資源簡(jiǎn)介

2.5　橢圓及其方程
2.5.1　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　橢圓的定義及其應(yīng)用
1.(多選題)設(shè)F1,F2為兩個(gè)定點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡可能是(　　)
A.橢圓　　　　B.直線　　　　C.圓　　　　D.線段
2.已知橢圓=1上的點(diǎn)M到該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F的距離為2,N是MF的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段ON的長(zhǎng)是(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.
3.已知F1,F2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn),過F1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn),則△MNF2的周長(zhǎng)為(　　)
A.10　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.26
4.已知橢圓C:=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓上一點(diǎn),且PF1⊥PF2,則||PF1|-|PF2||=(　　)
A.2
5.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn),若|F2Q|∶|PQ|∶|F1Q|=1∶4∶5,則△QF1F2的面積為(　　)
A.　　　　
C.
題組二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
6.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),(0,4),且過點(diǎn)(0,6)的橢圓方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.某橢圓過點(diǎn)P和Q,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不對(duì)
8.過點(diǎn)(),且與橢圓=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.=1
C.=1
9.若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A.=1
C.=1
10.一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(2,0),且與定圓B:x2+4x+y2-32=0內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是　　　　　　.
題組三　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
11.橢圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A.(-,0)
B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-)
D.(0,-2),(0,2)
12.已知橢圓=1的焦點(diǎn)在y軸上,且焦距為4,則m等于(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.8
13.對(duì)于曲線C:=1,給出下列三個(gè)命題:①曲線C不可能表示橢圓;②若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則1A.①③　　　　B.②③　　　　
C.①②　　　　D.①②③
14.已知F1,F2是橢圓=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),且|PF1|=|F1F2|,則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為(　　)
A.
15.已知點(diǎn)P是橢圓=1上一點(diǎn),其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若∠F1PF2為銳角且△F1PF2外接圓的半徑為4,則△F1PF2的面積是　　　　.
16.已知橢圓C:=1(a>b>0)經(jīng)過
點(diǎn)M,F1,F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn),|F1F2|=2,P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P在第一象限,且,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍.
17.設(shè)橢圓C:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=3,|PF2|=5.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點(diǎn)M在橢圓C上,且△MF1F2的面積為2,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
能力提升練
題組一　橢圓定義的應(yīng)用
1.某班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象:從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將會(huì)聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題:已知橢圓C的方程為=1,其左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,直線l與橢圓C切于點(diǎn)P,且|PF1|=6,過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與直線F1F2交于點(diǎn)Q,則=(　　)
A.
2.已知橢圓C:=1的左焦點(diǎn)為F,P為C上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(-1,),則|PF|+|PA|的最大值為(　　)
A.4
3.已知F為橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),Q為圓M:x2+(y-4)2=1上一點(diǎn),則|PQ|-|PF|的最小值為(　　)
A.-2
4.(多選題)已知橢圓=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,且P不在x軸上,則(　　)
A.△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2
B.當(dāng)∠PF1F2=90°時(shí),|PF1|=2
C.當(dāng)∠F1PF2=60°時(shí),△PF1F2的面積為
D.橢圓上有且僅有6個(gè)點(diǎn)P,使得△PF1F2為直角三角形
題組二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用
5.過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C:=1(a>b>0)交于M,N兩點(diǎn),P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn).若直線PM,PN的斜率之積為-,則橢圓C的方程可能為(　　)
A.+y2=1
C.=1
6.已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),
F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.動(dòng)圓C與定圓C1:(x+3)2+y2=32內(nèi)切,與定圓C2:(x-3)2+y2=8外切,點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求動(dòng)圓C的圓心C的軌跡方程E;
(2)若軌跡E上的兩點(diǎn)P,Q滿足,求|PQ|.
答案與分層梯度式解析
2.5　橢圓及其方程
2.5.1　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.AD 2.B 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8.C
9.B 11.D 12.D 13.B 14.C
1.AD　由橢圓定義可知,當(dāng)|MF1|+|MF2|>|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓;當(dāng)|MF1|+|MF2|=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2;當(dāng)|MF1|+|MF2|<|F1F2|時(shí),軌跡不存在.故選AD.
易錯(cuò)警示　橢圓的定義中,動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是常數(shù),且必須大于兩定點(diǎn)的距離,這是判斷曲線是不是橢圓的限制條件.
2.B　不妨設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn),設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1,連接MF1,如圖所示:
∵|MF1|+|MF|=2a=10,|MF|=2,
∴|MF1|=2a-|MF|=8.
∵N為MF的中點(diǎn),O為FF1的中點(diǎn),
∴NO為△FF1M的中位線,
∴|ON|=|MF1|=4.故選B.
3.C　由橢圓的定義可得|MF1|+|MF2|=2a,|NF1|+|NF2|=2a,所以△MNF2的周長(zhǎng)為|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|NF1|+|MF2|+|NF2|=4a=4×5=20.故
選C.
4.B　設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n.
由題意得
所以||PF1|-|PF2||=.故選B.
5.B　設(shè)|F2Q|=t(t>0),則|PQ|=4t,|F1Q|=5t,所以|PF2|=3t.
因?yàn)閨F1Q|+|F2Q|=2a=6t,所以a=3t,
連接PF1,則|PF1|=2a-|PF2|=6t-3t=3t,
所以|PQ|2+|PF1|2=|F1Q|2,
所以∠F1PQ=90°,即PF1⊥PF2,
所以.故選B.
6.D　由題意得,橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c=4,a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以橢圓的方程為=1.故選D.
7.A　設(shè)橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+x2=1.故選A.
8.C　設(shè)所求橢圓的方程為=1(k<9),將()代入,可得=1,解得k=5(k=21舍去),故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
9.B　設(shè)F1(-2,0),F(2,0),則|F1F2|=4,|PF1|+|PF2|=4>|F1F2|,故點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn),2a=4的橢圓,所以2c=4,b2=a2-c2=8-4=4,故所求軌跡方程為=1.故選B.
10.答案　=1
解析　圓B的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x+2)2+y2=36,其圓心為B(-2,0),半徑R=6.
設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y),半徑為r,
由題意可知,|MB|=R-r,又r=|MA|,所以|MB|=R-|MA|,故|MB|+|MA|
=6>|AB|=4.由橢圓的定義知,M的軌跡是以B(-2,0),A(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),則a=3,c=2,b=,所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是=1.
11.D　橢圓=1的焦點(diǎn)在y軸上,且a=3,b=,所以c=2,所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±2).
12.D　依題意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得613.B　①當(dāng)即k∈時(shí),曲線C表示橢圓,所以①錯(cuò)誤;
②若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則4-k>k-1>0,解得1③由①知,當(dāng)k∈時(shí),曲線C表示橢圓,當(dāng)4-k=k-1,即k=時(shí),曲線C表示圓,所以③正確.故選B.
14.C　由橢圓方程得a2=16,b2=7,c2=9,所以|PF1|+|PF2|=2a=8,
|F1F2|=2c=6,所以|PF1|=|F1F2|=6,所以|PF2|=2.
在△PF1F2中,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=.
設(shè)P(x0,y0),則|F1F2|·|x0|=|PF2|·|PF1|sin∠F1PF2,所以|x0|=,即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為.故選C.
15.答案　
解析　由題意得|F1F2|=2c=2,所以=2×4,解得sin∠F1PF2=,所以∠F1PF2=.
由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-|PF2||PF1|=|F1F2|2=48,因?yàn)閨PF2|+|PF1|=8,所以82-3|PF2|·|PF1|=48,所以|PF2||PF1|=,所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=.
16.解析　(1)由題意得
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)設(shè)P(x,y)(x>0,y>0).
易知F1(-,0),
則-x,-y),
∴-x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3.
∵,
∴(3x2-8)≤,解得-
≤x≤,又x>0,∴0∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是(0,].
17.解析　(1)由題意得|PF1|+|PF2|=3+5=2a,所以a=4.
因?yàn)镻F1⊥F1F2,|PF1|=3,|PF2|=5,
所以|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2,所以|F1F2|2=25-9=16,所以|F1F2|=4,即2c=4,所以c=2.
所以b2=a2-c2=12,所以橢圓C的方程為=1.
(2)設(shè)M(x0,y0),則·|F1F2|·|y0|=2,即,所以|y0|=.
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,所以=1,所以=12,所以x0=±2,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2)或(2)或(-2)或(-2).
能力提升練
1.C 2.B 3.D 4.ACD 5.B 6.B
1.C　由橢圓定義可得|PF2|=2a-|PF1|=10-6=4.
由光學(xué)性質(zhì)可知,PQ為∠F1PF2的平分線,
所以.故選C.
2.B　因?yàn)?1,所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部.記橢圓的右焦點(diǎn)為E,則E(2,0),連接PE,AE,則|PF|+|PE|=2a=4,所以|PF|=4-|PE|,故|PF|+|PA|=4-|PE|+|PA|≤4+|AE|,當(dāng)且僅當(dāng)P是AE的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),所以|PF|+|PA|的最大值為4.故選B.
3.D　易知圓M的圓心為(0,4),半徑為1.
設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為E,則E(-2,0),連接PE,則|PQ|-|PF|=|PQ|-(2a-|PE|)=|PQ|+|PE|-6.
易得|PQ|+|PE|的最小值為|ME|-1=-1,所以|PQ|-|PF|的最小值為-7+2.故選D.
4.ACD　由橢圓方程得a=2,b=,
∴△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2,故A正確;
令x=-,得y=±1,∴|PF1|=1,故B錯(cuò)誤;
設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,由余弦定理得(2-2r1r2cos 60°,∴(r1+r2)2-3r1r2=8,∴r1r2=,
∴×sin 60°=,故C正確;
當(dāng)∠PF1F2=90°時(shí),由B中分析知滿足題意的點(diǎn)P有2個(gè);同理,當(dāng)
∠PF2F1=90°時(shí),滿足題意的點(diǎn)P也有2個(gè);
設(shè)|PF1|=m1,|PF2|=m2,則當(dāng)∠F2PF1=90°時(shí),解得m1=2,m2=2,所以滿足題意的點(diǎn)P也有2個(gè),所以滿足條件的點(diǎn)P共有6個(gè),故D正確.
故選ACD.
5.B　設(shè)M(x,y),N(-x,-y),P(x0,y0),x0≠±x,則y2=b2-
,所以kPM·kPN=
,即.結(jié)合選項(xiàng)知選B.
6.B　設(shè)|F2B|=x(x>0),則|AF2|=2x,|AB|=3x,
|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x.
由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.
在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|F2B|·|F1F2|·
cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4x·cos∠BF2F1①,
在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·
cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8x·cos∠BF2F1②,
由①②得x=,所以2a=4x=2,所以b2=a2-c2=2.所以橢圓的方程為=1.故選B.
7.解析　(1)如圖,設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R.
由題意得,定圓C1的半徑為4,定圓C2的半徑為2,則|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R,②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由橢圓的定義知,點(diǎn)C的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn),2a=6的橢圓的一部分(在C1的內(nèi)部),其軌跡方程為=1(x<2).
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則.
由,得,
所以x1=5x2,y1=5y2-=5y2-18.
由P,Q是軌跡E上的兩點(diǎn),
得(x2<2),所以
所以x1=0,y1=-3,所以P(0,-3),Q(0,3),所以|PQ|=6.
2(共19張PPT)
2.5　橢圓及其方程
知識(shí) 清單破
知識(shí)點(diǎn) 1 橢圓的定義
如果F1,F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),a是一個(gè)常數(shù),且2a>|F1F2|,則平面內(nèi)滿足|PF1|+|PF2|=2a的動(dòng)點(diǎn)
P的軌跡稱為橢圓,其中,兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2稱為橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓
的焦距.
知識(shí)拓展 當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在.
知識(shí)點(diǎn) 2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)位置 在x軸上 在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
性 質(zhì) 焦點(diǎn) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范圍 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
對(duì)稱性 對(duì)稱軸:x軸,y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn) 頂點(diǎn) (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸(線段A1A2)長(zhǎng)為2a,短軸(線段B1B2)長(zhǎng)為2b　　　　　　　　 離心率 e= (0(1)通徑:過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的線段稱為通徑,其長(zhǎng)度為 .
(2)焦點(diǎn)弦(過焦點(diǎn)的弦):焦點(diǎn)弦中通徑最短.
(3)焦半徑:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與焦點(diǎn)F1,F2之間的線段稱為橢圓的焦半徑.記r1=|PF1|,r2=|PF2|,
則:
①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),r1=a+ey0,r2=a-ey0.
(4)距離:橢圓上的所有點(diǎn)中,到給定焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn),分別是離該焦點(diǎn)較遠(yuǎn)和較近的
長(zhǎng)軸的端點(diǎn),且最大距離為a+c,最小距離為a-c.
知識(shí)辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯(cuò)誤的畫“ ” .
1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2間的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡就是橢圓. (　 )
提示

常數(shù)大于|F1F2|時(shí),軌跡是橢圓.
2.橢圓 + =1(a>b>0)中的參數(shù) 不能刻畫橢圓的扁圓程度,而 能刻畫橢圓的扁圓程度.
(　 )

3.橢圓的離心率e越小,橢圓越圓. (　 )
√
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
1.定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
　　根據(jù)橢圓的定義確定a,b的值,結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
如果明確橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為 + =1(a>b>0);
如果明確橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為 + =1(a>b>0);
如果中心在原點(diǎn),但焦點(diǎn)的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上,那么設(shè)所求的橢圓方程為
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
3.利用橢圓的性質(zhì)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程可設(shè)為 + =k1(k1>0)或 + =k2
(k2>0).
(2)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程可設(shè)為 + =1(k典例 求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點(diǎn)在x軸上,a=4,e= ;
(2)焦點(diǎn)在y軸上,c=6,e= ;
(3)短軸的一個(gè)端點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5,焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3;
(4)過點(diǎn)( ,- ),且與橢圓 + =1有相同的焦點(diǎn);
(5)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,且經(jīng)過A( ,-2)和B(-2 ,1)兩點(diǎn).
解析 (1)由a=4,e= = ,知c=2,所以b2=16-4=12.又焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +
=1.
(2)由c=6,e= = ,知a=9,所以b2=81-36=45.又焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
(3)由題意知,a=5,c=3,所以b2=25-9=16,又焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸可為x軸,也可為y軸,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)
方程為 + =1或 + =1.
(4)解法一:因?yàn)樗髾E圓與橢圓 + =1的焦點(diǎn)相同,所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,且c2=25-
9=16.
設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(a>b>0).
因?yàn)閏2=16,且c2=a2-b2,
所以a2-b2=16.①
因?yàn)辄c(diǎn)( ,- )在橢圓上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
解法二:設(shè)所求橢圓的方程為 + =1(λ>-9).
因?yàn)辄c(diǎn)( ,- )在橢圓上,
所以 + =1,化簡(jiǎn)得λ2+26λ+105=0,
解得λ=-5或λ=-21(舍去).
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
(5)設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因?yàn)锳( ,-2)和B(-2 ,1)在橢圓上,
所以
即 解得
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
若橢圓 + =1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)(不與F1,F2
共線),則△PF1F2稱為焦點(diǎn)三角形.
(1)解決焦點(diǎn)三角形問題時(shí),注意對(duì)橢圓的定義、正弦定理、余弦定理、配方法、平面向量
的數(shù)量積及其坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)的運(yùn)用.
(2)焦點(diǎn)三角形的常用公式:
①焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)C=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
③設(shè)P(xP,yP),則焦點(diǎn)三角形的面積S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
疑難 2 橢圓的焦點(diǎn)三角形問題
講解分析
④當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大,此時(shí)滿足cos∠F1PF2=1-2e2.
典例 (多選)已知橢圓C: + =1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M(1,-1),則
下列結(jié)論正確的是 (　 )
A.△PF1F2的周長(zhǎng)為8
B.△PF1F2的面積的最大值為2
C.存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2
D.|PM|+|PF1|的最大值為7
ABD
解析 對(duì)于A,△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2× +2× =8,故A正確;
對(duì)于B,易知當(dāng)P為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),△PF1F2的面積最大,為 ×2× × =2 ,故B正確;
對(duì)于C,易知當(dāng)P為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大,此時(shí)cos∠F1PF2= =
= >0,即∠F1PF2為銳角,所以不存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,易得F2(1,0),點(diǎn)M(1,-1)在橢圓內(nèi),所以|MF2|= =1,所以|PM|+|PF1|=|PM|+6-
|PF2|=6+|PM|-|PF2|≤6+|MF2|=7,故D正確.
疑難 3 橢圓的離心率問題
講解分析
1.求橢圓離心率的兩種常用方法
(1)易求a,c的值時(shí),直接求出并代入e= 求解,有時(shí)要結(jié)合a2=b2+c2求解.
(2)若a,c的值不易求,一般借助a2=b2+c2得出只含a,c的齊次方程,然后將等式兩邊同時(shí)除以a的
最高次冪,從而利用e= 轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程即可.此時(shí)要注意02.求橢圓離心率的取值范圍
根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的不等式,借助a2=b2+c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次不等式,再將不等式兩邊
同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的不等式,解不等式即可求得e的范圍,最后結(jié)合0果.
典例 (1)已知F1為橢圓的左焦點(diǎn),A,B分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),P為橢圓上的點(diǎn),若PF1⊥F1A,
PO∥AB(O為橢圓的中心),則橢圓的離心率為　　　 ;
(2)已知橢圓 + =1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2,
則橢圓的離心率的取值范圍為　　　 .
思路點(diǎn)撥 (1)根據(jù)題意得點(diǎn)P的坐標(biāo) 利用kAB=kOP或△PF1O∽△BOA得關(guān)于a,b,c的等式
求離心率.
(2)由條件列出關(guān)于a,c的不等式,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式,結(jié)合e∈(0,1),得到e的取值范圍.
解析 (1)解法一:由已知可設(shè)橢圓的方程為 + =1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),則F1(-c,0).
∵PF1⊥F1A,
∴P 或P .
∵AB∥PO,
∴P ,kAB=kOP,
即- =- ,
∴b=c,∴a2=2c2,
∴e= = .

解法二:由解法一知P .
易知△PF1O∽△BOA,
∴ = ,
∴ = ,即b=c,∴a2=2c2,
∴e= = .
(2)連接OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
由PF1⊥PF2知△F1PF2是直角三角形,
∴|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,
∴a≤ c,∴e≥ ,
又0基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)
1.(多選題)已知橢圓C:=1(m>0)的焦點(diǎn)在y軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍,則下列說法正確的是(　　)
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6　　　　 B.短軸長(zhǎng)為2
C.焦距為2　　　　D.離心率為
2.已知F1,F2分別為橢圓=1的左、右焦點(diǎn),A為上頂點(diǎn),則
△AF1F2的面積為(　　)
A.6　　　　B.15　　　　C.6
3.橢圓=1與橢圓=1(k<9且k≠0)的(　　)
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等　　　　B.短軸長(zhǎng)相等
C.焦距相等　　　　 D.離心率相等
4.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)A,B在橢圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于x軸時(shí),
△OAB的面積為(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.
5.(多選題)已知F1,F2分別為橢圓=1的左、右焦點(diǎn),M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則下面結(jié)論正確的是(　　)
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1||MF2|的最大值為4
C.∠F1MF2的最大值為60°
D.若動(dòng)直線l垂直于y軸,且交橢圓于A,B兩點(diǎn),P為l上滿足|PA|·|PB|=2的點(diǎn),則點(diǎn)P的軌跡方程為=1或=1
題組二　根據(jù)幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用“逼近法”得到橢圓面積的4倍除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的積.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,其面積為4π,過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B且△F2AB的周長(zhǎng)為16,則橢圓C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.已知P1(1,1),P2(0,1),P3
=1(a>b>0)上,則a=(　　)
A.8　　　　B.6　　　　C.4　　　　D.2
8.過點(diǎn)(2,),焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓=1有相同的離心率的橢圓方程為(　　)
A.=1
C.=1
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),若∠F1PF2
=,且△F1PF2內(nèi)切圓的半徑為1,則橢圓C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
10.已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,左頂點(diǎn)為A,離心率為,過F1的直線與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn)(其中點(diǎn)P在第一象限),且AQ∥PF2,若△AF1Q的周長(zhǎng)為,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　.
11.(給定橢圓C:=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O,半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點(diǎn),P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.
題組三　橢圓的離心率問題
12.已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為(　　)
A.1--1
13.已知橢圓C:=1(a>b>0),F為其左焦點(diǎn),直線y=kx(k>0)與橢圓C交于點(diǎn)A,B(其中點(diǎn)B在第一象限),且AF⊥FB,若∠ABF=30°,則橢圓C的離心率為(　　)
A.-1　　　　
C.
14.已知橢圓C:=1(a>b>0),O為橢圓的對(duì)稱中心,F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),PF⊥x軸,PF與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,△POQ為等腰直角三角形,則橢圓的離心率為(　　)
A.
15.橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若橢圓上存在點(diǎn)Q,使得∠F1QF2=120°,則橢圓的離心率e的取值范圍為(　　)
A.　　　　
C.
16.若2能力提升練
題組　橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線y=kx(k>0)與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)(M在第一象限),若M,F1,N,F2四點(diǎn)共圓,則橢圓C的離心率e的取值
范圍是(　　)
A.[
C.-1]
2.已知兩定點(diǎn)A(-3,0)和B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:y=-x+5上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C的短軸長(zhǎng)的最小值為(　　)
A.2　　　　
C.
3.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上一動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P到焦點(diǎn)的最大距離為2+,則cos∠F1PF2的取值范圍為(　　)
A.
C.
4.已知F1,F2分別是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn)(異于左、右頂點(diǎn)),若存在以c為半徑的圓內(nèi)切于△PF1F2,則橢圓的離心率e的取值范圍是(　　)
A.
5.在焦點(diǎn)在x軸上的橢圓中截得的最大矩形的面積的取值范圍是,則橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A.
C.
6.(多選題)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F2,且|F1F2|=2,點(diǎn) P(1,1)在橢圓內(nèi)部,點(diǎn)Q在橢圓上,則以下說法正確的是(　　)
A.|QF1|+|QP|的最小值為 2a-1
B.橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2
C.橢圓C的離心率e的取值范圍為
D.若,則橢圓 C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
7.已知F為橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為線段OF的垂直平分線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn),若cos∠MOF=,則橢圓C的離心率e=　　　　.
8.已知橢圓=1的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在☉O:x2+y2=3上,且M在第一象限,過點(diǎn)M作☉O的切線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),則△PFQ的周長(zhǎng)為　　　　.
答案與分層梯度式解析
2.5.2　橢圓的幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.ABD 2.D 3.C 4.B 5.BCD 6.A 7.D 8.D
9.A 12.D 13.A 14.B 15.D
1.ABD　由題意得2×3=3×2,解得m=1,故橢圓C的方程為+x2=1,所以a2=9,b2=1,c2=8,所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6,短軸長(zhǎng)2b=2,焦距2c=4,離心率e=.故選ABD.
2.D　由橢圓方程=1,得A(0,3),F1(-
|F1F2|·|yA|=.故選D.
3.C　橢圓=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為6,焦距為8,離心率為.
橢圓=1(k<9且k≠0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,短軸長(zhǎng)為2,焦距為2=8,離心率為.故選C.
4.B　當(dāng)直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)并垂直于x軸時(shí),|AB|=,所以所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4.故選B.
5.BCD　由橢圓方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,
因此F1(-1,0),F2(1,0).
A中,|MF2|max=a+c=3,故A錯(cuò)誤.
B中,|MF1|·|MF2|≤=4,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|時(shí)取等號(hào),故B正確.
C中,當(dāng)點(diǎn)M為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1MF2取得最大值,令M(0,),則
tan =30°,∴∠F1MF2的最大值為60°,故C正確.
D中,設(shè)P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),
∵|PA|·|PB|=2,
∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-|=2,即=x2-2或=x2+2.
又=1或=1,
化簡(jiǎn)得=1或=1,故D正確.故選BCD.
6.A　依題意得=2a·2b,則ab=4,
由題意,結(jié)合橢圓的定義可得4a=16,所以a=4,所以b=,
又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,故橢圓的方程為=1.
7.D　由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱,且P3關(guān)于y軸對(duì)稱,故P3,P4必然同時(shí)在或不在橢圓上.由于四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上,故P3,P4都在橢圓上.
若P1(1,1)在橢圓上,則=1.因?yàn)镻3,P4都在橢圓上,所以=1.兩個(gè)等式矛盾,故P1(1,1)不在橢圓上.
因此P2(0,1),P3三點(diǎn)在橢圓上,故=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故選D.
8.D　設(shè)所求橢圓方程為=λ(λ>0),將(2,)代入可得=λ,即λ=2,所以所求橢圓方程為=1.故選D.
9.A　易知△F1PF2中,內(nèi)切圓半徑r==a-c=1,又離心率
為,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7,所以橢圓C的方程為=1.故選A.
10.答案　=1
解析　由橢圓的離心率為得a=c.
因?yàn)锳Q∥PF2,所以△AF1Q∽△F2F1P,
又,
所以△AF1Q的周長(zhǎng)與△F2F1P的周長(zhǎng)之比為1∶4,
因?yàn)椤鰽F1Q的周長(zhǎng)為,
所以△F2F1P的周長(zhǎng)為10,即2a+2c=10,
又a=c,所以a=3,c=2,所以b2=5,
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
11.解析　(1)由題意知c=,故b==1,故橢圓C的方程為+y2=1,其“準(zhǔn)圓”方程為x2+y2=4.
(2)設(shè)P(m,n)(-≤m≤),則+n2=1.
不妨設(shè)A(2,0),B(-2,0),則=(m+2,n),所以-3,因?yàn)?≤m≤,所以-3∈[-3,-1],
所以的取值范圍是[-3,-1].
12.D　因?yàn)镻F1⊥PF2,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=
c.
由橢圓定義可得|PF1|+|PF2|=(+1)c=2a,所以離心率e=-1.故選D.
13.A　設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為E,連接AE,BE,
易得A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以O(shè)為AB,EF的中點(diǎn),
又AF⊥FB,所以四邊形AEBF為矩形,所以∠BFE=∠ABF=30°,所以|BE|=c,
由橢圓的定義可得|BE|+|BF|=c+c=2a,
故該橢圓的離心率e=-1.故選A.
14.B　不妨設(shè)F(c,0),P(c,y0).
因?yàn)辄c(diǎn)P(c,y0)在橢圓上,所以=1,解得y0=±,不妨取y0=,所以P.
因?yàn)椤鱌OQ為等腰直角三角形,所以|PF|=|OF|,即=c,即a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去).故選B.
15.D　設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,連接BF1,BF2,則|BF1|=|BF2|=a,|OF2|=c.
若橢圓上存在點(diǎn)Q,使得∠F1QF2=120°,則∠F1BF2≥120°,所以∠OBF2≥60°,顯然∠OBF2<90°,所以≤sin∠OBF2<1,即<1,
所以橢圓的離心率e的取值范圍為.故選D.
16.答案　
解析　易得e1=,所以e1e2=,當(dāng)且僅當(dāng)m=4時(shí),等號(hào)成立,又0能力提升練
1.C 2.B 3.B 4.A 5.C 6.ACD
1.C　由橢圓的中心對(duì)稱性和M,F1,N,F2四點(diǎn)共圓,知四邊形MF1NF2為矩形,所以以F1F2為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn),則c>b,所以c2>a2-c2,即2c2>a2,故2.B　設(shè)點(diǎn)A(-3,0)關(guān)于直線l:y=-x+5的對(duì)稱點(diǎn)為A'(x0,y0),則即A'(5,8).
根據(jù)橢圓的定義可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=
,
當(dāng)A',P,B三點(diǎn)共線時(shí),長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a取最小值2,即amin=,又a2=b2+c2且c=3,所以b=,因此橢圓C的短軸長(zhǎng)的最小值為4.故選B.
3.B　由題意知e=,所以a=2,c=,所以b=1,故C的方程為+y2=1.
設(shè)P(2cos θ,sin θ),又F1(-,0),所以-2cos θ,-sin θ),-2cos θ,-sin θ),
所以cos∠F1PF2=.故選B.
4.A　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP).
由題意得×2c×|yP|,
∴(a+c)×c=c×|yP|≤bc,∴a+c≤b,
∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,
∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,∴05.C　設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0).
不妨設(shè)矩形ABCD的對(duì)角線AC所在直線的方程為y=kx(k>0),
由=1,
解得x2=,
所以矩形ABCD的面積S=4|xy|==2ab,當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào).
由題意得b2≤2ab≤b2,則b≤a≤b,即b2≤a2≤b2,即(a2-c2)≤a2≤(a2-c2),所以所以e∈.故選C.
6.ACD　因?yàn)閨F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,當(dāng)點(diǎn)Q在F2P的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào),故A正確;若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,即2b=2,則b2=1,a2=2,所以橢圓的方程為+y2=1,又+12>1,則點(diǎn)P在橢圓外,所以短軸長(zhǎng)不可能為2,故B錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部,所以<1,又a2-b2=1,所以<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=,所以e∈,故C正確;若,則F1為線段PQ的中點(diǎn),所以Q(-3,-1),又點(diǎn)Q在橢圓上,所以=1,又a2-b2=1,所以=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2=,所以a=,所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,故D正確.故選ACD.
7.答案　
解析　設(shè)F(c,0),M,將M代入橢圓C的方程,得=1,即b2.
設(shè)線段OF的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為E(圖略),
則△MOE為直角三角形,
因?yàn)閏os∠MOF=,所以,
設(shè)|OE|==3,則|OM|=7,c=6,
所以|ME|=|y0|=,
所以b2=40,即b2=40,①
又a2-b2=c2=36,所以b2=a2-36,②
把②代入①,得a4-85a2+324=0,
解得a2=81或a2=4(舍去),故a=9,
所以橢圓C的離心率e=.
8.答案　4
解析　由橢圓方程得F(1,0).
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,
則|PF|2=(x1-1)2+
(x1-4)2,
易知x1<2,∴|PF|=2-x1.同理,|QF|=2-x2.
又|PM|2=|OP|2-(,
∴|PM|=x1.同理,|QM|=x2.
∴△PFQ的周長(zhǎng)為2-x1=4.
解題模板　橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為焦半徑,與兩條焦半徑有關(guān)的問題通常用橢圓的定義求解;與一條焦半徑有關(guān)的問題常用焦半徑公式求解,點(diǎn)P(x1,y1)與左焦點(diǎn)F1(-c,0)之間的距離為|PF1|=a+ex1,與右焦點(diǎn)F2(c,0)之間的距離為|PF2|=a-ex1.
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