資源簡介

2.4　曲線與方程
基礎過關練
題組一　曲線與方程的關系及其應用
1.“點M在曲線x2=4y上”是“點M的坐標滿足方程x=2”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知直線l的方程是f(x,y)=0,點M(x0,y0)不在直線l上,則方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲線是(　　)
A.直線l
B.與l垂直的一條直線
C.與l平行的一條直線
D.與l平行的兩條直線
3.方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲線為(　　)
A.一條線段和半個圓
B.一條線段和一個圓
C.一條直線和半個圓
D.兩條線段
4.笛卡兒在信中用一個能畫出心形曲線的方程向公主表達愛意的故事廣為流傳,其實能畫出心形曲線的方程有很多種.心形曲線如圖所示,其方程為x2+y2=1+|x|y,若A為曲線上一點,則|OA|的取值范圍為(　　)
A.
題組二　求曲線的方程
5.已知圓O:x2+y2=3,點
A(-2,0),線段AB的端點B在圓O上運動,則線段AB的中點M的軌跡方程為(　　)
A.(x-1)2+y2=
C.x2+(y-1)2=
6.如圖①,曲線四葉玫瑰線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用,苜蓿葉型立交橋有兩層,將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環形匝道來實現,即讓左轉車輛行駛環道后自右側切向匯入高速公路,四條環形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列方程能表達圖②中的曲線的是(　　)
　
A.(x2+y2)3=16x2y2　　　　B.(x2+y2)3=16x2y3
C.(x2+y3)3=16x2y2　　　　D.(x3+y3)3=16x2y2
7.與圓x2+y2-4x=0外切且與y軸相切的動圓的圓心的軌跡方程為(　　)
A.y2=8x(x>0)　　　　
B.y2=8x(x>0)或y=0(x<0)
C.x2=8y(y>0)　　　　
D.x2=8y(y>0)或x=0(y<0)
8.已知方程①x-y=0;②=1.其中能表示平面直角坐標系的第一、三象限的角平分線C的方程的序號是　　　　.
9.已知線段AB的長等于10,兩端點A,B分別在x軸、y軸上移動,若點M在線段AB上,且=0,則點M的軌跡方程是　　 　.
10.已知等腰三角形ABC的頂點為A(4,2),底邊的一個端點為B(5,3),則底邊的另一個端點C的軌跡方程為　　　　　　　　　.
11.已知兩定點M(1,3),N(3,1),動點P滿足　　　,求動點P的軌跡方程.
請從下列條件中任選一個補充到橫線上,并解答.
條件①:直線PM與直線PN垂直;
條件②:點P與M,N兩點的距離的平方之和為20;
條件③:直線PM與直線PN的斜率之積為4.
題組三　根據曲線方程研究曲線的性質
12.已知曲線C:x2+xy+y2=4,命題①:曲線C恰好經過8個整點(橫、縱坐標均為整數的點);命題②:曲線C上任意一點到原點的距離都不大于2.下列判斷正確的是(　　)
A.①為真命題,②為假命題
B.①為假命題,②為真命題
C.①②均為假命題
D.①②均為真命題
13.(多選題)已知在平面直角坐標系xOy中,M(-3,0),N(3,0),動點P滿足|PM|·|PN|=12,其軌跡為一條連續的封閉曲線C,則下列結論正確的是(　　)
A.曲線C關于y軸對稱
B.曲線C與x軸的交點為(-2,0)
C.△PMN的面積的最大值為6
D.|OP|的取值范圍是[]
14.星形線又稱為四尖瓣線,是數學中的瑰寶,在生產和生活中有很大應用,=1便是它的一種表達式.
①星形線關于直線y=x對稱;
②星形線圍成的圖形的面積小于2;
③星形線上的點到x軸,y軸的距離的乘積的最大值為;
④星形線上的點與原點之間的距離的最小值為.
以上說法正確的是　　　　.(填序號)
15.已知曲線W的方程為|y|+x2-5x=0.
(1)請寫出曲線W的一條對稱軸的方程;
(2)求曲線W上的點的橫坐標x的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
2.4　曲線與方程
基礎過關練
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 12.B
13.ACD
1.B　若點M在曲線x2=4y上,則x=±2;當點M的坐標滿足方程x=2時,必有x2=4y,即點M在曲線x2=4y上,故應為必要不充分條件.
2.C　因為點M(x0,y0)不在直線l上,所以f(x0,y0)是不為0的常數,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是過點M(x0,y0)且與直線l平行的一條直線.故選C.
3.A　由方程(3x-y+1)(y-)=0得y=(y≥0)或3x-y+1=0
(-1≤x≤1),即x2+y2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),所以方程(3x-y+1)(y-)=0表示的曲線為一條線段和半個圓.故選A.
4.A　由題圖得,心形曲線關于y軸對稱,所以不妨取-≤θ≤.
設點A(x0,y0),則x0=|OA|cos θ,y0=|OA|sin θ,
代入曲線方程可得|OA|2=1+|OA|2|cos θ|sin θ,
所以|OA|2=.
因為-≤θ≤,所以-π≤2θ≤π,
所以-≤-sin 2θ≤,所以≤1-sin 2θ≤,
所以≤2,即|OA|2∈,
所以|OA|∈.故選A.
5.B　設M(x,y),B(x0,y0),則所以
因為點B在圓O上運動,所以=3,即(2x+2)2+(2y)2=3,化簡并整理得(x+1)2+y2=.故選B.
6.A　由題圖②知,曲線關于兩坐標軸成軸對稱圖形,關于坐標原點成中心對稱圖形.
將x換成-x,y換成-y,A中方程不變,故A符合;
將y換成-y,B中方程變為(x2+y2)3=-16x2y3,C中方程變為(x2-y3)3=
16x2y2,D中方程變為(x3-y3)3=16x2y2,均與原方程不相同,故B,C,D不符合.
故選A.
7.B　將圓的方程化為標準方程,得(x-2)2+y2=4,圓心坐標為(2,0),半徑為2.
設動圓圓心坐標為(x,y),由題意可得-2=|x|,即=|x|+2.
①當x=0時,y=0,此時動圓圓心為坐標原點,不符合題意;
②當x>0時,=x+2,等式兩邊平方并化簡,得y2=8x;
③當 x<0時,=2-x,等式兩邊平方并化簡,得y=0.
因此,動圓圓心的軌跡方程為y2=8x(x>0)或y=0(x<0).
8.答案　①
解析　根據題意可知,C的方程為y=x.
由x-y=0得y=x,故①滿足題意;
點(-1,-1)在第三象限的角平分線上,但其坐標不滿足方程=0,故②不滿足題意;
點(-1,1)滿足方程x2-y2=0,但它不在曲線C上,故③不滿足題意;
點(0,0)在曲線C上,但其坐標不滿足方程=1,故④不滿足題意.
9.答案　16x2+y2=64
解析　設M(x,y),A(a,0),B(0,b),因為|AB|=10,所以=10,即a2+b2=100.因為=0,所以,所以代入a2+b2=100,可得25x2+=100,即16x2+y2=64.
10.答案　x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0)
解析　設底邊的另一個端點C的坐標為(x,y),則,化簡得x2+y2-8x-4y+18=0.
因為A,B,C三點構成三角形,所以三點不共線且B,C不重合.
當A,B,C三點共線時,kAB==1,所以直線方程為y-2=1×(x-4),即x-y-2=0,所以點C的軌跡方程為x2+y2-8x-4y+18=0(x-y-2≠0).
11.解析　選擇條件①:設點P的坐標為(x,y).
解法一:當x≠1且x≠3時,kPM=.
由題意得kPM·kPN=-1,即=-1,化簡得x2+y2-4x-4y+6=0.
當x=1時,點P的坐標為(1,1),滿足上述方程,
當x=3時,點P的坐標為(3,3),滿足上述方程,
所以點P的軌跡方程為x2+y2-4x-4y+6=0(除去點(1,3)和(3,1)).
解法二:因為直線PM與直線PN垂直,所以=0.易得=(x-3,y-1),則(x-1)(x-3)+(y-3)(y-1)=0,化簡得x2+y2-4x-4y+6=0,所以點P的軌跡方程為x2+y2-4x-4y+6=0(除去點(1,3)和(3,1)).
選擇條件②:設點P的坐標為(x,y).
由題意得|PM|2+|PN|2=20,即(x-1)2+(y-3)2+(x-3)2+(y-1)2=20,化簡得x2+y2-4x-4y=0,所以所求軌跡方程為x2+y2-4x-4y=0.
選擇條件③:設點P的坐標為(x,y)(x≠1且x≠3),
則kPM=.
由題意得kPM·kPN=4,即=4,化簡得4x2-y2-16x+4y+9=0,所以所求軌跡方程為4x2-y2-16x+4y+9=0(x≠1且x≠3).
12.B　x2+xy+y2==4,所以≤4,所以-≤y≤,同理,得-≤x≤.
當x=0時,y=±2;當x=2時,y=-2或0;當x=-2時,y=2或0;當x=1時,y2+y-3=0,此時不存在y∈Z滿足方程;當x=-1時,y2-y-3=0,此時不存在y∈Z滿足方程.因此,曲線C恰好經過(2,0),(2,-2),(0,2),
(0,-2),(-2,0),(-2,2)這6個整數點,故命題①為假命題.
因為x2+y2≥2|xy|,所以-≤xy≤,所以≤4=x2+y2+xy≤,所以≤x2+y2≤8,所以曲線C上任意一點到原點的距離都不大于2,故命題②為真命題.故選B.
13.ACD　設P(x,y),由題意得=12,整理,得x4+(2y2-18)x2+y4+18y2-63=0.(*)
因為點(x,y),(-x,y)都滿足(*)式,
所以曲線C關于y軸對稱,故A正確;
對于(*)式,令y=0,得x4-18x2-63=0,
即(x2-21)(x2+3)=0,解得x=±,故B錯誤;
由(*)式,知Δ=(2y2-18)2-4×(y4+18y2-63)≥0,即y2≤4,所以|y|≤2,所以△PMN的面積的最大值為×6×2=6,故C正確;
由(*)式,得(x2+y2)2+18(x2+y2)+81=36x2+144,
即(x2+y2+9)2=36x2+144,
所以x2+y2=-9,
由y2=6-9-x2≥0,得x4-18x2-63≤0,
即(x2-21)(x2+3)≤0,所以0≤x2≤21,所以4≤x2+4≤25,即2≤≤5,所以3≤6-9≤21,
又|OP|2=x2+y2=6-9,
所以≤|OP|≤,故D正確.
故選ACD.
14.答案?、佗冖?br/>解析　對于①,把方程=1中的x與y互換,方程不變,所以星形線關于直線y=x對稱,故①正確;
對于②,易知曲線|x|+|y|=1所圍成的圖形的面積為2,而|x|+|y|>|x,所以星形線圍成的圖形在曲線|x|+|y|=1圍成的圖形的內部,所以星形線圍成的圖形的面積小于2,故②正確;
由≥2,得|xy|≤,當且僅當|x|
=|y|時,等號成立,所以星形線上的點到x軸,y軸的距離的乘積的最大值為,故③錯誤;
因為x2+y2=(≥1-3,所以星形線上的點到原點的距離的最小值為,故④正確.
15.解析　(1)由W的方程知,若(x,y)是曲線上的點,則(x,-y)也是曲線上的點,因此直線y=0是曲線W的一條對稱軸.同理,易知直線x=也是曲線W的一條對稱軸.
(2)由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,
因為|y|≥0,所以-x2+5x≥0,
解得0≤x≤5.
2(共9張PPT)
2.4　曲線與方程
知識 清單破
知識點 曲線的方程與方程的曲線
一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關系:
(1)曲線C上的點的坐標都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C
上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.若以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上,則方程F(x,y)=0即為曲線C的方程. (　 )

2.若曲線C上的點的坐標滿足方程F(x,y)=0,則坐標不滿足方程F(x,y)=0的點不在曲線C上.
(　 )
√
3.方程x+y-5=0是以A(0,5),B(5,0)為端點的線段的方程. (　 )

4.按照求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗. (　 )

講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求動點的軌跡方程
求動點M的軌跡方程的一般步驟
(1)設動點M的坐標為(x,y)(如果沒有平面直角坐標系,需先建立);
(2)寫出M要滿足的幾何條件,并將該幾何條件用M的坐標表示出來;
(3)化簡并檢驗所得方程是不是M的軌跡方程.
求動點的軌跡方程時,注意隱含條件,必要時應該對方程中的變量的取值做出相應的限制.
典例 已知圓(x+2)2+y2=4的圓心為C,過坐標原點O作圓C的弦OA,求OA的中點P的軌跡方程.
解析 設A(x0,y0),P(x,y)(x≠0),依題意,得 即 由于點A在圓C上,所以 +
=4,即(2x+2)2+(2y)2=4,整理得(x+1)2+y2=1,故OA的中點P的軌跡方程為(x+1)2+y2=1(x≠0).
易錯警示 注意原點O在圓C上,而OA是圓C的弦,所以A與O不能重合,所以P的軌跡不可能經
過原點,故在求得點P的軌跡方程后,應限制變量x的取值(x≠0),否則就會導致錯誤.故在求軌
跡方程時,一定要對軌跡進行檢驗,去掉不符合條件的點.
講解分析
疑難 2 根據方程研究曲線的性質
1.根據方程研究曲線的性質時,若方程比較復雜,則應對方程進行等價變形,并注意方程的附
加條件以及隱含條件,一定要保證其等價性.
2.研究曲線是否經過某個點時,只需驗證該點的坐標是否滿足曲線的方程,若滿足,則曲線過
該點,否則,曲線不過該點.
3.研究曲線的對稱性時,可將方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是否發生變化,
以確定其對稱性.在曲線方程中,以-y代替y后方程不變,則曲線關于x軸對稱;以-x代替x后方程
不變,則曲線關于y軸對稱;以-x代替x,-y代替y后方程不變,則曲線關于原點對稱.
4.研究兩曲線是否相交時,可將兩曲線方程聯立,然后判斷方程組是否有實數解,若有實數解,
則有交點;否則,沒有交點.
典例 (多選)在平面直角坐標系xOy中,方程x2+|y|=2對應的曲線為E,則下列說法正確的是 ( )
A.曲線E關于原點中心對稱
B.曲線E上的點與原點之間的距離的最小值為
C.曲線E上的點到直線x+y=4的距離的最小值為
D.曲線E是封閉圖形,其面積小于8
AD
解析 當y>0時,y=-x2+2;當y<0時,y=x2-2;當y=0時,x=± .如圖所示:

對于A,因為點(-x,y),點(x,-y)均滿足方程,所以曲線E關于原點中心對稱,故A正確;
對于B,設(x,y)為曲線E上任意一點,則其與原點之間的距離的平方為x2+y2,且x2+y2=2-|y|+y2=2-|y|+|y|2= + ≥ ,當|y|= 時,(x2+y2)min= ,所以曲線E上的點與原點之間的距離的最小值為 ，
故B錯誤;
對于C,結合圖易知曲線E上到直線x+y=4的距離最小的點位于第一象限,此時y>0,y=-x2+2,設
(x,y)為曲線E上任意一點,則其到直線x+y=4的距離d= = = ≥
,當x= 時,曲線E上的點到直線x+y=4的距離最小,為 ,故C錯誤;
對于D,設與直線x+y=4平行且與曲線y=-x2+2相切的直線方程為x+y+m=0(m≠-4),
聯立 消去y,得-x2+x+m+2=0,
則Δ=1+4(m+2)=0,解得m=- ,
所以與直線x+y=4平行且與曲線y=-x2+2相切的直線方程為x+y- =0.
令x=0,得y= ;令y=0,得x= .
由曲線E的對稱性可得,以 , , , 四點為頂點的正方形的四條邊與曲線E
相切,又這個正方形的面積為4× × × = ,且 <8 ,所以曲線E是封閉圖形,其面積小于
8 ,故D正確.

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