資源簡介

(共14張PPT)
　　平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓,定點就是圓心,定長就是半徑.
第2章 圓與方程
2.1　圓的方程
知識點 1 圓的定義
必備知識 清單破
　
1.圓的標準方程
　　方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以點(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程.特別地,當a=b=0 時,方程為x2+y2=r2(r>0),表示以原點為圓心,r為半徑的圓.
2.圓的一般方程
方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圓的一般方程,化為標準形式為 + =
,表示以點 為圓心, 為半徑的圓.
　　說明:①當D2+E2-4F=0時,方程表示一個點 ;
②當D2+E2-4F<0時,方程不表示任何圖形;
③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓時,B=0,A=C≠0.
知識點 2 圓的方程
　　已知圓C的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 設所給點為M(x0,y0),則點與圓的位置關系如表:
知識點 3 點與圓的位置關系
位置關系 判斷方法
幾何法 代數法
點在圓上 MC=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2(或 + +Dx0+Ey0+F=0)
點在圓內 MC點在圓外 MC>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2(或 + +Dx0+Ey0+F>0)
知識拓展
圓的直徑式方程與圓的參數方程
(1)若圓的直徑端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)若點P(x,y)滿足 (α為參數)(*),則點P的軌跡是圓心為(a,b),半徑為r的圓.(*)式
叫作圓的參數方程.
知識辨析
1.方程(x0-a)2+(y0-b)2=m2一定表示圓嗎
2.過原點的圓的標準方程是否可表示為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
3.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圓嗎
4.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圓,那么k的取值范圍是什么 點A(1,2)與此圓有怎樣的位 置關系
一語破的
1.不一定.當m2>0時,方程表示以(a,b)為圓心,|m|為半徑的圓;當m2=0時,方程表示點(a,b).
2.可以.設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由原點在圓上得a2+b2=r2≠0,因此過原點的圓的標 準方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).
3.一定.方程可化為x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因為D2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠ 0)一定表示圓.
4.由方程表示圓,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-10,故 點A在圓外.
定點 1 圓的方程的求解
關鍵能力 定點破
1.直接代入法
　　確定圓心坐標和半徑,直接代入圓的標準方程即可,確定圓心坐標和半徑的方法:
(1)利用條件確定圓心C(a,b)及半徑r.
(2)利用幾何性質確定圓心C(a,b)及半徑r,常用的幾何性質如下:
①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑r;
③圓的半徑r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過圓心;
⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點,則此兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與 直線l的交點為圓心.
2.待定系數法
(1)根據題意,設出所求圓的標準方程或一般方程;
(2)根據已知條件,建立關于參數的方程組;
(3)解方程組,求出參數的值;
(4)將參數代入所設的方程中,即可得到所求圓的方程.
典例 求滿足下列條件的圓的標準方程.
(1)圓心在x軸上,半徑為5,且過點A(2,-3);
(2)與圓x2+y2-4x+6y+7=0同圓心且過點P(-1,1);
(3)已知△ABC的三個頂點分別為A(0,3),B(4,0),C(0,0),求△ABC外接圓的方程.
解析 (1)設圓心坐標為(a,0),因為點A(2,-3)在圓上,所以(2-a)2+(-3)2=25,
所以a=6或a=-2.
所以所求圓的標準方程為(x-6)2+y2=25或(x+2)2+y2=25.
(2)解法一:設圓的方程為x2+y2-4x+6y+F=0(F≠7),把(-1,1)代入,得F=-12,
所以圓的方程為x2+y2-4x+6y-12=0,化為標準方程為(x-2)2+(y+3)2=25.
解法二:圓x2+y2-4x+6y+7=0的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=6,圓心坐標為(2,-3),設所求圓的方程為 (x-2)2+(y+3)2=r2(r>0,r≠ ),
將(-1,1)代入,得r2=25,所以圓的標準方程為(x-2)2+(y+3)2=25.
(3)解法一:易得AC的垂直平分線的方程為y= ,CB的垂直平分線的方程為x=2,
所以圓心坐標為 ,半徑r= = ,
所以△ABC的外接圓的標準方程為(x-2)2+ = .
解法二:設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則由 解得
所以△ABC外接圓的方程為x2+y2-4x-3y=0,化為標準方程為(x-2)2+ = .
方法技巧 用待定系數法求圓的方程時,若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關,通常設圓的標 準方程;若已知條件為多個點,通常設圓的一般方程.
求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:根據已知條件,先抽象出動點間的幾何關系,再利用解析幾何的有關公式(兩點間的 距離公式、點到直線的距離公式等)進行整理、化簡,即把這種關系“翻譯”成含x,y的等式.
(2)定義法:若動點軌跡滿足已知曲線的定義,則可先設方程,再確定其中的基本量,進而求出動 點的軌跡方程.
(3)相關點法:有些問題中,動點滿足的條件不便用等式列出,但動點是隨著另一動點(稱之為相 關點)的運動而運動的,如果相關點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動 點坐標表示相關點坐標,根據相關點坐標所滿足的條件即可求得動點的軌跡方程.
定點 2 與圓有關的軌跡問題
典例 已知△ABC的頂點A(0,0),B(6,0).
(1)若CB=2CA,求頂點C的軌跡方程;
(2)若頂點C在曲線y=x2+3上運動,求△ABC的重心的軌跡方程.
思路點撥 (1)利用直接法求.先令C(x,y),再直接利用兩點間的距離公式列方程求解.(2)用相 關點法求.先設出重心坐標(m,n),然后用m,n表示C的坐標,最后代入曲線方程得軌跡方程.
解析 (1)設C(x,y),由CB=2CA,得(x-6)2+y2=4(x2+y2),整理得x2+y2+4x-12=0,
又A,B,C三點不能共線,所以C的軌跡方程為x2+y2+4x-12=0(y≠0).
(2)設△ABC的重心為(m,n),則C(3m-6,3n),
由頂點C在曲線y=x2+3上運動,得3n=(3m-6)2+3,所以n=3(m-2)2+1,
則重心的軌跡方程為3(x-2)2-y+1=0.
方法技巧 若除了求軌跡方程的動點外,無其他動點,一般考慮直接法;若有多個動點,且其坐 標之間存在一定關系,則考慮用相關點法,注意此時設要求軌跡的動點坐標.第2課時　圓的一般方程
基礎過關練
題組一　對圓的一般方程的理解
1.若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半徑為1的圓,則m=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.-1或1　　　　D.-2或2
2.若a∈,則方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圓的個數為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.已知圓E:x2-ax+y2-2y-2=0關于直線l:x-y=0對稱,則a=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
4.已知點A(1,2)在圓C:x2+y2+mx-2y+2=0外,則實數m的取值范圍為　　　　　　　　　.
題組二　求圓的一般方程
5.與圓x2+y2-2x+4y+3=0同圓心,且過點(1,-1)的圓的方程是　(　　)
A.x2+y2-2x+4y-4=0　　　　B.x2+y2-2x+4y+4=0
C.x2+y2+2x-4y-4=0　　　　D.x2+y2+2x-4y+4=0
6.已知圓C經過兩點A(0,2),B(4,6),且圓心C在直線l:2x-y-3=0上,則圓C的方程為(　　)
A.x2+y2-6x-6y-16=0　　　　B.x2+y2-2x+2y-8=0
C.x2+y2-6x-6y+8=0　　　　D.x2+y2-2x+2y-56=0
7.圓C:x2+y2-4y=0關于直線y=2x+1對稱的圓的方程為(　　)
A.x2+y2-2x-2y=0　　　　
B.x2+y2-2x-4y+1=0
C.x2+y2-=0　　　　
D.x2+y2-=0
8.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限內,半徑為,則圓C的一般方程為　　　　　　　.
題組三　求動點的軌跡方程
9.已知點P(4,3),點Q在圓x2+y2=4上運動,若點M滿足,則點M的運動軌跡圍成圖形的面積為(　　)
A.π　　　　B.2π　　　　
C.3π　　　　D.4π
10.當點P在圓x2+y2=1上運動時,連接點P與定點Q(3,0),則線段PQ的中點M的軌跡方程為　　　　　　　　　.
11.已知圓O:x2+y2=4,直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l過定點P,點M,N在圓O上,且PM⊥PN,Q為線段MN的中點,則點Q的軌跡方程為　　　　　　　　.
12.已知△ABC的頂點A(-2,0),B(2,0),
C(1,).
(1)求△ABC的外接圓的一般方程;
(2)在△ABC外接圓上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足,當點P在圓上運動時,求線段PD的中點M的軌跡方程.
能力提升練
題組一　圓的方程
1.若圓x2+y2+2x-4y+1=0被直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,則的最小值為(　　)
A.
2.由曲線x2+y2=2|x|+2y圍成的圖形的面積為(　　)
A.2π　　　　B.3π　　　　C.2π+3　　　　D.3π+2
3.已知圓C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),當圓C的面積最小時,圓上的點到坐標原點的距離的最大值為　(　　)
A.+1
題組二　圓的方程的綜合應用
4.已知點A(-1,-1)與點B關于直線x+y-1=0對稱,與點C關于x軸對稱,若過A,B,C三點的圓與x軸和直線x+y-1=0交于四點,則以這四個點為頂點的四邊形的面積為(　　)
A.6
5.已知a≠0,點(a,b)是圓x2+y2-4x-8y+16=0上任意一點,則　　(　　)
A.a+b的最大值是4+2
B.
C.a2+b2的最小值是24+8
D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+4
6.已知點P(-1,-1),點M為圓O:x2+y2=1上的任意一點,點N在直線OP上,其中O為坐標原點,若MP=MN恒成立,則點N的坐標為　　　　.
7.在△ABC中,AB=3,sin B=m·sin A(m≥2),則△ABC面積的最大值為　　　　.
8.已知動點M與兩定點Q,P的距離之比=λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為x2+y2=1,定點Q為x軸上一點,P,且λ=2,若點B(1,1),則2MP+MB的最小值為　　　　.
9.如圖,某海面上有O,A,B三個小島(面積大小忽略不計),A島在O島的北偏東45°方向,且距O島40千米處,B島在O島的正東方向,且距O島20千米處.以O為坐標原點,O的正東方向為x軸的正方向,建立平面直角坐標系,圓C經過O,A,B三點.
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C區域內有未知暗礁,現有一船在O島的南偏西30°方向,且距O島40千米的M處,正沿著北偏東45°方向行駛,若不改變方向,試問:該船有沒有觸礁的危險,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
第2課時　圓的一般方程
基礎過關練
1.D　由方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半徑為1的圓,可得=1,解得m=±2.
故選D.
2.C　當方程表示圓時,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2又a∈,所以a∈.故選C.
3.C　由于圓E關于直線l對稱,所以圓心在直線l上,所以-1=0,解得a=2,故選C.
4.答案　(-3,-2)∪(2,+∞)
解析　因為方程x2+y2+mx-2y+2=0表示圓,
所以m2+(-2)2-4×2>0,即m>2或m<-2,①
因為點A在圓C外,
所以12+22+m-2×2+2>0,即m>-3,②
由①②得-32,
故實數m的取值范圍為(-3,-2)∪(2,+∞).
易錯警示　　　在運用圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0時,要注意隱含條件D2+E2-4F>0,防止忽略此條件導致解題錯誤.
5.B　設所求圓的方程為x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由該圓過點(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4,
所以所求圓的方程為x2+y2-2x+4y+4=0.故選B.
方法技巧　　　與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圓心且不重合的圓的方程可設為x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F.
6.C　設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則圓心坐標為,
所以
所以圓C的方程為x2+y2-6x-6y+8=0.故選C.
7.D　將圓C:x2+y2-4y=0化為標準形式為x2+(y-2)2=4,則圓心C(0,2),半徑r=2.
設點C(0,2)關于直線y=2x+1對稱的點為D(x0,y0),則
即對稱圓的圓心為D.
又兩圓半徑相等,所以所求圓的方程為=4,化為一般方程為x2+y2-=0.
故選D.
8.答案　x2+y2+2x-4y+3=0
解析　易知圓心C的坐標為.
因為圓心在直線x+y-1=0上,
所以--1=0,即D+E=-2.①
因為,所以D2+E2=20.②
由①②可得
又圓心在第二象限內,所以->0,
即D>0,E<0,所以
所以圓C的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.
9.A　設M(x,y),Q(x0,y0),
由得M是線段PQ的中點,∴
又Q在圓x2+y2=4上,∴(2x-4)2+(2y-3)2=4,即(x-2)2+=1,
∴點M的軌跡是半徑為1的圓,面積S=π×12=π,故選A.
10.答案　x2-3x+y2+2=0
解析　設M(x,y),因為M是線段PQ的中點,所以點P(2x-3,2y),又點P在圓x2+y2=1上,
故(2x-3)2+(2y)2=1,即x2-3x+y2+2=0,
所以點M的軌跡方程為x2-3x+y2+2=0.
11.答案　
解析　直線l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0,
令即點P(1,1).
∵PM⊥PN,Q為MN的中點,∴MQ=PQ.
設Q(x,y),易知OQ⊥MN.
所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,
即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡可得,即點Q的軌跡方程為.
12.解析　(1)設△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因為該圓經過A(-2,0),B(2,0),C(1,)三點,
所以
所以△ABC外接圓的一般方程為x2+y2-4=0.
(2)設M(x,y),∵M為線段PD的中點,PD⊥x軸,D為垂足,∴D(x,0),P(x,2y),
又點P在圓x2+y2=4上,
∴x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故點M的軌跡方程為+y2=1.
能力提升練
1.C　由題意得圓心(-1,2)在直線2ax-by+2=0上,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
又a>0,b>0,所以+2≥2+2=4,當且僅當,即a=b=時取等號,所以的最小值為4.故選C.
2.D　當x≥0時,曲線方程為x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2;
當x<0時,曲線方程為x2+y2=-2x+2y,即(x+1)2+(y-1)2=2,
如圖所示,
故所求面積為兩個圓的面積減去中間重疊部分的面積,
易知兩圓的半徑都為,且兩圓對稱,故所求面積為2×π×()2-2×=3π+2.故選D.
3.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
因此圓心為C(-1,m),半徑r=,當且僅當m=-2時,半徑最小,即圓的面積最小,此時圓心為C(-1,-2),半徑r=1,圓心到坐標原點的距離d=.根據圓的性質,可知圓上的點到坐標原點的距離的最大值為d+r=+1.
4.D　解法一:設B(x,y),則故B(2,2),
∵點A(-1,-1)與點C關于x軸對稱,∴C(-1,1),
設過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則
因此圓的方程為x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5,
由題意易知四邊形為矩形(直徑所對的圓周角為直角),由解得y=±,
故該四邊形的面積為.故選D.
解法二:因為點A(-1,-1)與點B關于直線x+y-1=0對稱,
所以過A,B,C三點的圓的圓心在直線x+y-1=0上.
又因為點A(-1,-1)與點C關于x軸對稱,
所以過A,B,C三點的圓的圓心在直線y=0上.
由所以圓心坐標為(1,0),設為P,圓的半徑為AP=,
故圓的方程為(x-1)2+y2=5,
下同解法一.
5.B　圓的方程可化為(x-2)2+(y-4)2=4,
設0≤θ<2π且θ≠π,即0≤<π且,
則a+b=6+2sin θ+2cos θ=6+2,
當θ=時,a+b取得最大值6+2,故A錯誤;
=
=tan2,
所以當tan時,,故B正確;
a2+b2=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2=24+8cos θ+16sin θ=24+8cos(θ-φ1),其中tan φ1=2,
所以當cos(θ-φ1)=-1時,a2+b2取得最小值24-8,故C錯誤;
a2+b2-2a+2b=(2+2cos θ)2+(4+2sin θ)2-2(2+2cos θ)+2(4+2sin θ)=24+8cos θ+16sin θ-4-4cos θ+8+4sin θ=28+4cos θ+20sin θ=28+4cos(θ-φ2),其中tan φ2=5,
所以當cos(θ-φ2)=1時,a2+b2-2a+2b取得最大值28+4,故D錯誤.
故選B.
方法總結　　　利用三角換元思想來求最值,是一個很好的方法.圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2可轉化為=1,類比cos2θ+sin2θ=1,可以得到=cos θ,=sin θ,則可進行三角換元0≤θ<2π.
6.答案　
解析　易知直線OP的方程為x-y=0,由題意可設N(x0,x0),M(x',y'),則可得x'2+y'2=1,
由MP=MN,可得=2,
則2(x'+y')+3=2[-2x0(x'+y')+1+2],
即2(1+2x0)(x'+y')=(2x0+1)(2x0-1),
若MP=MN恒成立,則1+2x0=0,解得x0=-,
故N.
7.答案　3
解析　設角A,B,C的對邊分別為a,b,c.因為sin B=m·sin A,所以由正弦定理得b=ma,即AC=m·BC,
設邊AB的中點為O,以O為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,
不妨設A,C(x,y),
由AC=m·BC得=m·,
因為m≥2,所以整理得x2+y2-=0,
由此可知點C的軌跡是以為圓心,r=為半徑的圓,且除去當y=0時的兩個點,
所以當點C在圓上運動時,點C到x軸的最大距離為半徑r=,
所以△ABC的面積S=,易知y=在m∈[2,+∞)上單調遞減,
所以Smax==3.
8.答案　
解析　由題意可得圓x2+y2=1是關于P,Q的阿波羅尼斯圓,且λ=2,則=2,
設M(x,y),Q(m,0),則=2,
整理得x2+y2+=0,
由該圓的方程為x2+y2=1得
解得m=-2,∴Q(-2,0),
易知2MP+MB=MQ+MB,
如圖,當點M位于M1或M2時,MQ+MB取得最小值,且最小值為QB=.
9.解析　(1)由題意得A(40,40),B(20,0),
設過O,A,B三點的圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
則
所以圓C的方程為x2+y2-20x-60y=0.
(2)該船有觸礁的危險.理由:由題意得M(-20,-20),且該船的航線所在直線(記為l)的斜率為1,
故直線l:x-y+20-20=0,
由(1)知圓心C(10,30),半徑r=10,
所以圓心C到直線l的距離d=,所以該船有觸礁的危險.
14第2章　圓與方程
2.1　圓的方程
第1課時　圓的標準方程
基礎過關練
題組一　對圓的標準方程的理解
1.若直線l:y=ax-b經過第二、三、四象限,則圓C:(x-a)2+(y-b)2=1的圓心位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
2.方程y=-表示的曲線是(　　)
A B C D
3.若直線l:2x+y-1=0是圓C:(x+a)2+y2=1的一條對稱軸,則a=　　　　.
4.已知直線l過圓(x-2)2+(y+3)2=4的圓心,且與直線x+2y-4=0平行,則l的方程是　　　　　　.
題組二　求圓的標準方程
5.已知點A(-3,1),B(1,-3),則以線段AB為直徑的圓的標準方程為(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=8　　　　
B.(x+1)2+(y+1)2=8
C.(x-1)2+(y-1)2=32　　　　
D.(x+1)2+(y+1)2=32
6.已知圓C經過A(1,-5),B(0,2)兩點,且點C在直線x-y+1=0上,則圓C的標準方程為　　　　　　　　.
7.圓心在直線x-y=0上,且與y軸相切于點(0,1)的圓的標準方程為　　　　　　　.
題組三　點與圓的位置關系
8.點(sin 30°,cos 30°)與圓x2+y2=的位置關系是　(　　)
A.點在圓上　　　　B.點在圓內
C.點在圓外　　　　D.不能確定
9.若點A(a+1,3)在圓C:(x-a)2+(y-1)2=m外,則實數m的取值范圍是(　　)
A.(,+∞)　　　　B.(5,+∞)
C.(0,5)　　　　D.(0,)
題組四　圓的標準方程的應用
10.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內到兩定點的距離之比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內兩定點A、B間的距離為2,動點P與A、B的距離之比為,當P、A、B三點不共線時,△PAB面積的最大值是(　　)
A.
11.蘇州有很多圓拱形的懸索拱橋,經測得某圓拱索橋的跨度AB=100米,拱高OP=10米,在建造該橋時每隔5米需用一根支柱支撐,則與OP相距30米的支柱MN的長約為(≈3.162)(　)
A.6.48米　　　　B.5.48米 C.4.48米　　　　D.3.48米
能力提升練
題組　圓的標準方程的求解及應用
1.若點A、B在圓C1:(x-2)2+y2=3上運動,AB=2,P為AB的中點,點Q在圓C2:(x+2)2+y2=1上運動,則PQ的最小值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.已知點P(x,y)在圓x2+y2=2上運動,則|x-y+3|的取值范圍為(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,4]　　　　C.[1,5]　　　　D.[1,4]
3.幾何學史上有一個著名的米勒問題:“設點M,N是∠AQB(銳角)的邊QA上的兩點,當點P為過M,N兩點且和射線QB相切的圓的切點時,∠MPN最大.”根據以上結論解決以下問題:在平面直角坐標系xOy中,給定兩點M(-1,2),N(1,4),點P在x軸上移動,當∠MPN取得最大值時,該圓的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y-2)2=2　　　　B.(x+7)2+(y-10)2=100
C.(x-1)2+(y-2)2=4　　　　D.(x+7)2+(y-10)2=10
4.在圓的方程的探究中,有四位同學分別給出了一個結論,甲:該圓的半徑為,乙:該圓經過點(7,0),丙:該圓的圓心為(2,1),丁:該圓經過點(3,3),如果只有一位同學的結論是錯誤的,那么這位同學是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙　　　　D.丁
5.在平面內,一只螞蟻從點A(-2,-3)出發,爬到y軸后又爬到圓C:(x+3)2+(y-2)2=2上,則它爬過的最短路程是　　　　.
6.已知圓M過點P(2,0),Q(-1,),且點P關于直線x+2y=0的對稱點P'在圓M上,則圓M的標準方程為　　　　;設N(x,y)是圓M上的任意一點,A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),則NA2+NB2+NC2的最小值為　　　　.
7.已知圓C與x軸、y軸的正半軸分別交于A(2,0),B(0,6)兩點,圓心C在第二象限.
(1)若圓C與x軸的另一個交點坐標為(-12,0),求圓C的標準方程;
(2)若OC=(O為坐標原點),求圓C的標準方程.
8.已知點B(6,5),點A在圓C1:(x-4)2+(y-3)2=4上運動,線段AB的中點P的軌跡為C2.
(1)求曲線C2的方程;
(2)若點C在曲線C2上運動,點Q在x軸上運動,求QA+QC的最小值.
答案與分層梯度式解析
第2章　圓與方程
2.1　圓的方程
第1課時　圓的標準方程
基礎過關練
1.B　∵l經過第二、三、四象限,∴a<0,-b<0,
即b>0,故圓心C(a,b)位于第二象限.故選B.
2.A　對y=-兩邊平方,整理得x2+y2=4(y≤0),
故方程表示圓心為坐標原點,半徑為2的圓在x軸及其下方的部分,故選A.
3.答案　-
解析　易知圓C的圓心C(-a,0).因為直線l是圓C的一條對稱軸,所以點C(-a,0)在直線l上,所以2×(-a)-1=0,解得a=-.
4.答案　x+2y+4=0
解析　圓(x-2)2+(y+3)2=4的圓心為(2,-3),由題意可設l的方程為x+2y+m=0(m≠-4),把(2,-3)代入,得2+2×(-3)+m=0,解得m=4,所以l的方程是x+2y+4=0.
5.B　解法一:由題意得圓心為,即(-1,-1),半徑r=,
所以圓的標準方程為(x+1)2+(y+1)2=8.故選B.
解法二:∵A(-3,1),B(1,-3),
∴以AB為直徑的圓的方程為(x+3)(x-1)+(y-1)(y+3)=0,化簡整理得(x+1)2+(y+1)2=8.
課外拓展　　　本題解法二用到結論:以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
6.答案　(x+3)2+(y+2)2=25
解析　設圓C的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則
所以圓C的標準方程為(x+3)2+(y+2)2=25.
7.答案　(x-1)2+(y-1)2=1
解析　由圓心在直線x-y=0上可設所求圓的圓心坐標為(m,m),
由所求圓與y軸相切于點(0,1),知m=1,故所求圓的半徑r=1,
故所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=1.
8.C　因為sin230°+cos230°=,所以點在圓外.故選C.
9.C　由點A在圓C外,得(a+1-a)2+(3-1)2>m,解得m<5,又m>0,所以010.D　以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建系,如圖,
則A(-1,0),B(1,0),設P(x,y),
∵,
兩邊平方,并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8(y≠0),∴動點P的軌跡是以(3,0)為圓心,2為半徑的圓(除去點(3±2,0)),
∴△PAB面積的最大值是.
故選D.
11.A　以O為原點,AB、OP所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,如圖.
則P(0,10),A(-50,0).
設圓拱所在圓的方程為x2+(y-a)2=r2,
則
所以圓拱所在圓的方程為x2+(y+120)2=16 900.
將x=-30代入,得900+(y+120)2=16 900,
因為y>0,所以y=40-120≈40×3.162-120=6.48.故選A.
能力提升練
1.B　由題意得P到圓心C1(2,0)的距離為=1,
由圓的定義可知點P的運動軌跡是以C1(2,0)為圓心,1為半徑的圓,其方程為(x-2)2+y2=1,
∵點Q在圓C2:(x+2)2+y2=1上運動,∴PQ的最小值為C1C2-1-1=2.故選B.
2.C　|x-y+3|=表示圓上的點P(x,y)到直線x-y+3=0的距離,設為d,
所以|x-y+3|=d,
又圓心(0,0)到直線x-y+3=0的距離d1=,
所以d1-≤d≤d1+,即≤d≤,故1≤d≤5,所以|x-y+3|的取值范圍是[1,5].故選C.
3.C　由題意可知,點P為過M,N兩點且和x軸相切的圓的切點,易得線段MN的中點坐標為(0,3),kMN==1,
所以線段MN的垂直平分線的方程為y-3=-x,
所以以MN為弦的圓的圓心在直線y-3=-x上,
設該圓圓心為C(a,3-a),又因為圓C與x軸相切,所以圓的半徑r=|3-a|,
又CN=r,所以(a-1)2+(3-a-4)2=(3-a)2,解得a=1或a=-7,
當a=-7時,∠MQP是鈍角,故舍去.
所以a=1,此時圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=4.
故選C.
4.B　設A(3,3),B(2,1),C(7,0),
假設甲的結論錯誤,則此圓的圓心為B(2,1),且過點A(3,3),C(7,0),此時BA=≠BA,故假設錯誤,所以甲的結論正確;
假設乙的結論錯誤,則此圓的圓心為B(2,1),半徑為,所以該圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5,把點(3,3)代入,等式成立,故該圓經過點A(3,3),故假設正確,所以乙的結論錯誤;
假設丙的結論錯誤,則此圓的半徑為,且經過點C(7,0),A(3,3),則AC=,故假設錯誤,所以丙的結論正確;
假設丁的結論錯誤,則該圓的圓心為B(2,1),半徑為,且經過點C(7,0),則BC=,故假設錯誤,所以丁的結論正確.
綜上所述,結論錯誤的是乙同學.故選B.
5.答案　4
解析　由圓的方程得圓心為C(-3,2),半徑為,
設點A(-2,-3)關于y軸的對稱點為A',則A'(2,-3),設A'C與圓C交于點P,易知螞蟻爬過的最短路程為A'P的長,
可得A'P=A'C-.
故螞蟻爬過的最短路程為4.
6.答案　x2+y2=4;72
解析　由P(2,0),Q(-1,),得線段PQ的中點坐標為,直線PQ的斜率kPQ=,
則線段PQ的垂直平分線的斜率為,方程為y-,整理可得x-y=0,易知圓心M在直線x-y=0上,
由題意可知圓心M也在直線x+2y=0上,聯立即M(0,0),
又圓M的半徑為MP=2,所以圓M的標準方程為x2+y2=4.
由N(x,y)在圓M上,得x2+y2=4,
易知
整理可得NA2+NB2+NC2=3(x2+y2)-4y+68=80-4y,-2≤y≤2,
易知當y=2時取最小值,為72.
7.
思路分析　(1)
(2)A(2,0),B(0,6)設C圓心C(-5,1)圓的方程
解析　(1)由題意知A(2,0),(-12,0)在圓上,故圓心在直線x==-5上,
又直線AB的斜率為=-3,線段AB的中點坐標為(1,3),
故線段AB的垂直平分線的方程為y-3=(x-1),
令x=-5,得y=1,即圓心C(-5,1),
又半徑r=,
所以圓C的標準方程為(x+5)2+(y-1)2=50.
(2)由(1)可知,圓心C在線段AB的垂直平分線y-3=(x-1),即y=上,設圓心C,
又OC=,所以,
解得x=-5或x=.
由于圓心C在第二象限,所以x=-5,故圓心C(-5,1),半徑r=,
故圓C的標準方程為(x+5)2+(y-1)2=50.
8.解析　(1)設P(x,y),A(x0,y0),
由于B(6,5),且P是線段AB的中點,
所以x=,故x0=2x-6,y0=2y-5.
所以A(2x-6,2y-5).
因為A在圓C1:(x-4)2+(y-3)2=4上運動,
所以(2x-6-4)2+(2y-5-3)2=4,
整理,得(x-5)2+(y-4)2=1,
所以點P的軌跡C2的方程為(x-5)2+(y-4)2=1.
(2)圓C1的圓心為(4,3),半徑r1=2,圓C2的圓心為(5,4),半徑r2=1,
所以QA+QC≥QC1-r1+QC2-r2=QC1+QC2-3,當且僅當A在線段QC1上且C在線段QC2上時,取等號.
作圓C1關于x軸的對稱圓C3,易知圓C3的圓心為(4,-3),當點Q為直線C2C3與x軸的交點時,QC1+QC2取得最小值,且(QC1+QC2)min=C2C3=5,
所以QA+QC的最小值為5-3.
方法技巧　　　與圓有關的形如QA+QC的折線段問題,要立足兩點:(1)減少動點的個數;(2)化曲為直,即將折線段轉化為同一直線上的兩線段之和.
13

展開更多......

收起↑