資源簡介

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2.6　雙曲線及其方程
知識 清單破
知識點 1 雙曲線的定義
一般地,如果F1,F2是平面內的兩個定點,a是一個正常數,且2a<|F1F2|,則平面上滿足||PF1|-|PF2||=
2a的動點P的軌跡稱為雙曲線,其中,兩個定點F1,F2稱為雙曲線的焦點,兩個焦點的距離|F1F2|
稱為雙曲線的焦距.
知識拓展 (1)當2a=|F1F2|時,動點P的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端
點);當2a>|F1F2|時,動點P的軌跡不存在.(2)若將定義中的“||PF1|-|PF2||=2a”改成“|PF1|-|PF2|=
2a”,則動點P的軌跡是雙曲線的一支.
知識點 2 雙曲線的標準方程與幾何性質
1.雙曲線的標準方程與幾何性質
焦點位置 在x軸上 在y軸上
圖形
標準 方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
性 質 焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范圍 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
對稱性 對稱軸:x軸,y軸;對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸長 實軸(線段A1A2)的長:2a; 虛軸(線段B1B2)的長:2b; 實半軸長:a;虛半軸長:b 漸近線 y=± x y=± x
離心率 e= (e>1)
2.等軸雙曲線
　　實軸長和虛軸長相等的雙曲線,稱為等軸雙曲線,其方程為x2-y2=±a2(a>0),離心率e= ,兩
條漸近線互相垂直.
3.雙曲線的其他幾何性質
(1)雙曲線 - =1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離等于b.
(2)通徑:過雙曲線的焦點且垂直于實軸的直線被雙曲線截得的線段稱為雙曲線的通徑,其長
度為 .
(3)若雙曲線 - =1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,當點P在左支上時,|PF1|∈[c-a,+∞),
|PF2|∈[c+a,+∞);當點P在右支上時,|PF1|∈[c+a,+∞),|PF2|∈[c-a,+∞).
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.平面內與兩個定點間的距離的差等于常數的點的軌跡是雙曲線. (　 )

2.雙曲線的離心率越大,開口越大. (　 )
√
3.焦點在x軸上的雙曲線與焦點在y軸上的雙曲線不可能具有共同的漸近線. (　 )

4.雙曲線 - =1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,若|PF1|=5,則|PF2|的值是1或9.
(　 )
提示

雙曲線 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若點P在雙曲線的右支上,可得|PF1|≥a+c=6,若點P在雙曲線的左支上,可得|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得點P在雙曲線的左支上,可得|PF2|-|PF1|=2a=4,即有|PF2|=5+4=9.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 雙曲線的標準方程的求解
1.定義法求雙曲線的標準方程
　　根據雙曲線的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出雙曲線的標準方程.
2.待定系數法求雙曲線的標準方程
　　根據焦點位置,設其方程為 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦點位置不定時,可
設為mx2+ny2=1(mn<0).
3.利用雙曲線的性質確定雙曲線的標準方程
(1)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程可設為 - =λ(λ>0)或 - =λ
(λ>0).
　　注意:已知離心率不能確定焦點位置.
(2)與漸近線有關的雙曲線的標準方程的設法:
①與雙曲線 - =1(a>0,b>0)具有相同漸近線的雙曲線方程可設為 - =λ(λ≠0).
②漸近線方程為ax±by=0(a>0,b>0)的雙曲線方程可設為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
(3)與焦點有關的雙曲線的標準方程的設法:
①與雙曲線 - =1(a>0,b>0)共焦點的雙曲線方程可設為 - =1(-b2<λ②與橢圓 + =1(a>b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設為 + =1(b2<λ典例 求適合下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)a=2 ,經過點(2,-5),焦點在y軸上;
(2)經過點P ,Q ;
(3)與雙曲線 - =1有公共焦點,且過點(3 ,2);
(4)已知雙曲線的焦點在x軸上,離心率為 ,且經過點(-3,2 );
(5)漸近線方程為y=± x,且經過點(2,-3).
解析 (1)設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).
因為a=2 ,且點(2,-5)在雙曲線上,
所以 - =1,解得b2=16.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(2)解法一:若雙曲線的焦點在x軸上,設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
因為點P 和Q 在雙曲線上,
所以 此方程組無實數解.
若雙曲線的焦點在y軸上,設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
因為點P 和Q 在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的標準方程為 + =1(mn<0).因為P,Q兩點在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
(3)解法一:設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).
由題意易求得c=2 .
因為雙曲線過點(3 ,2),所以 - =1.又因為a2+b2=20,所以a2=12,b2=8,
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的標準方程為 - =1(-4得k=4或k=-14(舍去).
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(4)設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).由題意得 解得
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(5)解法一:當焦點在x軸上時,設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .①
因為點(2,-3)在雙曲線上,所以 - =1.②
聯立①②,無解.
當焦點在y軸上時,設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .③
因為點(2,-3)在雙曲線上,所以 - =1.④
聯立③④,解得a2=8,b2=32.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的標準方程為 -y2=λ(λ≠0).因為點(2,-3)在雙曲線上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
雙曲線上一點P(不在坐標軸上)與其兩焦點F1,F2構成的三角形PF1F2稱為焦點三角形.
(1)令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,則
①定義:|r1-r2|=2a.
②余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
③面積公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.
④焦點三角形PF1F2的內切圓圓心的橫坐標恒為定值a或-a.
(2)由三角形的邊角關系(正、余弦定理)和雙曲線的定義等知識可以解決焦點三角形的面
積、周長及有關角、變量的范圍等問題.
疑難 2 雙曲線的焦點三角形問題
講解分析
典例 (1)設F1,F2分別是雙曲線x2- =1的左、右焦點,P是雙曲線上一點,且3|PF1|=4|PF2|,則
△PF1F2的面積為 (　 )
A.4 　 B.8 　 C.24　 D.48
(2)雙曲線 - =1上的點P到一個焦點的距離為11,則它到另一個焦點的距離為 (　 )
A.1或21　 B.14或36　
C.1　 D.21
(3)若F1,F2是雙曲線 - =1的兩個焦點,P是雙曲線上的點,且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積
為　　　　 .
16
C
D
解析 (1)易知點P在雙曲線的右支上.
由題意得 解得
∵|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形,
∴ = |PF1|·|PF2|=24.故選C.
(2)設點P到另一個焦點的距離為m(m>0).
∵點P到一個焦點的距離為11,
∴由雙曲線的定義得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,∴m=1不符合題意,舍去.∴m=21.故選D.
(3)由題意可知a=3,b=4,c= =5.
由雙曲線的定義和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64.
∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 .
疑難 3 雙曲線的離心率問題
講解分析
1.求雙曲線的離心率
(1)易求a,c的值時,直接求出并代入e= 求解,有時要結合c2=a2+b2求解.
(2)構建關于a,c的齊次方程,利用e= 將齊次方程轉化為關于e的方程,解方程即可.注意e>1.
2.求雙曲線離心率的取值范圍
　　利用題設中的條件,構造關于a,b,c的齊次不等式,結合c2=a2+b2求解.解題時注意利用圖形
中的位置關系(如三角形中的邊角關系等).
典例 (1)已知雙曲線 - =1(a>1,b>1)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的
距離與點(-1,0)到直線l的距離之和s≥ c,則雙曲線的離心率e的取值范圍是 (　 )
A.(1, ]　 B.
C.[ ,+∞)　 D.
(2)如圖,已知F1,F2分別為雙曲線C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦點,A為雙曲線的左頂點,以F1
F2為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于M,N兩點,且∠MAN=135°,則該雙曲線的離心率為
(　 )
A. 　 B. 　 C.2　 D.
D
D
解析 (1)易得直線l的方程為 + =1,即bx+ay-ab=0.
由點到直線的距離公式及a>1,b>1,得點(1,0)到直線l的距離d1= ,點(-1,0)到直線l的距
離d2= ,
∴s=d1+d2= = .由s≥ c得 ≥ c,
即5a ≥2c2,即5 ≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得 ≤e2≤5,又e>1,∴ ≤e≤ .故
選D.
(2)易得以線段F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,雙曲線C的一條漸近線方程為y= x.
由 解得 或
不妨設M(a,b),N(-a,-b).
因為A(-a,0),∠MAN=135°,所以∠MAO=45°,又tan∠MAO= ,所以1= ,即b=2a,
所以該雙曲線的離心率e= = .故選D.2.6.2　雙曲線的幾何性質
基礎過關練
題組一　根據雙曲線的方程研究幾何性質
1.若雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則實數m的值為(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.-
2.(多選題)已知雙曲線W:=1,則(　　)
A.m∈(-2,-1)
B.若W的頂點坐標為(0,±),則m=-3
C.W的焦點坐標為(±1,0)
D.若m=0,則W的漸近線方程為x±y=0
3.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的焦點F到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3∶1,則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A.y=±2x
C.y=±x
4.已知F1,F2是雙曲線C:-y2=1的左、右焦點,過F2的直線l與曲線C的右支交于A,B兩點,則△AF1B的周長的最小值為(　　)
A.4
題組二　根據幾何性質求雙曲線的方程
5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為,且雙曲線C上的點到焦點的最小距離為2,則雙曲線C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
6.與雙曲線-y2=1有相同漸近線,且與橢圓+x2=1有共同焦點的雙曲線方程是(　　)
A.x2-=1
C.-x2=1
題組三　雙曲線的離心率問題
7.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的實軸長為4,其焦點到漸近線的距離為,則該雙曲線的離心率為(　　)
A.
8.已知雙曲線=1(b>a>0)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為(　　)
A.2　　　　B.
9.(多選題)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P是雙曲線上一點,若|PF1|=5|PF2|,則該雙曲線的離心率e的值可以是(　　)
A.　　　　D.2
10.已知F1,F2分別為雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點,P是C左支上一點,|PF2|=2|PF1|,若存在點M滿足=0
(O為原點),則C的離心率為　　　　.
能力提升練
題組　雙曲線的幾何性質的綜合應用
1.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M在C上,且MF1⊥MF2,△OMF1的面積為(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為(　　)
A.
2.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左焦點為F1,過F1作傾斜角為30°的直線交雙曲線的右支于點P,且
△POF1(O為坐標原點)為等腰三角形,則該雙曲線的離心率e=(　　)
A.
3.(多選題)如圖,雙曲線C:=1的左、右焦點分別為F1,F2,從右焦點F2發出的光線m交雙曲線的右支于點P,經雙曲線反射后,反射光線n的反向延長線過左焦點F1,則下列說法正確的是(　　)
A.雙曲線C的焦點F2到一條漸近線的距離為4
B.若m⊥n,則|PF1|·|PF2|=32
C.當反射光線n過點Q(7,5)時,光線由F2→P→Q所經過的路程為8
D.若反射光線n所在直線的斜率為k,則|k|∈
4.(多選題)如圖,已知雙曲線C:=1
(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,則(　　)
A.∠AF1B=∠F1AB
B.雙曲線的離心率e=
C.雙曲線的漸近線方程為y=±x
D.原點O在以F2為圓心,|AF2|為半徑的圓上
5.設F1,F2為橢圓C1:=1
(a>b>0)與雙曲線C2:=1(a1>0,b1>0)的公共焦點,兩曲線在第一象限內交于點M,∠F1MF2=60°,若橢圓的離心率e∈,則雙曲線C2的離心率e1的取值范圍為(　　)
A.
C.
6.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的焦點與橢圓=1的焦點重合,離心率互為倒數,設F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,P為右支上任意一點,則雙曲線C的離心率為　 ;
的最小值為　　　　.
答案與分層梯度式解析
2.6.2　雙曲線的幾何性質
基礎過關練
1.C 2.BD 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B 8.A
9.AB
1.C　依題意得,雙曲線的標準方程為y2-=1,即a2=1,b2=-.因為虛軸長是實軸長的2倍,所以b=2a,即b2=4a2,所以-=4,所以m=-.故選C.
2.BD　因為方程表示雙曲線,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,故A錯誤;若W的頂點坐標為(0,±),則-m-1=()2,解得m=-3,故B正確;當m>-1時,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,當m<-2時,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,故C錯誤;當m=0時,雙曲線W的標準方程為-y2=1,則漸近線方程為y=±x,即x±y=0,故D正確.故選BD.
3.D　雙曲線C:=1(a>0,b>0)的焦點在y軸上,其漸近線方程為y=±x.
由題意得c=3a,則b=a,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選D.
4.C　由題意得a=,b=1,所以△AF1B的周長為|F1A|+|F1B|+|AB|=
(2a+|F2A|)+(2a+|F2B|)+|AB|=4a+|F2A|+|F2B|+|AB|=4+2|AB|,所以求△AF1B的周長的最小值就是求|AB|的最小值.
由雙曲線的性質可知AB為通徑時長度最短,為,所以△AF1B的周長的最小值為4.故選C.
5.B　由題意得故雙曲線C的方程為=1.故選B.
6.B　設所求雙曲線方程為=1(a>0,b>0).雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x,所以.橢圓+x2=1的焦點為(0,±),所以c=.
又c2=a2+b2,所以a=1,b=,故雙曲線的方程為y2-=1.故選B.
7.B　由題意可得a=2,一條漸近線方程為bx+ay=0.
設雙曲線的右焦點為F(c,0),則,所以b=,所以c=,所以離心率e=.故選B.
8.A　因為雙曲線的焦點在y軸上,且b>a>0,所以雙曲線的漸近線的傾斜角為,所以,即b2=3a2,所以離心率e==2.故選A.
9.AB　易得P為雙曲線右支上一點,所以由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=5|PF2|,所以|PF2|=a.
易知|PF2|≥c-a,所以2c≤3a,即e=,
又e>1,所以110.答案　
解析　因為,所以M是F1P的中點,又O為F1F2的中點,所以OM∥PF2.
因為=0,所以OM⊥PF1,所以PF1⊥PF2.
設|PF1|=m,則|PF2|=2m,|F1F2|=m,
所以|PF2|-|PF1|=m=2a,即a=,
又|F1F2|=m=2c,即c=m,
所以e=.
能力提升練
1.A 2.A 3.ABD 4.ABC 5.D
1.A　設|MF1|=s,|MF2|=t,則|s-t|=2a,所以s2+t2-2st=4a2.
由MF1⊥MF2,得△OMF1的面積為,即st=.
又s2+t2=4c2,所以2st+4a2=+4a2=4c2,所以c=a,所以e=.故選A.
2.A　解法一:設雙曲線的右焦點為F2,連接PF2,如圖1.
∵點P在雙曲線的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a.
∵△POF1為等腰三角形,∠POF1>90°,
∴|OF1|=|OP|=c,又∠PF1O=30°,∴∠F1PO=30°,
∴∠POF2=60°.
∵|OF1|=|OF2|=|OP|=c,
∴△POF2為等邊三角形,
∴∠F2PO=60°,|PF2|=c,
∴∠F1PF2=∠F1PO+∠F2PO=90°.
在Rt△F1PF2中,|PF2|=c,|F1F2|=2c,
∴|PF1|=c-c=2a,
即(+1.
解法二:如圖2,過點P作PE⊥x軸于點E.
∵△POF1為等腰三角形,∠POF1>90°,
∴|OF1|=|OP|=c,又∠PF1O=30°,∴∠F1PO=30°,
∴∠POE=60°.
在Rt△POE中,|OE|=.
∵點P在雙曲線=1(a>0,b>0)上,
∴=1,即b2c2-3a2c2=4a2b2,
又b2=c2-a2,∴(c2-a2)c2-3a2c2=4a2(c2-a2),即c4-8a2c2+4a4=0,∴+4=0,即e4-8e2+4=0,
解得e2=4±2+1.故選A.
3.ABD　對于A,易知雙曲線的一條漸近線方程為4x+3y=0,F2(5,0),所以雙曲線C的右焦點F2到漸近線的距離為=4,故A正確.
對于B,若m⊥n,則∠F1PF2=90°.
因為點P在雙曲線的右支上,所以|F1P|-|F2P|=6,兩邊平方,得|F1P|2+|F2P|2-2|F1P|·|F2P|=36,即|PF1|·|PF2|=,
由勾股定理得|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2,
所以|PF1|·|PF2|==32,故B正確.
對于C,易知F1(-5,0),光線由F2→P→Q所經過的路程為|F2P|+|PQ|=|F1P|-2a+|PQ|=|F1P|+|PQ|-2a=|F1Q|-2a=-6=7,故C錯誤.
對于D,雙曲線=1的漸近線方程為y=±x.
設雙曲線C的左、右頂點分別為A,B.
易知當光線m與同向時,k最小,為0.
因為點P在雙曲線的右支上,所以|k|<,故|k|∈,故D正確.
故選ABD.
4.ABC　設|AF2|=m,則|BF2|=|AF1|=2m,所以2a=|AF1|-|AF2|=m,
|BF1|=|BF2|+2a=2m+2a=6a,|AB|=|AF2|+|BF2|=6a,所以|BF1|=|AB|,
所以∠AF1B=∠F1AB,故A正確;
因為|AF1|=2m=4a,|BF1|=|AB|=6a,所以在△AF1B中,cos∠F1AB=,
在△AF1F2中,|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|cos∠F1AF2,即4c2=
16a2+4a2-2×4a×2a×,所以,所以e=,故B正確;
由,則,所以漸近線方程為y=±x,故C正確;
若原點O在以F2為圓心,|AF2|為半徑的圓上,則|OF2|=|AF2|,即c=2a,則e==2,與B矛盾,不成立,故D錯誤.故選ABC.
5.D　不妨設F1為左焦點,F2為右焦點,易得
在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1MF2=,所以a2+3-4c2=0,
兩邊同時除以c2,得-4=0,
所以-4=0,
所以.
因為e∈,所以≤e2≤,
所以≤2,所以2≤4-,
所以,
所以,所以≤e1≤.故選D.
6.答案　3;8
解析　設橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則e1=.
因為雙曲線C與橢圓=1的離心率互為倒數,
所以e2=3.①
由題意得c=3.②
又a2+b2=c2,③
所以a=1,b=2,
所以雙曲線C的方程為x2-=1.
因為P為右支上任意一點,所以|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2+|PF2|,所以+|PF2|+4.
因為|PF2|≥c-a=2,
所以+|PF2|+4≥2+4=8,
當且僅當=|PF2|,即|PF2|=2時,等號成立,
所以的最小值為8.
22.6　雙曲線及其方程
2.6.1　雙曲線的標準方程
基礎過關練
題組一　雙曲線的定義及其應用
1.若M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,則動點P的軌跡是(　　)
A.一條射線　　　　B.雙曲線右支
C.雙曲線　　　　 D.雙曲線左支
2.雙曲線C:=1(a>0)的兩個焦點分別是F1,F2,焦距為8,M是雙曲線上一點,且|MF1|=5,則|MF2|等于(　　)
A.9　　　　B.9或1　　　　C.1　　　　D.6
3.設F1,F2分別是雙曲線=1的下、上焦點,P是該雙曲線上一點,且3|PF1|=5|PF2|,則△PF1F2的面積為(　　)
A.14
題組二　雙曲線的標準方程
4.經過點P(-3,2)和點Q(-6,-7)的雙曲線的標準方程是(　　)
A.=1
C.=1
5.與橢圓+y2=1共焦點且過點Q(2,1)的雙曲線的標準方程是　(　　)
A.-y2=1
C.=1
6.已知雙曲線的一個焦點為F1(-,0),點P在該雙曲線上,線段PF1的中點坐標為(0,2),則該雙曲線的標準方程是　　　　　　.
7.在△ABC中,A(-3,0),B(3,0),
3sin B-3sin A=sin C,則頂點C的軌跡方程是　　　　　　.
題組三　雙曲線的標準方程的應用
8.希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中指出:到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線,當01時,軌跡為雙曲線.已知方程m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2表示的曲線是雙曲線,則實數m的取值范圍為(　　)
A.(0,8)　　　　B.(8,+∞)
C.(0,5)　　　　D.(5,+∞)
9.圖1是單葉雙曲面(由雙曲線旋轉形成的立體圖形)型建筑,圖2是其中截面最細附近處的部分圖形,上、下底面與地面平行.現測得下底面直徑AB=20米,上底面直徑CD=20米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD,則最細部分處的直徑為(　　)
　
A.10米　　　　B.20米　　　　C.10米　　　　D.10米
能力提升練
題組一　雙曲線的方程及其應用
1.若橢圓=1與雙曲線=1(a>0)有公共的左焦點F,兩曲線在第一、三象限內的公共點分別為P,Q,則
cos∠PFQ的值為(　　)
A.-
2.已知A(0,4),雙曲線=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是雙曲線右支上一點,則|PA|+|PF1|的最小值為(　　)
A.5　　　　B.7　　　　C.9　　　　D.11
3.已知點P在雙曲線C1:=1上,點Q在圓C2:(x+5)2+y2=1上,點R在圓C3:(x-5)2+y2=1上,則|PQ|-|PR|的最大值是(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.12
4.雙曲線C:=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,A為雙曲線C左支上一點,直線AF2與雙曲線C的右支
交于點B,且|AB|=15,∠F1AF2=,則|AF1|+|AF2|=(　　)
A.　　　　B.26　　　　C.25　　　　D.23
5.(多選題)已知點P在雙曲線=1上,且點P不在x軸上,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,若△PF1F2的面積為20,則下列說法正確的是(　　)
A.點P到x軸的距離為
B.|PF1|+|PF2|=
C.△PF1F2為鈍角三角形
D.∠F1PF2=
6.(多選題)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,且與x軸分別交于點A1,A2,下列說法正確的是(　　)
A.雙曲線C上存在點P,使得|PF1|+|PF2|=2a
B.雙曲線=1(a>0,b>0)的焦點在以F1F2為直徑的圓上
C.雙曲線C上有且僅有4個點P,使得△PF1F2是直角三角形
D.若點P在雙曲線上,且不在x軸上,則
7.(多選題)已知P為雙曲線-y2=1右支上的一個動點(點P不在x軸上),F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,△PF1F2的內切圓圓心為I,過F2作F2A⊥PI,垂足為A,則下列結論正確的是(　　)
A.I的橫坐標為2
B.
C.|OA|=2
D.
8.已知點M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐標系中的兩點,動點P滿足|PM|+|PN|=6.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求點P的坐標.
9.已知點F(0,),直線l:y=,動點P與F的距離與到直線l的距離的比為∶2.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)設點M是軌跡C上一點,在直線y=2x,y=-2x上分別取點A,B,當A,B分別位于第一、二象限時,若,λ∈,求△AOB的面積的取值范圍.
附:在△ABC中,若=(x2,y2),則△ABC的面積為|x1y2-x2y1|.
題組二　雙曲線的實際應用
10.地震定位對地震救援具有重要意義,根據雙臺子臺陣方法,在一次地震發生后,通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上,這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.已知地震臺站A,B在公路l上(l為直線),且A,B相距28 km,地震局以AB的中點為原點O,直線l為x軸,1 km為單位長度建立如圖所示的平面直角坐標系.在一次地震發生后,根據A,B兩站收到的信息,通過計算發現震中P在雙曲線=1(a>0)的右支上,且∠APB=,則P到公路l的距離為(　　)
A. km　　　　B. km　　　　
C. km　　　　D. km
11.如圖所示,B地在A地的正東方向4 km處,C地在B地的北偏東30°方向2 km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點與A的距離比其與B的距離遠2 km.現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B,C兩地轉運貨物.經測算,從M到B,C兩地修建公路的費用都是m萬元/km,求修建這兩條公路的最低總費用.
答案與分層梯度式解析
2.6　雙曲線及其方程
2.6.1　雙曲線的標準方程
基礎過關練
1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 8.C 9.B
1.A　因為|PM|-|PN|=6=|MN|,所以動點P的軌跡是一條射線.
2.A　由題意得2c=8,所以c=4,所以a2=c2-b2=16-12=4,解得a=2.
根據雙曲線定義可得||MF1|-|MF2||=2a=4,
所以|5-|MF2||=4,解得|MF2|=1或|MF2|=9.
當|MF2|=1時,|MF1|+|MF2|=6<8,不合題意;
當|MF2|=9時,|MF1|+|MF2|=14>8,滿足題意.
綜上,|MF2|=9.故選A.
3.D　由題意可知|F1F2|=2×
|PF2|,所以|PF1|=10,|PF2|=6.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,
所以sin∠F1PF2=,
所以△PF1F2的面積S=.故選D.
4.B　設雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),
則
故雙曲線的標準方程為=1.故選B.
5.A　由橢圓的方程可得焦點坐標為(±,0),設與橢圓共焦點的雙
曲線的標準方程為=1(0=1,整理可得m2-8m+12=0,結合06.答案　x2-=1
解析　設雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0),易知c=,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以=1.因為線段PF1的中點坐標為(0,2),F1(-,0),所以點P的坐標為(,4).將(,4)代入雙曲線方程,得=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以雙曲線的標準方程為x2-=1.
7.答案　x2-=1(x>1)
解析　由題意得|AB|=6,
∵3sin B-3sin A=sin C,∴由正弦定理得3|CA|-3|CB|=|AB|,即|CA|-|CB|==2<|AB|,∴C點軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點).所以點C的軌跡方程為x2-=1(x>1).
易錯警示　構成△ABC的前提條件為A,B,C三點不共線,所以求點的軌跡方程時要根據去除的點來限定變量的范圍.
8.C　由題意及m(x2+y2+2y+1)=(2x-y+3)2可知m>0,
所以=|2x-y+3|,
所以,即動點(x,y)到定點(0,-1)的距離與到定直線2x-y+3=0的距離的比為常數.
由題意得>1,即,解得09.B　取DC的中點E,以EG所在直線為y軸,EG的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖所示.
易知D(10,-60).
設雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0),
則所以最細部分處的直徑為2a=20米.故選B.
能力提升練
1.C 2.C 3.C 4.B 5.BC 6.BD 7.ABC 10.D
1.C　設右焦點為F2,則F(-2,0),F2(2,0),a=1.
連接PF2,則|PF|+|PF2|=8,|PF|-|PF2|=2,
故|PF|=5,|PF2|=3,又|FF2|=4,
所以|PF2|2+|FF2|2=|PF|2,
所以PF2⊥FF2,
所以cos∠PFQ=-cos∠FPF2=-.
故選C.
2.C　由雙曲線方程得a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以F1(-3,0),
F2(3,0).連接PF2,AF2,如圖.
則|PA|+|PF1|=|PA|+2a+|PF2|≥|AF2|+2a=+4=9,當且僅當A,P,F2共線時,等號成立.故|PA|+|PF1|的最小值為9.故選C.
3.C　不妨設C1:=1的兩個焦點分別是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8.
易知點F1,F2恰好是兩圓(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圓心,且兩圓的半徑均為1,所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值為(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=
8+2=10.故選C.
4.B　連接BF1,則|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10.
令|BF2|=x,則|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10.
在△ABF1中,cos∠F1AB=,即,解得x=3,故|AF1|=8,則|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故選B.
5.BC　設P(xP,yP).易得c==5,
所以×10×|yP|=20,所以|yP|=4,故A錯誤.
將P(xp,yp)代入=1,得=1,解得|xP|=.不妨取點P的坐標為,易知F2(5,0),則|PF2|=.
由雙曲線的定義得|PF1|=|PF2|+2a=,
所以|PF1|+|PF2|=,故B正確.
在△PF1F2中,因為|PF1|=,所以|PF1|>|F1F2|>|PF2|,
因為cos∠PF2F1=<0,
所以∠PF2F1為鈍角,所以△PF1F2為鈍角三角形,故C正確.
在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,所以∠F1PF2≠,故D錯誤.故選BC.
6.BD　對于A,不妨設|PF1|-|PF2|=2a,與|PF1|+|PF2|=2a聯立,解得|PF1|=2a,|PF2|=0,所以不存在點P,使得|PF1|+|PF2|=2a,故A錯誤;
對于B,易知以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,雙曲線=1(a>0,b>0)的焦點為(0,±c),顯然(0,±c)在圓x2+y2=c2上,故B正確;
對于C,以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2與雙曲線有4個交點,過點F1且垂直于x軸的直線與雙曲線有2個交點,過點F2且垂直于x軸的直線與雙曲線也有2個交點,所以雙曲線C上有且僅有8個點P,使得
△PF1F2是直角三角形,故C錯誤;
對于D,設P(x0,y0),其中x0≠±a,不妨設A1(-a,0),A2(a,0),所以
,所以,故D正確.故選BD.
7.ABC　由雙曲線方程可得a=2,b=1,c=.
設△PF1F2的內切圓在PF1,PF2,F1F2上的切點分別為M,N,T,T(t,0),則2a=|PF1|-|PF2|=|MF1|-|NF2|=|TF1|-|TF2|=2t=4,所以t=2,連接IT,易知IT⊥F1F2,故I的橫坐標為2,A正確.
設△PF1F2的內切圓半徑為r,則
,B正確.
延長F2A,交PF1于點E,由PA平分∠F1PF2,PA⊥AF2,得|PF2|=|PE|,A為F2E的中點,所以2|OA|=|EF1|=|PF1|-|PF2|=4,所以|OA|=2,C正確.
,D錯誤.
故選ABC.
8.解析　(1)設動點P的坐標為(x,y).
∵點M(-2,0),N(2,0)是平面直角坐標系中的兩點,動點P滿足|PM|+|PN|=6>|MN|,
∴點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,設其方程為=1(a>b>0),易知a=3,c=2,∴b2=9-4=5,∴點P的軌跡方程為=1.
(2)在△MPN中,cos∠MPN==
=.
∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,
∴·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,
由得||PM|-|PN||=2<4,
∴點P在以M(-2,0),N(2,0)為焦點的雙曲線-y2=1上,
聯立橢圓與雙曲線方程可得
解得點P的坐標為.
9.解析　(1)設P(x,y),由題意得,兩邊平方并整理,得-x2=1,所以動點P的軌跡C的方程為-x2=1.
(2)設M(x0,y0),A(x3,2x3),B(x4,-2x4),其中x3>0,x4<0,則=(x4-x0,-2x4-y0).
因為,λ∈,
所以
將M(x0,y0)代入-x2=1,得=1,化簡,得x3x4=
-,
所以S△AOB=|x3·(-2x4)-x4·2x3|=2|x3x4|=,
因為λ∈,所以由對勾函數的性質,得2≤λ+,
所以S△AOB=.
故△AOB的面積的取值范圍是.
10.D　由題意得|AB|=28=2c,所以a2+132=c2=196,解得a=8,所以|PA|-|PB|=2a=16.
由余弦定理得|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|·cos=|AB|2,即(|PA|-|PB|)2+3|PA|·|PB|=|AB|2,所以|PA|·|PB|=176,所以S△APB=|PA|
·|PB|·sin.
設P到公路l的距離為h km,則|AB|·h=44,所以h=,即P到公路l的距離為 km.故選D.
11.解析　由題意可得|AB|=4,
以AB的中點為坐標原點,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點與A的距離比其與B的距離遠2 km,可得|MA|-|MB|=2,
因為2<|AB|=4,所以由雙曲線的定義可得,M在以A,B分別為左、右焦點的雙曲線的右支上,且a=1,c=2,∴b=,
∴點M所在的曲線的方程為x2-=1(x>0).
設修建這兩條公路的總費用為s萬元,則s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|
+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,當且僅當A,M,C三點共線時,取等
號.
故修建這兩條公路的最低總費用為(2-2)m萬元.
2

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