資源簡介

2.2　直線與圓的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與圓的位置關系
1.若點P(a,b)在圓O:x2+y2=1內,則直線ax+by=1與圓O的位置關系為(　　)
A.相交　　　　B.相切C.相離　　　　D.不能確定
2.設m∈R,則直線l:mx+y-2m-1=0與圓x2+y2=5的位置關系為(　　)
A.相離　　　　B.相切 C.相交或相切　　　　D.相交
3.已知點M(-1,0),N(1,0),若某直線上存在點P,使得=0,則稱該直線為“相關點直線”.給出下列直線:①y=x+3;②y=x;③y=2;④y=2x+1,其中為“相關點直線”的是(　　)
A.①③　　　　B.②④　　　　C.②③　　　　D.①④
4.若曲線(x+x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m2恰有4個公共點,則m的取值范圍是　　　　.
5.在平面直角坐標系xOy中,已知點M(-2,0),N(1,0),動點P滿足=2.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)若直線l過點M,且點N到l的距離為1,求l的方程,并判斷l與動點P的軌跡的位置關系.
題組二　直線與圓相切問題
6.圓A:x2+y2-4x=0在點P(1,-)處的切線l的方程為(　　)
A.x+y-4=0
C.x-y+2=0
7.已知動點P在直線3x+4y-10=0上,過點P作圓O:x2+y2=1的一條切線,切點為A,則PA的最小值為(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
8.過坐標原點O作圓(x-3)2+(y-4)2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB=(　　)
A.
9.已知圓O1:x2+(y-2)2=1,圓O2:(x-3)2+(y-4)2=4,過x軸上一點P分別作兩圓的切線,切點分別是M,N,當PM+PN取最小值時,點P的坐標為　　　　.
10.已知圓C經過A(1,4),B(5,0)兩點,且在x軸上的截距之和為2.(圓在坐標軸上的截距指圓與坐標軸交點的橫(縱)坐標)
(1)求圓C的標準方程;
(2)圓M與圓C關于直線x-y+1=0對稱,求過點(3,0)且與圓M相切的直線方程.
題組三　圓的弦長與中點弦
11.已知☉O的圓心是坐標原點O,且被直線x-=0截得的弦長為2,則☉O的方程為(　　)
A.x2+y2=4　　　　B.x2+y2=8
C.x2+y2=12　　　　D.x2+y2=16
12.已知圓C:(x+1)2+(y-2)2=16,直線l過點P(2,3),且與圓C交于A,B兩點,若點P為線段AB的中點,則直線l的方程為(　　)
A.x+3y-11=0　　　　B.3x+y-9=0
C.x-3y+7=0　　　　D.3x-y-3=0
13.已知圓C:(x-2)2+y2=4,直線l過點A(1,1),且交圓C于P,Q兩點,則弦長PQ的取值范圍是　　(　　)
A.[,4]
C.[2,2,4]
14.已知直線l:3x-4y+5=0與圓C:x2+y2-6x-2y+a+5=0相切.
(1)求實數a的值及圓C的標準方程;
(2)已知直線m:kx-y+2=0與圓C相交于A,B兩點,若△ABC的面積為2,求直線m的方程.
15.在以下這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并求解.
①圓經過點C(3,4);②圓心在直線x+y-2=0上;③y軸被圓截得的弦長為8,且圓心M的坐標為整數.
已知圓M經過點A(-1,2),B(6,3),且　　　　.
(1)求圓M的方程;
(2)求以N(2,1)為中點的弦所在直線的方程.
能力提升練
題組一　直線與圓的位置關系
1.實數x,y滿足x2+y2+2x=0,則的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.(-∞,0]∪
C.　　　　D.(-∞,-1]∪
2.已知A(a,0),B(a+3,0),直線x+y=1上存在唯一一點P,使得PB=2PA,則a的值為(　　)
A.-6　　　　B.-2或6　　　　C.2或-6　　　　D.-2
3.(多選題)已知曲線C:x=與直線l:y=x+m,則下列結論正確的是(　　)
A.曲線C為y軸右邊的半圓(含y軸上的點)
B.若曲線C與直線l有且僅有一個公共點,則0C.若曲線C與直線l有兩個不同的公共點,則2-2D.若曲線C與直線l沒有公共點,則m>2+2或m<2-2
4.過直線l:x-y+4=0上任意一點P作圓O:x2+y2=4的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB過定點　　　　,記線段AB的中點為Q,則點Q到直線l的距離的最小值為　　　　.
題組二　圓的切線與弦長問題
5.已知圓C:(x-4)2+y2=16,點A是直線x-y+4=0上的一個動點,過點A作圓C的兩條切線,切點分別為P,Q,則線段PQ的長度的取值范圍是(　　)
A.[4,4,8]
6.(多選題)已知直線l:x+y-5=0,圓C:(x-1)2+y2=2,若點P為直線l上的一個動點,則下列說法正確的是(　　)
A.直線l與圓C相交
B.若點Q為圓C上的動點,則PQ∈[,+∞)
C.與直線l平行且被圓C截得的弦長為2的直線為x+y+-5=0或x+y--5=0
D.圓C上存在兩個點到直線l的距離為
7.在平面直角坐標系xOy中,已知點P(2,4),圓O:x2+y2=4,則下列結論正確的是(　　)
A.過點P與圓O相切的直線方程為3x-4y+10=0
B.過點P作圓O的切線,切點分別為M,N,則直線MN的方程為x+2y-4=0
C.過點P作圓O的切線,切點分別為M,N,則PM=3
D.過點P的直線m與圓O相交于A,B兩點,若∠AOB=90°,則直線m的方程為x-y+2=0或7x-y-10=0
8.已知圓C:(x-1)2+y2=1,直線l:y=k(x+1),若l與x軸交于點A,過l上一點P作圓C的切線,切點為T,且PA=PT,則k的取值范圍是　　　　　　.
9.直線ax+y-a-1=0與圓C:x2+(y-3)2=25交于A,B兩點,分別過A,B兩點作圓的切線,設切線的交點為M,則點M的軌跡方程為　　　　　.
10.已知圓C經過坐標原點O和點(2,2),且圓心在x軸上.
(1)求圓C的方程;
(2)直線l1經過點A(4,1),且l1與圓C相交所得的弦長為2,求直線l1的方程;
(3)直線l2經過點A(4,1),且l2與圓C相切,求直線l2的方程.
題組三　直線與圓位置關系的綜合應用
11.(多選題)已知圓C:x2+y2-4y+3=0,一條光線從點P(2,1)射出,經x軸反射,下列結論正確的是(　　)
A.圓C關于x軸對稱的圓的方程為x2+y2+4y+3=0
B.若反射光線所在直線平分圓C的周長,則入射光線所在直線的方程為3x-2y-4=0
C.若反射光線所在直線與圓C相切于A,與x軸相交于點B,則PB+BA=2
D.若反射光線所在直線與圓C交于M,N兩點,則△CNM面積的最大值為
12.設m∈R,圓M:x2+y2-2x-6y=0,若動直線l1:x+my-2-m=0與圓M交于點A,C,動直線l2:mx-y-2m+1=0與圓M交于點B,D,則AC+BD的最大值是　　　　.
13.已知M(x,y),A(1,2),B(-2,-1),且MA=MB,點Q(-2,2).
(1)求MQ的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求y-x的最大值和最小值.
14.已知圓C的圓心位于x軸的正半軸上,該圓與直線3x-4y+7=0相切,且截y軸所得的弦長為2,圓C的面積小于13.
(1)求圓C的標準方程;
(2)設過點M(0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點A,B,O為坐標原點,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行 如果存在,求出l的方程;如果不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.2　直線與圓的位置關系
基礎過關練
1.C　因為點P(a,b)在圓O:x2+y2=1內,所以a2+b2<1,設圓心O到直線ax+by=1的距離為d,則d=>1,所以直線ax+by=1與圓相離.故選C.
2.C　直線l的方程可化為m(x-2)+y-1=0,
由所以直線l恒過點(2,1),設為A.
又22+12=5,即點A在圓x2+y2=5上,
所以過點A的直線l與圓相交或相切.故選C.
3.B　由題意可知,點P的軌跡是以坐標原點為圓心,1為半徑的圓,其方程是x2+y2=1.
解法一:把y=x+3代入x2+y2=1并整理得,x2+3x+4=0,則Δ=9-4×4=-7<0,∴直線與圓相離,
∴直線y=x+3不是“相關點直線”.
同理,通過聯立直線和圓的方程,可得直線y=x,y=2x+1與圓相交,直線y=2與圓相離,所以②④符合題意.故選B.
解法二:圓心(0,0)到直線y=x+3,即x-y+3=0的距離為>1,∴直線與圓相離,∴直線y=x+3不是“相關點直線”.
同理,通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小,可得直線y=x,y=2x+1與圓相交,直線y=2與圓相離.所以②④符合題意.故選B.
解題關鍵　　　點P在直線上且=0,說明點P也在圓x2+y2=1上,即直線與圓相交或相切,所以問題轉化為判斷直線與圓的位置關系.
4.答案　∪(2,+∞)
解析　因為曲線(x+x-y-2)=0與圓x2+(y-m)2=m2恰有4個公共點,
所以直線x+x-y-2=0均與圓x2+(y-m)2=m2相交,且兩直線的交點(-,-5)不在該圓上,
則解得m<-或-或m>2,故m的取值范圍是∪(2,+∞).
5.解析　(1)設P(x,y),由=2得,整理得(x-2)2+y2=4.
故動點P的軌跡方程為(x-2)2+y2=4.
(2)圓(x-2)2+y2=4的半徑r=2,圓心坐標為(2,0),設為C,
顯然直線l的斜率存在,設其方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,點N到l的距離為=1,解得k=±,
所以l的方程為y=±(x+2),即x±2y+2=0,
所以圓心C到l的距離為,因為6.A　解法一:易知切線斜率存在,設切線l的方程為y+=k(x-1).易知圓心A(2,0),半徑r=2,
所以A到l的距離d==r=2,
所以k=-,即切線l的方程為x+y+2=0.故選A.
解法二:將圓A的方程化為標準形式為(x-2)2+y2=4,
易知點P(1,-)在圓A上,則在點P處的切線l的方程為(x-2)(1-2)-y=4,化簡得x+y+2=0.
規律總結　　　本題解法二用到以下結論:若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上,則過點P的切線方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.這個結論在解小題時可以直接應用.
7.C　由題可知圓心O(0,0),半徑r=1,
設P(x0,y0),則3x0+4y0-10=0,即y0=,
故PA=,
則當x0=時,PA取得最小值,為.
故選C.
8.A　解法一:圓(x-3)2+(y-4)2=1的圓心為(3,4),半徑r=1,記M(3,4).連接OM,AM,BM(圖略),則OM=,所以S△AOM=OA·AM=OM·,所以AB=.故選A.
解法二:易得直線AB的方程為(0-3)(x-3)+(0-4)×(y-4)=1,即3x+4y-24=0.圓心(3,4)到直線AB的距離為,所以AB=2×.故選A.
方法技巧　　　本題解法二中求直線AB的方程時,用到了以下結論:過圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
9.答案　(1,0)
解析　如圖所示:
設P(t,0),則PM+PN=
=
=,
取A(0,-),
則PM+PN=PA+PB≥AB,當且僅當A,P,B三點共線時,取等號,
此時kAB=,直線AB的方程為y+x,令y=0,得x=1,所以P(1,0).
10.解析　(1)設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
令y=0,得x2+Dx+F=0,則x1+x2=-D=2(x1,x2為圓C與x軸交點的橫坐標),得D=-2,
則圓C的方程為x2+y2-2x+Ey+F=0.將A(1,4),B(5,0)代入可得
解得
所以圓C的方程為x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.
(2)由(1)知圓心C(1,0),設M(a,b),
∵M(a,b)與C(1,0)關于直線x-y+1=0對稱,
∴則圓M的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=16,
若過點(3,0)的直線斜率不存在,則方程為x=3,
此時圓心M到直線x=3的距離為3+1=4,滿足題意;
若過點(3,0)且與圓M相切的直線斜率存在,設其方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
則圓心M到直線kx-y-3k=0的距離為=4,解得k=,
所以切線方程為=0,即3x-4y-9=0.
綜上,所求直線的方程為x=3或3x-4y-9=0.
11.B　原點到直線x-=0的距離d=,
設☉O的半徑為r,則 2,解得r=2,故☉O的方程為x2+y2=8.故選B.
12.B　解法一:由已知得C(-1,2),所以kCP=.
因為P(2,3)為弦AB的中點,所以CP⊥AB,所以kAB=-3,
所以直線l的方程為y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故選B.
解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),
則(x1+1)2+(y1-2)2=16①,
(x2+1)2+(y2-2)2=16②,
因為P(2,3)為AB的中點,所以x1+x2=4,y1+y2=6,
所以①-②整理得=-3,
所以直線l的斜率為-3,
所以直線l的方程為y-3=-3(x-2),即3x+y-9=0.故選B.
13.D　圓心C(2,0),半徑r=2,因為(1-2)2+12=2<4,所以點A(1,1)在圓內.
當l過圓心C時,弦長PQ取最大值4,
當l⊥AC時,圓心C到l的距離最大,為AC=,此時弦長PQ取最小值,為2,故弦長PQ的取值范圍為[2,4].故選D.
14.解析　(1)將圓C的方程化為標準形式,得(x-3)2+(y-1)2=5-a,故圓心C(3,1),半徑為.
因為l與圓C相切,所以,解得a=1,
所以圓C的標準方程為(x-3)2+(y-1)2=4.
(2)設圓心C到直線m的距離為d,則AB=2,所以S△ABC=AB·d=d=2,解得d=.由d=,解得k=-1或k=.
所以直線m的方程為x+y-2=0或x-7y+14=0.
15.解析　選條件①.
(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由題意得
所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)由(1)知圓心M(3,-1),則直線MN的斜率kMN==-2,
故弦所在直線的斜率k=-,
所以弦所在直線的方程為y-1=(x-2),即y=x.
選條件②.
(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由題意得
所以圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)同條件①.
選條件③.
(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由題意得
因為y軸被圓所截得的弦長為8,
所以方程y2+Ey+F=0有兩個不等的實數根y1,y2,
且|y1-y2|==8,即E2-4F=64,
由 可得D=-6,E=2,F=-15或D=-,
又因為圓心M的坐標為整數,所以D=-6,E=2,F=-15.
故圓M的方程為x2+y2-6x+2y-15=0,即(x-3)2+(y+1)2=25.
(2)同條件①.
能力提升練
1.C　x2+y2+2x=0可化為(x+1)2+y2=1,-1,
令=t,化簡得tx-y+1-t=0,所以問題轉化為直線tx-y+1-t=0與圓(x+1)2+y2=1有交點,
即≤1,解得0≤t≤,所以-1≤-1≤.故選C.
2.B　設P(x,y),由PB=2PA可得(x-a-3)2+y2=4(x-a)2+4y2,整理可得(x-a+1)2+y2=4,
故點P的軌跡是以(a-1,0)為圓心,2為半徑的圓.
直線x+y=1上存在唯一一點P,使得PB=2PA,等價于直線x+y=1與圓(x-a+1)2+y2=4相切,則=2,解得a=-2或a=6.故選B.
3.AC　將x=變形得x2=4y-y2,即x2+(y-2)2=4(x≥0),所以曲線C是以(0,2)為圓心,2為半徑的圓在y軸及其右側的部分,A正確.
易知直線l的斜率為1,如圖所示.
l與曲線C有一個交點有兩種情況:
①l位于l1與l2之間(包括l1不包括l2),
若l位于l1,則l過點(0,4),此時4=0+m,得m=4;若l位于l2,則l過原點,此時0=0+m,得m=0,所以0②l與曲線C相切,則=2,解得m=2+2或m=2-2,
又m為l在y軸上的截距,所以m=2-2.
綜上,當l與曲線C有且僅有一個公共點時,0當l與曲線C有兩個公共點時,l位于l2與l3之間(包括l2不包括l3),故2-2當l與曲線C沒有公共點時,l位于l1上方或l3下方,故m>4或m<2-2,D錯誤.
故選AC.
4.答案　(-1,1);
解析　設P(x0,y0),則y0=x0+4,
由題意可得直線AB的方程為(x0-0)(x-0)+(y0-0)·(y-0)=4,即x0x+y0y=4,又y0=x0+4,∴直線AB的方程為x0(x+y)+4y-4=0,
故直線AB過定點(-1,1).
設Q(x,y),M(-1,1),
由=0,得(x+1)x+(y-1)y=0,
整理得點Q的軌跡方程為,
因為點到直線l:x-y+4=0的距離d=,
所以直線l與圓相離,
所以點Q到直線l的距離的最小值為.
5.C　如圖,根據切線的性質可知PQ=2PD,PQ⊥AC,PC⊥PA.
易知圓心C(4,0),半徑r=4.
所以PC=4,PA=.
又S△APC=PC·PA=AC·PD,
所以PD=,則PQ=2PD=8.
又點C(4,0)到直線x-y+4=0的距離d=,
所以AC≥d=4,所以0<,
所以4≤PQ=8<8.故選C.
6.BD　易知圓心C(1,0),半徑r=.對于A,圓心C(1,0)到直線l:x+y-5=0的距離d=,故l與圓C相離,A錯誤.
對于B,圓C上的點到l的最小距離為d-r=,故PQ∈[,+∞),B正確.
對于C,設與l:x+y-5=0平行的直線方程為x+y+m=0(m≠-5),記為l',
則圓心到直線l'的距離d'==1,所以d'==1,解得m=-1±,
故直線l'為x+y+-1=0或x+y--1=0,C錯誤.
對于D,由于圓C上的點到直線l的最小距離為d-r=,最大距離為d+r=3,故圓C上存在兩個點到直線l的距離為,D正確.
故選BD.
7.D　易知圓心O(0,0),半徑r=2.對于A,當直線的斜率不存在時,其方程為x=2,圓心O到直線的距離d=2=r,所以直線x=2是過點P的圓的切線;
當直線的斜率存在時,設其方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴圓心O到直線的距離d==2,解得k=,此時直線的方程為3x-4y+10=0.
∴過點P的圓的切線方程為x=2或3x-4y+10=0,故A錯誤.
對于B,易知直線MN的方程為(2-0)·(x-0)+(4-0)·(y-0)=4,即x+2y-2=0,故B錯誤.
對于C,∵OP==4,故C錯誤.
對于D,易知AB=2,
∴圓心到直線m的距離d'=,
顯然直線m的斜率存在,設直線m的方程為y-4=k'(x-2),即k'x-y-2k'+4=0,
∴d'=,解得k'=1或k'=7,
∴直線m的方程為x-y+2=0或7x-y-10=0,故D正確.
故選D.
8.答案　
解析　由題意得A(-1,0),圓心C(1,0),半徑r=1,設P(x0,y0),
則PT=,
因為PA=PT,所以,整理得-1=0,
則點P的軌跡方程為x2-6x+y2-1=0,即(x-3)2+y2=10,表示圓心為(3,0),半徑為的圓,
所以存在PA=PT,即直線l與圓(x-3)2+y2=10有交點,
所以,整理得k2≤,解得-≤k≤.
故k的取值范圍為.
9.答案　x-2y-19=0
解析　由ax+y-a-1=0易知該直線過定點(1,1),圓C:x2+(y-3)2=25的圓心為C(0,3),設M(x,y),A(m,n),N(1,1),
則=(m-1,n-1),
由于CA⊥AM,AN⊥CM,
因此=x(m-1)+(y-3)(n-1)=0,
化簡得mx+ny-3y+3n=m2+n2,mx+ny-x-3n-y+3=0,
兩式相減得x-2y+6n-3=m2+n2①,(得到兩動點坐標的關系式)
又因為A(m,n)在圓x2+(y-3)2=25上,所以m2+n2-6n=16②,(相關動點坐標滿足的關系式)
將②代入①可得x-2y-19=0,
故點M的軌跡方程為x-2y-19=0.
解題模板　　　本題求動點的軌跡方程,由直線方程為ax+y-a-1=0易知該直線過定點(1,1),與圓C:x2+(y-3)2=25交于A,B兩點,所以A,B兩點都是動點,多動點問題通常利用代入法求軌跡方程,一般步驟為設所求動點為(x,y),相關動點為(x1,y1),將動點(x1,y1)滿足的關系式代入動點(x,y)與(x1,y1)滿足的坐標關系式,消去x1,y1,得到動點(x,y)滿足的關系式,即動點(x,y)的軌跡方程.
10.解析　(1)設圓心C的坐標為(a,0),
依題意得|a|=,
即a2=a2-4a+8,解得a=2,
所以圓C的方程為(x-2)2+y2=4.
(2)由題意知圓心C到直線l1的距離為=1,
由題意知l1的斜率存在.
設直線l1的方程為y-1=k(x-4),即kx-y-4k+1=0,則=1,解得k=或k=0,
∴直線l1的方程為4x-3y-13=0或y-1=0.
(3)由(1)知圓心C(2,0),半徑r=2.
①當l2的斜率不存在時,方程為x=4,則圓心C到直線l2的距離d=2=r,此時直線l2與圓C相切,符合題意;
②當l2的斜率存在時,設其方程為y-1=k1(x-4),即k1x-y-4k1+1=0,
則圓心C到l2的距離d==r=2,解得k1=-,∴直線l2的方程為3x+4y-16=0.
綜上,直線l2的方程為x-4=0或3x+4y-16=0.
11.ABD　對于A,由圓C的方程知圓心C(0,2),半徑r==1,
∴圓C關于x軸對稱的圓的圓心為(0,-2),半徑為1,
∴所求圓的方程為x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,A正確;
對于B,∵反射光線所在直線平分圓C的周長,∴反射光線所在直線經過圓心C(0,2),
∴入射光線所在直線經過點(0,-2),設為C',
∴kC'P=,
∴入射光線所在直線的方程為y=x-2,即3x-2y-4=0,B正確;
對于C,易知反射光線所在直線經過點P(2,1)關于x軸的對稱點(2,-1),設為P',
∴PB+BA=P'B+BA=P'A.
∵P'A=,C錯誤;
對于D,設∠CMN=θ,
則圓心C(0,2)到反射光線所在直線的距離d=sin θ,
∴MN=2=2cos θ,
∴S△CNM=MN·d=sin θcos θ=sin 2θ,
則當θ=時,(S△CNM)max=,D正確.故選ABD.
12.答案　2
解析　圓M:x2+y2-2x-6y=0可化為(x-1)2+(y-3)2=10,
∴其圓心為M(1,3),半徑r=.
由直線l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1過定點(2,1),記E(2,1),
由直線l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2過定點E(2,1).
∵1×m+m×(-1)=0,∴l1⊥l2,如圖,設線段AC和BD的中點分別為F,G,則四邊形EFMG為矩形,
設MF=d,0≤d≤ME=,則MG=,
則AC+BD=2)≤2,
當且僅當10-d2=5+d2,即d=時取等號.
13.解析　因為MA=MB,所以,
整理得(x+5)2+(y+4)2=36,所以點M的軌跡是以(-5,-4)為圓心,6為半徑的圓.
(1)因為點(-5,-4)與點Q(-2,2)之間的距離為,
所以MQ的最小值為3-6,最大值為3+6.
(2)設=k,則 kx-y-2k+2=0,由題意知直線kx-y-2k+2=0與圓(x+5)2+(y+4)2=36有交點,所以≤6,解得0≤k≤,
所以,最小值為0.
(3)設y-x=b,則x-y+b=0,
當直線x-y+b=0與圓M相切時,截距b取到最值,所以=6,解得b=1-6或b=1+6,
所以y-x的最大值為1+6,最小值為1-6.
14.
思路分析　(1)設出圓的方程,利用待定系數法,根據已知條件建立方程組求解.
(2)
解析　(1)設圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0,r>0),
由題意知
又圓C的面積S=πr2<13,∴a=1,r=2,
∴圓C的標準方程為(x-1)2+y2=4.
(2)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,不滿足題意.
當直線l的斜率存在時,假設存在滿足題意的直線l,設直線l的方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.
∵直線l與圓C相交于不同的兩點,
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,
解得k<1-或k>1+.
又x1+x2=-,
∵四邊形OADB是平行四邊形,∴線段OD過線段AB的中點,且線段AB與線段OD互相平分,
易知線段AB的中點坐標為,
∴點D的坐標為(x1+x2,y1+y2),
∴kOD=,
又MC的斜率為=-3,解得k=.
由于k=,故不存在滿足題意的直線l.
29(共29張PPT)
　　設圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0).圓心M(a,b)到直線l的距離 d= .由 消去y(或x),得到關于x(或y)的一元二次方程,其判別式
為Δ.
2.2　直線與圓的位置關系
知識點 直線與圓的位置關系
必備知識 清單破
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2 1 0
幾何法 dr
代數法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
知識辨析
1.直線與圓有公共點,則直線與圓有怎樣的位置關系
2.若直線與圓相交,則直線與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程必有解,對嗎
3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程一定無 解,對嗎
4.過不在圓內的一點,一定可以作圓的兩條切線,對嗎
一語破的
1.若直線與圓有且僅有一個公共點,則直線與圓相切;若直線與圓有兩個公共點,則直線與圓 相交.
2.對.若直線與圓相交,則它們必有公共點,而公共點的坐標是直線方程與圓的方程的公共解, 所以直線與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程必有解.
3.對.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓相離,所以直線與圓沒有公共點,因此直線方 程與圓的方程沒有公共解,所以直線與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程無解.
4.不對.不在圓內的點,可能在圓上,也可能在圓外.當點在圓上時,只能作圓的一條切線;當點在 圓外時,可以作圓的兩條切線.
　　判斷直線與圓的位置關系主要有幾何法和代數法兩種方法,幾何法側重圖形的幾何性 質,代數法步驟簡單,但計算量較大,具體解題時要根據題目特點合理選擇.
另外,也可以用定點法判斷,即若直線恒過定點且定點在圓內,則直線與圓相交.該法有一定的 局限性,若定點在圓上或在圓外,則需利用代數法或幾何法進行討論.
定點 1 直線與圓的位置關系的判斷
關鍵能力 定點破
典例 已知直線l:mx-y-m-1=0,圓C:x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,直線l與圓C:
(1)相離 (2)相切 (3)相交
解析 解法一(代數法):聯立 消去y得x2+(mx-m-1)2-4x-2(mx-m-1)+1=0,整
理得(1+m2)·x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,
因為1+m2≥1,所以Δ=4(m2+2m+2)2-4(1+m2)(m2+4m+4)=4m(3m+4).
(1)若直線與圓相離,則Δ=4m(3m+4)<0,即- (2)若直線與圓相切,則Δ=4m(3m+4)=0,即m=0或m=- ,故直線與圓相切時,m的值為0或- .
(3)若直線與圓相交,則Δ=4m(3m+4)>0,即m>0或m<- ,故直線與圓相交時,m的取值范圍為
∪(0,+∞).
解法二(幾何法):將方程x2+y2-4x-2y+1=0化為標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4,易知圓心坐標為(2,1), 半徑r=2.
則圓心到直線l的距離d= = .
(1)若直線與圓相離,則d>r,即 >2,解得- .
(2)若直線與圓相切,則d=r,即 =2,解得m=0或m=- ,故直線與圓相切時,m的值為0或- .
(3)若直線與圓相交,則d0或m<- ,故直線與圓相交時,m的取值范圍為
∪(0,+∞).
1.點P在圓上
(1)直接法:先求切點與圓心連線的斜率k,再由垂直關系得切線的斜率為- (k≠0),由直線的點
斜式方程可得切線方程為y-y0=- (x-x0).如果切點與圓心連線的斜率為零或不存在,則由圖形
可直接得切線方程為x=x0或y=y0.
(2)待定系數法:設切線方程為y-y0=k(x-x0),由圓心到直線的距離等于半徑建立方程,可求得k,即 得切線方程.注意此時切點與圓心的縱坐標不相等.
　　注:過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結論:
①若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y=r2;
②若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的切線方程為(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
定點 2 過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
③若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的切線方程為x0x+y0y+D· +
E· +F=0.
2.點P在圓外
(1)通常用待定系數法,其求法同1中的待定系數法.當用此法只求出一個方程時,另一個方程 應為x=x0,因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況,而過圓外一點的切線有兩條.一般不 用聯立方程的方法求解k.
(2)過圓外一點的切線有兩條,可熟記下列結論:
①若點P(x0,y0)為圓x2+y2=r2(r>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方 程為x0x+y0y=r2;
②若點P(x0,y0)為圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則直線 AB的方程為(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
③若點P(x0,y0)為圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為 A,B,則直線AB的方程為x0x+y0y+D· +E· +F=0.
典例1 已知圓O:x2+y2=9,點P為直線x+2y-9=0上一動點,過點P向圓O引兩條切線PA,PB,且A,B 為切點,則直線AB經過定點　　　 .
(1,2)
解析 設P(9-2b,b),易得直線AB的方程為(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x-9=0,令 解得
故直線AB經過定點(1,2).
典例2 已知點P(2,3),M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=2.
(1)求過點P的圓C的切線方程;
(2)求過點M的圓C的切線方程.
解析 由題意得圓心C(1,2),半徑r= .
(1)解法一:∵(2-1)2+(3-2)2=2,∴P在圓C上.
∵kPC= =1,∴切線的斜率k=- =-1,
∴過點P的圓C的切線方程為y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
解法二:易知過點P的切線斜率存在,故可設切線方程為y-3=k(x-2),則由 得
(k2+1)x2-(4k2-2k+2)x+4k2-4k=0,則Δ=[-(4k2-2k+2)]2-4(k2+1)(4k2-4k)=0,即k2+2k+1=0,
∴k=-1.
∴過點P的圓C的切線方程為y-3=-(x-2),即x+y-5=0.
(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>2,∴M在圓C外.
易知過點M的切線斜率存在,故可設切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
∴圓心C到切線的距離d= = = ,解得k= ,
∴切線方程為y-1= (x-3)或y-1= (x-3),即x+( -2)y-1- =0或x-( +2)y+ -1=
0.

　　過圓外一點P,可作圓的兩條切線,我們把點P與切點所連線段的長稱為切線長.切線長可 由勾股定理來計算.如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切線,則切線長為 .

定點 3 切線長的求法
典例 已知圓心C在直線y=x上且圓C過點A(-2,5),B(5,4).
(1)求圓C的方程;
(2)若D在直線y=x+10上,過D作圓C的切線,求切線長的取值范圍.
解析 (1)由題意可設圓的圓心C(a,a),半徑為r,
易知AC=BC=r,所以(a+2)2+(a-5)2=(a-5)2+(a-4)2,解得a=1,
所以半徑r=AC=5,
所以圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=25.
(2)過點D向圓C作切線DM(如圖所示),
則DM2=DC2-MC2=DC2-r2,
要使切線長最短,則DC最短,易知DC的最小值為點C到直線y=x+10的距離.
又點C到直線y=x+10的距離d= =5 ,所以(DM)min= = =5.
所以切線長的取值范圍為[5,+∞).
1.直線與圓相交的弦長的求法
定點 4 弦長與中點弦問題
幾何法 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關系r2=d2+ 求解
代數法 若直線與圓的交點坐標易求出,則求出交點坐標,然后用兩點間的距離公式計算弦長
弦長
公式法 設直線l:y=kx+b與圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),將直線方程代入圓的方程,消元后得到關于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數的關系得弦長l= |x1-x2|
= 或l= |y1-y2|= (k≠0)
2.解決與中點弦有關問題的方法
(1)利用根與系數的關系求出中點坐標;
(2)設出弦的兩個端點的坐標,利用點在圓上得到兩個方程,通過作差求出弦所在直線的斜率, 此法即為點差法;
(3)利用圓本身的幾何性質,即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直解決問題.
典例1 已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)證明:無論m為何值,直線l:(m-2)x+(1-m)y+m+1=0(m∈R)都與圓C相交;
(2)若過點P(1,0)的直線l'與圓C相交于A,B兩點,求△ABC的面積的最大值,并求此時直線l'的方 程.
思路點撥 (1)證明直線l過圓內一點即可.(2)設出l'的方程,由幾何法表示出弦AB的長,再由三 角形面積公式,結合函數知識求最值.
解析 (1)證明:直線l的方程可化為m(x-y+1)-2x+y+1=0,
由 解得 所以直線l恒過點(2,3),
由(2-3)2+(3-4)2=2<4,可得點(2,3)在圓內,即直線l恒過圓內一點,
所以無論m為何值,直線l都與圓C相交.
(2)易知直線l'的斜率存在,且不為0,
故設直線l'的方程為x=my+1(m≠0),變形為x-my-1=0,
圓心C到直線l'的距離d= = ,所以AB=2 =2 .
設△ABC的面積為S,則S2= = · ,
令t= ,可得S2=4t-t2,當t=2時,S2有最大值,所以△ABC的面積的最大值為2,
由2= ,得7m2-8m+1=0,解得m=1或m= ,符合題意,
所以直線l'的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.
典例2 已知圓C:x2+(y+4)2=4.
(1)過點P(2,4)作圓的切線,求切線的方程;
(2)是否存在直線l與圓C相交于M,N兩點,且使得點D(-1,-3)為線段MN的中點 若存在,求出直 線l的方程;若不存在,請說明理由.
解析 (1)當過點P的切線斜率存在時,設其方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0.
由圓心C(0,-4),半徑r=2,可得圓心C到切線的距離為 =2,解得k= ,
此時切線的方程為y-4= (x-2),即15x-8y+2=0.
當過點P的切線的斜率不存在時,易知過點P的圓C的切線方程為x=2.
綜上,過點P的切線方程為15x-8y+2=0或x=2.
(2)存在滿足條件的直線l.
解法一:由弦MN的中點為D(-1,-3),可知CD⊥MN,且直線CD的斜率為 =-1,
所以直線l的斜率為1,則直線l的方程為y+3=x+1,
即x-y-2=0,
所以存在滿足條件的直線l,其方程為x-y-2=0.
解法二:設M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠x2,
則 +(y1+4)2=4①, +(y2+4)2=4②,
②-①,化簡可得 =- .
因為點(-1,-3)是MN的中點,所以x1+x2=-2,y1+y2=-6,
所以直線l的斜率k= =- =- =1,
所以存在滿足條件的直線l,其方程為y+3=x+1,即x-y-2=0.
利用圓的方程解決最大(小)值問題的方法
(1)由某些代數式的結構特征聯想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關 知識并結合圖形的直觀性來分析解決問題,常涉及的有:
①關于x,y的一次分式形式常轉化為直線的斜率;
②關于x,y的一次式常轉化為直線的截距;
③關于x,y的二次式常轉化為兩點間的距離等.
(2)將待求式轉化成函數解析式,利用函數的性質解決.
(3)利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設 (θ為參數),代入目
標函數,利用三角函數知識求最大(小)值.
定點 5 與圓有關的最值問題
典例 已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析 解法一:(1)令4x-3y=m,則 可以看作直線在x軸上的截距,要使m最大(或最小),只需直
線在x軸上的截距最大(或最小).由此可知,當直線4x-3y=m與圓x2+y2=4相切時,m分別取得最大 值和最小值.
如圖1,由圓心(0,0)到直線4x-3y-m=0的距離等于圓的半徑,得 =2,即|m|=10,故m=
±10,故mmax=10,mmin=-10.
即4x-3y的最大值為10,最小值為-10.

(2)令 =k,則k表示圓x2+y2=4上一點P(x,y)與點(-2 ,-2)的連線所在直線的斜率.
由圖2知,當直線y+2=k(x+2 )與圓x2+y2=4相切時,k分別取得最大值和最小值.
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,
解得k=0或k= .
故kmax= ,kmin=0,
即 的最大值為 ,最小值為0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則 表示圓上一點P(x,y)與點(4,-3)間的距離.如圖3,易得點(4,-3)與圓心
(0,0)間的距離為5,故( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,即dmax=49,dmin=9,故(x-4)2+(y+3)2的最大值為
49,最小值為9.

解法二:因為點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點,
所以令 θ∈[0,π].
(1)4x-3y=8cos θ-6sin θ=10cos(θ+φ),其中tan φ= ,
因為-1≤cos(θ+φ)≤1,所以4x-3y的最大值為10,最小值為-10.
(2)令 =k,則 =k,整理得sin(θ-α)= ,其中tan α=k,則由正弦函數的值域可
得 ≤1,解得0≤k≤ ,即 的最大值為 ,最小值為0.
(3)(x-4)2+(y+3)2=(2cos θ-4)2+(2sin θ+3)2=29+20sin(θ-β),其中tan β= .
因為-1≤sin(θ-β)≤1,
所以(x-4)2+(y+3)2的最大值為49,最小值為9.

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