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第1章　直線與方程
1.1　直線的斜率與傾斜角
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　直線的斜率
1.已知點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若過(guò)P(-6,-8)的直線l與線段AB相交,則直線l的斜率k的取值范圍為(　　)
A.k≤1　　　　 B.k≥2
C.k≥2或k≤1　　　　D.1≤k≤2
2.(教材習(xí)題改編)若A(3,1),B(-2,b),C(8,11)三點(diǎn)共線,則b=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　
C.9　　　　D.-9
3.若將直線l沿x軸正方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再沿y軸負(fù)方向平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,又回到了原來(lái)的位置,則l的斜率是(　　)
A.-
4.設(shè)P為x軸上的一點(diǎn),A(-3,8),B(2,14),若直線PA的斜率是PB的斜率的2倍,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
題組二　直線的傾斜角與斜率
5.(多選題)在下列四個(gè)命題中,錯(cuò)誤的有(　　)
A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線都有傾斜角和斜率
B.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π)
C.若一條直線的斜率為tan α,則此直線的傾斜角為α
D.若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tan α
6.經(jīng)過(guò)A(-1,3),B()兩點(diǎn)的直線的傾斜角α為(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　
C.90°　　　　D.120°
7.設(shè)直線l的斜率為k,且-1≤k<,則l的傾斜角α的取值范圍為(　　)
A.
C.
8.(多選題)如圖,已知直線l1,l2,l3,l4的斜率分別是k1,k2,k3,k4,傾斜角分別是α1,α2,α3,α4,則下列關(guān)系正確的是(　　)
A.k2C.α2<α1<α4<α3　　　　D.α3<α2<α1<α4
9.直線n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1),B(m+2,m-2),且傾斜角為135°,則實(shí)數(shù)m為　　　　.
10.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,1),B(1,1),C(2,+1).
(1)求直線BC,AC的斜率和傾斜角;
(2)若D為△ABC的邊AB上一動(dòng)點(diǎn),求直線CD的斜率k和傾斜角α的取值范圍.
能力提升練
題組一　直線的斜率及其應(yīng)用
1.已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),若點(diǎn)P(x,y)在線段AB上,則的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-4]∪　　　　
B.
C.　　　　
D.
2.三名同學(xué)相約在暑期進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),同去某工廠加工同一種產(chǎn)品,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名同學(xué)上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名同學(xué)下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3,記pi為第i名同學(xué)在這一天中平均每小時(shí)加工的產(chǎn)品個(gè)數(shù),則p1,p2,p3中最大的是(　　)
A.p1　　　　B.p2
C.p3　　　　D.不能確定
3.(教材習(xí)題改編)已知點(diǎn)A(2,1),B(-2,2),若直線l過(guò)點(diǎn)P-且與線段AB沒(méi)有交點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍為　　　　.
4.一束光射向x軸,與x軸相交于點(diǎn)P(-1,0),經(jīng)x軸反射后,與連接A(0,),B(1,2)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn),則這束光線所在直線的斜率的取值范圍為　　　　.
題組二　直線的傾斜角與斜率
5.已知點(diǎn)A(2,-1),B(3,m),若m∈,則直線AB的傾斜角α的取值范圍為(　　)
A.
C.
6.過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(m,3)的直線l的傾斜角α的范圍是,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
7.若正方形的一條對(duì)角線所在直線的斜率為3,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率之和為　　　　.
8.如圖所示,菱形OBCD的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,且邊OB在x軸的非負(fù)半軸上.已知∠BOD=60°,求菱形各邊和兩條對(duì)角線所在直線的傾斜角及斜率.
答案與分層梯度式解析
第1章　直線與方程
1.1　直線的斜率與傾斜角
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.D　根據(jù)題意得kPA==2,結(jié)合圖象可得直線l的斜率k的取值范圍是1≤k≤2.故選D.
2.D　∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴kAB=kAC,即,解得b=-9,故選D.
3.A　設(shè)A(a,b)是l上任意一點(diǎn),則平移后得到點(diǎn)(a+2,b-3),設(shè)為A',易知A'也在l上,則l的斜率k=kAA'=.故選A.
4.答案　(-5,0)
解析　設(shè)P(x,0),則kPA=,于是,解得x=-5,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-5,0).
5.ACD　當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),傾斜角為90°,斜率不存在,A,D錯(cuò)誤;
B顯然正確;
C錯(cuò)誤,如直線y=x的斜率為tan,它的傾斜角為.故選ACD.
6.D　經(jīng)過(guò)A(-1,3),B()兩點(diǎn)的直線的斜率為,即tan α=-,因?yàn)?°≤α<180°,所以α=120°.故選D.
7.D　由題意可知α∈[0,π),當(dāng)-1≤k<0時(shí),≤α<π;當(dāng)0≤k<時(shí),0≤α<.
綜上所述,l的傾斜角α的取值范圍為.故選D.
8.BC　由傾斜角的概念及題圖可得90°<α3<180°,0°<α1<α4<90°,α2=0°,
所以α2<α1<α4<α3,且k3<0,k4>k1>0,k2=0,
所以k39.答案　1
解析　由題意得直線n的斜率為tan 135°=-1,
∵A(1,1),B(m+2,m-2)為直線n上的點(diǎn),
∴kAB==-1,解得m=1.
10.解析　(1)由斜率公式得kBC=.
∵傾斜角的取值范圍是[0,π),
∴直線BC的傾斜角為,直線AC的傾斜角為.
(2)如圖,當(dāng)直線CD由直線CA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線CB時(shí),k由kAC增大到kBC,
∴k的取值范圍為,傾斜角α的取值范圍為.
能力提升練
1.A　設(shè)Q(1,1),則的幾何意義是直線PQ的斜率,
易得直線QB的斜率k1=,直線QA的斜率k2==-4,
∴的取值范圍為(-∞,-4]∪.故選A.
2.B　設(shè)Ai(),i=1,2,3,根據(jù)題意可知表示第i名同學(xué)上午的工作時(shí)間,表示第i名同學(xué)上午加工的零件數(shù);
同理,表示第i名同學(xué)下午的工作時(shí)間,表示第i名同學(xué)下午加工的零件數(shù).所以pi=,
因此,pi可理解為線段AiBi的中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率(如圖).
由圖可以看出p2最大.故選B.
3.答案　
解析　假設(shè)直線l與線段AB有交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交線段AB于點(diǎn)C,如圖所示,
當(dāng)直線l由直線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線PC時(shí),l的斜率從kPA逐漸變大,即k≥kPA=;
當(dāng)直線l由直線PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線PB時(shí),l的斜率為負(fù)值,且逐漸增大至kPB,即k≤kPB=.
綜上所述,若直線l與線段AB有交點(diǎn),則其斜率k的取值范圍是,
所以直線l與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),其斜率k的取值范圍是.
方法技巧　本題在求解時(shí)用到了補(bǔ)集思想,即要求直線l與線段AB沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)斜率k的范圍,先求有交點(diǎn)時(shí)k的范圍,再求其補(bǔ)集.要求有交點(diǎn)時(shí)k的范圍,需以l與x軸垂直時(shí)的直線(此時(shí)斜率不存在)為分界線,分別求解.
4.答案　[-,-1]
解析　如圖,由題意可知直線PA與l2關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,直線PB與l1關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,
易得直線PA的斜率為kPA=,直線PB的斜率為kPB==1,
∴,∴這束光線所在直線的斜率的取值范圍為[-,-1].
5.A　由題意知直線AB的斜率為kAB==m+1,
∵m∈,∴kAB=m+1∈,
又∵直線傾斜角的取值范圍是[0,π),
∴當(dāng)-≤kAB<0時(shí),≤α<π;當(dāng)0≤kAB≤時(shí),0≤α≤.
綜上,直線AB的傾斜角α的取值范圍為.故選A.
6.B　
當(dāng)直線l的斜率存在,即α∈時(shí),設(shè)斜率為k,結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系的圖象,可知k>1或k<-1,此時(shí)m≠2,
又k=,∴<-1或>1,解得0當(dāng)直線l的斜率不存在,即α=時(shí),m=2.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,4).故選B.
方法技巧　已知傾斜角的范圍求直線斜率的范圍或已知斜率的范圍求直線傾斜角的范圍時(shí),可結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系的圖象,即k=tan α,α∈[0,π)且α≠的圖象進(jìn)行求解,特別注意傾斜角為,即斜率不存在的情況,必要時(shí)要分類討論.
7.答案　-
解析　如圖,在正方形OABC中,對(duì)角線OB所在直線的斜率為3,建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為θ,則tan θ=3,
由正方形的性質(zhì)可知,直線OA的傾斜角為θ-45°,直線OC的傾斜角為θ+45°,
故kOA=tan(θ-45°)=,
kOC=tan(θ+45°)==-2,
則kOA+kOC=.
故該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率之和為-.
8.解析　因?yàn)镺D∥BC,∠BOD=60°,所以直線OD,BC的傾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan 60°=.
因?yàn)檫匫B在x軸的非負(fù)半軸上,DC∥OB,
所以直線OB,DC的傾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan 0°=0.
由菱形的性質(zhì)知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直線OC的傾斜角為30°,斜率kOC=tan 30°=,直線BD的傾斜角為∠DBx=180°-∠OBD=120°,斜率kBD=tan 120°=-.
11(共13張PPT)
第1章 直線與方程
1.1　直線的斜率與傾斜角
知識(shí)點(diǎn) 1 直線的斜率
　　對(duì)于直線l上的任意兩點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),如果x1≠x2(如圖1),那么直線l的斜率k= (x1
≠x2).如果x1=x2(如圖2),那么直線l的斜率不存在.
必備知識(shí) 清單破
　　直線的斜率與直線方向的關(guān)系:
(1)當(dāng)直線的斜率為正時(shí),直線從左下方向右上方傾斜;
(2)當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí),直線從左上方向右下方傾斜;
(3)當(dāng)直線的斜率為零時(shí),直線與x軸平行或重合.
圖1 圖2
　　在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到
與直線重合時(shí),所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角α稱為這條直線的傾斜角.
規(guī)定:與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0.因此,直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0≤α<π}.
知識(shí)點(diǎn) 2 直線的傾斜角
知識(shí)點(diǎn) 3 直線的斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系
圖示
傾斜角α α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180°
斜率 k=0 k>0 k不存在 k<0
　　當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí),該直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系為k=tan α .
知識(shí)辨析
1.任何一條直線都有傾斜角嗎
2.任何一條直線都存在斜率嗎
3.直線的斜率一定隨著傾斜角的增大而增大嗎
4.不同的直線,它的傾斜角一定不相同嗎
一語(yǔ)破的
1.是.當(dāng)直線與x軸相交時(shí),存在一個(gè)最小正角是直線的傾斜角,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),直
線的傾斜角是0.
2.不是.當(dāng)直線的傾斜角為 時(shí),直線的斜率不存在.
3.不一定.當(dāng)直線的傾斜角α≠ 時(shí),斜率k=tan α,由正切函數(shù)的圖象可知,當(dāng)α∈ ∪
時(shí),k=tan α不單調(diào).
4.不一定.當(dāng)兩條直線不平行時(shí),它們的傾斜角不相同;當(dāng)兩條直線平行時(shí),傾斜角一定相同.
定點(diǎn) 1 傾斜角和斜率的關(guān)系及其應(yīng)用
　　當(dāng)直線l的傾斜角α∈ 時(shí),k≥0,且α越大,斜率k越大;當(dāng)直線l的傾斜角α∈ 時(shí),k<
0,且α越大,斜率k越大;當(dāng)直線l的傾斜角α= 時(shí),它的斜率不存在.k=tan α 的圖
象如圖所示.
　　由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,可得到傾斜角α的范圍;反過(guò)來(lái),由傾斜角α的范圍截取函數(shù)圖
象,可得到斜率k的范圍.
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
典例 已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).
(1)求直線l的傾斜角的取值范圍;
(2)求直線l的斜率k的取值范圍.
思路點(diǎn)撥 (1)由題意畫出圖形,分別求出P與線段AB端點(diǎn)連線的傾斜角,從而得出答案.(2)由
斜率是傾斜角的正切值即可得到k的取值范圍.
解析 (1)如圖,當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)B時(shí),設(shè)l的傾斜角為α(0≤α<π),
則tan α= =1,
即α= ;
當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A時(shí),設(shè)l的傾斜角為β(0≤β<π),
則tan β= =-1,即β= ,
∴要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是 .
(2)由(1)可知直線l的傾斜角的取值范圍是 ,
∴直線l的斜率的取值范圍是k≤-1或k≥1.
易錯(cuò)警示 本題易錯(cuò)誤地認(rèn)為斜率k的取值范圍是-1≤k≤1,結(jié)合圖形考慮,l的傾斜角應(yīng)介于
直線PB與直線PA的傾斜角之間(包括直線PB與PA的傾斜角),即 ,利用k=tan α
的圖象(如圖所示)得到k的取值范圍是k≤-1或k≥1.


1.求解三點(diǎn)共線問(wèn)題
　　若點(diǎn)A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB
=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或AB與BC或AC與BC)的斜率相同,又過(guò)同一點(diǎn)A(或B或C),所
以點(diǎn)A,B,C在同一條直線上.
2.求形如 的代數(shù)式的范圍(最值)問(wèn)題
　　形如 的范圍(最值)問(wèn)題,可以利用 的幾何意義:過(guò)定點(diǎn)(a,b)與動(dòng)點(diǎn)(x,y)的直線的
斜率,并借助圖形解決.
定點(diǎn) 2 直線斜率的應(yīng)用
典例 (1)已知三點(diǎn)A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一直線上,則a= (　 )
A.2或 　　　 B.2　　　 C. 　　　 D.-2
(2)已知正△ABC的頂點(diǎn)A(1,1),B(1,3),點(diǎn)C在第一象限,若點(diǎn)P(x,y)是△ABC內(nèi)部及其邊界上一
點(diǎn),則 的最大值為 (　 )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
B
解析 (1)易知該直線的斜率存在.
由題意可得kBC=kAB,即 = ,解得a=2或a= .故選A.
(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出正△ABC,可知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+ ,2), 可看作△ABC內(nèi)部
及其邊界上一點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)(-1,0)連線的斜率,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),直線的斜率最大,故 的最大值為 = .故選B.

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