資源簡介

2.7.2　拋物線的幾何性質
基礎過關練
題組一　拋物線的幾何性質及其應用
1.若點P在拋物線x2=-12y上,且P到拋物線的準線的距離為d,則d的取值范圍是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.[6,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(6,+∞)　　　　D.(3,+∞)
2.已知等邊三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=4x上,則這個等邊三角形的邊長為(　　)
A.8
3.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,P(x0,
8)是C上一點,且P到F的距離與P到C的對稱軸的距離之差為2,則p=(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.2或4　　　　D.4或36
4.拋物線x2=2py(p>0)與橢圓=1交于A,B兩點,若△AOB的面積為(其中O為坐標原點),則p=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6
5.已知拋物線C1的頂點在坐標原點,焦點F在y軸正半軸上.若點F到雙曲線C2:=1的一條漸近線的距離為2,則C1的標準方程是(　　)
A.y2=x
C.x2=8y　　　　 D.x2=16y
6.焦點為F的拋物線C:y2=2px
(p>0)的對稱軸與準線交于點A,點B在拋物線C上且在第一象限內,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,則直線BF的斜率為(　　)
A.
7.一條光線從拋物線y2=2px(p>0)的焦點F射出,經拋物線上一點B反射后,反射光線經過點A(5,4),若|AB|+|FB|=6,則拋物線的標準方程為　　　　　.
題組二　拋物線的焦點弦問題
8.過拋物線y2=-2x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,且A,B在直線x=上的射影分別為M,N,則∠MFN=(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
9.已知斜率為的直線l經過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,并與拋物線交于A,B兩點,且|AB|=8,則p=( )
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
10.已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,過F作垂直于x軸的直線交拋物線于M,N兩點,以MN為直徑的圓交y軸于C,D兩點,且|CD|=3,則拋物線的標準方程為(　　)
A.y2=2x　　　　 B.y2=2x
C.y2=4x　　　　D.y2=6x
11.(多選題)在直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-1,過C的焦點F作直線FQ交C于P(xP,yP),Q(xQ,yQ)兩點,則(　　)
A.p=2
B.xPxQ=1
C.△OPQ可能是直角三角形
D.以FP為直徑的圓與y軸相切
12.設拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A,B兩點,則的值是　　　　.
能力提升練
題組　拋物線幾何性質的綜合應用
1.(多選題)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點,|OF|=1,過點F的直線與拋物線交于M、N兩點,過點M,N分別作準線l的垂線,垂足為M1,N1,則(　　)
A.拋物線的方程為y2=4x
B.|MM1|+|NN1|=2|MN|
C.|MN|的最小值為4
D.
2.已知過拋物線C:y2=2x的焦點F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點,Q為AB的中點,P為C上一點,則|PF|+|PQ|的最小值為(　　)
A.
3.拋物線有如下光學性質:由其焦點射出的光線經過拋物線反射后,沿平行(或重合)于拋物線對稱軸的方向射出;反之,平行(或重合)于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線y2=4x的焦點為F,O為坐標原點,一束平行于x軸的光線l1從點P(m,n)(n2<4m)射入,經過拋物線上的點A(x1,y1)反射后,再經拋物線上另一點B(x2,y2)反射后,沿直線l2射出,則直線l1與l2間距離的最小值為(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16
4.(多選題)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線l交拋物線C于A,B兩點(點A在x軸的下方),則下列結論正確的是(　　)
A.若|AB|=8,則AB的中點到y軸的距離為4
B.弦AB中點的軌跡為拋物線
C.若,則直線AB的斜率k=
D.4|AF|+|BF|≥9
5.已知F為拋物線C:y2=8x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為　　　　　　.
6.已知直線l過拋物線C:y2=4x的焦點F,與拋物線交于A,B兩點,線段AB的中點為M,過M作MN垂直于拋物線的準線,垂足為N,則的最小值是　　　　.
7.設拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,A為E上一點,已知以F為圓心,FA為半徑的圓F交l于B,D兩點.
(1)若∠BFD=60°,△BFD的面積為,求p的值及圓F的方程;
(2)若點A在第一象限,且A,B,F三點在同一直線l1上,直線l1與拋物線E的另一個交點記為C,且,求實數λ的值.
答案與分層梯度式解析
2.7.2　拋物線的幾何性質
基礎過關練
1.B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.A 8.D 9.C
10.B 11.ABD
1.B　由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范圍是[3,+∞).
2.A　由題意設另兩個頂點的坐標分別為(m>0),則tan 30°=,解得m=4,故這個等邊三角形的邊長為2m=8.故選A.
3.D　因為P(x0,8)是C上一點,所以=16p,所以|x0|=4.
由拋物線的定義可得P到F的距離為8+,而P到C的對稱軸的距離為4,所以8+=2,解得p=4或p=36.故選D.
4.B　由拋物線與橢圓的對稱性知A,B關于y軸對稱,不妨設A(x0>0),
∴S△AOB=,整理得p①,
又點A在橢圓=1上,∴=1②.
由①②得+36=0,解得x0=(負值舍去),
∴p=3.故選B.
5.D　根據題意,得雙曲線C2的漸近線方程是=0,即y=±x.
設拋物線C1的標準方程為x2=2py(p>0),則F.因為拋物線C1的焦點Fx-y=0的距離為2,所以=2,所以p=8,所以C1的標準方程是x2=16y,故選D.
6.A　過B作準線的垂線,垂足為H,作x軸的垂線,垂足為E,如圖所示.
由拋物線的定義可得|BF|=|BH|.
在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,則由正弦定理可得3|AB|=4|BF|,所以|AB|=|BH|,所以|AH|=|BH|.
設直線BF的傾斜角為α,則sin α=,所以tan α=.故選A.
7.答案　y2=4x
解析　拋物線具有光學性質,即從焦點出發的光線經拋物線上一點反射后,反射光線沿平行(或重合)于拋物線對稱軸的方向射出,
∵|AB|+|FB|=6,∴5+=6,∴p=2,∴拋物線的標準方程為y2=4x.
8.D　由題意得2p=-2,即p=-1,因此F,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則M,
則y1y2=-p2=-1,=(1,y2),
所以=1+y1y2=1-1=0,
所以FM⊥FN,故∠MFN=90°.
9.C　解法一:易得F,則直線l的方程為y=,與拋物線方程y2=2px聯立,得3=2px,整理,得3x2-5px+=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+p==8,所以p=3.故選C.
解法二:因為直線l的斜率為,所以直線l的傾斜角θ=.由焦點弦的性質得|AB|= ==8,所以p=3.故選C.
10.B　如圖,連接CF,由題意可知|MN|=2p(p>0),所以圓的半徑為p.在Rt△COF中,=p2,解得p=(負值舍去),所以拋物線的標準方程為y2=2x.故選B.
11.ABD　拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-=-1,解得p=2,故A正確.
設直線PQ的方程為x=ty+1,與y2=4x聯立,得y2-4ty-4=0,所以yPyQ
=-4,所以xPxQ==1,所以=xPxQ+yPyQ=-3<0,所以∠POQ是鈍角,所以△OPQ是鈍角三角形,故B正確,C錯誤.
設FP的中點為M,則M,又,故xM=|PF|,所以以FP為直徑的圓與y軸相切,故D正確.
故選ABD.
12.答案　-
解析　解法一:當直線斜率不存在時,不妨設A,所以
.當直線斜率存在時,設斜率為k,則直線方程為y=k,由可得y2-y-1=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,y1y2=-1,從而x1x2=,所以.
解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2).由題易得p=1,所以x1x2=,y1y2=
-p2=-1,所以.
能力提升練
1.AC 2.B 3.B 4.BCD
1.AC　由題意得F(1,0),所以p=2,所以y2=4x,故A正確;
由拋物線的定義,得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|,
∴|MN|=|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|,故B錯誤;
設直線MN的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由得y2-4my-4=0,則y1+y2=4m,y1y2=-4,
∴x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=4m2+4,
故當m=0時,|MN|min=4,故C正確;
=1,故D錯誤.
故選AC.
2.B　易知F,故直線AB的方程為y=.
由得12x2-20x+3=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,故xQ=.
如圖,過點P作準線x=-的垂線,垂足為D,則|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|.
易知當D,P,Q三點共線,即直線DQ與直線x=-垂直時,|PD|+|PQ|最小,為,所以|PF|+|PQ|的最小值為.故選B.
3.B　由拋物線的光學性質可知,直線AB過拋物線的焦點F(1,0).
設直線AB的方程為x=ty+1,與y2=4x聯立,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4,
所以直線l1與l2間的距離d=|y1-y2|=≥4,所以dmin=4.故選B.
4.BCD　由拋物線的方程得焦點F(1,0),準線方程為x=-1.設A(x1,y1),B(x2,y2),過點A作AA1垂直于直線x=-1,垂足為A1,過點B作BB1垂直于直線x=-1,垂足為B1,則|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6,所以AB的中點到y軸的距離為(x1+x2)=3,故A錯誤.
設直線AB的方程為x=my+1,弦AB的中點為(x0,y0),
由得y2-4my-4=0,則Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,所以y0=2m,x0=my0+1=2m2+1,消去m,得=2x0-2,所以弦AB的中點的軌跡方
程為y2=2x-2,故B正確.
設直線BA交準線x=-1于Q,|FA|=|AA1|=t,|FB|=|BB1|=3t,|AQ|=x,則△QAA1∽△QBB1,所以,即,解得x=2t,故∠A1AQ=
60°,故k=,故C正確.
由拋物線定義知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
又x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
所以=1,
所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)≥5+
2=9,當且僅當,即|BF|=2|AF|時取等號,故D正確.
故選BCD.
5.答案　32
解析　易知F(2,0),設直線l1的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,所以x1+x2=4+.
易得直線l2的方程為y=-(x-2).
設D(x3,y3),E(x4,y4),同理,得x3+x4=4+8k2.
由拋物線的定義得|AB|+|DE|=x1+x2+p+x3+x4+p=4++8k2.
因為+8k2≥2=16,當且僅當k=±1時,等號成立,所以|AB|+|DE|≥32.
6.答案　4
解析　由題意設直線l的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==1+2m2,故M(1+2m2,2m).
易得準線方程為x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|,
所以≥2,當且僅當,即|AB|=8時取等號.
7.解析　(1)焦點到準線l的距離為p,
∵|BF|=|FD|,∠BFD=60°,
∴△BFD為等邊三角形,∴|BF|=p,
∴S△BFD=|BF|2sin 60°=,∴p=2,
則|BF|=,又圓心為F(1,0),
∴圓F的方程為(x-1)2+y2=.
(2)當A,B,F三點共線時,∵|AF|=|BF|=|DF|,∴∠BDA=,
∴|AD|=|AF|=|AB|,∴∠DBA=,
∴直線l1的傾斜角為,
不妨設直線l1的方程為x=,A(x1,y1),C(x2,y2),
由得y2-py-p2=0,
又
∴,∴3λ2-10λ+3=0,
∴λ=3或λ=,
又|AF|=|BF|>p,∴x1>.
2(共16張PPT)
2.7　拋物線及其方程
知識 清單破
知識點 1 拋物線的定義
　　一般地,設F是平面內的一個定點,l是不過點F的一條定直線,則平面上到F的距離與到l的
距離相等的點的軌跡稱為拋物線,其中定點F稱為拋物線的焦點,定直線l稱為拋物線的準線.
知識拓展 拋物線定義中,若定點F在定直線l上,則軌跡不是拋物線,而是過點F且垂直于l的
一條直線.
知識點 2 拋物線的標準方程與幾何性質
標準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
焦點坐標
頂點坐標 (0,0) 準線方程 x=- x= y=- y=
對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
離心率 e=1
知識點 3 拋物線的焦點弦
1.焦點弦
過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.
2.通徑
過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的通徑,拋物線的
通徑長為2p,是所有焦點弦中長度最短的弦.
3.有關拋物線焦點弦的結論
如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在準線上
的射影分別為A',B',直線AB的傾斜角為θ,則有:

(1)|AB|=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF,BF為直徑的圓與y軸相切;
(6)以AB為直徑的圓與準線相切;
(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡一定是拋物線. (　 )

2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,且其焦點坐標是 ,準線方程為x=
. (　 )
提示

將方程y=ax2(a≠0)化成標準形式為x2= y,其表示焦點在y軸上的拋物線,且其焦點坐標是
,準線方程為y=- .
3.在拋物線y2=2px(p>0)中,p值越大,拋物線的開口越大,p值越小,開口越小. (　 )
√
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 拋物線標準方程的求解
求拋物線標準方程的兩種常用方法
(1)定義法:先判斷所求點的軌跡是否符合拋物線的定義,若符合,再根據定義求出方程.
(2)待定系數法:先設出拋物線的方程,再根據題中條件確定參數的值.
　　當拋物線的焦點位置不確定時,可設方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可以減少討
論不同情況的次數.
典例 根據下列條件分別求出拋物線的標準方程.
(1)準線方程為y= ;
(2)焦點在y軸上,焦點到準線的距離為5;
(3)經過點(-3,-1).
解析 (1)由題意可得,拋物線的準線與y軸正半軸相交,故設拋物線的標準方程為x2=-2py(p>
0),則 = ,解得p= ,故拋物線的標準方程為x2=- y.
(2)已知拋物線的焦點在y軸上,可設拋物線的方程為x2=2my(m≠0),
由焦點到準線的距離為5,可得|m|=5,即m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,標準方程分別為
x2=10y和x2=-10y.
(3)因為點(-3,-1)在第三象限,所以設拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).
若拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0),則由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若拋物線的標準方程為x2=-2p2y(p2>0),則由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故拋物線的標準方程為y2=- x或x2=-9y.
疑難 2 拋物線定義的應用
講解分析
1.利用定義解決與拋物線有關的軌跡問題
　　先將幾何條件轉化,其關鍵是根據幾何性質,將幾何條件轉化為拋物線的定義:動點到定
點的距離等于到定直線的距離,且定點不在定直線上;再利用拋物線的定義寫出標準方程.
2.拋物線的定義主要用來進行拋物線上的點與焦點之間的距離及到準線的距離的轉化,通過
轉化可以求最值、參數、距離.
典例 (1)(多選)已知點F是拋物線C:y2=12x的焦點,點P是拋物線C上一點,M(4,3),則下列說法正
確的是 ( 　 )
A.拋物線C的準線方程為x=-3
B.若|PF|=7,則△PMF的面積為2 -
C.|PF|-|PM|的最大值為
D.△PMF的周長的最小值為7+
(2)已知動圓M與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,則動圓圓心M的軌跡方程為　
　 .
ACD
x2=-12y
解析 (1)由y2=12x得p=6,∴拋物線C的準線方程為x=-3,故A正確.
根據拋物線的定義得|PF|=xP+ =xP+3=7,解得xP=4,當xP=4時,yP=±4 .∵M(4,3),∴PM∥y軸.
若P(4,4 ),則|PM|=4 -3,△PMF的底邊PM上的高為1,故S△PMF= ×(4 -3)×1=2 - ;若P(4,
-4 ),則|PM|=4 +3,△PMF的底邊PM上的高為1,故S△PMF= ×(4 +3)×1=2 + ,故B錯誤.
易知F(3,0),∵|PF|-|PM|≤|MF|,
∴(|PF|-|PM|)max=|MF|= = ,故C正確.
過點P作PD⊥準線于點D(圖略),則△PMF的周長為|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|PF|+ =|PM|+|PD|+ ,顯然當點P,M,D位于同一條直線上時,|PM|+|PD|最小,為|MD|=7,故△PMF的周長的最小
值為7+ ,故D正確.故選ACD.
(2)設動圓圓心M(x,y).由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.
由拋物線的定義可知,動圓圓心M的軌跡是以C(0,-3)為焦點,y=3為準線的拋物線,其方程為x2=-12y.
疑難 3 拋物線的焦點弦問題
講解分析
1.解決拋物線焦點弦問題的關鍵是熟記有關焦點弦的結論,并靈活運用.有關焦點弦的諸多結
論實質是利用拋物線的定義并結合相關知識推出的.
2.知識點3中有關焦點弦的結論都是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,但在實際應用
中,有些拋物線的方程可能不是這種形式,這時相關結論會隨之變化,不能盲目套用.
典例 已知拋物線y2=4x,經過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且|MF|
=3|NF|,則k=　　　 .
解析 解法一:過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S(圖略).
設|NF|=m(m>0),則|MF|=3m.
由拋物線的定義得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
則sin∠MNS= = ,所以∠MNS=30°,
故直線l的傾斜角為60°,所以k=tan 60°= .
解法二:設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ .
由于|MF|= ,|NF|= ,
且|MF|=3|NF|,所以 = ,
解得cos θ= ,所以θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:在拋物線y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因為|MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .
設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
所以 = ,解得sin θ= (負值舍去),
所以θ= ,故k=tan θ= .2.7　拋物線及其方程
2.7.1　拋物線的標準方程
基礎過關練
題組一　拋物線的定義及其應用
1.已知動點P(x,y)滿足5=|3x+4y-7|,則動點P的軌跡是(　　)
A.直線　　　　B.橢圓　　　　C.雙曲線　　　　D.拋物線
2.已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,準線為l,點P在C上,直線PF交x軸于點Q,若,則點P到準線l的距離為(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
3.已知拋物線C:y2=x的焦點為F,準線為l,A為拋物線C上的點,過A作l的垂線,垂足為B,|BF|=1,則∠BAF=( )
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
4.已知拋物線y2=2x的焦點為F,點P是拋物線上的動點.
(1)若A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值及此時點P的坐標;
(2)求點P與點B之間的距離與點P到直線x=-的距離之和的最小值.
題組二　拋物線的標準方程及其應用
5.拋物線x2=ay的準線方程為y=-2,則該拋物線的焦點坐標為(　　)
A.(2,0)　　　　B.(0,2)　　　　C.(0,4)　　　　D.(0,-4)
6.焦點在y軸上,且過點P(-2,3)的拋物線的標準方程是(　　)
A.y2=-x
C.x2=y
7.若點P與點(2,0)的距離比它到直線x+3=0的距離小1,則點P的軌跡方程是(　　)
A.y2=8x　　　　B.y2=-8x
C.x2=8y　　　　D.x2=-8y
8.(多選題)已知拋物線C的焦點在直線x-2y+3=0上,則拋物線C的標準方程為(　　)
A.y2=12x　　　　B.y2=-12x　　　　C.x2=-6y　　　　D.x2=6y
9.某農場為節約用水,設計了如下噴灌技術,噴頭裝在管柱OA的頂端A處,噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀,如圖所示.現要求水流最高點B離地面4 m,點B到管柱OA所在直線的距離為3 m,且水流落在地面上后形成一個以O為圓心,7 m為半徑的圓,則管柱OA的高度為(　　)
A. m　　　　B. m　　　　C. m　　　　D. m
能力提升練
題組一　拋物線的定義及其應用
1.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,其準線與x軸的交點為A,點P在拋物線C上,且PA⊥PF,則|PF|=(　　)
A.
2.設F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三點,若=0,則||=(　　)
A.6　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2
3.已知A(4,5),拋物線x2=8y的焦點為F,P為拋物線上與直線AF不共線的點,則△PAF周長的最小值為(　　)
A.18　　　　B.13　　　　C.12　　　　D.7
4.已知Q為拋物線C:y2=4x上的動點,動點M滿足到點A(2,0)的距離與到點F(F是C的焦點)的距離之比為,則|QM|+|QF|的最小值是(　　)
A.3-　　　　D.4
題組二　拋物線的標準方程及其應用
5.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B,交拋物線的準線于點C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,則此拋物線的標準方程為(　　)
A.y2=9x　　　　B.y2=6x　　　　
C.y2=3x　　　　D.y2=x
6.已知拋物線C:y2=4x,P為C上一點,
A(-2,0),B(2,0),當最小時,點P到坐標原點O的距離為(　　)
A.2　　　　D.8
7.設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P在拋物線C上,|FP|=10,若以FP為直徑的圓過點(0,3),則p的值為(　　)
A.4或9　　　　B.4或18　　　　C.2或18　　　　D.2或9
8.設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過焦點的直線交拋物線于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線,垂足為C,D.若|AF|=3|BF|,且△CDF的面積為,則p=　　　　.
9.汽車前照燈的反射鏡為一個拋物面,它由拋物線沿它的對稱軸旋轉一周形成.通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,其中燈泡位于拋物面的焦點上,由燈泡發出的光經反射鏡反射后形成平行光束,再經過透鏡的折射等作用達到照亮路面的效果.如圖,從燈泡發出的光線FP經拋物線y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分線PM交x軸于點M,直線PM的方程為2x+y-12=0,則拋物線的方程為　　　　.
答案與分層梯度式解析
2.7　拋物線及其方程
2.7.1　拋物線的標準方程
基礎過關練
1.D 2.B 3.C 5.B 6.C 7.A 8.BD 9.B
1.D　由5=|3x+4y-7|,得,即動點P(x,y)到定點(2,1)的距離與到定直線3x+4y-7=0的距離相等,又點(2,1)不在直線3x+4y-7=0上,所以動點P的軌跡為拋物線.故選D.
2.B　如圖,過點P作x軸的垂線,垂足為N,由題意得F(0,1),l:y=-1,則|OF|=1.
易得△QOF∽△QNP,則,
因為,所以,
所以|NP|=4,所以點P到準線l的距離為|NP|+1=5.故選B.
3.C　設準線l與x軸交于點M.
易知|FM|=,又|BF|=1,所以∠BFM=60°,所以∠FBA=60°.
由拋物線的定義,知|AB|=|AF|,
所以△ABF為等邊三角形,所以∠BAF=60°.
故選C.
4.解析　(1)過點P作PQ垂直于拋物線的準線l:x=-,垂足為Q(圖略).
由拋物線的定義知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
∴當A,P,Q三點共線時,|PA|+|PQ|的值最小,最小值為,故|PA|+|PF|的最小值為,此時點P的縱坐標為2,代入y2=2x,得x=2,
∴點P的坐標為(2,2).
(2)易知F.
設點P到準線l:x=-的距離為d.
由拋物線的定義,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,
當且僅當B,P,F三點共線(P在線段BF上)時取等號.
∵|BF|==2,
∴所求距離之和的最小值為2.
5.B　由題意得拋物線的焦點在y軸的正半軸上,所以拋物線的標準方程為x2=8y,所以拋物線的焦點坐標為(0,2).故選B.
6.C　由題意設拋物線的標準方程是x2=2py(p>0),將(-2,3)代入,得4=6p,解得p=,所以拋物線的標準方程是x2=y.故選C.
7.A　由題意得,點P與點(2,0)的距離與它到直線x+2=0的距離相等,故點P在以(2,0)為焦點,直線x=-2為準線的拋物線上,故其軌跡方
程為y2=8x.故選A.
8.BD　易知直線x-2y+3=0與坐標軸的交點分別為(-3,0),.
當焦點為(-3,0)時,拋物線方程為y2=-12x;
當焦點為時,拋物線方程為x2=6y.
故選BD.
9.B　以B為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖所示.
記BM⊥OC且垂足為M,過點A作AD⊥y軸于點D.
設拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0).
由題意可知,|AD|=3 m,|BM|=4 m,|OC|=7 m,
所以|MC|=|OC|-|AD|=7-3=4 (m),所以C(4,-4),
將C(4,-4)代入拋物線方程,得16=-2p×(-4),解得p=2,所以拋物線的標準方程為x2=-4y.
設A(-3,y0),易知點A(-3,y0)在拋物線上,
所以9=-4y0,解得y0=-,所以|BD|= (m),
所以|OA|=|DM|=|BM|-|BD|=4-(m),
所以管柱OA的高度為 m.故選B.
能力提升練
1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7.C
1.C　易得F(1,0),準線方程為x=-1,A(-1,0).
設P,則.
因為PA⊥PF,所以=0,所以-8,所以點P的橫坐標為-2.
由拋物線的定義可得|PF|=-1.故選C.
2.A　設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).
由題意得拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.
因為=0,所以點F是△ABC的重心,故x1+x2+x3=3,則||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.故選A.
3.C　由題意得F(0,2),準線方程為y=-2.過P作PP1垂直于準線,交準線于P1,過A作AA1垂直于準線,交準線于A1,根據拋物線的定義可知|PF|=|PP1|.
因為A(4,5),所以|AF|==5,|AA1|=5-(-2)=7,
所以△PAF的周長C=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+|AA1|
=5+7=12,當且僅當A,P,P1三點共線時,等號成立.故選C.
4.B　由題意得F(1,0).
過點Q作QS垂直于準線于點S,則|QF|=|QS|,
設M(x,y),則,整理得(x-3)2+y2=2,所以點M的軌跡是以(3,0)(記為B)為圓心,為半徑的圓.
所以|QM|+|QF|=|QB|-+|QS|,所以當S,Q,M,B四點共線時,|QM|+|QF|最小,(|QM|+|QF|)min=1+3-.故選B.
5.B　如圖,分別過點A,B作準線的垂線,垂足為E,D.設準線與x軸交于點G,|BF|=a,則|BC|=2a.
由拋物線的定義得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.
在Rt△ACE中,易知|AE|=|AF|=6,2|AE|=|AC|,|AC|=|AF|+|FC|=6+3a,所以6+3a=12,解得a=2,所以|FC|=3a=6,所以p=|FG|=|FC|=3,
因此拋物線的標準方程為y2=6x.故選B.
6.C　設P(m,n),則4m=n2,所以.
當m=0時,=1;
當m>0時,,
當且僅當m=,即m=2時取等號,所以.
綜上,,此時P(2,±2),
所以|OP|=.故選C.
7.C　易得F.
設P(x,y),由拋物線的定義知|PF|=x+=10,解得x=10-,又以FP為直徑的圓的圓心是FP的中點,所以圓心的橫坐標為=5.
因為|FP|=10,所以圓的半徑為5,又以FP為直徑的圓過點(0,3),所以該圓與y軸相切于點(0,3),故圓心的縱坐標為3,則點P的縱坐標為6,即P,將其代入拋物線方程得p2-20p+36=0,解得p=2或p=18.
8.答案　
解析　過點B作BM∥l,交直線AC于點M,交x軸于點N,
設A(x1,y1),B(x2,y2).
由|AF|=3|BF|,得x1+,即x1-3x2=p.①
因為NF∥AM,所以,所以|NF|=(x1-x2),
所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+.②
由①②解得x1=.
在Rt△ABM中,|AB|=x1+x2+p=,所以|BM|=,
所以S△CDF=,
解得p=或p=-(舍去),即p=.
9.答案　y2=4x
解析　設P,因為點P在直線PM上,所以+y0=12①.因為PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因為PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又|PF|=,所以6-②,由①②可得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.
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