資源簡介

(共10張PPT)
　　設兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,將兩條直線的方程聯立,得到方程組
　　若方程組有唯一解,則兩條直線相交,以此解為坐標的點就是兩直線的交點.
1.4　兩條直線的交點
知識點 1 兩條直線的交點
必備知識 清單破
　　已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,直線l2:A2x+B2y+C2=0,則有
知識點 2 兩條直線的位置關系與方程組解的聯系
知識辨析
1.兩條直線相交,則交點坐標一定是兩條直線方程組成的二元一次方程組的解嗎
2.若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線一定相交嗎
3.對于直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),當A1B2=A2B1時,l1與 l2有沒有公共點
一語破的
1.是.兩條直線相交,交點同時在兩條直線上,分別滿足兩條直線的方程,所以交點坐標一定是 這兩條直線方程組成的方程組的解.
2.不一定.當方程組有無數組解時,兩直線重合.
3.當A1B2=A2B1,且B1C2=B2C1(或A1C2=A2C1)時,兩直線重合,有無數個公共點;當A1B2=A2B1,且B1C2 ≠B2C1(或A1C2≠A2C1)時,兩直線平行,沒有公共點.
關鍵能力 定點破
定點 1 求過兩條直線交點的直線方程的方法
1.直接法:求出兩直線的交點,作為待求直線上的已知點,再根據已知條件求出待求直線的方 程.
2.待定系數法:設經過兩直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0)的 交點的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ為任意實數),然后根據條件求λ.
　　注意該設法中直線的方程可表示除l2外所有過兩直線交點的直線.
典例 已知兩直線l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交點為P.求:
(1)過點P與Q(1,4)的直線方程;
(2)過點P且與直線x-3y-1=0平行的直線方程.
解析 解法一(直接法):(1)由 解得 即P(2,2).
所以所求直線方程為 = ,即2x+y-6=0.
(2)由(1)知點P(2,2),因為直線x-3y-1=0的斜率為 ,
所以所求直線方程為y-2= (x-2),即x-3y+4=0.
解法二(待定系數法):(1)設過直線l1和l2交點的直線方程為x+2y-6+m(x-2y+2)=0,即(m+1)x+(2-2 m)y+(2m-6)=0①.
把(1,4)代入①,化簡得3-5m=0,解得m= ,所以過點P與Q的直線方程為 x+ y- =0,即2x+y-6
=0.
(2)由(1)知過直線l1和l2交點的直線方程為(m+1)x+(2-2m)y+(2m-6)=0,則由兩直線平行,得-3(m+
1)=2-2m,得m=-5,所以所求直線的方程為-4x+12y-16=0,即x-3y+4=0.
1.將直線方程轉化為y-y0=k(x-x0)的形式,則直線必過定點(x0,y0).
2.應用分離參數的方法,將直線方程轉化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0,由 求出
定點坐標.
3.應用特殊值法,給方程中的參數賦兩個特殊值,可得關于x,y的兩個方程,將其聯立并求解,則 解出的x,y的值分別為所求定點的橫、縱坐標.
定點 2 求解直線過定點問題的常用方法
典例 已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0為直線l的方程,求證:無論k取何實數,直線l都過定點,并求出這個 定點的坐標.
解析 解法一: 原方程整理得(x+y)+k(x-y-2)=0,無論k取何實數,直線l都過定點,且定點坐標即 為方程組 的解,解此方程組得
∴無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).
解法二:由直線l的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k,變形為(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1),即(k+1)(x-1)+(1-k) (y+1)=0.
直線l的方程為過定點(x0,y0)的直線系方程A(x-x0)+B(y-y0)=0的形式,所以直線l必過定點,定點 坐標為方程組 的解,解此方程組得
∴無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).
解法三: 對于方程(k+1)x-(k-1)y-2k=0,令k=0,得x+y=0;令k=1,得2x-2=0.
解方程組 得 即兩直線的交點為(1,-1).將(1,-1)代入直線l的方程的左邊,得(k+
1)-(k-1)·(-1)-2k=0.這表明無論k取何實數,直線l都過定點(1,-1).1.4　兩條直線的交點
基礎過關練
題組一　兩直線的交點及其應用
1.(多選題)與直線2x-y-3=0相交的直線方程是(　　)
A.y=2x+3　　　　B.y=-2x+3
C.4x-2y-6=0　　　　D.4x+2y-3=0
2.若直線y=x+2k+1與直線y=-x+2的交點在第一象限,則實數k的取值范圍是(　　)
A.
C.
3.(教材習題改編)(多選題)若三條直線(a2-3a+1)x-2y+5=0,y=2x,x+2y=5交于一點,則a=(　　)
A.-2　　　　B.3　　　　C.1　　　　D.2
4.已知△ABC三邊所在直線的方程分別為AB:3x+4y+12=0,BC:4x-3y+16=0,CA:2x+y-2=0,則AC邊上的高所在直線的方程是(　　)
A.x-2y+4=0　　　　B.x-7y+4=0
C.4x-3y-9=0　　　　D.7x+y+28=0
5.(多選題)若三條不同的直線l1:mx+2y+m+4=0,l2:x-y+1=0,l3:3x-y-5=0能圍成一個三角形,則m的取值不可能為(　　)
A.-2　　　　B.-6　　　　C.-3　　　　D.1
題組二　過兩直線交點的直線方程
6.無論k為何值,直線(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都過一個定點,則該定點為(　　)
A.(1,3)　　　　B.(-1,3)
C.(3,1)　　　　D.(3,-1)
7.平面直角坐標系xOy中,過直線l1:7x-3y+1=0與l2:x+4y-3=0的交點,且在y軸上截距為1的直線l的一般式方程為　　　　　　.
8.已知直線x+ky+2=0經過兩直線3x+2y-9=0和x-1=0的交點,則k的值等于　　　　.
9.已知直線l經過兩條直線x+2y-5=0和3x-y-1=0的交點.
(1)若直線l與直線x-2y-1=0垂直,求l的方程;
(2)若直線l在兩個坐標軸上的截距相同,求l的方程.
能力提升練
題組　兩條直線交點問題的應用
1.(多選題))已知直線l1:ax-y+2=0,直線l2:x-ay+2=0,則(　　)
A.當a=0時,兩直線的交點為(-2,2)
B.直線l1恒過點(0,2)
C.若l1⊥l2,則a=0
D.若l1∥l2,則a=1或a=-1
2.經過直線x+y+1=0和2x+y+5=0的交點,且在兩坐標軸上的截距之和為0的直線方程為(　　)
A.x+y+7=0
B.x-y+7=0
C.x-y+7=0或3x+4y=0
D.x+y+7=0或3x+4y=0
3.(多選題)已知平面上三條直線x-2y+1=0,2x+y-1=0,x+ky=0,如果這三條直線將平面劃分成六部分,則實數k的可能取值為(　　)
A.
4.如圖,在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,∠BAC的平分線所在直線的方程為y=0,若點B的坐標為(1,2),則點A的坐標為　　　　,點C的坐標為　　　　.
5.經過點P(0,1)的直線l與直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分別交于P1,P2兩點,且滿足,則直線l的方程為　　　　.
6.已知定點P(6,4)與定直線l1:y=4x,過P點的直線l與l1交于第一象限的Q點,與x軸正半軸交于點M,則使△OQM(O為坐標原點)面積最小的直線l的方程為　　　　　　.
7.已知△ABC的頂點A(3,3),AB邊上的中線CM所在直線的方程為x+y-1=0,AC邊上的高BN所在直線的方程為6x-y+3=0.
(1)求頂點B的坐標;
(2)求直線BC的方程.
答案與分層梯度式解析
1.4　兩條直線的交點
基礎過關練
1.BD　對于A,聯立無解,兩直線平行;
對于B,聯立有唯一解,兩直線相交;
對于C,聯立有無數組解,兩直線重合;
對于D,聯立有唯一解,兩直線相交.
故選BD.
2.A　聯立.
因為交點在第一象限,所以解得-.故選A.
3.CD　聯立故直線y=2x與x+2y=5的交點為(1,2),
將(1,2)代入方程(a2-3a+1)x-2y+5=0中,解得a=1或a=2.故選CD.
方法點撥　若三條直線交于同一個點,求直線方程中的參數時,只需求出其中兩條直線的交點,利用該交點也在第三條直線上即可求解.若三條直線有三個不同的交點,則需滿足其中兩條直線的交點不在第三條直線上,且三條直線兩兩互不平行.
4.A　易知AC邊上的高所在直線的斜率存在,設為k,易求得kAC=-2,∴k=,
聯立得x=-4,y=0,即B(-4,0),
∴AC邊上的高所在直線的方程為y=(x+4),整理得x-2y+4=0.故選A.
5.ABC　易知直線l1過定點(-1,-2),且該點不在直線l2,l3上.若l1∥l2,則,解得m=-2;
若l1∥l3,則,解得m=-6;
若l1經過直線l2與l3的交點,此時三條直線不能圍成一個三角形,
聯立即交點坐標為(3,4),
將(3,4)代入直線l1的方程,可得3m+2×4+m+4=0,解得m=-3.
故選ABC.
歸納總結　本題求三條直線能圍成三角形時m的值不可能是多少,也就是求三條直線不能圍成三角形時m的值,要注意理清邏輯關系,三條直線不能圍成三角形有兩種情況,一是其中兩條直線平行或重合,二是三條直線交于一點.
6.D　直線方程可化為(2x+y-5)+k(x-y-4)=0,則此直線過直線2x+y-5=0和x-y-4=0的交點.由因此所求定點為(3,-1).
故選D.
7.答案　9x+5y-5=0
解析　解法一:由即直線l1與l2的交點為,又l過點(0,1),所以由直線的兩點式方程得,化簡得9x+5y-5=0.
解法二:設l的方程為7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,由已知得l過點(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0 λ=2,故直線l的方程為9x+5y-5=0.
方法技巧　求過兩條直線交點的直線方程一般有兩種方法,一是直接求出交點坐標,再結合已知條件求直線方程,二是待定系數法,即設過直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,求出λ即可.
8.答案　-1
解析　解法一:聯立即兩直線的交點為(1,3),將點(1,3)代入方程x+ky+2=0,可得1+3k+2=0,解得k=-1.
解法二:設直線方程為3x+2y-9+λ(x-1)=0,即(3+λ)x+2y-9-λ=0,
所以,解得λ=-5,k=-1.
9.解析　解法一:由
即直線x+2y-5=0和3x-y-1=0的交點為(1,2).
(1)因為l垂直于直線x-2y-1=0,所以l的斜率為-2.
由點斜式可得直線l的方程為y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.
(2)①當截距為0時,設l的方程為y=kx,
把點(1,2)代入得k=2,所以l的方程為2x-y=0;
②當截距不為0時,設l的方程為=1,
把點(1,2)代入得=1,解得a=3,所以l的方程為x+y-3=0,
所以l的方程為2x-y=0或x+y-3=0.
解法二:設l的方程為x+2y-5+λ(3x-y-1)=0,即(1+3λ)x+(2-λ)y-5-λ=0.
(1)因為l垂直于直線x-2y-1=0,所以1×(1+3λ)+(-2)×(2-λ)=0,解得λ=,
所以l的方程為=0,即2x+y-4=0.
(2)若截距為0,則-5-λ=0,解得λ=-5,此時l的方程為2x-y=0;
若截距不為0,則1+3λ=2-λ,解得λ=,此時l的方程為x+y-3=0,
所以l的方程為2x-y=0或x+y-3=0.
能力提升練
1.ABC　對于A,當a=0時,l1:2-y=0,l2:x+2=0,由所以兩直線的交點為(-2,2),故A正確;
對于B,令即l1恒過點(0,2),故B正確;
對于C,若l1⊥l2,則a×1+(-1)×(-a)=0,解得a=0,故C正確;
對于D,若l1∥l2,則a×(-a)-1×(-1)=0,解得a=1或a=-1,
當a=1時,l1:x-y+2=0,l2:x-y+2=0,兩直線重合,故舍去,
當a=-1時,l1:x+y-2=0,l2:x+y+2=0,兩直線平行,所以a=-1,故D錯誤.
故選ABC.
2.C　由
所以直線x+y+1=0和2x+y+5=0的交點為(-4,3),
由題意可知所求直線的斜率存在且不為0,設為k(k≠0),則所求直線的方程為y-3=k(x+4),
令x=0,可得y=4k+3,令y=0,可得x=-4-,
則-4-+4k+3=0,整理得4k2-k-3=0,解得k=1或k=-,所以所求直線的方程為x-y+7=0或3x+4y=0.
故選C.
3.ABD　三條直線將平面劃分成六部分有以下兩種情況:
①三條直線交于同一點,解方程組,直線x+ky=0也過該點,故k=0 k=-.
②直線x+ky=0與已知兩條直線中的一條平行,
當直線x+ky=0與x-2y+1=0平行時,易得k=-2;
當直線x+ky=0與2x+y-1=0平行時,易得k=.
綜上所述,k的取值集合為.
故選ABD.
4.答案　(-1,0);(5,-6)
解析　由方程組
故點A(-1,0).
∵∠BAC的平分線所在直線的方程為y=0,
∴kAC=-kAB=-1,∴邊AC所在直線的方程為y=-(x+1).
∵BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,
∴kBC=-2.
又B(1,2),∴邊BC所在直線的方程為y-2=-2(x-1).
由故點C(5,-6).
5.答案　y=1
解析　當直線l的斜率不存在時,方程為x=0,
此時直線l與兩直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交點P1,P2的坐標分別為,(0,8),則=(0,7),不滿足,
故直線l的斜率存在,設為k,則l的方程為y=kx+1,
則直線l與兩直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0的交點P1,P2的橫坐標分別為,
∵,解得k=0,
故直線l的方程為y=1.
6.答案　x+y-10=0
解析　當直線l的斜率不存在時,其方程為x=6,由即Q(6,24),易知M(6,0),
所以△OQM的面積S=×6×24=72.
當直線l的斜率存在時,不妨設其方程為y-4=k(x-6),令y=0,得x=6-,即M,易知6->0,①
由即Q,則>0,②
由①②得k<0或k>4,
此時,△OQM的面積S=,
令3k-2=t(t<-2或t>10),得k=,
則S=,由t<-2或t>10,得-<0或0<,
又1-,
所以0<-20,故S==40,此時t=-5,k=-1,
因為40<72,所以使△OQM面積最小的直線l的方程為y-4=-(x-6),即x+y-10=0.
7.解析　(1)設B(x0,y0),則M,
由已知可得
所以點B的坐標為(-1,-3).
(2)由已知可設直線AC的方程為x+6y+m=0,
又點A在直線上,所以3+18+m=0,解得m=-21,
所以直線AC的方程為x+6y-21=0.
聯立則C(-3,4).
由兩點式方程得,整理可得7x+2y+13=0.
12

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