資源簡介

(共16張PPT)
1.3　兩條直線的平行與垂直
知識點 1 兩條直線(不重合)平行的判定
必備知識 清單破
知識點 2 兩條直線垂直的判定
類型 斜率都存在 一條直線的斜率不存在,
另一條直線的斜率為0
圖示
對應關系 l1⊥l2 k1k2=-1 l1⊥l2
知識辨析
1.若兩條直線平行,則這兩條直線的斜率一定相等嗎
2.若兩條直線垂直,則這兩條直線的斜率之積一定等于-1嗎
3.已知兩條直線l1,l2的傾斜角分別為α,β,若l1∥l2,則α,β滿足什么關系 若l1⊥l2呢
一語破的
1.不一定.若這兩條直線的斜率都存在,則它們一定相等;也有可能這兩條直線的斜率都不存 在.
2.不一定.當兩條直線的斜率都存在時,斜率之積是-1;也有可能其中一條直線的斜率不存在, 另一條直線的斜率為0.
3.若l1∥l2,則α=β;若l1⊥l2,則|α-β|=90°.
定點 1 兩條直線平行
關鍵能力 定點破
　
1.利用直線方程判定直線平行
(1)已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1∥l2 k1=k2,且b1≠b2.
(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2 或 當A2B2C2≠0時,l1∥l2 = ≠ .
2.與已知直線平行的直線方程的設法
(1)與直線y=kx+b平行的直線的方程可設為y=kx+m(m≠b).
(2)與直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)平行的直線方程可設為Ax+By+m=0(m≠C).
(3)已知直線l過點P(x0,y0),且與直線l1:Ax+By+C=0(P不在l1上)平行,其中A,B不全為0,則直線l的 方程可設為A(x-x0)+B(y-y0)=0.
典例 已知直線l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0,l2:2(k-2)x-2y+4=0,則“k=4”是“l1∥l2”的 (　 )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
A
解析 若l1∥l2,則(k-2)×(-2)-(3-k)×2(k-2)=0,
解得k=2或k=4,經檢驗均滿足題意.
因為{k|k=4} {k|k=2或k=4},
所以“k=4”是“l1∥l2”的充分不必要條件.故選A.
　
1.利用直線方程判定直線垂直
(1)已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1⊥l2 k1·k2=-1.
(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1⊥l2 A1A2+B1B2 =0.當B1B2≠0時,l1⊥l2 · =-1.
2.與已知直線垂直的直線方程的設法
(1)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的直線的方程可設為y=- x+m.
(2)與直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)垂直的直線的方程可設為Bx-Ay+m=0.
(3)已知直線l過點P(x0,y0),且與直線Ax+By+C=0垂直,其中A,B不全為0,則直線l的方程可設為
B(x-x0)-A(y-y0)=0.
定點 2 兩條直線垂直
典例 在△ABC中,已知A(2,4),B(-2,1),C(8,-4),D,E分別為邊AB,AC的中點,AH⊥BC于點H.
(1)求直線DE的方程;
(2)求直線AH的方程.
解析 (1)由中點坐標公式得邊AB的中點D ,邊AC的中點E(5,0),
則直線DE的斜率k= =- ,所以直線DE的方程為y=- x+ ,即x+2y-5=0.
(2)解法一:依題意得BC∥DE,則直線BC的斜率為- ,又AH⊥BC,因此直線AH的斜率為2,所以
直線AH的方程為y-4=2(x-2),即2x-y=0.
解法二:由題意得,直線BC的方程為 = ,即x+2y=0.
因為AH⊥BC,所以可設直線AH的方程為2x-y+m=0,將(2,4)代入,得m=0.
所以直線AH的方程為2x-y=0.
1.利用平行、垂直關系求參數
已知兩條直線平行、垂直關系求參數時,根據定點1、定點2中平行、垂直的判定條件建立方 程(組)求解.用點的坐標表示斜率,通過斜率列關系式時,要注意對參數的討論.
2.利用平行、垂直判斷圖形形狀的步驟
(1)描點:在坐標系中描出給定的點.
(2)猜測:根據描出的點猜測圖形的形狀.
(3)求斜率:若斜率不存在,則直接說明;若斜率存在,則根據給定點的坐標求出直線的斜率.
(4)結論:由斜率之間的關系判斷圖形形狀.
　　注意在求解過程中既要考慮斜率是否存在,又要考慮圖形可能出現的各種情形.
定點 3 平行、垂直關系的應用
典例 (1)已知四邊形ABCD的頂點A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角梯形,求 m和n的值;
(2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四點構成的四邊形是平行四邊形,求點D的坐標.
思路點撥 (1)分析直角頂點的位置,利用兩底邊所在直線平行、直角腰與底垂直列方程組 求解.
(2)點D位置不確定,平行四邊形形狀不固定,可分類討論,再由直線的斜率可求解.
解析 (1)由四邊形ABCD是直角梯形,結合圖形得直角梯形有兩種情形:
①AB∥CD,AB⊥AD,如圖1所示,易得A(2,-1),∴m=2,n=-1.
②AD∥BC,AD⊥AB,如圖2所示,
由圖可知
即 解得
綜上, 或
圖1 圖2
(2)由題意得kAC=2,kAB=- ,kBC=-3,
設點D的坐標為(x,y),分以下三種情況:
①當BC為對角線時,有kBD=kAC,kCD=kAB,
所以kBD= =2,kCD= =- ,
得x=7,y=5,即D(7,5).
②當AC為對角線時,有kAD=kBC,kCD=kAB,
所以kAD= =-3,kCD= =- ,
得x=-1,y=9,即D(-1,9).
③當AB為對角線時,有kBD=kAC,kAD=kBC,
所以kBD= =2,kAD= =-3,
得x=3,y=-3,即D(3,-3).
所以點D的坐標為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

1.到角與夾角的定義
　　當直線l1與l2相交時,把l1繞著l1與l2的交點按逆時針方向旋轉到與l2首次重合時所轉的角 記作θ,則θ叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π);當直線l1與l2相交時,直線l1與l2相交所 成的四個角中最小的正角,記作α,則α叫直線l1與l2的夾角,其中α∈ .
2.到角公式與夾角公式
　　若直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則
(1)直線l1到l2的角θ滿足tan θ= ,θ∈[0,π),若tan θ不存在,則θ= ;
(2)直線l1與l2的夾角α滿足tan α= ,α∈ ,若tan α不存在,則α= .
定點 4 到角公式與夾角公式
3.到角公式與夾角公式的應用
　　當已知兩條直線之間的夾角和其中一條直線的方程,求另外一條直線方程時,常常利用 這兩個公式來處理.若所求直線不唯一,就利用夾角公式,若利用夾角公式求出的只有一條,則 必然有一條斜率不存在;如果所求直線唯一,就利用到角公式,當然也可以利用夾角公式,但求 出的兩條直線要根據條件舍去一條.解答此類問題時,要注意數形結合,分析結果的可能個數, 再決定取舍,同時還要注意斜率不存在的情況.
典例 在等腰三角形ABC中,已知腰AB所在直線的方程為x-2y-2=0,底邊BC所在直線的方程為x +y-1=0,點(-2,0)在另一腰AC上,求腰AC所在直線的方程.
解析 設直線AB,BC,AC的斜率分別為k1,k2,k3,由題設得k1= ,k2=-1.
∵△ABC為等腰三角形,∴∠B=∠C且均為銳角.
易得tan B= = =3,tan C= = ,
則 =3,解得k3= 或k3=2.
∵k1≠k3,∴k3=2.
∴腰AC所在直線的方程為y-0=2(x+2),即2x-y+4=0.1.3　兩條直線的平行與垂直
基礎過關練
題組一　兩條直線平行
1.下列說法中正確的有(　　)
①若兩條直線的斜率相等,則兩直線平行;
②若兩直線平行,則兩直線斜率相等;
③若兩直線中有一條斜率不存在,另一條斜率存在,則兩直線相交;
④若兩條直線的斜率都不存在,則兩直線平行.
A.1個　　　　B.2個　　　　C.3個　　　　D.4個
2.已知直線l1的傾斜角為60°,l2經過點A(1,),則l1,l2的位置關系是(　　)
A.平行或重合　　　　B.平行 C.垂直　　　　D.以上都不對
3.已知直線l1:x+2y+2=0,l2:mx+(1-n)y+1=0,其中m>0,n>0,若l1∥l2,則的最小值為(　　)
A.2　　　　B.2　　　　D.8
4.與直線3x+4y+9=0平行,并且和兩坐標軸在第一象限所圍成的三角形面積是24的直線方程為　　　　　　　　.
題組二　兩條直線垂直
5.(教材習題改編)已知△ABC的三個頂點A(3,0),B(-1,2),C(1,-3),則AB邊上的高CD所在直線的方程是(　　)
A.x+5y-5=0　　　B.x+2y+5=0 C.2x+y-5=0　　　　D.2x-y-5=0
6.兩條平行直線l1,l2分別經過A(1,1),B(0,-1)兩點,當l1,l2間的距離最大時,l1的方程為(　　)
A.x+2y-3=0　　　B.x-2y-3=0 C.2x-y-1=0　　　　D.2x-y-3=0
7.已知直線l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,a>0,b>0,且l1⊥l2,則的最小值為(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
8.已知△ABC的頂點B(2,1),C(-6,3),其垂心為H(-3,2),則點A的坐標為(　　)
A.(-19,-62)　　　　B.(19,-62) C.(-19,62)　　　　D.(19,62)
題組三　直線平行與垂直的綜合應用
9.順次連接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,所構成的圖形是(　　)
A.平行四邊形　　B.直角梯形
C.等腰梯形　　　D.以上都不對
10.(多選題)已知直線l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列說法正確的是(　　)
A.當a=-1時,直線l與直線x+y=0垂直
B.若直線l與直線x-y=0平行,則a=0
C.直線l過定點(0,1)
D.當a=0時,直線l在兩坐標軸上的截距相等
11.菱形ABCD的頂點A,C的坐標分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在直線過點P(8,-1).求:
(1)AD邊所在直線的方程;
(2)對角線BD所在直線的方程.
能力提升練
題組一　兩條直線平行
1.將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的紙折疊一次,使點(2,0)與(-2,4)重合,點(2 021,2 022)與(m,n)重合,則m+n=(　　)
A.1　　　　B.2 023　　　　C.4 043　　　　D.4 046
2.(教材深研拓展)(多選題)已知平面直角坐標系內三點A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1),若A,B,C,D可以構成平行四邊形,且點D在第一象限,則經過點D且與直線AD夾角為45°的直線l的方程為(　　)
A.2x-7y-1=0　　　　B.7x+2y-31=0
C.7x+2y-16=0　　　　D.2x-7y+29=0
3.三角形的歐拉線:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上,這條直線被稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(-3,0),B(3,0),C(3,3),若直線l:ax+(a-3)y-9=0與△ABC的歐拉線平行,則實數a的值為(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.-3　　　　D.3
4.設集合A=,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B= ,則實數a=　　　.
5.已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A,B兩點,分別過點A,B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C,D兩點.
(1)證明:點C,D和原點O在同一條直線上;
(2)當直線BC平行于x軸時,求點A的坐標.
題組二　兩條直線垂直
6.如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AB,斜邊BC為其中一邊向三角形所在一側作正方形ABDE和BCFG,則向量的夾角為(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　
C.90°　　　　D.120°
7.已知直線l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2與兩坐標軸圍成的四邊形有一個外接圓,則k=　　　　.
8.已知△ABC為等腰直角三角形,C為直角頂點,AC的中點為D(0,2),斜邊上的中線CE所在直線的方程為3x+y-7=0,且點C的縱坐標大于點E的縱坐標,則AB所在直線的方程為　　　　　　.
題組三　直線平行與垂直的綜合應用
9.(多選題)△ABC的三個頂點A(4,0),B(0,3),C(6,7),下列說法中正確的是(　　)
A.邊BC與直線3x-2y+1=0平行
B.BC邊上的高所在直線的方程為3x+2y-12=0
C.過點C且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為x+y-13=0
D.過點A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(3,5)
10.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若點Q滿足PQ⊥MN,PN∥MQ,求點Q的坐標;
(2)若點Q在x軸上,且∠NQP=∠NPQ,求直線MQ的傾斜角.
答案與分層梯度式解析
1.3　兩條直線的平行與垂直
基礎過關練
1.A　①④中兩條直線還有可能重合,②中兩直線斜率還有可能都不存在,易知③正確.故選A.
2.A　由題意得l2的斜率k2=,
∵l1的傾斜角為60°,∴其斜率k1=tan 60°=,
故l1與l2平行或重合.故選A.
3.D　∵l1∥l2,∴1-n=2m,∴2m+n=1(m>0,n>0),
∴≥4+2=8,
當且僅當,即m=時,等號成立,
∴的最小值是8.故選D.
4.答案　3x+4y-24=0
解析　解法一:∵直線3x+4y+9=0,即y=-的斜率為-,
∴設所求直線方程為y=-.
令x=0,得y=b;令y=0,得x=.
由題意知,b>0且=24,解得b=6(b=-6舍去),
∴所求直線的方程為y=-x+6,即3x+4y-24=0.
解法二:設所求直線方程為3x+4y+m=0(m≠9).
令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.
由題意得解得m<0,
∴=24,∴m=-24,
∴所求直線的方程為3x+4y-24=0.
5.D　由題意知kAB=,則kCD=-=2,故CD所在直線的方程為y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.故選D.
6.A　當兩條平行直線與AB垂直時,兩條平行直線間的距離最大,
因為kAB==2,所以直線l1的斜率k=-,
所以直線l1的方程為y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
故選A.
7.D　因為l1⊥l2,所以a-1+2b=0,即a+2b=1,
又a>0,b>0,所以≥4+2=8,當且僅當,即a=時等號成立,故選D.
8.A　∵H為△ABC的垂心,
∴AH⊥BC,BH⊥AC.
又kBC=,
∴直線AH,AC的斜率存在,且kAH=4,kAC=5.
設A(x,y),則
∴A(-19,-62).
9.B　由題意得kAB=,則kAB=kCD,kAD≠kCB,
kAD·kAB=-1,所以AB∥CD,AD與BC不平行,AD⊥AB,故構成的圖形為直角梯形.故選B.
10.AC　對于A,當a=-1時,直線l的方程為x-y+1=0,顯然與直線x+y=0垂直,所以A中說法正確;
對于B,若直線l與直線x-y=0平行,則(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以B中說法不正確;
對于C,當x=0時,y=1,所以直線l過定點(0,1),所以C中說法正確;
對于D,當a=0時,直線l的方程為x-y+1=0,其在x軸、y軸上的截距分別是-1,1,所以D中說法不正確.故選AC.
11.解析　(1)∵點P在直線BC上,∴直線BC的斜率kBC==2,∵AD∥BC,∴kAD=2.
∴AD邊所在直線的方程為y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.
(2)易求得kAC=.∵BD⊥AC,∴kBD=.
易知AC的中點也是BD的中點,即(1,1),
∴對角線BD所在直線的方程為y-1=(x-1),即5x-6y+1=0.
能力提升練
1.C　設A(2,0),B(-2,4),則AB所在直線的斜率kAB==-1,
由題知過點(2 021,2 022)與點(m,n)的直線與直線AB平行,
所以=-1,整理得m+n=2 021+2 022=4 043.故選C.
2.BD　如圖,由已知得,該平行四邊形為四邊形ABDC,所以AB∥CD,AC∥BD,故kAB=kCD,kAC=kBD.
由題意得kAB=kCD==1,
設D(x,y),則解得
故點D的坐標為(3,5),所以kAD=.
設所求直線l的斜率為k,則tan 45°=,解得k=或k=-,
所以直線l的方程為2x-7y+29=0或7x+2y-31=0.故選BD.
知識拓展　到角公式與夾角公式:若直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
則直線l1到l2的角的公式為tan θ=,直線l1與l2的夾角公式為tan θ=.
3.C　△ABC的重心為,即(1,1),
在直角坐標系中畫出△ABC可知BC⊥AB,
所以外心為斜邊AC的中點,即,
所以△ABC的歐拉線方程為,即x+2y-3=0,
因為直線ax+(a-3)y-9=0與x+2y-3=0平行,
所以,解得a=-3.故選C.
規律總結　求解本題的關鍵是明確三角形的三心,重心即三條中線的交點,垂心即三條高所在直線的交點,外心即三條垂直平分線的交點,同時對結論“直角三角形的外心是斜邊的中點”的靈活應用.
4.答案　-2或4
解析　集合A表示直線y-3=2(x-1),即直線y=2x+1上除去點(1,3)的點組成的集合,
集合B表示直線4x+ay-16=0上的點組成的集合,易知直線4x+ay-16=0過定點(4,0),故當A∩B= 時,直線y=2x+1與4x+ay-16=0平行或直線4x+ay-16=0過點(1,3),
所以-=2或4+3a-16=0,解得a=-2或a=4.
易錯警示　集合A中含有分式,要保證分母不為0,則集合A表示的直線要除去一個點,求解時不要忽略.
5.解析　(1)證明:設A,B的橫坐標分別為x1,x2(x1≠x2).由題意,知x1>1,x2>1,A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),且,又kOC=,所以kOC=kOD,即點C,D和原點O在同一條直線上.
(2)由(1)知B(x2,log8x2),C(x1,log2x1).
由直線BC平行于x軸,得log2x1=log8x2,
所以x2=,將其代入,得log8x1=3x1log8x1,由x1>1知log8x1≠0,故=3x1,
所以x1=,于是A().
6.C　建立如圖所示的平面直角坐標系,作AH⊥BC于H,DI⊥BC于I,設BC=1,∠ABC=θ,
則G(0,0),C(1,1),AB=BC·cos θ=cos θ,BH=AB·cos θ=cos2θ,AH=ABsin θ=cos θsin θ,
易知△ABH≌△BDI,
故BI=AH=cos θsin θ,DI=BH=cos2θ,
∴A(cos2θ,1-cos θsin θ),D(cos θsin θ,1+cos2θ),
∴kAG=,
故kAGkCD=-1,所以的夾角為90°,故選C.
7.答案　±1
解析　如圖所示,直線l1:x+3y-5=0分別交x軸、y軸于A,B兩點,直線l2:3kx-y+1=0過定點C(0,1).
由點C在線段OB上知l2⊥l1或l2與x軸交于點D,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
設直線l1的傾斜角為α1,l2的傾斜角為α2,則α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)=,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1.
綜上,k=±1.
8.答案　x-3y+1=0
解析　∵中線CE所在直線的方程為3x+y-7=0,
∴可設C(a,-3a+7),E(b,-3b+7)(a由AC的中點為D(0,2),可得A(-a,3a-3),
∴kAE=,
∵△ABC為等腰直角三角形,CE為中線,∴CE⊥AB,∴kAE=-3+,∴a+b=3①.
連接DE,∵CE=AE,D是AC的中點,∴AC⊥DE,∴kAC·kDE=-1,∴=-1,
化簡得2ab=3(a+b)-5②,
由①②解得a=1,b=2(a=2,b=1舍去),則E(2,1),
∴直線AB的方程為y-1=(x-2),即x-3y+1=0.
9.BD　由題意得直線BC的斜率k=,又直線3x-2y+1=0的斜率為,故兩直線不平行,A錯誤;
易得BC邊上的高所在直線的斜率為-,故直線方程為y=-(x-4),即3x+2y-12=0,B正確;
當直線不過原點時,設方程為=1,把C(6,7)代入得=1,解得a=13,故方程為=1,即x+y-13=0,
當直線過原點時,方程為y=x,C錯誤;
易知過點A且平分△ABC面積的直線過邊BC的中點,即(3,5),D正確.故選BD.
10.解析　(1)設Q(x,y),由已知得kMN==3,
∵PQ⊥MN,∴kMN·kPQ=-1,即3×=-1(x≠3).①
由已知得kPN==-2,∵PN∥MQ,∴kPN=kMQ,即=-2(x≠1).②
聯立①②,解得x=0,y=1,∴Q(0,1).
(2)設Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ,∴kNQ=-kNP,
又∵kNQ==2,解得x=1.
∴Q(1,0),又∵M(1,-1),∴MQ⊥x軸,故直線MQ的傾斜角為90°.
13

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