資源簡介

1.2.3　直線的一般式方程
基礎過關練
題組一　直線的一般式方程
1.如果AB>0且BC<0,那么直線Ax+By+C=0不經過(　　)
A.第一象限　 B.第二象限 C.第三象限　　D.第四象限
2.若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一條直線,則實數m的取值范圍是　　　　　　.
3.(教材習題改編)已知直線3x1+4y1=1和3x2+4y2=1,且x1≠x2,則經過A(x1,y1),B(x2,y2)兩點的直線l的一般式方程為　　　　　　　　.
4.若點(1,2)在直線ax+by-1=0上(其中a,b都是正實數),則的最小值為　　　　.
5.已知直線l的方程為2x+(m-3)y-2m+6=0(m≠3).
(1)若l在x軸上的截距為-3,求m的值;
(2)若l的斜率為1,求m的值.
題組二　直線方程幾種形式的相互轉化
6.已知傾斜角為θ的直線l與直線x+y-3=0的夾角為30°,則θ的值為(　　)
A.30°或150°　　B.120°或0°
C.90°或30°　　　D.60°或0°
7.下列關于直線的說法中,正確的個數為(　　)
①直線l:x+y-3=0過點P(1,2);
②直線y=kx-2在y軸上的截距是2;
③直線x-y+4=0不經過第四象限;
④直線x-y+1=0的傾斜角為30°.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
8.下列說法錯誤的是　(　　)
A.平面上任意一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示
B.當C=0時,方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)表示的直線過原點
C.當A=0,B≠0,C≠0時,方程Ax+By+C=0表示的直線與x軸平行
D.任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化
9.若直線的截距式方程=1化為斜截式方程為y=-2x+b,化為一般式方程為bx+ay-8=0,且a>0,則a+b=　　　　.
10.已知△ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°.
(1)求邊AB所在直線的方程;
(2)求直線AC與直線BC的一般式方程.
能力提升練
題組　幾種直線方程的相互轉化及應用
1.(多選題)已知直線l:x-my+m-1=0,則下列說法正確的是(　　)
A.直線l的斜率可以等于0
B.若l與y軸的夾角為30°,則m=或m=-
C.若l的斜率為,則l的方程為x-2y+1=0
D.若直線l在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍,則m=1或m=-2
2.(多選題)已知曲線C:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,則下列說法正確的是(　　)
A. λ∈R,曲線C為一個點
B. λ∈R,曲線C為一條直線
C. λ∈R,曲線C為直線x+y=0
D. λ∈R,曲線C恒過點(-2,2)
3.(多選題)已知直線l過點P(3,2),且與l1:x+3y-9=0、x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形,則(　　)
A.直線l的方程為x-3y+3=0
B.直線l與直線l1的傾斜角互補
C.直線l在y軸上的截距為2
D.這樣的直線l有兩條
4.已知直線l的傾斜角是直線x-4y+3=0的傾斜角的2倍,且l經過點P(3,2),則直線l的方程為　　　　.
5.在①直線BC的斜率為,②直線AC的斜率為這兩個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并解答下面的問題.
已知以A為頂角的等腰三角形ABC的頂點A(-1,2),B(-3,2),　　　　.
(1)求直線AC的一般式方程;
(2)求直線BC的一般式方程;
(3)求角A的平分線所在直線的一般式方程.
6.已知t∈(0,5],由t確定兩個點P(t,t),Q(10-t,0).
(1)寫出直線PQ的方程(用含t的式子表示);
(2)如圖,在△OPQ內作內接正方形ABCD,頂點A,B在邊OQ上,頂點C在邊PQ上.若OA=a,當正方形ABCD的面積最大時,求a,t的值.
答案與分層梯度式解析
1.2.3　直線的一般式方程
基礎過關練
1.C　由AB>0且BC<0,可得A,B同號,B,C異號,所以A,C異號,
令x=0,得y=->0,令y=0,得x=->0,
所以直線Ax+By+C=0不經過第三象限.故選C.
2.答案　m≠0
解析　要使mx+(m2-m)y+1=0表示一條直線,則m,m2-m不能同時為零,
即解得m≠0.
3.答案　3x+4y-1=0
解析　由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1,
得點A(x1,y1)在直線3x+4y-1=0上,
點B(x2,y2)在直線3x+4y-1=0上,
即A,B都在直線3x+4y-1=0上,
因為兩點確定一條直線,所以由A(x1,y1),B(x2,y2)確定的直線即為3x+4y-1=0.
4.答案　3+2
解析　把點(1,2)代入直線方程得a+2b=1(a>0,b>0),則≥3+2,
當且僅當,即a=2b時取等號,
由
所以當a=2-時,取得最小值,為3+2.
5.解析　(1)令y=0,得x=m-3,則m-3=-3,解得m=0.
(2)因為直線l的斜率存在,所以l的方程可化為y=-x+2.由題意得-=1,解得m=1.
6.B　直線x+y-3=0可化為y=-,設其傾斜角為φ,0°≤φ<180°,
則斜率k=tan φ=-,故φ=150°,
又兩直線的夾角為30°,所以θ=0°或θ=120°.
故選B.
7.C　①將x=1代入x+y-3=0,得y=2,故正確;
②當x=0時,y=-2,故直線y=kx-2在y軸上的截距是-2,故錯誤;
③由x-y+4=0得y=x+4,故斜率k=1>0,在y軸上的截距b=4>0,所以直線不經過第四象限,故正確;
④直線x-y+1=0的斜率為,故傾斜角為30°,故正確.故選C.
8.D　每一條直線都有傾斜角α,當α≠90°時,直線的斜率k存在,其方程可寫成y=kx+b,變形為kx-y+b=0,此時A=k,B=-1,C=b;當α=90°時,直線的斜率不存在,其方程可寫成x=x1,此時A=1,B=0,C=-x1,顯然A,B不同時為0,A中說法正確.
當C=0時,方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0)即為Ax+By=0,顯然有A·0+B·0=0,即直線過原點,B中說法正確.
當A=0,B≠0,C≠0時,方程Ax+By+C=0可化為y=-,它表示的直線與x軸平行,C中說法正確.
易知D中說法錯誤.
故選D.
9.答案　6
解析　由=1得y=-x+b,得bx+ay-ab=0,
∴-=-2,-ab=-8,
即
∵a>0,∴a=2,b=4,∴a+b=6.
10.解析　(1)因為A(1,1),B(5,1),所以AB∥x軸,
所以邊AB所在直線的方程為y=1.
(2)因為∠A=60°,所以kAC=tan 60°=,
所以直線AC的方程為y-1=(x-1),即=0,
因為∠B=45°,所以kBC=tan 135°=-1,
所以直線BC的方程為y-1=-(x-5),即x+y-6=0.
能力提升練
1.BCD　對于直線l:x-my+m-1=0,當m=0 時,直線l:x=1,斜率不存在;
當m≠0時,直線l的斜率為,不可能等于0,故A錯誤.
若直線l與y軸的夾角為30°,則l的傾斜角為60°或120°,
∴=tan 60°==tan 120°=-,
∴m=或m=-,故B正確.
由l的斜率為,得m=2,∴l的方程為x-2y+1=0,故C正確.
當m=0時,直線l:x=1,在y軸上的截距不存在;當m≠0時,令x=0,得y=,令y=0,得x=1-m,則=1-m,得m=1或m=-2,故D正確.
故選BCD.
2.BCD　由3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,可得(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0,
因為3+2λ與4+λ不會同時為0,所以 λ∈R,曲線C為一條直線,故A錯誤,B正確;
當λ=1時,曲線C:3x+4y-2+2x+y+2=0,即x+y=0,故C正確;
由即曲線C恒過點(-2,2),故D正確.
故選BCD.
3.AB　因為直線l與l1及x軸圍成一個底邊在x軸上的等腰三角形,所以直線l與l1的傾斜角互補,故B正確;
由直線l1的斜率為-,知直線l的斜率為,因為直線l過點P(3,2),所以直線l的方程為y-2=(x-3),即x-3y+3=0,故A正確;
將x=0代入x-3y+3=0,得y=1,所以直線l在y軸上的截距為1,故C錯誤;
過點P(3,2)且斜率為的直線只有一條,故D錯誤.
故選AB.
規律總結　底邊在x軸(或y軸)上的等腰三角形的兩腰所在直線的傾斜角互補,斜率互為相反數.
4.答案　8x-15y+6=0
解析　設直線l的傾斜角為θ,直線x-4y+3=0的傾斜角為α,則θ=2α,且tan α=,
所以tan θ=tan 2α=,又l經過點P(3,2),所以直線l的方程為y-2=(x-3),即8x-15y+6=0.
5.解析　因為A(-1,2),B(-3,2),所以AB∥x軸.
選①:(1)由直線BC的斜率為,得直線BC的傾斜角為30°.因為△ABC是以A為頂角的等腰三角形,所以直線AC的傾斜角為60°,斜率為,如圖所示.
又因為A(-1,2),所以直線AC的方程為y-2=(x+1),其一般式方程為=0.
(2)因為B(-3,2),直線BC的斜率為,所以直線BC的方程為y-2=(x+3),其一般式方程為x-+3=0.
(3)由(2)可知,角A的平分線所在直線的斜率為-,傾斜角為120°,
所以角A的平分線所在直線的方程為y-2=-(x+1),其一般式方程為=0.
選②:(1)因為A(-1,2),AC的斜率為,所以直線AC的方程為y-2=(x+1),其一般式方程為=0.
(2)由直線AC的斜率為,得直線AC的傾斜角為60°,因為△ABC是以A為頂角的等腰三角形,所以直線BC的傾斜角為30°或120°,斜率為或-,如圖所示:
又因為B(-3,2),所以直線BC的方程為y-2=(x+3)或y-2=-(x+3),其一般式方程為x-+3=0或-2=0.
(3)由題意可知,角A的平分線所在直線的傾斜角為120°或30°,斜率為-,所以角A的平分線所在直線的方程為y-2=-(x+1)或y-2=(x+1),其一般式方程為=0或x-+1=0.
6.解析　(1)令t=10-t,得t=5,此時直線PQ的方程為x=5,
當t≠5時,直線PQ的方程為y-t=(x-t),
即tx+(10-2t)y+t2-10t=0.
(2)由P(t,t)和四邊形ABCD為正方形可知OA=AD=AB,
則A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),
因為點C(2a,a)在直線PQ上,所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0,
所以a=,0要使正方形ABCD的面積最大,只需a的值最大,
易知當t=5時,amax=,此時正方形ABCD的面積最大.
121.2.2　直線的兩點式方程
基礎過關練
題組一　直線的兩點式方程
1.過兩點(-2,4)和(4,-1)的直線在y軸上的截距為(　　)
A.
2.已知直線l的兩點式方程為,則l的斜率為　(　　)
A.-
3.一條光線從點A(-1,3)射向x軸,經過x軸上的點P反射后通過點B(3,1),則點P的坐標為(　　)
A.(0,0)　　　　B.(1,0) C.　　　　D.(2,0)
4.已知點A,B(0,4),動點P(x,y)在線段AB上運動,則xy的最大值為　　　　.
5.(教材習題改編)已知△ABC的三個頂點分別為A(1,1),B(5,4),C(3,8),則AB邊上的中線所在直線的方程為　　　　　;過點A作直線l,若它把△ABC的面積分成1∶3的兩部分,則l的方程為　　　　　.
題組二　直線的截距式方程
6.直線-=-1在x軸、y軸上的截距分別為(　　)
A.2,3　　　　B.-2,3 C.-2,-3　　　　D.2,-3
7.(多選題)直線l經過點(3,-2),且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等,則直線l的方程可能是(　　)
A.3x+2y=0　　　　B.2x+3y=0 C.x-y-5=0　　　　D.x+y-1=0
8.過點P(1,3)作直線l,若l經過點A(a,0)和B(0,b),且a,b均為正整數,則這樣的直線l可以作出(　　)
A.1條　　　　B.2條　　　　C.3條　　　　D.無數條
9.已知直線l在x軸上的截距為m,且在x軸,y軸上的截距之和為4.
(1)若l的斜率為2,求實數m的值;
(2)若l分別與x軸、y軸的正半軸交于A,B兩點,O是坐標原點,求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.
10.已知直線l過點P(2,3),根據下列條件分別求出直線l的方程.
(1)在x軸、y軸上的截距互為相反數;
(2)與兩坐標軸在第一象限所圍成的三角形的面積最小.
答案與分層梯度式解析
1.2.2　直線的兩點式方程
基礎過關練
1.C　由直線的兩點式方程得,
即5x+6y-14=0,令x=0,得y=.故直線在y軸上的截距為.故選C.
2.A　由題意知直線l過點(-5,0),(3,-3),所以l的斜率為.故選A.
3.D　易得B(3,1)關于x軸的對稱點為(3,-1),設為B',如圖,
由直線的兩點式方程得直線AB'的方程為 ,即y=-x+2,令y=0,得x=2,則點P(2,0).故選D.
解題模板　求解光線的反射問題通常用到對稱的知識,若A點經x軸上的P點反射至B點,則A點關于x軸的對稱點A'與P,B共線,此直線為反射光線所在直線;B點關于x軸的對稱點B'與P,A共線,此直線為入射光線所在直線.
4.答案　3
解析　由題意可得直線AB的方程為,化簡可得4x+3y-12=0,
所以xy=×4x×3y≤=3,當且僅當4x=3y,即x=,y=2時等號成立.
5.答案　x=3;8x-7y-1=0或12x-5y-7=0
解析　設線段AB的中點為M,則M,即M,易知直線CM的斜率不存在,故直線CM的方程為x=3.
由題意知直線l過線段BC的四等分點,設為D(x,y),則,
當時,(x-5,y-4)=(-2,4),解得x=,y=5,此時直線l的方程為,整理得8x-7y-1=0;
當時,(x-5,y-4)=(-2,4),解得x=,y=7,此時直線l的方程為,整理得12x-5y-7=0.
綜上所述,直線l的方程為8x-7y-1=0或12x-5y-7=0.
6.D　直線方程可化為=1,因此,直線在x軸、y軸上的截距分別為2,-3,故選D.
7.BCD　當直線l在坐標軸上的截距為0時,方程為y=-x,即2x+3y=0.
當直線l在坐標軸上的截距不為0時,設其方程為=1,
則
當a=1,b=1時,可得直線l的方程為x+y=1,即x+y-1=0;
當a=5,b=-5時,可得直線l的方程為=1,即x-y-5=0.故選BCD.
易錯警示　直線在兩坐標軸上的截距的絕對值相等,不要忽略截距都為0,即直線過原點的情況.
8.B　∵a,b均為正整數,∴可設直線l:=1,
將P(1,3)代入得=1,
當b=3時,=0,方程無解,∴a=,
∵a∈N*,≠0,∴∈N*,∴b-3=1或b-3=3,
∴即滿足題意的直線l有2條.
故選B.
9.解析　(1)依題意知直線在x,y軸上的截距都存在且不為0,
設l的方程為=1(m≠0且m≠4),
令y=0,得x=m,令x=0,得y=4-m,即l經過點(m,0),(0,4-m),
所以直線l的斜率為=2,解得m=-4.
(2)設l的方程為=1(m≠0且m≠4),
則解得0由(1)知A(m,0),B(0,4-m),
可得S△AOB=(m-2)2+2,0當m=2時,S△AOB取得最大值2,此時直線l的方程為=1,即y=-x+2.
10.解析　(1)①當l經過原點時,l的方程為y=x,即3x-2y=0.
②當l不經過原點時,設其方程為=1(m≠0),
∵P(2,3)在直線l上,∴=1,解得m=-1,即x-y+1=0.
綜上所述,直線l的方程為3x-2y=0或x-y+1=0.
(2)由題意可知直線l與兩坐標軸均交于正半軸,故設直線l的方程為=1(a>0,b>0),將P(2,3)代入可得=1,
則=1≥2,故ab≥24,當且僅當,即a=4,b=6時等號成立,
此時面積最小,為ab=12,
所以直線l的方程為=1,即3x+2y-12=0.
方法技巧　求解與直線方程有關的面積問題,關鍵是由直線方程求出相應點的坐標或者相關長度,此時注意點在直線上,即點的坐標適合直線方程,再結合函數的單調性或基本不等式求解.
71.2　直線的方程
1.2.1　直線的點斜式方程
基礎過關練
題組一　直線的點斜式方程
1.若直線l的斜率k=-2,且過點(3,2),則直線l還經過點(　　)
A.(0,4)　　　　B.(4,0)　　　　
C.(0,-4)　　　　D.(-2,1)
2.下列對方程=2表示的圖形的敘述中正確的是(　　)
A.斜率為2的一條直線
B.斜率為-的一條直線
C.斜率為2的一條直線,且除去點(-3,6)
D.斜率為-的一條直線,且除去點(-3,6)
3.已知直線l1:y=x+2,l2是l1繞點P(-2,1)逆時針旋轉45°后得到的直線,則直線l2的方程是(　　)
A.y=x+3　　　　 B.y=
C.y=-3x+7　　　　D.y=3x+7
4.設直線l過點(-4,0),其傾斜角的余弦值為,則直線l的方程為　　　　.
5.已知直線l過定點P(-2,1),且交x軸負半軸于點A、交y軸正半軸于點B,點O為坐標原點.
(1)若△AOB的面積為4,求直線l的方程;
(2)求OA+OB的最小值,并求此時l的方程.
題組二　直線的斜截式方程
6.直線x+y+2=0的傾斜角及在y軸上的截距分別是(　　)
A.60°,2　　　　B.60°,-2　　　　C.120°,-2　　　　D.120°,2
7.已知直線l:kx-y+2k-2=0(k∈R),若l不經過第二象限,則k的取值范圍為(　　)
A.k≤1　　　　B.k≥0　　　　C.0≤k≤1　　　　D.k≤0
8.已知直線l1:y=mx+n,l2:y=nx-m(mn≠0,m≠n),則下列各圖形中,正確的是(　　)
A B C D
9.(教材習題改編)過點P(3,4)且與坐標軸圍成的三角形的面積為1的直線l的斜截式方程是　　　　　.
10.已知點A(-1,-1),B(2,5)在直線l上.
(1)求直線l的方程;
(2)若直線l1的傾斜角是直線l傾斜角的2倍,且與l的交點在y軸上,求直線l1的方程.
答案與分層梯度式解析
1.2　直線的方程
1.2.1　直線的點斜式方程
基礎過關練
1.B　由直線的點斜式方程可知l的方程為y-2=-2(x-3),結合選項可知B正確.故選B.
2.C　方程=2成立的條件是x≠-3,
當x≠-3時,方程變形為y-6=2(x+3),由直線的點斜式方程知它表示一條斜率為2的直線,但要除去點(-3,6),故選C.
3.D　設直線l1的傾斜角為θ,則tan θ=,
因為l2是l1繞點P(-2,1)逆時針旋轉45°后得到的直線,所以直線l2的傾斜角為θ+45°,
故直線l2的斜率為tan(θ+45°)==3,故直線l2的方程是y-1=3(x+2),即y=3x+7.故選D.
4.答案　3x-4y+12=0
解析　設l的傾斜角為θ,θ∈[0,π),
則cos θ=,∴tan θ=,即直線的斜率為,
又l過點(-4,0),故l的方程為y-0=(x+4),即3x-4y+12=0.
5.解析　(1)由題意得直線l的斜率存在,設為k,k>0,則l的方程為y-1=k(x+2),
令x=0,得y=2k+1,令y=0,得x=--2,
所以S△AOB=OA·OB=·|2k+1|=4,解得k=,
此時直線方程為y-1=(x+2),即x-2y+4=0.
(2)由(1)得OA+OB=+2+2k+1≥2+3,
當且僅當=2k,即k=時,等號成立,
所以OA+OB的最小值為2+3,此時直線l的方程為y-1=(x+2),即x-=0.
易錯警示　在應用直線的點斜式方程時要保證直線的斜率存在.
6.C　直線方程x+y+2=0化成斜截式方程為y=-x-2,
可知直線的斜率為-,故傾斜角為120°,令x=0,得y=-2,故直線在y軸上的截距為-2.故選C.
7.C　由kx-y+2k-2=0(k∈R)得y=kx+2k-2,易知該直線過定點(-2,-2).
當k=0時,y=-2,此時l不經過第二象限;
當k≠0時,若l不經過第二象限,則解得0所以k的取值范圍為0≤k≤1.故選C.
8.D　由題意得直線l1與l2的斜率均存在.
對于A,根據直線l1可知m>0,n<0,因此l2的斜率小于0,在y軸上的截距小于0,故A不符合;
對于B,根據直線l1可知m>0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y軸上的截距小于0,故B不符合;
對于C,根據直線l1可知m<0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y軸上的截距大于0,故C不符合;
對于D,根據直線l1可知m<0,n>0,因此l2的斜率大于0,在y軸上的截距大于0,故D符合.故選D.
9.答案　y=2x-2或y=
解析　由題意知所求直線l的斜率存在,且不為0,設為k(k≠0),則其方程為y-4=k(x-3),
令x=0,得y=4-3k,令y=0,得x=,
故所圍三角形的面積為=1,即(3k-4)2=2|k|,
當k>0時,上式可化為9k2-26k+16=0,解得k=2或k=;
當k<0時,上式可化為9k2-22k+16=0,方程無解.
綜上,直線l的斜截式方程是y=2x-2或y=.
10.解析　(1)因為點A(-1,-1),B(2,5)在直線l上,
所以kAB==2,
所以l的方程為y-5=2(x-2),即2x-y+1=0.
(2)設直線l的傾斜角為θ,則tan θ=2,
所以tan 2θ=,
所以直線l1的斜率k=tan 2θ=-,
對于2x-y+1=0,令x=0,得y=1,即直線l與l1交于點(0,1),
所以直線l1的方程為y=-x+1.
6(共13張PPT)
　　我們把直線l與y軸的交點(0,b)的縱坐標b稱為直線l在y軸上的截距;直線l與x軸的交點(a,
0)的橫坐標a稱為直線l在x軸上的截距.
知識點 1 截距
1.2 直線的方程
必備知識 清單破
知識點 2 直線的方程
名稱 方程形式 已知條件 適用范圍
點斜式方程 y-y1=k(x-x1) 直線上一定點(x1,y1),
斜率k 不垂直于x軸的直線
斜截式方程 y=kx+b 斜率k,直線在y軸上
的截距b 不垂直于x軸的直線
兩點式方程 = (x1≠x2,y1≠y2) 直線上兩點(x1,y1),(x2,y2) 不垂直于x軸和y軸的
直線
截距式方程 + =1(a≠0,b≠0) 直線在x軸、y軸上的
非零截距a,b 不垂直于x軸和y軸,
且不過原點的直線
一般式方程 Ax+By+C=0(A,B不全為0) 系數A,B,C 任何位置的直線
　　注:幾種特殊的直線
(1)x軸:y=0;
(2)y軸:x=0;
(3)平行于x軸的直線:y=b(b≠0);
(4)平行于y軸的直線:x=a(a≠0);
(5)過原點的直線:y=kx或x=0.
知識辨析
1.“直線l在y軸上的截距”和“直線l與y軸的交點到原點的距離”相等嗎
2.方程k= 與y-y0=k(x-x0)表示的意義相同嗎
3.經過點P(x0,y0)的任意直線都可以表示成y-y0=k(x-x0)嗎
4.方程 = 和方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)都可以表示經過兩點(x1,y1),(x2,y2)的任意直
線嗎
5.為什么方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)被稱為“一般式方程”
一語破的
1.不相等.直線l在y軸上的截距是直線與y軸的交點的縱坐標,截距是一個數值,可正、可負、
可為0,而距離為非負數.
2.不相同.方程k= 表示的直線中不包含點(x0,y0),y-y0=k(x-x0)表示的直線中包含點(x0,y0).
3.不一定.當直線的斜率存在時,可以表示成y-y0=k(x-x0);當直線的斜率不存在時,不能表示成y-
y0=k(x-x0),可表示為x=x0.
4.不可以.前者僅能表示不垂直于坐標軸的直線,后者可以表示經過兩點(x1,y1),(x2,y2)的任意直
線.
5.因為點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程都是在某種特定條件下的方程形式,如不滿足
這一特定條件,就不能用這種形式表示,而方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)不受條件的限制,所
以叫作“一般式方程”.
關鍵能力 定點破
定點 1 直線方程的合理選擇和求解
1.直線方程的合理選擇
(1)已知一點的坐標,求過該點的直線方程,一般選用點斜式方程,再由其他條件確定直線的斜
率.注意斜率不存在的情況.
(2)已知直線的斜率,一般選用斜截式方程,再由其他條件確定直線的截距.
(3)已知兩點坐標,一般選用兩點式方程或點斜式方程,若兩點是直線與坐標軸的交點,則選用
截距式方程.
2.求直線方程的兩種方法
(1)直接法:根據已知條件選擇適當的直線方程形式,直接寫出直線方程,選擇時應注意各種形
式方程的適用范圍,必要時進行分類討論.
(2)待定系數法:先設含有參數的直線方程,然后根據條件列出方程(組),求出參數,最后將其代
入得到直線方程.
　　注意:①在求直線方程時,通常將結果化為一般式方程.
②一般式方程的寫法要求:(i)x的系數為非負數;(ii)x,y的系數都為整數;(iii)各項系數沒有公約
數.
典例 求滿足下列條件的直線方程:
(1)經過點(5,-2),且與y軸平行;
(2)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點;
(3)過點(3,4),且在兩坐標軸上的截距互為相反數.
解析 (1)易知與y軸平行的直線的斜率不存在.
∵直線經過點(5,-2),∴直線上點的橫坐標均為5,故直線方程為x=5.
(2)解法一(兩點式):過P(-2,3),Q(5,-4)兩點的直線方程為 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二(點斜式):易知過P,Q兩點的直線的斜率存在,且kPQ= =-1.
∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(3)①當直線在兩坐標軸上的截距互為相反數且不為0時,設直線方程為 + =1.
又直線過點(3,4),∴ + =1,解得a=-1.
∴所求直線方程為 + =1,即x-y+1=0.
②當直線在兩坐標軸上的截距均為0,即直線過原點時,設直線方程為y=kx.又直線過點(3,4),
∴4=k·3,解得k= ,∴所求直線方程為y= x,即4x-3y=0.
綜上,所求直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.
易錯警示 若題目中出現直線在兩坐標軸上的截距“相等”“互為相反數”“在一坐標軸
上的截距是另一坐標軸上截距的m倍(m>0)”等條件時,可采用截距式求直線的方程,但一定
要注意截距為0的情況.
1.對于含參數的直線方程,一般將方程整理成點斜式或斜截式,然后利用系數的幾何意義,結
合圖形探求和證明過定點問題.
2.根據斜截式方程中k,b的幾何意義,可確定函數圖象的位置分布.
定點 2 利用直線方程中系數的幾何意義解決相關問題
典例 已知直線l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:無論a為何值,直線l總經過第一象限;
(2)若直線l不經過第二象限,求實數a的取值范圍.
解析 (1)證明:5ax-5y-a+3=0可化為y- =a ,∴直線l的斜率為a,且過定點 .∵點
在第一象限內,
∴無論a為何值,直線l總經過第一象限.
(2)如圖所示,記A ,則kOA= =3.
∴要使l不經過第二象限,只需a≥kOA,
∴a≥3.
規律總結 已知含參直線的一般式方程Ax+By+C=0(A,B不同時為0),求參數的值或取值范圍
的步驟:

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