資源簡介

(共22張PPT)
知識 清單破
2.3.3　直線與圓的位置關系
知識點 直線與圓的位置關系
　　設圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0).圓心C(a,b)到直線l的距離d=
.
由 消去y(或x),得到關于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2 1 0
幾何法 dr
代數法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
相交或相切.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.若直線與圓的方程組成的方程組有解,則直線與圓相交. (　 )
提示

2.過點P和圓相切的直線有兩條. (　 )

提示
當點P在圓的外部時,有兩條切線;當點P在圓上時,有一條切線;當點P在圓內時,沒有切線.
3.經過圓內一點(非圓心)的最長弦所在直線與最短弦所在直線互相垂直. (　 )
√
4.若兩條直線被同一個圓截得的弦長相等,則這兩條直線平行. (　 )

講解分析
疑難 情境破
疑難 1 直線與圓的位置關系
　　判斷直線與圓的位置關系主要有兩種方法:幾何法和代數法.幾何法側重圖形的幾何性
質,較代數法步驟簡捷,所以一般選用幾何法.
典例 已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當k分別為何值時,直線與圓:
(1)相交 (2)相切 (3)相離
解析 解法一(代數法):聯立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
(1)當直線與圓相交時,Δ>0,即- (2)當直線與圓相切時,Δ=0,即k=± .
(3)當直線與圓相離時,Δ<0,即k<- 或k> .
解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d= = .
由題意知,圓的半徑r=1.
(1)當直線與圓相交時,d(2)當直線與圓相切時,d=r,即 =1,解得k=± .
(3)當直線與圓相離時,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
講解分析
疑難 2 與圓有關的切線問題
1.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
(1)當點P在圓上時,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則切線斜率為- ;若
斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.
(2)當點P在圓外時,設切線斜率為k,寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r解出k即
可(若僅求出一個k值,則有一條斜率不存在的切線).
2.切線長的求法
過圓外一點P可作圓的兩條切線,我們把點P與切點之間的距離稱為切線長.切線長可由勾股
定理來計算.如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切線,則切線長為
.

3.過圓上一點的切線的相關結論
(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;
(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x-a)·(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2;
(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D·
+E· +F=0.
典例 (1)已知圓的方程為x2+y2=13,它與斜率為- 的直線相切,則該切線方程為　　　　　
　 ;
(2)過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長為　　　 .
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0
4
解析 (1)解法一:設所求切線方程為y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因為圓x2+y2=13與直線2x+3y-3b=0相切,
所以圓心(0,0)到直線2x+3y-3b=0的距離d= = ,解得b=± .所以所求切線方程為2x+3y-
13=0或2x+3y+13=0.
解法二:設所求切線方程為y=- x+b.
由 消去y,并整理得 x2- x+b2-13=0.令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)由題意得圓心C的坐標為(3,1),半徑為1.
設切點為B,則△ABC為直角三角形,
易得|AC|= = ,|BC|=1,所以|AB|= = =4,所以切線長
為4.
疑難 3 直線與圓相交的弦長及圓的中點弦問題
講解分析
1.直線與圓相交時弦長的求法
幾何法 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關系r2=d2+ 解題
代數法 若直線與圓的交點坐標易求出,則求出交點坐標后,直接用兩點間的距離公式計算弦長
弦長 公式法 設直線l:y=kx+b與圓的兩個交點分別為(x1,y1),(x2,y2),將直線方程代入圓的方程,消元后利用根與系數的關系得弦長l= |x1-x2|=

2.解決與中點弦有關問題的方法
(1)利用根與系數的關系求出中點坐標;
(2)設出弦的兩個端點的坐標,代入圓的方程,利用作差法求出斜率,此法即為點差法;
(3)利用圓本身的幾何性質,即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直解決問題.
典例1 直線l經過點P(5,5),且和圓C:x2+y2=25相交于A,B兩點,直線被圓截得的弦長為4 ,求直
線l的方程.
解析 若直線l的斜率不存在,則l:x=5,與圓C相切,不符合題意,所以直線l的斜率存在.
設直線l的方程為y-5=k(x-5),且與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:由 消去y,得(k2+1)·x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0,
令Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
又因為x1+x2=- ,x1x2= ,
所以|AB|=
=
=4 ,整理得2k2-5k+2=0,解得k= 或k=2,均符合題意.
故直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.
解法二:直線l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.設圓心(0,0)到直線l的距離為d,圓C的半徑為r,則d=
,r=5,
又d= = = ,
所以 = ,解得k= 或k=2,所以直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.
易錯警示 求直線方程時,要注意斜率不存在的情況,若斜率不存在的直線符合題意,則要注
意補充.
典例2 已知圓x2+y2-4x+6y-12=0內一點A(4,-2),求以A為中點的弦所在直線的方程.
思路點撥 根據斜率是否存在分類討論.
思路一:結合一元二次方程根與系數的關系列方程求解.
思路二:利用“點差法”及“設而不求,整體代換”的策略求解.
思路三:利用圓的幾何性質:弦的中點與圓心的連線和弦所在的直線垂直求解.
解析 解法一:當直線的斜率存在時,設其為k,則過點A的直線方程為y+2=k(x-4),將其代入圓
的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
因為1+k2≠0,Δ>0,所以設兩個交點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
則x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以所求直線方程為2x+y-6=0.
當直線的斜率不存在時,直線方程為x=4,不滿足題意.
綜上,所求直線方程為2x+y-6=0.
解法二:設兩個交點的坐標分別為B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=8,y1+y2=-4.
當直線的斜率不存在時,直線方程為x=4,不滿足題意.
當直線的斜率存在時,設其為k,則k= .
把B,C兩點的坐標代入圓的方程,
得
①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.
故所求直線方程為2x+y-6=0.
綜上,所求直線方程為2x+y-6=0.
解法三:當直線的斜率不存在時,直線方程為x=4,不滿足題意.
設圓心為M,所求直線的斜率為k.
易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2.
所以所求直線的方程為2x+y-6=0.
利用圓的方程解決最值問題的方法
(1)由某些代數式的結構特征聯想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關
知識并結合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的幾何量有直線的斜率、截距以及兩點間
的距離.
(2)轉化成函數解析式,利用函數的性質解決.
(3)利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設 (θ為參數),代入目
標函數,利用三角函數知識求最值.
講解分析
疑難 4 與圓相關的最值問題
典例 已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 (1)令4x-3y=m,則 可以看成直線在x軸上的截距,要使m最大(或最小),只需直線在x軸
上的截距最大(或最小).
由圖1可知,當直線4x-3y=m與圓x2+y2=4相切時,m分別取得最大值和最小值.
由圓心(0,0)到4x-3y-m=0的距離等于圓的半徑,得 =2,即|m|=10,故m=±10.
故mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值為10,最小值為-10.

(2)令 =k,則k表示圓x2+y2=4上一點(x,y)與點(-2 ,-2)的連線的斜率.
由圖2知,當直線y+2=k(x+2 )與圓x2+y2=4相切時,k分別取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= ,故kmax= ,
kmin=0,即 的最大值為 ,最小值為0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則 表示圓上一點(x,y)與點(4,-3)的距離.
如圖3,由點(4,-3)到圓心(0,0)的距離為5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即
(x-4)2+(y+3)2的最大值為49,最小值為9.

圖2 圖32.3.3　直線與圓的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與圓的位置關系
1.直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0的位置關系是(　　)
A.相交　　　　B.相切
C.相離　　　　D.無法判斷
2.直線x-y+m=0與圓x2+y2=1有兩個不同的交點,則實數m的取值范圍是(　　)
A.-2≤m≤2　　　　 B.-2C.m<-2或m>2　　　　D.m≤-2或m≥2
3.已知直線l:x-y+2=0與圓C:x2+y2-2y-2m=0相離,則實數m的取值范圍是(　　)
A.
C.
4.若直線l:y=kx+1(k<0)與圓C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,則直線l與圓D:(x-2)2+y2=3的位置關系是(　　)
A.相交　　　　B.相切　　　　
C.相離　　　　D.不確定
5.已知直線l:x+ky-3k-1=0,若無論k取何值,直線l與圓(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共點,則r的取值范圍是(　　)
A.[5,+∞)　　　　B.(3,+∞)
C.[4,6)　　　　 D.[3,5]
6.若點M(a,b)在圓x2+y2=r2外,則直線ax+by=r2與圓的位置關系是　　　　.
7.已知圓心在直線2x-y-2=0上的圓C經過點A(-1,2)和B(3,-2),過點P(3,-1)的直線l與圓C相交于不同的兩點M,N.
(1)求圓C的標準方程;
(2)若∠MCN=90°,求直線l的方程.
題組二　圓的切線問題
8.過點P(2,4)引圓(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為(　　)
A.x=2或4x+3y-4=0
B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0
D.4x+3y-4=0
9.過點M(-1,)且與圓O:x2+y2=4相切的直線方程為　　　　　.
10.過點P(4,3)作圓C:x2+6x+y2+5=0的切線,則
切線長為　　　　.
題組三　圓的弦長問題
11.已知圓C:x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,直線l:x+y-1=0,若直線l與圓C相交所得弦的長為8,則實數m=(　　)
A.-2或2　　　　 B.-1或12
C.-2或12　　　　D.-2或1
12.已知圓(x-1)2+y2=4的一條弦過點P(0,1),則過點P的最短弦所在直線的方程是(　　)
A.x+y-1=0　　　　B.x-y+1=0
C.x-y-1=0　　　　D.x=0
13.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0,若在圓C上存在兩點A,B,使|AB|=2,且AB的中點M在直線2x+y+m=0上,則實數m的取值范圍是(　　)
A.[-2]　　　　B.[-5,5]
C.(-]
14.已知圓C與x軸相切,圓心在直線y=3x上,且直線y=x被圓C截得的弦長為2,則圓C的方程為　　　　　　　　　　　　　　　.
15.在條件①與直線3x+4y+2=0平行;②過點(5,-5)中任選一個,補充在下面的問題中,并解答.
已知直線l過點P(1,-2),且　　　　.
(1)求直線l的一般式方程;
(2)若直線l與圓x2+y2=5相交于點P,Q,求弦PQ的長.
16.已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若=12,其中O為坐標原點,求|MN|.
17.圓O:x2+y2=4內有一點P(1,0),AB為過點P且傾斜角為α的弦.
(1)判斷點Q(2,1)與圓O的位置關系;
(2)當α=120°時,求弦AB的長;
(3)若P為弦AB上靠近A的三等分點,且點A在第一象限,求直線AB的方程.
能力提升練
題組一　直線與圓的位置關系
1.已知直線l1:mx-y-3m+1=0(m∈R)與直線l2:x+my-3m-1=0(m∈R)相交于點P,則P到直線x+y=0的距離d的取值范圍是(　　)
A.[)
C.[)
2.若直線l:y=m(x-1)+2與曲線y=有且僅有兩個不同的交點,則實數m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,0)∪
B.∪(0,+∞)
C.
D.
3.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取值范圍是(　　)
A.[4,6)　　　　 B.(4,6)　　　　
C.[4,6]　　　　D.(4,6]
4.(多選題)若曲線(x+x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m2恰有4個公共點,則實數m的值可能是(　　)
A.-　　　　C.-2　　　　D.2
5.(多選題)已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y+4=0,則下列說法正確的是(　　)
A.
B.x+y的最大值為3+
C.x2+y2的最大值為+1
D.的取值范圍是[2,4]
題組二　圓的切線與弦長問題
6.由直線x-y+4=0上的點向圓(x-1)2+(y-1)2=1作切線,則切線長的最小值為(　　)
A.　　　　 B.3　　　　
C.2-1
7.一條光線從點(-2,-3)射出,經y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為(　　)
A.-或-
C.-或-
8.點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA,PB分別與圓x2+y2=4相切于A,B兩點,則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值為(　　)
A.8　　　　B.4　　　　C.24　　　　D.16
9.已知P(x0,y0)為圓C:(x-t)2+(y-s)2=r2(r>0)上任
意一點,當a≠b時,|x0-y0+a|+|x0-y0+b|的值與x0,y0無關,則下列結論正確的是　　　　　.(填序號)
①當|a-b|=2r時,點(t,s)的軌跡是一條直線;
②當|a-b|=2時,r的最大值為1;
③當r=,b=2時,實數a的取值范圍為a≥6.
10.已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=4,圓心C在直線y=x上,且直線x+y-2=0被圓C截得的弦長為2.
(1)求圓C的方程;
(2)若a≤0,點A(0,1),過A作直線l和l1,且滿足l⊥l1,直線l交圓C于M,N兩點,直線l1交圓C于P,Q兩點,求四邊形PMQN的面積的最大值.
題組三　直線與圓的位置關系的綜合應用
11.已知圓M:x2+(y-2)2=1,直線l:x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,求點P的坐標;
(2)求證:經過A,P,M三點的圓必過定點,并求出定點的坐標.
12.在平面直角坐標系xOy中,已知點P(2,4),圓O:x2+y2=4與x軸正半軸的交點是Q,過點P的直線l與圓O交于不同的兩點A,B.
(1)設直線QA,QB的斜率分別是k1,k2,求k1+k2的值;
(2)設AB的中點為M,點N,若|MN|=|OM|,求△QAB的面積.
13.在某海礁A處有一風暴中心,距離風暴中心A正東方向200 km的B處有一艘輪船,正沿北偏西α(α為銳角)角方向航行,速度大小為40 km/h.已知距離風暴中心180 km以內的水域受其影響.
(1)若輪船不被風暴影響,求角α的正切值的最大值;
(2)若輪船航行方向為北偏西45°,求輪船被風暴影響持續的時間.
答案與分層梯度式解析
2.3.3　直線與圓的位置關系
基礎過關練
1.C 2.B 3.C 4.A 5.A 8.C 11.C 12.B
13.D
1.C　圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=1,
∴圓心為(1,-2),半徑r=1.
圓心(1,-2)到直線4x-3y-2=0的距離d=>r,∴直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2x+4y+4=0相離.故選C.
2.B　因為圓x2+y2=1與直線x-y+m=0有兩個不同的交點,圓心為(0,0),半徑為1,所以圓心到直線的距離小于1,即<1,
整理得|m|<2,解得-23.C　由圓C的方程x2+y2-2y-2m=0,得(-2)2-4×(-2m)>0,解得m>-,且圓心為(0,1),半徑為.因為直線l與圓C相離,所以,解得m<-,所以實數m的取值范圍為-.故選C.
4.A　圓C的圓心為(-2,1),半徑為.
因為直線l:y=kx+1(k<0)與圓C:(x+2)2+(y-1)2=2相切,所以,解得k=±1,因為k<0,所以k=-1,所以直線l的方程為x+y-1=0.
圓D的圓心為(2,0),其到直線l的距離d=,所以直線l與圓D相交.故選A.
5.A　由x+ky-3k-1=0得(x-1)+k(y-3)=0,故直線l恒過點(1,3).
若直線l與圓(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共點,則點(1,3)在圓上或圓內,即(1+2)2+(3+1)2≤r2,又r>0,所以r≥5.故選A.
6.答案　相交
解析　因為點M(a,b)在圓x2+y2=r2外,所以a2+b2>r2,所以圓心(0,0)到直線ax+by=r2的距離d=7.解析　(1)易求得AB的中點為(1,0),且kAB=-1,
∴線段AB的中垂線方程為x-y-1=0.
由∴圓心C的坐標為(1,0),
∴半徑r=|CA|=2,
故圓C的標準方程為(x-1)2+y2=8.
(2)當∠MCN=90°時,圓心C到直線l的距離為2.
若直線l的斜率存在,設直線l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,∴圓心C(1,0)到直線l的距離d==2,解得k=,∴直線l的方程為3x-4y-13=0.
若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=3,符合題意.
綜上所述,所求直線l的方程為x=3或3x-4y-13=0.
8.C　圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為(1,1),半徑為1.
當過點P(2,4)的直線的斜率不存在時,直線方程為x=2,與圓相切,符合題意.
當過點P(2,4)的直線的斜率存在時,設直線方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
由題意得=1,解得k=,此時直線方程為4x-3y+4=0.
所以所求切線方程為x=2或4x-3y+4=0.故選C.
9.答案　x-y+4=0
解析　∵(-1)2+()2=4,∴點M在圓x2+y2=4上,
因此k切·kOM=-1,即k切·=-1,∴k切=,
又切線過點M(-1,),∴切線方程為y-(x+1),即x-y+4=0.
10.答案　3
解析　由圓C的方程可知,圓心為C(-3,0),半徑r=2,又P(4,3),所以|PC|=.
設切點為A,則|AC|=r=2,
由切線的性質可知CA⊥PA,
所以在直角三角形PAC中,|PA|=.所以切線長為3.
11.C　圓C的方程可化為(x+m)2+(y-1)2=m2-5m+4,故圓心C(-m,1),
m2-5m+4>0,解得m<1或m>4.
易得圓心C到直線l:x+y-1=0的距離d=|m|,則2=8,整理得m2-10m-24=0,解得m=-2或m=12.故選C.
12.B　當弦長最短時,該弦所在直線與過點P(0,1)的直徑垂直.已知圓心為(1,0),所以過點P(0,1)的直徑所在直線的斜率k==-1,故所求直線的斜率為1,所以所求直線的方程為y-1=x-0,即x-y+1=0.故選B.
13.D　由題知,圓C的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=4,∴圓心C(-1,2),
半徑r=2,∴圓心C到直線2x+y+m=0的距離d=
,且AB的中點M在直線2x+y+m=0上,∴r2-d2≥,即4-≥3,∴-≤m≤.故選D.
14.答案　(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9
解析　因為圓C與x軸相切,且圓心C在直線y=3x上,所以設圓C的方程為(x-b)2+(y-3b)2=9b2,
又因為直線y=x被圓C截得的弦長為2,所以)2=9b2,解得b=±1,故所求圓C的方程為(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.
15.解析　選擇①.
(1)由題意得,直線l的斜率為-,又直線l過點P(1,-2),所以直線l的方程為y+2=-(x-1),即3x+4y+5=0.
(2)圓x2+y2=5的圓心(0,0)到直線3x+4y+5=0的距離d==1,又圓x2+y2=5的半徑r=,所以|PQ|=2=4.
選擇②.
(1)因為直線l過點(5,-5)和(1,-2),所以直線l的方程為,即3x+4y+5=0.
(2)解法同選擇①.
16.解析　(1)由題設可知直線l的方程為y=kx+1,圓C的圓心為(2,3),半徑為1.
因為直線l與圓C交于兩點,所以<1,解得.
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),
將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,
所以x1+x2=,
所以+8=12,解得k=1,
所以直線l的方程為y=x+1.
易知圓心C在直線l上,所以|MN|=2.
17.解析　(1)因為22+12=5>4,所以點Q在圓外.
(2)當α=120°時,直線AB的方程為y-0=-(x-1),即=0,所以圓心(0,0)到直線AB的距離d=,
所以|AB|=2.
(3)如圖,設AB的中點為D,|AB|=6t,連接OD,則|PD|=t,|OD|=.
易知直線AB的斜率存在,故設其方程為y=k(x-1),k>0.
易知圓心O到直線AB的距離為|OD|=,
所以所以k=,故所求直線方程為y=(x-1).
能力提升練
1.A 2.D 3.B 4.AC 5.ABD 6.A 7.D 8.A
1.A　解法一:mx-y-3m+1=0(m∈R)可化為m(x-3)-(y-1)=0,故直線l1恒過點(3,1).
同理,得l2:x+my-3m-1=0(m∈R)恒過點(1,3).
因為m×1+(-1)×m=0,所以直線l1和l2互相垂直,所以兩條直線的交點P在以(1,3),(3,1)為直徑端點的圓上,故點P的軌跡方程為(x-2)2+(y-2)2=2(x≠3且y≠3).
(提示:直線l1不能表示直線x=3,直線l2不能表示直線y=3)
設圓心為M,則M(2,2).
由于MO垂直于直線x+y=0,故M到直線x+y=0的距離為|MO|=2,所以|MO|-≤d<|MO|+,即≤d<3,故d的取值范圍是[).故選A.
解法二:由
所以P,
所以d=.
易知∈(0,4],所以d∈[).故選A.
2.D　易知直線y=m(x-1)+2過定點(1,2)(記為P),y=可化為x2+y2=4(y≥0).
由圖可得,直線l在l1與l2之間(包括l1但不包括l2)或l3與l4之間(包括l3但不包括l4)時滿足題意.
設直線l1,l2,l3,l4的斜率分別為k1,k2,k3,k4,
則k1==-2.
易知直線l4的方程為y-2=k4(x-1),則圓心(0,0)到直線l4的距離為=2,解得k4=0(舍去)或k4=-.
所以實數m的取值范圍為.故選D.
3.B　圓心(3,-5)到直線4x-3y-2=0的距離為=5.由題意得|5-r|<1,解得44.AC　曲線(x+x-y-2)=0表示直線x+=0和x-y-2=0.
由所以兩直線的交點為(-,-5).
因為曲線(x+x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m2恰有4個公共點,所以直線x+x-y-2=0均與圓x2+(y-m)2=m2相交,且點(-,-5)不在圓上.
易知圓x2+(y-m)2=m2的圓心為(0,m),半徑為|m|,所以解得m∈∪(2,+∞).故選AC.
5.ABD　方程x2+y2-4x-2y+4=0可化為(x-2)2+(y-1)2=1,其表示的曲線是圓心為(2,1),半徑為1的圓.
對于A,設=k,則直線y=kx(x≠0)與圓有公共點,所以≤1,解得0≤k≤,所以,故A正確.
對于B,設x+y=a,則直線x+y-a=0與圓有公共點,所以≤1,解得3-≤a≤3+,所以x+y的最大值為3+,故B正確.
對于C,x2+y2表示圓上的點(x,y)與點(0,0)的距離的平方,又點(0,0)到圓心(2,1)的距離為,所以∈[+1],所以6-2≤x2+y2≤6+2,所以x2+y2的最大值為6+2,故C錯誤.
對于D,表示圓上的點(x,y)到直線3x+4y+5=0的距離,又圓心(2,1)到直線3x+4y+5=0的距離為=3,所以3-1≤≤3+1,即2≤≤4,故D正確.
故選ABD.
6.A　圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為(1,1),設為C,半徑為1.設P為直線x-y+4=0上任意一點,
由直線x-y+4=0上的點向圓(x-1)2+(y-1)2=1作切線,要使切線長最小,只需|PC|最小,易知|PC|min=,∴切線長的最小值為.故選A.
7.D　設點(-2,-3)為A,則點A關于y軸的對稱點A'的坐標為(2,-3),故可設反射光線所在直線的方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光線所在直線與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,
∴圓心(-3,2)到反射光線所在直線的距離d==1,化簡得12k2+25k+12=0,∴k=-或k=-.故選D.
8.A　因為圓x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑r=2,所以圓心O(0,0)到直線2x+y+10=0的距離d=>2,所以直線2x+y+10=0與圓x2+y2=4相離.因為點P是直線2x+y+10=0上的動點,直線PA,PB分別與圓x2+y2=4相切于A,B兩點,所以|PA|=|PB|,PA⊥OA,PB⊥OB,因此四邊形PAOB的面積S=S△PAO+S△PBO=2S△PAO=2×.要使四邊形PAOB的面積最小,只需|PO|最小,又|PO|min為圓心O(0,0)到直線2x+y+10=0的距離d,所以四邊形PAOB的面積的最小值為2=8.故選A.
9.答案　①②
解析　|x0-y0+a|+|x0-y0+b|=.
表示(x0,y0)到直線x-y+a=0(記為l1)的距離,表示(x0,y0)到直線x-y+b=0(記為l2)的距離,且直線x-y+a=0與直線x-y+b=0平行.
由題意得,P(x0,y0)到直線x-y+a=0與直線x-y+b=0的距離的和為定值.
由于P(x0,y0)為圓C:(x-t)2+(y-s)2=r2(r>0)上任意一點,所以圓C在兩平行直線x-y+a=0與x-y+b=0之間.
易得直線x-y+a=0與x-y+b=0間的距離為.
當|a-b|=2r時,=2r,即圓C與直線l1,l2相切,所以圓心
(t,s)的軌跡是一條直線,故①正確.
當|a-b|=2時,=2,所以圓C的直徑2r≤2,所以r≤1,故②正確.
當r=,b=2時,由≥2r得≥2,
解得a≤-2或a≥6,故③錯誤.
10.解析　(1)易得圓心C(a,b),半徑為2.
因為圓心C在直線y=x上,所以a=b,則C(a,a).
設圓心C到直線x+y-2=0的距離為d,則d=,即d=,解得a=0或a=2,所以圓C的方程為x2+y2=4或(x-2)2+(y-2)2=4.
(2)由a≤0可知圓C的方程為x2+y2=4.
當直線l的斜率不存在時,直線l1的斜率為0,此時S四邊形PMQN=|PQ|·
|MN|=;
當直線l的斜率存在時,設為k,則直線l的方程為y=kx+1,設圓心到直線l的距離為d',則d'=,此時|MN|=2,
|PQ|=2,
所以S四邊形PMQN=|PQ|·|MN|=.
因為,
當且僅當4-,即k2=1時,等號成立,
所以S四邊形PMQN≤7.
綜上,四邊形PMQN的面積的最大值為 7.
11.解析　(1)設P(2m,m).連接MP.
因為PA是圓M的切線,∠APB=60°,
所以∠APM=30°,|MP|==2,
所以(2m)2+(m-2)2=4,解得m=0或m=,
所以點P的坐標為(0,0)或.
(2)設P(2m,m),MP的中點為Q,則Q.
因為直線PA是圓M的切線,所以經過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,|MQ|為半徑的圓,故其方程為(x-m)2+,化簡得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0.
令所以經過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)和.
12.解析　(1)易知點Q(2,0),直線l的斜率一定存在,設其方程為y-4=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,
所以x1+x2=.
易得k1=,
所以k1+k2=k+
=2k+=2k-2k-1=-1.
(2)設M(x0,y0),
則由(1)可知
由|MN|=|OM|得),整理得+6x0-4=0,即-4=0,解得k=3,所以直線l的方程為3x-y-2=0.
易得圓心(0,0)到直線l的距離d=,所以|AB|=2.
又Q到直線l的距離h=,
所以S△QAB=|AB|·h=.
13.解析　(1)根據題意畫出圖形,如圖所示,
易知圓的方程為x2+y2=1802.
設過點B(200,0)且與圓相切的直線方程為y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,
則圓心O(0,0)到直線的距離為=180,化簡,得19k2=81,
∴k=-(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-,
∴tan α=,∴若輪船不被風暴影響,角α的正切值的最大值為.
(2)若輪船航行方向為北偏西45°,則航線所在直線方程為x+y=200,
則圓心O到該直線的距離d=,
∴直線被圓截得的弦長為2,
則輪船被風暴影響持續的時間為(h).
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