值.
(3)求直線方程問題:利用直線方程的各種形式,結合直線的位置關系,巧設直線方程(平行直線
系、垂直直線系及過定點的直線系),借助距離公式求解.
典例1 (1)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則 的最小值為 (　 )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知實數x,y滿足2x+y+3=0,則 的最小值為　　　 .
C
解析 (1)設P(m,n),Q(a,b),則|PQ|= .
依題意,P,Q兩點分別在直線l1:3x+4y-6=0與l2:3x+4y-1=0上.
易知直線l1與l2平行,所以|PQ|的最小值就是兩平行直線間的距離d,又d= =1,所以
的最小值為1.故選C.
(2) = .
設P(x,y),A(-1,0),則 表示點P與點A之間的距離.
又點P(x,y)在直線2x+y+3=0上,
所以 的最小值即為點A到直線2x+y+3=0的距離.
易知點(-1,0)到直線2x+y+3=0的距離為 = ,
故所求最小值為 .
典例2 已知點A(2,-1).
(1)求過點A且使原點到直線的距離為2的直線方程;
(2)求過點A且使原點到直線的距離最大的直線方程,并求出最大距離;
(3)是否存在過點A且使原點到直線的距離為3的直線 若存在,求出直線方程;若不存在,請說
明理由.
解析 (1)當直線的斜率不存在時,直線方程為x=2,原點到該直線的距離等于2,符合題意;
當直線的斜率存在時,設直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,
此時直線方程為3x-4y-10=0.
綜上,所求直線方程為x=2和3x-4y-10=0.
(2)過點A且使原點到直線的距離最大的直線是過點A且與直線OA垂直的直線(O為原點),
易知kOA=- ,所以所求直線的斜率為2,
因此,所求直線方程為y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
最大距離d= = .
(3)不存在.理由如下:
由(2)可知,過點A的直線中,原點到直線的最大距離為 ,而 <3,因此不存在過點A且使原點
到直線的距離為3的直線.
技巧點撥 解這類題目常用的方法是待定系數法,即根據題意設出方程,然后結合已知條件
求參數.也可以綜合應用直線的有關知識,充分發揮幾何圖形的直觀性,找到所求直線的特征,
然后由已知條件求出直線的方程.
疑難 2 常見的對稱問題及應用
講解分析
1.對稱點的求法
(1)求點關于點的對稱點坐標:若點M(x1,y1)關于點P(a,b)的對稱點為N(x,y),則由中點坐標公式
可得
(2)求點關于直線的對稱點坐標:設點M(x0,y0)關于直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的對稱點為N(x,
y),則點N的坐標可根據M,N的連線垂直于直線l及MN的中點在直線l上列方程組
求得.
2.對稱直線的求法
(1)求直線關于點的對稱直線:可在已知直線上任取兩點,求出這兩點關于點的對稱點,再由對
稱點確定對稱直線;也可利用兩對稱直線相互平行及已知點到兩直線的距離相等求解.
(2)求直線關于直線的對稱直線:求解直線l1關于直線l對稱的直線l2時,可利用l1上的點關于直
線l的對稱點必在l2上進行求解,當直線l1與直線l平行時,還可用直線l1,l2與直線l的距離相等求
解.
典例 已知直線l:x+2y-2=0,試求:
(1)點P(-2,-1)關于直線l的對稱點的坐標;
(2)直線l1:y=x-2關于直線l對稱的直線l2的方程;
(3)直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程.
解析 (1)設點P(-2,-1)關于直線l的對稱點為P'(x0,y0),則PP'⊥l,且線段PP'的中點在直線l上.
所以 解得
故點P'的坐標為 .
(2)解法一:由 得直線l與l1的交點為N(2,0),在l1上任取一點B(0,-2),設B關于直線l
的對稱點為B'(x1,y1),則 解得 即B' ,
所以直線l2的斜率為kNB'= =7,
所以l2的方程為y=7(x-2),即7x-y-14=0.
解法二:由于直線l1:y=x-2關于直線l對稱的直線為l2,則l2上任一點P1(x,y)關于l的對稱點P'1(x',y')
一定在直線l1上.
由 得
把(x',y')代入方程y=x-2并整理,得7x-y-14=0,故l2的方程為7x-y-14=0.
(3)解法一:設直線l關于點A(1,1)對稱的直線為l',則直線l'上任一點P'2(x'2,y'2)關于點A的對稱點
P2(x2,y2)一定在直線l上.
由 得
將(x2,y2)代入直線l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直線l'的方程為x+2y-4=0.
解法二:設直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程為x+2y+c=0(c≠-2).
由題意得 = ,
解得c=-2(舍去)或c=-4,
所以直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程為x+2y-4=0.2.2.4　點到直線的距離
基礎過關練
題組一　點到直線的距離公式及其應用
1.點P(0,1)到直線x-y-1=0的距離等于(　　)
A.　　　　D.2
2.若點P在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離為,則點P的坐標為(　　)
A.(1,2)　　　　 B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1)　　　　D.(2,1)或(-1,2)
3.(多選題)已知A(-1,-2),B(2,4)兩點到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值為(　　)
A.-4　　　　B.3　　　　C.-2　　　　D.1
4.已知點P(-2,3),點Q是直線l:3x+4y+3=0上的動點,則|PQ|的最小值為(　　)
A.2　　　　B.
5.若直線l:y=k(x+2)上存在兩個與原點間的距離等于1的點,則實數k的取值范圍是(　　)
A.(-2,2)　　　　B.(-)
C.(-1,1)　　　　D.
6.已知A(3,3),B(2,-5),C(-2,-7),設△ABC的邊BC上的高所在直線為l,則點P(0,-1)到l的距離為　　　　.
題組二　兩條平行直線間的距離公式及其應用
7.兩條平行直線2x-y+3=0和ax-3y+6=0間的距離為d,則a,d的值分別為(　　)
A.6,
8.設P,Q分別為直線3x+4y-12=0與3x+4y+3=0上任意一點,則|PQ|的最小值為(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
9.若兩條平行直線l1:x-2y+m=0(m>0)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是2,則直線l1關于直線l2對稱的直線方程為(　　)
A.x-2y-13=0　　　　B.x-2y+2=0
C.x-2y+4=0　　　　 D.x-2y-6=0
10.一條與直線x-2y+3=0平行且距離大于的直線方程為　　 .
11.已知直線l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取一點A,在l2上任取一點B,過線段AB的中點作l2的平行線l3.
(1)求直線l1與l2間的距離;
(2)求直線l3的方程.
能力提升練
題組　距離公式的綜合應用
1.若點A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則AB的中點M與原點間的距離的最小值為(　　)
A.3
2.已知直線l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,點M(4,3),記M到l的距離為d,則d的取值范圍為(　　)
A.[0,8)　　　　B.[0,8]
C.[0,2]
3.在平面直角坐標系中,點P(a,b)滿足|a|+|b|=1,記d為點P到直線x-my-2=0的距離.當a,b,m變化時,d的最大值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
4.已知直線l1:x-y+2=0,l2:x-y-2=0,直線l3垂直于l1,l2,垂足分別為A,B,若C(-4,0),D(4,0),則|CA|+|AB|+
|BD|的最小值為(　　)
A.
C.2　　　　D.8
5.已知直線l1:2x-y+2=0與l2:x+2y+1=0相交于點P,過點Q(1,1)的直線l與l1,l2分別交于點M,N,寫出一個使“”成立的直線l的方程:　　　　　.
6.已知三條直線l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原點到直線l1的距離是.
(1)求實數a的值;
(2)若a>0,能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件:①點P在第一象限;②點P到l2的距離是點P到l1的距離的2倍;③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是.若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
7.已知直線l的方程為(2-m)x+(2m
+1)y+3m+4=0(m∈R).
(1)證明:直線l過定點;
(2)當m為何值時,點Q(3,4)到直線l的距離最大,最大值為多少
(3)若直線l分別與x軸、y軸的負半軸交于A,B兩點,求△AOB(O為坐標原點)面積的最小值及此時直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
2.2.4　點到直線的距離
基礎過關練
1.C 2.C 3.AC 4.B 5.D 7.B 8.A 9.A
1.C　所求距離為.
2.C　設點P的坐標為(x,5-3x),則由點到直線的距離公式,得,即|4x-6|=2,所以4x-6=±2,所以x=1或x=2,所以點P的坐標為(1,2)或(2,-1).
3.AC　由題意得,所以|a+1|=|2a+5|,解得a=-2或a=-4.故選AC.
4.B　|PQ|的最小值為點P到直線l的距離,
∴|PQ|min=.故選B.
5.D　由題意得原點到直線l的距離小于1,所以<1,解得-.
6.答案　2
解析　由題意得kBC=,則kl=-2,又直線l過點A(3,3),所以直線l的方程為y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0,所以P(0,-1)到l的距離d=.
7.B　由題意得2×(-3)-(-1)×a=0,解得a=6.
將其代入ax-3y+6=0中,化簡得2x-y+2=0.
所以d=.故選B.
8.A　易知直線3x+4y-12=0與3x+4y+3=0平行,所以|PQ|的最小值就是兩條平行直線間的距離,為=3.故選A.
9.A　因為l1與l2平行,所以n=-2×2=-4,所以l2:x-2y-3=0,又l1與l2之間的距離是2,所以,又m>0,所以m=7,即直線l1:x-2y+7=0.設直線l1關于直線l2對稱的直線方程為x-2y+c=0(c≠7,且c≠-3),則2,解得c=-13或c=7(舍去),故所求直線方程為x-2y-13=0.故選A.
10.答案　x-2y+c=0(c<-2或c>8)(寫出符合條件的一條直線方程即可)
解析　因為所求直線與直線x-2y+3=0平行,所以設所求直線方程為x-2y+c=0(c≠3).因為所求直線與直線x-2y+3=0間的距離大于,所以,解得c<-2或c>8.故與直線x-2y+3=0平行且距離大于的直線方程為x-2y+c=0(c<-2或c>8).
11.解析　(1)易知l1與l2平行,所以直線l1與l2間的距離d=.
(2)因為l3與l2平行,所以可設l3的方程為2x+3y+C=0(-8由題意及(1)知l3與l1間的距離為,
所以,解得C=5或C=31(舍去),
所以l3的方程為2x+3y+5=0.
能力提升練
1.A 2.C 3.C 4.C
1.A　由題意知l1∥l2,點M在直線l1與l2之間且在與直線l1,l2距離
相等的直線上,設其方程為x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),則,解得c=-6,所以點M在直線x+y-6=0上,所以點M與原點間的距離的最小值就是原點到直線x+y-6=0的距離,為.
2.C　若直線l過點M(4,3),則點M到直線l的距離d=0.
直線l的方程(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0可化為m(x+y-3)+2x-y-3=0.
令故直線l過定點(2,1),記為A.
易知當直線l與直線MA垂直時,M到l的距離最大,為|MA|=,此時kMA==1,所以kl=-=-1,無解,所以0≤d<2.故選C.
3.C　直線x-my-2=0恒過點(2,0),設其為C.
作出點P滿足的圖形如圖所示.
旋轉直線x-my-2=0,可以發現,當直線垂直于x軸時,點A(-1,0)到直線的距離最大,為|AC|=3.
所以當a,b,m變化時,d的最大值為3.故選C.
4.C　由兩條平行直線間的距離公式得|AB|=2.
設直線l3的方程為x+y=2m(m∈R).
由所以A(m-1,m+1).
同理,得B(m+1,m-1).
所以|CA|+|AB|+|BD|=.
易知表示動點(m,m)(記為M)到定點(-3,-1)(記為E)與(3,1)(記為F)的距離的和.
顯然動點M(m,m)在直線y=x上,點E(-3,-1)與F(3,1)在直線y=x的兩側,所以|ME|+|MF|≥|EF|=2,即的最小值為2,故|CA|+|AB|+|BD|的最小值為2.故選C.
5.答案　x=1(或3x-4y+1=0)
解析　由所以P(-1,0),所以kPQ=,所以直線PQ的方程為y=(x+1),即x-2y+1=0.
設點M,N到直線PQ的距離分別為d1,d2.
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=1,則M(1,4),N(1,-1),所以d1=,所以,符合題意.
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-1=k(x-1).
由所以M,
所以d1=.
同理,得N,
所以d2=.
所以,解得k=,
所以直線l的方程為y-1=(x-1),即3x-4y+1=0.
綜上,直線l的方程為x=1或3x-4y+1=0.
6.解析　(1)由題意得,解得a=±3.
(2)由題意及(1)得a=3,所以l1:2x-y+3=0.
假設能找到滿足題意的點P(x0,y0)(x0>0,y0>0).
若點P滿足條件②,則,化簡得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若點P滿足條件③,則,化簡得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
∵P是第一象限的點,∴3x0+2=0不符合題意,舍去.
由不符合題意,舍去.
由
∴滿足題意的點P的坐標為.
7.解析　(1)證明:將直線l的方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0整理,得2x+y+4+m(-x+2y+3)=0(m∈R).
令
所以直線l過定點(-1,-2).
(2)記(-1,-2)為P.由題意得,點Q與定點P(-1,-2)之間的距離就是點Q到直線l的距離的最大值,為.
因為kPQ=,所以直線l的斜率為-,即-,解得m=,所以當m=時,點Q(3,4)到直線l的距離最大,最大值為2.
(3)設直線l的方程為y+2=k(x+1),k<0,
則A,B(0,k-2),所以S△AOB=≥2+2=4,當且僅當k=-2時取等號,所以
△AOB面積的最小值為4,此時直線l的方程為2x+y+4=0.
2

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