資源簡介

2.8　直線與圓錐曲線的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與橢圓的位置關系
1.已知直線l:y=x+與橢圓C:=1(b>0)相切,則橢圓C的離心率e=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.
2.直線y=x+m與橢圓+y2=1交于A,B兩點,若|AB|=,則實數m的值為(　　)
A.±　　　　D.±2
3.經過橢圓+y2=1的一個焦點作傾斜角為45°的直線l,交橢圓于A,B兩點.設O為坐標原點,則等于(　　)
A.-3　　　　 B.-　　　　
C.-或-3　　　　D.±
4.已知橢圓C:+y2=1,直線l:x-y-4=0,則橢圓C上的點到直線l的距離的最大值是(　　)
A.
C.
5.若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓=1總有公共點,則實數m的取值范圍為　　　　.
6.已知橢圓E:=1(a>b>0)的離心率是,
點M(,1)是其上一點,過點P(0,1)的直線l與橢圓相交于A,B兩點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)已知O為坐標原點,當直線l的斜率為1時,求△AOB的面積.
題組二　直線與雙曲線的位置關系
7.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,則實數k的取值范圍是(　　)
A.(-)
C.(-)　　　　 D.(-1,1)
8.(多選題)若直線y=2x-1與雙曲線x2-=1有且只有一個公共點,則m的值為(　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.10
9.過雙曲線x2-=1的左焦點F作傾斜角為的直線,與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|=　　　　.
10.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,雙曲線C的右頂點A在圓O:x2+y2=2上,且=-2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)動直線l與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,N,問:△OMN的面積是不是定值 若是定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.
題組三　直線與拋物線的位置關系
11.若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有(　　)
A.1條　　　　B.2條　　　　C.3條　　　　D.4條
12.已知雙曲線E:-y2=1,若拋物線y2=2px(p>0)的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為,過拋物線的焦點且傾斜角為的直線與拋物線交于A,B兩點,則|AB|=(　　)
A.16
13.已知拋物線E:x2=4y和圓F:x2+(y-1)2=1,過點F的直線l與上述兩曲線自左而右依次交于點A,C,D,B,則|AC|·|BD|=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.
14.設直線y=k(x-2)(k>0)與拋物線y2=2x相交于A,B兩點,若|AB|=2,則k的值為　　　　.
15.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,斜率為1的直線l與C在第一、四象限的交點分別為A,B,與x軸的交點為P.
(1)當|AF|+|BF|=10時,求點P的坐標;
(2)設,若|AB|=12,求λ的值.
能力提升練
題組一　中點弦問題
1.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的右焦點為F(5,0),過點F的直線交雙曲線E于A,B兩點.若AB的中點坐標為(6,-2),則E的方程為(　　)
A.=1
C.=1
2.已知橢圓C:=1(a>b>0)的長軸長為4,直線x+2y-3=0與橢圓C交于A,B兩點,若線段AB的中點為M(1,1),則橢圓C的方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.=1
C.=1
3.已知斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0),則斜率k的取值范圍是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1]
C.(1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
4.已知橢圓H:=1,三角形ABC的三個頂點都在橢圓H上,設邊AB,BC,AC的中點分別為D,E,M,三條邊所在直線的斜率分別為k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不為0,O為坐標原點.若直線OD,OE,OM的斜率之和為1,則=　　　　.
5.已知橢圓C:=1與直線y=2x+m.
(1)若直線y=2x+m與橢圓交于A,B兩點,求AB中點的軌跡方程;
(2)若橢圓上存在兩點C,D關于直線y=2x+m對稱,求實數m的取值范圍.
題組二　最值與范圍問題
6.過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設P為拋物線上的一個動點,Q(1,2).若
,則|PF|+|PQ|的最小值是(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
7.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),若點P在雙曲線C的漸近線上,且|PF1|=|PF2|,則△PF1F2面積的最大值為　　　　,實數a的最小值為　　　　.
8.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線C:-y2=1的左、右焦點分別為F1,F2.
(1)若直線l過點Q(-1,0),且與雙曲線C的左支、右支各有一個交點,求直線l的斜率k的取值范圍;
(2)若點P為雙曲線C上一點,求的最小值.
9.已知橢圓E:=1(a>b>0)的離心率為,且過點,A為左頂點,B為下頂點,點P為橢圓上一點且在第一象限,PA交y軸于點C,PB交x軸于點D.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)求△PCD的面積的最大值.
題組三　定值與定點問題
10.已知橢圓=1上的兩個動點P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1+x2=2.若線段PQ的垂直平分線經過一個定點,則此定點坐標為(　　)
A.　　　　B.(1,0)　　　　C.(2,0)　　　　D.(-1,0)
11.如圖,已知直線l:y=k與拋物線C:y2=2px(p>0)交于不同的兩點M,N,且當k=時,拋物線C的焦點F到直線l的距離為,過點M的直線交拋物線于另一點Q,且直線MQ過點(1,-1),則直線NQ過點(　　)
A.(1,-4)　　　　B.(1,2)　　　　
C.(2,0)　　　　 D.(2,-4)
12.過點P的直線交橢圓C:+y2=1于E,F兩點,則的值為　　　　　.
13.已知橢圓C:=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點P為直線x=4上的動點,過點P的動直線l與橢圓C相交于A,B兩點,在線段AB上取點Q,滿足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,證明:點Q的軌跡過定點.
題組四　探索性問題
14.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率e=,其右焦點F到直線x+y+2=0的距離為2.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若點A為橢圓C的上頂點,是否存在斜率為k的直線l,使l與橢圓C交于不同的兩點M,N,且|AM|=|AN| 若存在,求出實數k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
15.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)經過點(2,3),一條漸近線的傾斜角為60°,直線l交雙曲線于A,B兩點.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若l過原點,P為雙曲線上異于A,B的一點,且直線PA,PB的斜率kPA,kPB均存在,求證:kPA·kPB為定值;
(3)若l過雙曲線的右焦點F1,在x軸上是否存在點M(m,0),使得直線l繞點F1無論怎樣轉動,都有=0成立 若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.8　直線與圓錐曲線的位置關系
基礎過關練
1.B 2.B 3.B 4.A 7.D 8.AB 11.C 12.A
13.A
1.B　由得(b2+4)x2+8x+28-4b2=0,
則Δ=(8)2-4(b2+4)(28-4b2)=16b2(b2-3)=0,解得b2=3或b2=0(舍去),
所以c2=a2-b2=1,所以e=.故選B.
2.B　設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,則x1+x2=-,所以|AB|=,解得m=±1.故選B.
3.B　由+y2=1,得a2=2,b2=1,則c2=a2-b2=1,則焦點坐標為(±1,0).
不妨設直線l過右焦點,因為l的傾斜角為45°,
所以直線l的方程為y=x-1,將其代入+y2=1中,得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=0,x1+x2=,
所以y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=-,
故.
4.A　設與l:x-y-4=0平行的直線為l':x-y+m=0(m≠-4).
由得5x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=64m2-20(4m2-4)=0,得m=±.
當m=時,直線l':x-y+=0,此時兩平行線間的距離為.
當m=-時,直線l':x-y-=0,此時兩平行線間的距離為.
故橢圓上任意一點到直線l的距離的最大值為.故選A.
5.答案　1≤m<5
解析　由題意得0因為直線y=kx+1過定點(0,1),設為P,且直線與橢圓=1總有公共點,所以點P在橢圓上或在橢圓的內部,即≤1,解得m≥1.
所以1≤m<5.
6.解析　(1)由題意得
所以橢圓E的方程為=1.
(2)易得直線l的方程為y=x+1.
設A(x1,y1),B(x2,y2).由得3x2+4x-2=0,
則Δ=42-4×3×(-2)=40>0,x1+x2=-,
所以|AB|=,
又O(0,0)到直線l的距離d=,
所以S△AOB=.
7.D　當直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時,k=±1,此時直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點.
因為直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,所以實數k的取值范圍為(-1,1).故選D.
8.AB　由消去y并整理,得(4-m)x2-4x+m+1=0,因為直線與雙曲線只有一個交點,所以直線與雙曲線的漸近線平行或與雙曲線相切.
①當直線與雙曲線的漸近線平行時,4-m=0,即m=4;
②當直線與雙曲線相切時,4-m≠0,Δ=16-4(4-m)·(m+1)=4m2-12m=0,解得m=3或m=0(舍去).
故選AB.
9.答案　3
解析　依題意得雙曲線的左焦點F的坐標為(-2,0),直線AB的方程為y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,
所以|AB|=
==3.
10.解析　(1)設雙曲線C的半焦距為c(c>0),
由點A(a,0)在圓O:x2+y2=2上,可得a=,
由,0)·(c-,0)=2-c2=-2,
解得c=2(負值舍去),所以b2=c2-a2=2,
故雙曲線C的標準方程為=1.
(2)△OMN的面積是定值.
設直線l與x軸相交于點D,易知雙曲線C的漸近線方程為y=±x,
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=±
,所以S△OMN=·|MN|·|OD|=2.
當直線l的斜率存在時,設其方程為y=kx+m,則k≠0,D,
把直線l的方程與雙曲線C的方程聯立,可得(k2-1)x2+2kmx+m2+2=0,
由于直線l與雙曲線C有且只有一個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別相交,所以直線l與雙曲線的漸近線不平行,
所以k2-1≠0且m≠0,
所以
可得m2=2(k2-1)>0,解得k>1或k<-1,
不妨設點M在漸近線y=x上,點N在漸近線y=-x上,M(x1,y1),
N(x2,y2),
由解得y1=,同理可得y2=,
所以S△OMN=·|OD|·|y1-y2|==2.
綜上所述,△OMN的面積恒為定值2.
11.C　當直線l的斜率不存在時,直線l:x=0與拋物線y2=2x有且只有一個交點;
當直線l的斜率為0時,直線l:y=2與拋物線y2=2x有且只有一個交點;
當直線l的斜率存在且不為0時,若直線l與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,則直線與拋物線相切,設直線方程為y=kx+2(k≠0),代入拋物線方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直線方程為y=x+2.
綜上,滿足條件的直線l共有3條.故選C.
12.A　易得拋物線y2=2px(p>0)的焦點為,雙曲線E:-y2=1的一條漸近線方程為x-y=0,所以,解得p=4,所以拋物線的標準方程為y2=8x,直線AB的方程為y=x-2.
由得x2-12x+12=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=12,所以|AB|=x1+x2+p=12.故選A.
13.A　易得F(0,1).
當直線l的斜率為0時,|AC|=|BD|=1,所以|AC|·|BD|=1.
當直線l的斜率不為0時,設直線方程為x=m(y-1),
由得m2y2-(2m2+4)y+m2=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=1.
由拋物線的定義可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AC|=y1,|BD|=y2,所以|AC|·|BD|=y1y2=1.
故選A.
14.答案　1
解析　設A(x1,y1),B(x2,y2),
將y=k(x-2)代入y2=2x,得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
所以Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,x1+x2=,x1x2=4.
所以|AB|=,化簡得(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,又k>0,故k=1.
15.解析　(1)設P(m,0)(m>0),則l:y=x-m,
與y2=4x聯立,得x2-(2m+4)x+m2=0,
所以Δ=(2m+4)2-4m2=16(m+1)>0,即m>-1.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2m+4,x1x2=m2.
因為|AF|+|BF|=x1+x2+2=10,所以x1+x2=2m+4=8,解得m=2,
故點P的坐標為(2,0).
(2)由(1)可知x1+x2=2m+4,x1x2=m2,所以|AB|=,解得m=8,所以l:y=x-8.
聯立
則A(16,8),B(4,-4),P(8,0),
所以=(-4,-4),
所以,故λ=2.
能力提升練
1.D 2.B 3.C 6.C 10.A 11.A
1.D　設A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減,得,所以,
化簡得3b2=2a2,又c=5,c2=a2+b2,
所以a2=15,b2=10,所以雙曲線的方程為=1.故選D.
2.B　由題意得kAB=-.設A(x1,y1),B(x2,y2),
則=1②,
①-②,得=0,
∴,∴a2=2b2,
又2a=4,∴a=2,即a2=4,∴b2=2,
故橢圓C的方程為=1.故選B.
3.C　設直線l的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=,
∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=.
∵線段AB的中點為M(1,m)(m>0),
∴x1+x2==2m,
∴b=,∵m>0,∴k>0,
又∵kb<1,∴2-k2<1,∴k>1.故選C.
4.答案　-
解析　設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(s1,t1),E(s2,t2),M(s3,t3).
因為A,B在橢圓上,所以=1,
兩式相減,得k1=,
因為D是AB的中點,所以k1=-,即,
同理可得,,
所以.
因為直線OD,OE,OM的斜率之和為1,
所以.
5.解析　(1)設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為(x0,y0),則,
所以=2,所以3x0+8y0=0,所以AB中點的軌跡方程為3x+8y=0(橢圓內部部分).
（2）因為C,D關于直線y=2x+m對稱,所以可設直線CD的方程為y=
-x+n,與=1聯立,得4x2-4nx+4n2-24=0,則Δ=16n2-16(4n2-24)
>0,解得-2.
設C(x3,y3),D(x4,y4),則x3+x4=n,x3x4=n2-6.
設CD的中點為N(x5,y5),則x5=.
又N在直線y=2x+m上,所以+m,即n=-4m,所以-2
,解得-.
6.C　解法一:由題意可知F,直線AB的斜率存在且不為0.
設直線AB的方程為y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根與系數的關系,得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p,
所以,
所以2p=4,即p=2,故x2=4y.
過點P作PM垂直于拋物線的準線于點M,連接MQ(圖略),則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|=3,當Q,P,
M三點共線時,等號成立.故選C.
解法二:設直線AB的傾斜角為θ,直線CD的傾斜角為β,β>θ,則,
因為兩條焦點弦互相垂直,所以β=+θ,
所以,所以2p=4,即p=2,故x2=4y.
下同解法一.
7.答案　8
解析　設P(x,y),由|PF1|=|PF2|得
,整理得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32,所以點P(x,y)在圓(x-6)2+y2=32上,所以P(x,y)到x軸的最大距離為4,所以△PF1F2面積的最大值為.
易知漸近線y=x與圓(x-6)2+y2=32有交點,所以≤4,即36b2≤32(a2+b2),整理得a2≥,所以a≥,所以實數a的最小值為.
8.解析　(1)由題意可知直線l:y=k(x+1),代入雙曲線方程,得x2-2k2x-k2-1=0.
要使l與雙曲線C的左、右兩支各有一個交點,
只需
解得-,所以斜率k的取值范圍為.
(2)由題可知F1(-,0).
設P(x,y),則|x|≥2,-x,0-y)·(-6.
因為|x|≥2,所以x2≥4,所以-6≥-1,故的最小值為-1.
9.解析　(1)由題意得
∴橢圓E的標準方程為+y2=1.
(2)由(1)得A(-2,0),B(0,-1).
設直線AP:y=k(x+2),P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
由得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,
則-2x0=,即x0=,
∴y0=k(x0+2)=.
對于直線AP:y=k(x+2),令x=0,得y=2k,∴C(0,2k).
易得直線BP:y=x-1,令y=0,得x=.
∴S△PCD=S△PAD-S△ACD=.
令t=2k+1,則t∈(1,2),2k=t-1,
∴S△PCD=-2+,
∵t+-2≥2-2,當且僅當t=,即t=時,等號成立,
∴S△PCD=-2+≤-2+-1,
故△PCD的面積的最大值為-1.
10.A　當x1≠x2時,由得,
設線段PQ的中點為N(1,n),所以kPQ=,
所以線段PQ的垂直平分線的方程為y-n=2n(x-1),即y=2n,該直線恒過點;
當x1=x2時,線段PQ的垂直平分線也過點.
故線段PQ的垂直平分線恒過點.故選A.
11.A　由y=,得2x-4y+p=0.
由題意得F到直線2x-4y+p=0的距離為,解得p=2,所以拋物線方程為y2=4x,直線l:y=k(x+1).
由得ky2-4y+4k=0.
易得Δ=16-16k2>0且k≠0,所以-1設M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),則y1y2=4.
kMQ=,則直線MQ的方程為y+1=(x-1),所以y1+1=(x1-1),即(y1+1)(y1+y3)=4x1-4,所以-4,所以y1=-,所以,所以y2y3+4(y2+y3)+4=0.
直線QN的方程為y-y2=(x-x2),即(y-y2)·(y2+y3)=4x-4x2,所以y(y2+y3)-,所以y2y3-y(y2+y3)+4x=0.
所以x=1,y=-4,即直線QN過定點(1,-4).故選A.
12.答案　3
解析　當直線EF的斜率為0時,點E,F為橢圓長軸的端點,不妨設E(-,0),
則=3.
當直線EF的斜率不為0時,設直線EF的方程為x=ty+,
由消去x,得(t2+2)y2+=0,
則Δ=>0恒成立,
y1+y2=-.
因此,==3.
綜上,=3.
13.解析　(1)由題意可知
所以所求橢圓的方程為=1.
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),P(4,t).
直線AB的斜率顯然存在,設其方程為y=k(x-4)+t.
因為A,P,B,Q四點共線,所以不妨設x2則|AP|=(4-x2).
由|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|,得(4-x1)(x-x2)=(x1-x)(4-x2),化簡得2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0.(*)
由得(2k2+1)x2+4k(t-4k)x+2(t-4k)2-4=0.
所以x1+x2=-.
代入(*)式,得x=,即=4-x.
又k=,所以=4-x,化簡得2x+ty-2=0.
所以點Q在直線2x+ty-2=0上,其恒過點(1,0).
14.解析　(1)設F(c,0),由題意得,點F到直線x+y+2=0的距離d=,所以c=2,
又e=,所以a=2,所以b==2,
所以橢圓C的標準方程為=1.
(2)存在斜率為k的直線l,使l與橢圓C交于不同的兩點M,N,且|AM|=|AN|.
由(1)知A(0,2).
當k=0時,易知存在直線l滿足題意;
當k≠0時,設直線l的方程為y=kx+m.
由消去y,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-12=0,
則Δ=36k2m2-12(3k2+1)(m2-4)>0,即m2<12k2+4.
設M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點為E,
則x1+x2=-,
所以,
即E,
所以kAE=,
所以3k2+1=-m,所以(3k2+1)2<4(3k2+1),
解得-1綜上所述,存在滿足題意的直線l,且直線l的斜率k的取值范圍為(-1,1).
15.解析　(1)由題意得
∴雙曲線C的方程為x2-=1.
(2)證明:設A(x0,y0),則B(-x0,-y0).
設P(x,y),則kPA·kPB=.
將點A,P的坐標分別代入雙曲線C的方程,得
),∴kPA·kPB==3.
(3)由(1)得F1(2,0).
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),
B(x2,y2).
由消去y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=.
假設存在M(m,0),使得=0恒成立,
∴=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2=+m2+4k2
==0.
∴3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0對任意的k2≠3恒成立,
∴解得m=-1,
∴存在M(-1,0),使得=0恒成立.
當直線l的斜率不存在時,不妨令A(2,3),B(2,-3),易知M(-1,0)也滿足題意.
綜上,存在M(-1,0),使得=0.
2(共30張PPT)
2.8　直線與圓錐曲線的位置關系
知識 清單破
知識點 1 直線與圓錐曲線的位置關系
將直線方程與圓錐曲線方程聯立組成方程組,消去y(或x),若得到一個關于x(或y)的一元二次
方程,其判別式為Δ,則
Δ<0 直線與圓錐曲線相離;
Δ=0 直線與圓錐曲線相切;
Δ>0 直線與圓錐曲線相交.
注意:直線方程與雙曲線或拋物線的方程聯立可能得到一次方程,此時直線與雙曲線的漸近
線平行,只有一個公共點,直線與拋物線的對稱軸平行或重合,只有一個公共點.
設斜率為k的直線被圓錐曲線截得的弦為AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=
|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|
= (k≠0).
知識點 2 弦長公式
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.已知橢圓C: + =1,則過點(1,0)的直線與橢圓一定有兩個公共點. (　 )
2.直線與雙曲線相切是直線與雙曲線有一個公共點的充分不必要條件. (　 )
3.若直線與拋物線相交,則直線與拋物線有兩個公共點. (　 )
4.過拋物線上一點且與該拋物線有一個公共點的直線有2條. (　 )
√
√

√
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 圓錐曲線中的弦長問題
1.求相交弦的弦長的兩種方法
(1)求出直線與圓錐曲線的兩交點坐標,用兩點間的距離公式求弦長.
(2)聯立直線與圓錐曲線的方程,消元,得到關于一個未知數的一元二次方程,再結合弦長公式
求解.
2.與圓錐曲線中點弦有關的三種題型及解法
(1)利用根與系數的關系求中點坐標:聯立直線方程和圓錐曲線方程構成方程組,消去一個未
知數得到一元二次方程,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
(2)利用點差法求直線斜率或方程:弦的端點在曲線上,端點坐標滿足圓錐曲線方程,將端點坐
標分別代入圓錐曲線方程,然后作差,得到中點坐標和斜率的關系,從而使問題得以解決.
(3)利用共線法求直線方程:如果弦的中點為P(x0,y0),設弦的一個端點為A(x1,y1),則另一個端點
為B(2x0-x1,2y0-y1),由A,B兩點都在圓錐曲線上,滿足圓錐曲線方程,可將其坐標代入方程后作差
即可得所求直線方程.
典例 已知橢圓C: + =1(a>b>0)的離心率為e,且過點(1,e)和 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C上的兩個不同點A,B關于直線y=x+ 對稱,求|AB|.
解析 (1)由題意得 + = + = + = =1, + = + =1,
∴b2=1,a2=2,
∴橢圓C的方程為 +y2=1.
(2)解法一:設A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,AB的中點M(x0,y0).
由題意得kAB=-1,把A,B兩點的坐標代入 +y2=1,得 + =1①, + =1②,
②-①,得 + - =0,即 + =0,
即 + ·kAB=0,故 = .
∵點M在直線y=x+ 上,∴y0=x0+ ,
聯立 解得
∴M ,
故直線AB:y+ =-(x+1),即y=-x- .
聯立
消去y,得6x2+12x+5=0,
∴x1+x2=-2,x1x2= ,
∴|AB|= × = × = .
解法二:設直線AB:y=-x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
聯立
消去y,得3x2-4mx+2m2-2=0,
∴x1+x2= ,
∴y1+y2=-(x1+x2)+2m= ,
∴AB的中點坐標為 ,
又AB的中點在直線y=x+ 上,
∴ = + ,解得m=- ,
∴AB的中點坐標為 ,
故直線AB的方程為y=-x- .
以下同解法一.
解決圓錐曲線中的最值(范圍)問題的方法
(1)數形結合:借助幾何關系與幾何性質求解.
(2)建立函數模型:利用二次函數、三角函數等的最值求解.
(3)建立不等式模型:利用基本不等式求解.
講解分析
疑難 2 圓錐曲線中的最值(范圍)問題
典例 已知拋物線y2=4 x的準線過橢圓E的左焦點,且橢圓E的一個焦點與短軸的兩個端點構
成一個正三角形,O為坐標原點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若直線y= 交橢圓E于A,B兩點,點P在線段AB上移動,直線OP交橢圓于M,N兩點,過P作MN
的垂線交x軸于點Q,求△MNQ的面積的最小值.
解析 (1)設橢圓E的方程為 + =1(a>b>0).
易知拋物線的準線方程為x=- ,∴c= .
∵橢圓E的一個焦點與短軸的兩個端點構成一個正三角形,∴b=1,a=2,
∴橢圓E的方程為 +y2=1.
(2)易知直線MN的斜率存在且不為0.
設直線MN:y=kx,M(x1,y1),N(x2,y2),則P .
由 得(1+4k2)x2-4=0,
∴x1+x2=0,x1x2= ,
∴|MN|= · = · .
設Q(m,0),∵PQ⊥MN,
∴kPQ·kMN= ·k=-1,解得m= + ,
∴Q到直線MN的距離為 = ,
∴S△MNQ= · · = = · = · ≥ ·
2 = ,
當且僅當 = ,
即k=± 時取等號,故△MNQ的面積的最小值為 .
講解分析
疑難 3 圓錐曲線中的定值與定點問題
1.定值問題
(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題,基本思路是使用參數表示要解決的問題,
證明要解決的問題與參數無關.在這類問題中,選擇消元的方法是非常關鍵的.
(2)求定值問題的常用方法:
①直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.
②從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.
2.解決定點問題的方法
一是抓“參數之間的關系”,定點問題多是直線過定點,所以要抓住問題的核心,實質就是求
解直線方程中參數之間的關系,所以要熟悉直線方程的特殊形式,若直線的方程為y=kx+b,則
直線恒過點(0,b),若直線的方程為y=k(x-a),則直線恒過點(a,0).
　　二是抓“特值”,涉及的定點多在兩條坐標軸上,所以可以先從斜率不存在或斜率為0的
特殊情況入手找出定點,為解題指明方向.
典例1 已知橢圓C: + =1,設N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交橢圓C于異于N的A,B兩點,直線
NA,NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.
證明 當直線l的斜率存在時,設斜率為k,顯然k≠0,因為直線l不過點N,所以k≠4,則其方程為y
+2=k(x+1)(k≠0且k≠4),
由 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
由Δ=56k2+32k>0,解得k<- 或k>0,
故k∈ ∪(0,4)∪(4,+∞).
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=- ,x1x2= .
從而k1+k2= + = =2k-(k-4)· =4.
當直線l的斜率不存在時,將x=-1代入橢圓C的方程,得y=± ,
不妨設A ,B ,
此時k1=2- ,k2=2+ ,從而k1+k2=4.
綜上所述,k1+k2為定值.
典例2 已知橢圓Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,長軸長為4,A,B是橢圓Γ上關于
原點對稱的兩個動點,當AF2垂直于x軸時,△ABF2的周長為4+ .
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)已知橢圓Γ的離心率e< ,直線AF2與橢圓Γ交于另一點M,直線BF2與橢圓Γ交于另一點N,
證明:直線MN過定點.
解析 (1)連接BF1(圖略).
由題意得A ,|AF2|=|BF1|,所以△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=|BF1|+|BF2|+2|OA|=2a+2|OA|
=2a+2 =4+ .
由題知2a=4,所以a=2,又因為c2=a2-b2,
所以b2=3或b2=1,
故橢圓Γ的方程為 + =1或 +y2=1.
(2)證明:因為橢圓Γ的離心率e< ,所以橢圓Γ的方程為 + =1.當A,B為橢圓的左、右頂點
時,直線MN與x軸重合.
當A,B為橢圓的上、下頂點時,A(0, ),F2(1,0),
所以直線AF2的方程為y=- x+ ,與橢圓方程聯立,可得M ,同理,可得N ,所
以直線MN的方程為x= .
當A,B不是橢圓的頂點時,設直線MN的方程為x=my+n(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
由 得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0,則Δ=36m2n2-4(3m2+4)(3n2-12)=144m2-48n2+192>0,
y1+y2= ,y1y2= .
設直線AF2的方程為x=m1y+1,其中m1= ,A(x3,y3),
由 得(3 +4)y2+6m1y-9=0,
則Δ1=36 +108 +144=144(1+ )>0,y1y3= ,所以y3= .
設直線BF2的方程為x=m2y+1,其中m2= ,易知B(-x3,-y3),
由 得(3 +4)y2+6m2y-9=0,
則Δ2=36 +108 +144=144(1+ )>0,-y2y3= ,所以y3= .
所以 = ,
即(3 +4)y1+(3 +4)y2=0,
所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)=0.
所以3 y1+3 y2+4(y1+y2)
= + +4(y1+y2)
=(3m2+4)(y1+y2)+12m(n-1)+3(n-1)2· =0,
所以(3m2+4)· +12m(n-1)+3(n-1)2· =0,即m(5n-8)=0.
因為m≠0,所以n= ,所以直線MN的方程為x=my+ ,恒過點 .
綜上,直線MN恒過點 .
　　解決圓錐曲線中的存在性問題時,首先假設存在,看是否符合題意,若推出矛盾,則不存在;
否則,就存在.
講解分析
疑難 4 圓錐曲線中的存在性問題
典例 已知拋物線C:y2=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為1的點與焦點F之間的距離為3.
(1)求拋物線C的方程及其準線方程;
(2)過(-1,0)的直線l交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線x=-4于點E,直線BF交直線x=-1于點D.
是否存在這樣的直線l,使得DE∥AF 若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
解析 (1)由題意及拋物線的定義可得1+ =3,解得p=4,所以拋物線C的方程為y2=8x,準線方
程為x=-2.
(2)假設存在滿足題意的直線l.顯然直線l的斜率存在且不為0,設直線l的方程為y=k(x+1)(k≠
0),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立
消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根與系數的關系得x1+x2= ,x1x2=1.

解法一:易知F(2,0),所以直線BF的方程為y= (x-2),又xD=-1,所以yD= ,
所以D .
因為DE∥AF,所以kDE=kAF,
又E(-4,-3k),所以 = ,
即k= + ,
即k= + ,
化簡,得1= + ,
即1= ,
即x1+x2=7,所以 =7,
整理,得k2= ,解得k=± .
經檢驗,k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因為DE∥AF,
所以 = ,
所以 = ,
整理,得x1x2+(x1+x2)=8,
即 =7,整理,得k2= ,
解得k=± .
經檢驗,k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).

展開更多......

收起↑