資源簡介

(共29張PPT)
　　平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式為P1P2= .
1.5　平面上的距離
知識點 1 兩點間的距離
必備知識 清單破
　　對于平面上的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點是M(x0,y0),則x0= ,y0= .
知識點 2 中點坐標公式
1.點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)的距離d= .
2.兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(A,B不全為0,C1≠C2)間的距離d= .
　　注:應用兩條平行直線間的距離公式時,兩條平行直線的方程需為一般式,且x,y的系數對 應相等.
知識點 3 點到直線的距離
知識辨析
1.求解直線外一點到直線的距離,除了利用點到直線的距離公式之外,還可以用什么方法
2.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離可以寫成 嗎
3.直線l1:x+y-3=0與l2:3x+3y-1=0之間的距離d= = ,對嗎
一語破的
1.還可以看作求直線外一點到直線上任意一點的距離的最小值,利用兩點間距離公式化為一 元函數求最小值.
2.不可以.要將直線方程化為一般式,即kx-y+b=0,則點P(x0,y0)到直線的距離為 .
3.不對.應用兩條平行直線間的距離公式時,應先將方程化為一般式,且x,y的系數對應相等,即
l1:3x+3y-9=0,故兩直線間的距離d= = .
　　平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離為P1P2= .
　　注:兩點間的距離公式與兩點的先后順序無關,即公式既可以寫成P1P2= ,也可以寫成P1P2= ,利用此公式可以實現幾何問題與
代數問題的相互轉化.
特別地,當直線P1P2平行或重合于坐標軸時距離公式仍然成立,但一般我們用下列方法求距 離:當直線P1P2平行或重合于x軸時,P1P2=|x2-x1|;當直線P1P2平行或重合于y軸時,P1P2=|y2-y1|.
定點 1 平面上兩點間的距離公式
關鍵能力 定點破
典例 著名數學家華羅庚曾說過:“數形結合百般好,隔離分家萬事修.”事實上,有很多代數問 題可以轉化為幾何問題加以解決,如: 可以轉化為平面上點M(x,y)與點N(a,b)
的距離.結合上述觀點,可得 - 的最大值為　　　 .
解析 -
= - ,
可轉化成x軸上一點P(x,0)到點M(1,2)的距離與到點N(0,1)的距離之差.
PM-PN≤MN= = ,
當且僅當M,N,P三點共線時等號成立,
所以 - 的最大值為 .
方法技巧 代數式 可以看作點(x,y)到定點(a,b)的距離;代數式
可以看作x軸上的點(x,0)到定點(a,b)的距離;代數式 可以看作y軸上的點(0,y)到定
點(a,b)的距離.
應用點到直線的距離公式時的注意事項
(1)當點在直線上時,點到該直線的距離為0,點到直線的距離公式仍然適用.
(2)點到直線的距離公式對于直線的一般式方程中A=0或B=0的情況仍然適用.
(3)在應用點到直線的距離公式時,若給出的直線方程不是一般式,則應先把方程化為一般式.
定點 2 點到直線的距離
1.當直線的方程為一般式時,可利用兩平行線間的距離公式,其步驟如下:

　　解題時必須注意兩直線方程中x,y的系數要對應相等,若不相等,則先將系數化為相等,再 代入公式求解.
定點 3 兩條平行線之間的距離
2.當直線的方程為斜截式,即l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2,且b1≠b2時,d= .
3.利用化歸思想將求兩平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線 的距離.
典例 已知斜率存在的兩直線l1與l2,直線l1經過點(0,3),直線l2經過點(4,0),且l1∥l2.
(1)若l1與l2之間的距離為4,求兩直線的方程;
(2)若l1與l2之間的距離最大,求最大距離,并求此時兩直線的方程.
思路點撥 (1)設兩直線的斜率均為k,得出l1,l2的一般式方程,然后由條件建立方程求解;
(2)當l1,l2與經過(0,3),(4,0)兩點的直線垂直時,距離最大,然后根據兩點連線的斜率得出直線l1,
l2的斜率,進而求出兩直線方程.
解析 (1)由l1與l2的斜率都存在且l1∥l2,可設兩直線的斜率均為k,得l1的方程為y=kx+3,即kx-y+ 3=0,l2的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0.
又直線l1上的點(0,3)到直線l2的距離d= =4,
所以16k2+24k+9=16k2+16,所以k= .
所以l1:7x-24y+72=0,l2:7x-24y-28=0.
(2)當l1,l2與經過(0,3),(4,0)兩點的直線垂直時,距離最大,最大距離為(0,3),(4,0)兩點間的距離, 為5,因為兩點連線的斜率為- ,所以直線l1,l2的斜率為 ,
所以l1:4x-3y+9=0,l2:4x-3y-16=0.
1.點關于點的對稱
　　求點P1(x1,y1)關于點P2(x2,y2)的對稱點P(x,y)時,可由中點坐標公式得 則有

2.點關于直線的對稱
(1)點P(x1,y1)關于直線l:Ax+By+C=0(A,B均不為0)對稱的點為P'(x2,y2),則可根據直線PP'垂直 于l,及線段PP'的中點在l上列方程組,即 解出x2,y2即可.
定點 4 常見的對稱問題
①點(x0,y0)關于直線y=0(即x軸)的對稱點為(x0,-y0);
②點(x0,y0)關于直線x=0(即y軸)的對稱點為(-x0,y0);
③點(x0,y0)關于直線y=x的對稱點為(y0,x0);
④點(x0,y0)關于直線y=-x的對稱點為(-y0,-x0);
⑤點(x0,y0)關于直線x=m(m≠0)的對稱點為(2m-x0,y0);
⑥點(x0,y0)關于直線y=n(n≠0)的對稱點為(x0,2n-y0).
3.直線關于點的對稱
求直線關于點對稱的直線方程的方法:
　　方法一:在已知直線上取兩點,利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標, 再由兩點式求出直線方程.
　　方法二:在已知直線上取一點,求出該點關于已知點的對稱點,再利用兩對稱直線平行,由
(2)點關于直線對稱的常用結論:
點斜式得到所求直線的方程.
　　方法三:由平行直線系,結合兩條平行線間的距離公式求得.
4.直線關于直線的對稱
　　已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直線l1關于直線l2對稱的直線方程:
(1)若l1∥l2,則設所求直線的方程為A1x+B1y+m=0 ,然后在l1上找一點P(x,y),求出
點P關于直線l2的對稱點P'(x',y'),再將(x',y')代入A1x+B1y+m=0,即可解出m;
(2)若l1與l2相交,則先求出l1與l2的交點N,然后在l1上確定一點M(不同于交點N),找出點M關于l2 的對稱點M',由點N,M'即可確定所求直線的方程.
典例 已知直線l:x+2y-2=0,試求:
(1)點P(-2,-1)關于直線l的對稱點的坐標;
(2)直線l1:y=x-2關于l對稱的直線l2的方程;
(3)直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程.
解析 (1)設點P(-2,-1)關于直線l的對稱點為P'(x0,y0),線段PP'的中點為M,則M在直線l上,且PP' ⊥l.
所以有 解得
故點P'的坐標為 .
(2)解法一:由 得 即直線l與l1的交點為(2,0),記N(2,0),在l1上任取一點B(0,
-2),設B關于直線l的對稱點為B'(x1,y1),
則 解得 即B' ,
所以直線l2的斜率kNB'= =7,
所以l2的方程為y=7(x-2),即7x-y-14=0.
解法二:由于直線l1:y=x-2關于直線l對稱的直線為l2,因此l2上任一點P1(x,y)關于l的對稱點P'1(x', y')一定在直線l1上.
由 得
把(x',y')代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程為7x-y-14=0.
(3)設直線l關于點A(1,1)對稱的直線為l',則直線l'上任一點P'2(x'2,y'2)關于點A的對稱點P2(x2,y2) 一定在直線l上.
由 得
將(x2,y2)代入直線l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直線l'的方程為x+2y-4=0.
方法技巧 關于對稱問題,要充分利用“垂直平分”這個基本條件,“垂直”是指兩個對稱 點的連線與已知直線垂直,“平分”是指兩個對稱點連成的線段的中點在已知直線上,可通 過這兩個條件列方程組求解.
1.在直線l上求一點P,使P到兩個定點的距離之和最小的求法
(1)當兩定點A,B在l的異側時,如圖①,連接AB,線段AB交l于點P,此時AB與l的交點P到兩定點 的距離之和最小,為線段AB的長.在l上任取一點P',則P'A+P'B≥AB.
(2)當兩定點A,B在l的同側時,如圖②,作點A關于l的對稱點A',連接A'B交l于點P,此時點P到兩 定點的距離之和最小.
定點 5 對稱在求最值中的應用
2.在直線l上求一點P,使P到兩定點的距離之差的絕對值最大的求法
(1)當兩定點A,B在直線l的同側時(A,B連線與l不平行),如圖③,連接BA并延長,交直線l于點P. 此時點P到兩定點的距離之差的絕對值最大,最大值為線段AB的長.在l上任意取一點P’,則有
|P'B-P'A|≤AB.
(2)當兩定點A,B在直線l的異側時,如圖④,作點A關于直線l的對稱點A',連接BA'(BA'所在直線 與l不平行)并延長,交l于點P.此時點P到兩定點距離之差的絕對值最大,最大值為線段A'B的 長,即|PB-PA|=|PB-PA'|=A'B.在l上任取一點P',則有|P'B-P'A|=|P'B-P'A'|≤A'B.
典例 已知平面上兩點A(4,1)和B(0,4),在直線l:3x-y-1=0上求一點M,
(1)使|MA-MB|的值最大;
(2)使MA+MB的值最小.
思路點撥 (1)由題設求出B關于l的對稱點C(m,n),再根據|MA-MB|=|MA-MC|≤AC即可求最大 值,由此得直線AC的方程,與l的方程聯立得交點M的坐標.
(2)利用兩點間線段最短,即可求最小值,即(MA+MB)min=AB,由此得直線AB的方程,與l的方程 聯立,得交點M的坐標.
解析 (1)若C(m,n)為B關于直線l的對稱點,則BC的中點 在直線l上,
所以 得 則C(3,3),
由MB=MC,則|MA-MB|=|MA-MC|≤AC,
要使|MA-MB|的值最大,只需A,C,M共線,則|MA-MB|max=AC= .
此時直線AC的方程為 = ,即2x+y-9=0,
由 解得 所以M(2,5).
即在直線l:3x-y-1=0上存在點M(2,5),使|MA-MB|的值最大,最大值為 .
(2)要使MA+MB的值最小,只需A,B,M共線,則(MA+MB)min=AB=5.
易得直線AB的方程為 = ,即3x+4y-16=0.
由 解得 即在直線l:3x-y-1=0上存在點M ,使MA+MB的值最小,最小
值為5.
學科素養 情境破
素養 在利用直線系方程證明平面幾何問題的過程中培養學生數學抽象的核心素養
素養解讀
　　直線系是指具有某種共同性質的直線的集合,在解析幾何中,常見的直線系有平行直線 系、垂直直線系、在兩坐標軸截距滿足一定關系的直線系、過定點的直線系等,利用直線系 方程解決有關問題,可以把握研究對象的數學特征,將直線的幾何性質與方程的代數特征結 合起來,進一步理解數學結論的一般性,感悟通性通法的數學原理及其中蘊含的數學思想,有 助于培養學生數學抽象的核心素養.
典例呈現
例題 在△ABC中,BC解題思路 以AB所在直線為x軸,CH所在直線為y軸建立直角坐標系(如圖).
設A(-a,0),B(b,0),C(0,c),H(0,h),則 =(a,h), =(-b,c),由 · =0,可得
-ab+ch=0,則h= ,故H .
易知直線BC的方程為 + =1,直線AC的方程為- + =1,直線AH的方程為- + =1,直線BH
的方程為 + =1,
所以經過直線AH和BC的交點P的直線方程可以設為 + -1+λ =0,
經過直線BH和AC的交點Q的直線方程可以設為- + -1+μ =0.
取λ=μ=1,則兩條直線重合,所以直線PQ的方程為 x+ y-2=0,
令y=0,得x= ,則T ,故kHT= = .
又M ,所以kCM= ,
所以kHTkCM=-1,從而TH⊥CM.
思維升華
　　用解析法證明平面幾何問題時,直線系方程的巧妙利用,不僅能夠凸顯圖形的幾何性質, 而且能夠優化解題過程,減少運算量,能較簡單地得到所需結論,充分體現了整體處理問題的 解題策略.解決此類問題,需要結合圖形合理建系,根據圖形的特征正確設直線系方程,需要對 常見的直線系方程熟練掌握.1.5.2　點到直線的距離
基礎過關練
題組一　點到直線的距離
1.(多選題)已知直線l過原點,且A(1,4),B(3,2)兩點到直線l的距離相等,則直線l的方程可以為(　　)
A.x+y=0　　　　B.x+y-5=0 C.3x-2y=0　　　　D.3x+2y=0
2.已知點A(2,1),點B在直線x-y+3=0上,則AB的最小值為　　(　　)
A.　　　　D.4
3.點P為x軸上的點,A(1,2),B(3,4),以A,B,P為頂點的三角形的面積為8,則點P的坐標為(　　)
A.(7,0)或(-9,0)　 B.(7,0)或(-11,0) C.(7,0)或(9,0)　D.(-11,0)或(-9,0)
4.已知點P(x,y)在直線x-y-1=0上運動,則(x-2)2+(y-2)2的最小值是(　　)
A.
題組二　兩條平行線間的距離
5.兩條平行直線2x-y+3=0和ax+3y-4=0間的距離為d,則(　　)
A.a=6,d=
C.a=6,d=
6.若P,Q分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上的任意一點,則PQ的最小值為(　　)
A.
7.已知直線l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取點A,在l2上任取點B,過線段AB的中點作l2的平行線l3.
(1)求直線l1與l2之間的距離;
(2)求直線l3的方程.
題組三　距離公式的綜合應用
8.若動點A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則線段AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　)
A.3　　　　D.4
9.已知直線l1:ax-2y+3=0,l2:x+(a-3)y+5a=0.
(1)當a=1時,求兩直線間的距離;
(2)若l1⊥l2,求a的值;
(3)寫出原點到直線l1的距離,并求出該距離的最大值.
能力提升練
題組　距離公式的綜合應用
1.已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則的最小值為(　　)
A.
2.已知直線l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,點M(5,4),記M到l的距離為d,則d的取值范圍為(　　)
A.[0,3)　　　　C.[0,18]　　　　D.[0,18)
3.(多選題)若P,Q分別為l1:3x+4y-12=0,l2:ax+8y+c=0上的動點,且滿足l1∥l2,則下列說法正確的有(　　)
A.a=6
B.c≠-24
C.當c確定時,PQ有最小值,沒有最大值
D.當PQ的最小值為3時,c=3
4.已知a>0,直線l1:x+ay=2a+4與y軸的交點為A,l2:2x+ay=2a+8與x軸的交點為B,l1與l2的交點為C.當四邊形OACB(O為坐標原點)的面積取最小值時,點B到直線l1的距離是(　　)
A.
5.若恰有三組不全為0的實數對(a,b)滿足關系式|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,寫出符合條件的實數t的一個取值:　　　　　　.
6.已知△ABC的頂點A(0,4),B(-4,0),C(2,0).
(1)若直線l過頂點C,且頂點A,B到直線l的距離相等,求直線l的方程;
(2)數學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出:三角形的外心、重心、垂心共線,這條直線被稱為歐拉線,求△ABC的歐拉線方程.
7.已知三條直線l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,l3:x+y-1=0,且原點到直線l1的距離是.
(1)求a的值;
(2)若a>0,能否找到一點P,使P同時滿足下列三個條件:①點P在第一象限;②點P到l2的距離是點P到l1的距離的2倍;③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是 若能,求點P的坐標;若不能,說明理由.
答案與分層梯度式解析
1.5.2　點到直線的距離
基礎過關練
1.AC　易知直線l的斜率存在.設直線l的方程為kx-y=0,由已知及點到直線的距離公式可得,解得k=-1或k=,即直線l的方程為x+y=0或3x-2y=0.故選AC.
2.C　易知當AB與直線x-y+3=0垂直,且B為垂足時,AB的值最小,最小值為點A到直線x-y+3=0的距離,故(AB)min=.故選C.
3.A　設P(x,0),易求得直線AB的方程為x-y+1=0,
則點P到直線AB的距離d=,
又AB=,
所以S△ABP==8,解得x=-9或x=7,
所以點P的坐標為(7,0)或(-9,0).故選A.
4.A　(x-2)2+(y-2)2表示點P(x,y)與點(2,2)之間距離的平方,
因為點(2,2)到直線x-y-1=0的距離d=,
所以(x-2)2+(y-2)2的最小值為d2=.故選A.
5.B　由題意可得2×3=-a,則a=-6,方程-6x+3y-4=0可化為2x-y+=0,則d=.故選B.
易錯警示　應用兩平行線間的距離公式時,兩直線方程中x,y的系數要對應相等,如果不相等,要先化為相等再應用公式解決問題.
6.C　因為≠-,所以兩直線平行,
將方程3x+4y-12=0化為6x+8y-24=0,
由題意可知PQ的最小值為這兩條平行直線間的距離,即,所以PQ的最小值為.故選C.
7.解析　(1)易知l1與l2平行,所以兩平行直線l1與l2間的距離d=.
(2)由l3∥l2可設l3的方程為2x+3y+C=0(-8由題意知l3與l1之間的距離為,所以,解得C=5或C=31(舍去),所以l3的方程為2x+3y+5=0.
8.A　由題意知點M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上,
設該直線方程為x+y+c=0(-79.解析　(1)當a=1時,l1:x-2y+3=0,l2:x-2y+5=0,
所以兩直線間的距離為.
(2)若l1⊥l2,則a×1+(-2)×(a-3)=0,解得a=6.
(3)原點到直線l1的距離d=,當a=0時,dmax=.
能力提升練
1.C　由題可得(m,n)為直線3x+4y=6上的動點,(a,b)為直線3x+4y=1上的動點,
的最小值可理解為兩動點間距離的最小值,
顯然最小值即兩平行線間的距離,為=1.故選C.
規律總結　根據平面解析幾何的相關知識可將具有顯著特征的代數式賦予其幾何意義,根據幾何圖形的相關性質求解,常見的有:系數不全為0的二元一次方程表示平面內的直線,表示平面內兩點(m,n)與(a,b)間的距離.除此之外,涉及分式形式的代數式可考慮斜率.
2.B　當l過點M時,M到l的距離為0,此時(m+2)×5+(m-1)×4-3m-3=0,解得m=-,符合題意;
當l不過點M時,由直線l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0,
由即直線l過定點(2,1),設為A,
則MA=,
當l與直線MA垂直時,d=3,此時距離最大,
因為kMA==1,所以kl=-=-1,m的值不存在,即這樣的直線l不存在,所以0≤d<3.故選B.
3.ABC　因為l1∥l2,所以4a=3×8=24,,所以a=6,c≠-24,故A,B正確;
因為l1∥l2,所以PQ的最小值為l1,l2之間的距離,由A得l2:6x+8y+c=0,可變形為3x+4y+=0,故l1,l2之間的距離d=,
所以當c確定時,PQ有最小值,為,沒有最大值,故C正確;
當=3時,c=6或c=-54,故D錯誤.故選ABC.
4.B　直線l1:x+ay=2a+4即為x-4=-a(y-2),l2:2x+ay=2a+8即為2(x-4)=-a(y-2),都過點(4,2),即點C(4,2).
在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,同理可得B(4+a,0),如圖,
所以S四邊形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2,
當且僅當a=,即a=2時等號成立.
所以當a=2時,四邊形OACB的面積取最小值.
此時,點B的坐標為(4+2,0),直線l1的方程是x+2=0,
故點B到直線l1的距離是.故選B.
5.答案　(答案不唯一)
解析　由|2a+b+1|=|a-5b-1|=t,
得=t,可以看成恰有三條不過原點的直線l:ax+by+1=0滿足A(2,1),B(-1,5)到該直線的距離相等.
當AB∥l時,kAB=,則,此時t>0,有2條滿足題意的直線l,
∵a,b不全為0,∴l不過原點,當l過原點時,方程為4x+3y=0,此時t=,故當t=且AB∥l時,有1條直線滿足條件;
當l過線段AB的中點且不垂直于AB時,有2條滿足題意的直線l,∵a,b不全為0,∴l不過原點,當l過原點和線段AB的中點時,方程為6x-y=0,此時t=,故當t=且l過線段AB的中點且不垂直于AB時,有1條直線滿足條件;
當l過線段AB的中點且l⊥AB時,t=,有1條直線滿足條件.
綜上,當t=或t=或t=時,滿足題意.
小題速解　本題是填空題,很容易想到當l過線段AB的中點且l⊥AB時的情況,可以直接計算這種情況下t的值.
6.解析　(1)直線l的斜率顯然存在,可設直線l:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,
由題意可得,
整理得|k+2|=|3k|,解得k=1或k=-,
所以直線l的方程為x-y-2=0或x+2y-2=0.
(2)易得BC的垂直平分線的方程為x=-1,可設△ABC的外心P(-1,y),
因為PA=PC,所以,
則1+(y-4)2=9+y2,解得y=1,即P(-1,1),
由題意可知△ABC的重心G,則歐拉線的斜率kGP==1,
故△ABC的歐拉線的方程為y-1=x-(-1),即x-y+2=0.
7.解析　(1)因為原點到直線l1的距離是,所以,所以|a|=3,所以a=±3.
(2)由(1)結合題意得a=3,所以直線l1:2x-y+3=0.
設存在點P(m,n)(m>0,n>0)滿足題意,
則由點P到l2的距離是點P到l1的距離的2倍得,即|4m-2n-1|=4×|2m-n+3|=|8m-4n+12|,
所以4m-2n+13=0或12m-6n+11=0.
由點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是,得,化簡得|2m-n+3|=|m+n-1|,所以m-2n+4=0或3m+2=0(舍去).
聯立(舍去);
聯立
故存在滿足條件的點P.
121.5　平面上的距離
1.5.1　平面上兩點間的距離
基礎過關練
題組一　兩點間的距離及中點坐標公式
1.已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),則△ABC是(　　)
A.直角三角形　　　　B.銳角三角形
C.鈍角三角形　　　　D.等腰三角形
2.(多選題)直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于的點的坐標可以是(　　)
A.(-4,5)　　　　B.(-1,2)　　　　C.(-3,4)　　　　D.(1,0)
3.點A(2,-4)到直線l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m∈R)的距離的最大值是(　　)
A.5　　　　B.2
4.已知A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線2x-y=0和x+ay=0上,且線段AB的中點為P,則線段AB的長為(　　)
A.11　　　　B.10　　　　C.9　　　　D.8
5.(多選題)已知點A(-2,-1),B(2,2),直線l:ax+y+3a-3=0上存在點P滿足PA+PB=5,則實數a可能為(　　)
A.-2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.3
6.(教材習題改編)已知△ABC的頂點A(4,6),B(-1,1),C(3,3).
(1)求BC邊上的中線長;
(2)求BC邊上的中線所在直線的方程;
(3)過A作直線l,若l被兩坐標軸截得的線段的中點為A,求直線l的方程.
題組二　兩點間的距離及中點坐標公式的應用
7.已知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后,再射到直線OB上(O為坐標原點),最后經直線OB反射后又回到P點,則光線所經過的路程是(　　)
A.3
8.已知直線ax+y+3a-1=0恒過定點M,則直線2x+3y-5=0關于點M對稱的直線方程為(　　)
A.2x+3y+11=0　　　　B.2x+3y+12=0
C.3x-2y-5=0　　　　D.2x+3y-6=0
9.已知兩定點A(-3,5),B(2,8),動點P在直線x-y+1=0上,則PA+PB的最小值為　　　　.
10.直線3x+4y-12=0分別交x軸和y軸于點A,B,P為直線y=x+1上一點,則PA-PB的最大值是　　　　.
11.已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),P(3,-1),Q(-3,3).
(1)若P,Q兩點到直線l的距離相等,求此時直線l的方程;
(2)當k為何值時,原點到直線l的距離最大
能力提升練
題組　兩點間的距離及中點坐標公式的應用
1.已知動直線l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過點P(1,m),且Q(4,0)到動直線l的距離最大為3,則的最小值為(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.9
2.已知直線l1:kx+2y-k-4=0恒過點M,點N的坐標為(4,6),直線l2:y=x-1上有一動點P,當PM+PN取得最小值時,點P的坐標為(　　)
A. 　　　　B. C. 　　　　D.
3.在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發經BC,CA反射后又回到點P,若光線QR經過△ABC的重心,則△PQR的周長等于(　　)
A.
4.(教材習題改編)過點P(0,1)作直線l,使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段的中點恰好為P,則直線l的方程為　　　　,此時被截得的線段長為　　　　.
5.已知實數x,y滿足x-y=0,則的最大值是　　　　　　.
6.在平面直角坐標系xOy中,△ABC的頂點A(-4,2),AB邊上的中線CM所在直線的方程為x-y+1=0,∠B的平分線所在直線的方程為2x+y-2=0,則直線BC的方程為　　　　　　.
7.已知△ABC的頂點A(-6,0),B(0,6),其外心、重心、垂心都在直線x-y+3=0上,則頂點C的坐標是　　　　.
8.已知直線l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R.
(1)判斷直線l是否過定點,若過,求出定點;若不過,說明理由;
(2)若λ=-,求直線l被曲線:x2+y2=|x|+|y|(x,y不同時為0)所截得的線段長.
答案與分層梯度式解析
1.5　平面上的距離
1.5.1　平面上兩點間的距離
基礎過關練
1.A　∵A(5,-1),B(1,1),C(2,3),
∴AB=,
AC=,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.故選A.
2.BC　設所求點的坐標為(x0,y0),則x0+y0-1=0,且,
兩式聯立解得所以所求點的坐標為(-3,4)或(-1,2),故選BC.
3.B　將直線方程變形為(x+y+4)+(-3x-y+4)m=0,
令則l恒過點(4,-8),設為B,所以A到直線l的距離的最大值為線段AB的長,此時l⊥AB.
易得AB=,
所以A到直線l的距離的最大值為2.故選B.
4.B　因為直線2x-y=0和x+ay=0互相垂直,所以2×1+(-1)×a=0,解得a=2,所以P(0,5).
設A(m,2m),B,則所以A(4,8),B(-4,2),
所以AB==10,故選B.
5.CD　直線l的方程可變形為y-3=-a(x+3),故l過定點(-3,3),且斜率為-a,設C(-3,3).易求得AB==5,
要想直線l上存在點P滿足PA+PB=5,則l與線段AB有交點,
因為kBC==-4,
所以-a∈,解得a∈,結合選項知C、D正確.
6.解析　(1)設BC的中點為E,則E(1,2),
所以中線長AE==5.
(2)易求得kAE=,所以BC邊上的中線所在直線的方程為y-2=(x-1),即4x-3y+2=0.
(3)設直線l的方程為y-6=k(x-4),易知k<0,令x=0,則y=6-4k;令y=0,則x=4-,所以直線l與兩坐標軸的交點坐標為(0,6-4k),,
由題意得解得k=-.
所以直線l的方程為y-6=-(x-4),即3x+2y-24=0.
7.C　如圖,由題意得直線AB的方程為x+y=4,設P關于直線AB的對稱點為Q(a,b),
則解得即Q(4,2),
設P關于y軸的對稱點為T,則T(-2,0),故QT=,故光線所經過的路程是2.故選C.
8.A　由ax+y+3a-1=0,得a(x+3)+y-1=0,
聯立
∴直線ax+y+3a-1=0恒過定點M(-3,1).
在所求直線上任取一點P(x,y),設點P關于點M對稱的點為P'(x0,y0),
則有
∵點P'(-x-6,2-y)在直線2x+3y-5=0上,
∴2(-x-6)+3(2-y)-5=0,即2x+3y+11=0,
∴所求直線的方程為2x+3y+11=0.故選A.
9.答案　2
解析　易知點A(-3,5),B(2,8)在直線x-y+1=0的同側,
設點A關于直線x-y+1=0的對稱點為C(a,b),
則∴C(4,-2),
∴(PA+PB)min=BC=.
10.答案　
解析　由題意得A(4,0),B(0,3),如圖所示,設點B(0,3)關于直線y=x+1的對稱點為C(m,n),
則即C(2,1),
因為PB=PC,所以PA-PB=PA-PC≤AC,當且僅當A,C,P三點共線時,等號成立,即(PA-PB)max=AC=.
11.解析　(1)由題意得線段PQ的中點坐標為(0,1),
若l過線段PQ的中點,則-1+1+2k=0,解得k=0,此時直線l的方程為y=1,滿足條件;
若l∥PQ,對直線l的方程變形得y=kx+1+2k,則k=kPQ=,則l的方程為2x+3y+1=0.
綜上,直線l的方程為y=1或2x+3y+1=0.
(2)由kx-y+1+2k=0,得k(x+2)+(-y+1)=0,
令則直線l過定點(-2,1),設為N.
當直線l與ON垂直時,原點到直線l的距離最大,
最大值為ON=,
因為kON=-,所以k=2,即當k=2時,原點到直線l的距離最大.
解題模板　(1)已知P,Q兩點到直線l的距離相等,求l的方程有兩種情況,一是l過PQ的中點,二是l∥PQ.
(2)求點M到直線l:Ax+By+C=0的距離的最大值,先求l所過的定點N,則所求最大值為線段MN的長,最后由兩點間距離公式求值即可.
能力提升練
1.B　∵動直線l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒過點P(1,m),∴a+bm+c-2=0.
則點Q到l的距離的最大值為線段PQ的長,
∴PQ==3,∴m=0,∴a+c=2.
∴,當且僅當a=時取等號.故選B.
2.B　由直線l1:kx+2y-k-4=0,即k(x-1)+2y-4=0,
可知該直線恒過點M(1,2),
因為(4-1-6)×(1-1-2)>0,所以點M,N在直線y=x-1的同側.
設點M關于直線y=x-1的對稱點為M'(a,b),
則所以M'(3,0).如圖:
PM+PN=PM'+PN≥M'N,當且僅當P,M',N三點共線時取等號,此時M'N的長為PM+PN的最小值,
直線M'N的方程為,即y=6x-18.
與直線l2:y=x-1聯立,得
故當PM+PN取得最小值時,點P的坐標為.故選B.
規律總結　設直線方程為Ax+By+C=0(A,B不全為0),兩點M(x1,y1),N(x2,y2).若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,則M,N在直線的同側;若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0,則M,N在直線的異側.
3.A　以A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,
則B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直線BC的方程為x+y-4=0.設P(t,0)(0設△ABC的重心為G,則G,
所以,即3t2-4t=0,所以t=0(舍去)或t=,所以P1.
結合對稱關系可知QP=QP1,RP=RP2,
所以△PQR的周長即線段P1P2的長,為.故選A.
4.答案　x+4y-4=0;2
解析　設l1與l的交點為A(a,8-2a),則由題意知點A關于點P的對稱點(-a,2a-6)在l2上,設為B,
把點B的坐標代入l2的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,所以A(4,0),B(-4,2),
故l的方程為,即x+4y-4=0.
此時被截得的線段長AB=.
5.答案　
思路分析　賦予式子幾何意義,它表示直線x-y=0上的點P(x,y)到點A(2,4),B(1,0)的距離之差,通過作B關于直線x-y=0的對稱點B'求最值.
解析　表示直線x-y=0上的點P(x,y)到點A(2,4),B(1,0)的距離之差,設點B(1,0)關于直線x-y=0的對稱點為B'(a,b),
則即B'(0,1),
則PA-PB=PA-PB'≤AB'=,當且僅當P,A,B'三點共線時取等號,
所以.
6.答案　18x-y-38=0
解析　設B(a,b),則AB的中點M,
把M的坐標代入直線CM的方程得+1=0,即a-b-4=0,①
又點B在直線2x+y-2=0上,所以2a+b-2=0,②
由①②得所以B(2,-2),
設點A(-4,2)關于直線2x+y-2=0的對稱點為A'(m,n),則A'在直線BC上,
則所以A',
所以直線BC的方程為y+2=(x-2),即18x-y-38=0.
7.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　設C(m,n),則△ABC的重心坐標為,
由題意可知+3=0,即m=n+3.①
易得線段AB的中點坐標為(-3,3),斜率kAB==1,則線段AB的垂直平分線的方程為y-3=-(x+3),即y=-x,
聯立即△ABC的外心為,設為M.
由MC=MA,得,②
由①②得n=0或n=-3,即C(3,0)或C(0,-3),經檢驗均符合題意.
8.解析　(1)直線l:(1+2λ)x-(λ+1)y-λ=0,λ∈R,即(2x-y-1)λ+(x-y)=0,
令解得x=y=1,即直線l過定點(1,1).
(2)若λ=-,則直線l:=0,即x=2y-1,
將x=2y-1代入x2+y2=|x|+|y|,
得(2y-1)2+y2=|2y-1|+|y|,
當y≥時,(2y-1)2+y2=2y-1+y,即5y2-7y+2=0,
解得y=1或y=(舍),則交點坐標為(1,1);
當0≤y<時,(2y-1)2+y2=1-2y+y,即5y2-3y=0,
解得y=0或y=(舍),則交點坐標為(-1,0);
當y<0時,(2y-1)2+y2=1-2y-y,即5y2-y=0,
解得y=0(舍)或y=(舍).
所以截得的線段長度為.
15

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