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(共26張PPT)
　
1.代數(shù)法:設(shè)兩圓的方程分別為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0),聯(lián)立得方程組 消元后得到一元二次方程(若得到的
是一元一次方程,則要求出方程組的解進(jìn)行判斷),計(jì)算判別式Δ的值,按下列表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行 判斷.
2.幾何法:設(shè)兩圓的半徑分別為r1,r2,圓心距為d,按下列表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.
2.3　圓與圓的位置關(guān)系
知識點(diǎn) 圓與圓的位置關(guān)系及其判斷
必備知識 清單破
知識辨析
1.兩圓方程聯(lián)立,若方程組有兩組解,則兩圓相交,對嗎
2.如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓的位置關(guān)系是什么
3.若兩圓相切,則兩圓有且僅有一條公切線嗎
4.設(shè)圓C1與圓C2的半徑分別為r1,r2,若C1C25.設(shè)圓C1與圓C2的半徑分別為r1,r2,若兩圓沒有公共點(diǎn),則一定有C1C2>r1+r2嗎
一語破的
1.對.若方程組有兩組解,則以這兩組解為坐標(biāo)的點(diǎn)是兩圓的公共點(diǎn),所以兩圓相交.
2.相切(即內(nèi)切或外切).
3.不是.若兩圓內(nèi)切,則兩圓有且僅有1條公切線;若兩圓外切,則兩圓有3條公切線.
4.不一定.當(dāng)C1C2|r1-r2|,則兩圓相交;若C1C2=|r1-r2|,則兩圓內(nèi)切;若C1C2<|r1-r2|,則 兩圓內(nèi)含.
5.不一定.若兩圓沒有公共點(diǎn),則兩圓外離或內(nèi)含,即C1C2>r1+r2或C1C2<|r1-r2|.
1.幾何法:將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值、半徑之和進(jìn)行比較,進(jìn)而判斷出兩 圓的位置關(guān)系,這是在解析幾何中常用的方法.
2.代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,得到方程組,解方程組,根據(jù)方程組解的組數(shù)判斷兩圓的位置關(guān) 系.
定點(diǎn) 1 兩圓位置關(guān)系的判斷
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
典例 已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圓C2:x2+y2+4x=0.
(1)當(dāng)m=2時(shí),判斷圓C1和圓C2的位置關(guān)系;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含 若存在,求出m的取值范圍,若不存在,請說明理由.
解析 (1)當(dāng)m=2時(shí),圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+2)2=9,則C1(2,-2),半徑r1=3,
圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+y2=4,則C2(-2,0),半徑r2=2,
∴圓心距d= =2 ,
又r1+r2=5,r1-r2=1,∴r1-r2∴圓C1和圓C2相交.
(2)不存在.理由如下:
圓C1的方程可化為(x-m)2+(y+2)2=9,則C1(m,-2),半徑r1=3.由(1)知C2(-2,0),半徑r2=2.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含,則圓心距d= <3-2,即(m+2)2<-3,此不
等式無解.故不存在實(shí)數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含.
1.兩圓相切包括內(nèi)切和外切,若只知道相切,則需分內(nèi)切、外切兩種情況討論,再根據(jù)兩圓的 圓心距與半徑的關(guān)系列方程解決問題.
2.求兩圓公切線問題的關(guān)鍵
(1)判斷兩圓的位置關(guān)系;
(2)設(shè)公切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑得參數(shù)所滿足的方程,求出參數(shù)值得切線 方程;
(3)可通過作圖解決,畫圖要標(biāo)準(zhǔn),做到“草圖不草”.
定點(diǎn) 2 兩圓相切問題
典例 已知圓O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圓O2:x2+y2-6x+2y+1=0,則兩圓的公切線方程為
　　　　　 　　　　　　 .
y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0
解析 圓O1的圓心為O1(-1,-3),半徑r1=1;
圓O2的圓心為O2(3,-1),半徑r2=3,則O1O2=2 >r1+r2,所以兩圓外離,兩圓有四條公切線.
當(dāng)公切線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,則有
解得 或 或
所以公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.
當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí),易知其方程為x=0.
所以公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y+10=0.
1.兩圓的公共弦所在直線的方程的求法
設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0).
聯(lián)立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
設(shè)兩圓交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就 是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程.
故當(dāng)兩圓相交時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程,即公共弦所在直線 的方程.
當(dāng)兩圓外離時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線的方程.
定點(diǎn) 3 兩圓的公共弦問題
當(dāng)兩圓相切時(shí),(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.
若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方 程.
2.兩圓公共弦長的求法
(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.
(2)幾何法
①將兩圓的方程作差,求出公共弦所在直線的方程;
②求出其中一個(gè)圓的圓心到公共弦的距離;
③利用勾股定理求出公共弦長.
3.求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程的方法
　　一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -
4F2 >0) 交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),再由其他 條件求出λ即得圓的方程.
典例 已知圓C1與y軸相切于點(diǎn)(0,3),圓心在直線x-y-1=0上.
(1)求圓C1的方程;
(2)若圓C1與圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N兩點(diǎn),求兩圓的公共弦長.
思路點(diǎn)撥 (1)由圓C1與y軸相切于(0,3),得圓心C1在直線y=3上,結(jié)合圓心C1在直線x-y-1=0上 求出圓心為(4,3).根據(jù)圓C1與y軸相切可得半徑r=4,從而求出圓的方程.
(2)由圓C1與圓C2的方程作差求出直線MN的方程,利用半弦長、半徑、弦心距之間的關(guān)系求 出公共弦長.
解析 (1)因?yàn)閳AC1與y軸相切于點(diǎn)(0,3),所以圓心在直線y=3上,
又因?yàn)閳A心在直線x-y-1=0上,所以圓心為直線y=3與x-y-1=0的交點(diǎn),聯(lián)立 解得
可得圓心坐標(biāo)為(4,3),
又因?yàn)閳AC1與y軸相切于點(diǎn)(0,3),故圓C1的半徑r=4,
所以圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)由(1)知,圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
兩式作差可得兩圓公共弦所在直線的方程為2x+3y-4=0,
圓心C1(4,3)到直線2x+3y-4=0的距離d= = ,
所以兩圓的公共弦長為2 =2× =2 .
易錯(cuò)警示 只有在兩圓相交的前提下,求兩圓公共弦所在的直線方程時(shí),才能讓兩圓的方程 相減得公共弦所在的直線方程.
隱圓問題
　　有些與圓有關(guān)的題目中,題設(shè)條件沒有明確給出圓的相關(guān)信息,而是隱藏在題目條件中, 因此在解決這類問題時(shí),需要通過分析、轉(zhuǎn)化已知條件發(fā)現(xiàn)圓的定義(或圓的方程),從而利用 圓的相關(guān)知識來求解,我們稱這類問題為隱圓問題.
破解隱圓問題最關(guān)鍵的是定隱圓,定隱圓一般有以下幾種方法:
①用定義定隱圓:利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓;
②用垂直關(guān)系定隱圓:若動點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A,B的連線的夾角為直角,則可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為圓(不 包括A,B兩點(diǎn)).具體表現(xiàn)形式為kPA·kPB=-1.
③用向量關(guān)系式定隱圓:兩定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)P 滿足 · =0,確定隱圓.
專題疑難 突破
足PA=λPB,當(dāng)λ>0 且λ≠1 時(shí),點(diǎn)P的軌跡就是阿波羅尼斯圓.
除了上述五種方法外,還存在“四點(diǎn)共圓”模型,常見的有兩種情形:一是四邊形的對角互補(bǔ); 二是共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等(即同弧所對的圓周角相等).
④用勾股定理定隱圓:兩定點(diǎn)A,B,動點(diǎn)P 滿足PA2+PB2=AB2,確定隱圓.
⑤用阿波羅尼斯圓定隱圓:在平面上給定相異的兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P 與點(diǎn)A,B 在同一平面內(nèi),且滿
典例1 已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切
點(diǎn)分別為A,B,使得∠APB=60°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　 　 .
解析 由題意得圓M的半徑為1,圓心為(a,a-4),圓O的半徑為1,
連接OP,OA,因?yàn)橹本€AP,BP均為圓O的切線,且∠APB=60°,所以O(shè)A=1,∠APO=30°,
所以O(shè)P=2OA=2,根據(jù)圓的定義知點(diǎn)P在圓x2+y2=4上,記為圓E,
因?yàn)辄c(diǎn)P既在圓E上,又在圓M上,所以圓E與圓M一定有公共點(diǎn),所以2-1≤ ≤2+1,
解得2- ≤a≤2+ ,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
典例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P,則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化 時(shí),點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為　　　 .
解析 解法一:由題意得直線l1經(jīng)過定點(diǎn)(0,2),記為A,直線l2經(jīng)過定點(diǎn)(2,0),記為B,且l1⊥l2,所以 點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上,記為圓C,
則圓C的圓心為(1,1),半徑r= .
因?yàn)閳A心C到直線x-y-4=0的距離d= =2 ,
所以點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為d+r=3 .
解法二:當(dāng)k=0時(shí),易得點(diǎn)P(2,2),則點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離為2 ;
當(dāng)k≠0時(shí),解方程組 得兩直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,
所以點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離d= = ,
顯然當(dāng)d取得最大值時(shí)k為正數(shù),則有 = ≤ ,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取“=”,所以
≤ =3 .
綜上可知,點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為3 .
典例3 已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),若圓(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上存在點(diǎn)M滿足 · =3,則實(shí)數(shù)a的取
值范圍是　　　 .
[-2,1]
解析 設(shè)M(x,y),則 =(-1-x,-y), =(1-x,-y).因?yàn)?· =3,所以(-1-x,-y)·(1-x,-y)=3,即x2+y2=
4,表示圓.
又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓(x-a+1)2+(y-a-2)2=1上,所以兩圓必有交點(diǎn),
所以2-1≤ ≤1+2,
即1≤ ≤3,解得-2≤a≤1.
典例4 已知O為原點(diǎn),A(2,0),B(-1,0),若MA= MO,則MB的最大值為　　　 .
思路點(diǎn)撥 由題干條件知滿足阿波羅尼斯圓的定義,利用其確定隱圓求最值.
解析 設(shè)M(x,y),由MA= MO,得(x-2)2+y2=2(x2+y2),即(x+2)2+y2=8,記為圓C.
所以M在圓心為C(-2,0),半徑r=2 的圓上.
又BC=1,所以(MB)max=BC+r=1+2 .
典例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C:x2+y2-4x=0及點(diǎn)A(-1,0),B(1,2).在圓C上是否存在點(diǎn)P, 使得PA2+PB2=12 若存在,求點(diǎn)P的個(gè)數(shù);若不存在,請說明理由.
解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,所以圓C的圓心C(2,0),半徑為2.
設(shè)P(x,y)滿足PA2+PB2=12,則PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,
即x2+(y-1)2=4,所以點(diǎn)P在圓心為(0,1),半徑為2的圓上.
因?yàn)閨2-2|< <2+2,
所以圓(x-2)2+y2=4與圓x2+(y-1)2=4相交,即在圓C上存在點(diǎn)P,使得PA2+PB2=12,且點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.
素養(yǎng)解讀
　　直線與圓在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題,本質(zhì)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即數(shù)學(xué)建模.解 題的關(guān)鍵在于能夠在實(shí)際問題的情境中,運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)量關(guān)系,提 出數(shù)學(xué)問題,進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題,運(yùn)用的主要方法是解析法,即通過圖形特點(diǎn)建立合適的平面 直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示圖形中的相關(guān)要素,選擇合適的數(shù)學(xué)模型表達(dá)要解決的幾何 問題,進(jìn)而通過代數(shù)運(yùn)算解決問題.在將實(shí)際問題通過解析法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中,培養(yǎng) 學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).
學(xué)科素養(yǎng) 情境破
素養(yǎng) 在研究直線與圓的應(yīng)用問題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)
例題 甲、乙兩人同時(shí)從半徑為3 km的圓形社區(qū)中心出發(fā),甲向正東方向走,乙向正北方向走. 甲出發(fā)不久,因有事改變前進(jìn)方向,斜著沿切于社區(qū)周界的方向前進(jìn),后來恰好與乙相遇,甲、 乙兩人的速度都一定,其比為3∶1,問甲、乙兩人在何處相遇
典例呈現(xiàn)
信息提取
關(guān)鍵信息 信息提取
半徑為3的圓形社區(qū) 圓的方程為x2+y2=9
甲斜著沿切于社區(qū)周界的方向前進(jìn) 甲的前進(jìn)方向所在直線與圓相切
甲、乙兩人相遇,求相遇點(diǎn)(乙在正北方向前進(jìn)) 求切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)
解題思路 以社區(qū)中心為原點(diǎn),正東、正北方向分別為x,y軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系,如圖,

設(shè)甲、乙兩人的速度分別為3v km/h,v km/h,甲出發(fā)x0小時(shí)后,在P點(diǎn)改變前進(jìn)方向,又經(jīng)過y0小 時(shí)在Q點(diǎn)與乙相遇,則P(3vx0,0),Q(0,v(x0+y0)),則OP=3vx0千米,PQ=3vy0千米,OQ=v(x0+y0)千米.
因?yàn)镺P2+OQ2=PQ2,
所以(3vx0)2+[v(x0+y0)]2=(3vy0)2,
整理得(x0+y0)(5x0-4y0)=0.
又因?yàn)閤0+y0>0,所以5x0=4y0①,
所以kPQ= =- ②,
將①代入②得kPQ=- ,
設(shè)直線PQ的方程為y=- x+b(b>0).
切線PQ與y軸的交點(diǎn)Q對應(yīng)的縱坐標(biāo)v(x0+y0)的值即為所求,故問題轉(zhuǎn)化為“當(dāng)直線y=- x+b
與圓x2+y2=9相切時(shí),求直線的縱截距”.
由圓心到切線的距離等于半徑得 =3,所以b= .
因此,甲、乙兩人相遇的地點(diǎn)在離社區(qū)中心正北 km處.
思維升華
解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟
(1)審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.
(2)建系:建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知.
(4)還原:將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.2.3　圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　圓與圓的位置關(guān)系
1.若圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3條公切線,則a=(　　)
A.-3　　　　B.3　　　　C.3或-3　　　　D.5
2.(教材習(xí)題改編)已知圓C1:x2+y2=r2(r>0),圓C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1與C2有公共點(diǎn),則r的最小值為(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.5　　　　D.7
3.在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)的距離為3,且與點(diǎn)B(3,8)的距離為1的直線共有(　　)
A.1條　　　　B.2條　　　　C.3條　　　　D.4條
4.已知點(diǎn)A(0,0),B(2,0),圓M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有兩點(diǎn)Pi(i=1,2)滿足=3,則r的取值范圍是　　　　.
題組二　兩圓的公共弦與公切線
5.(教材習(xí)題改編)(多選題)圓O1:x2+y2-2x+2y-2=0與圓O2:x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的長為,則a的值可以為　(　　)
A.±2　　　　B.±
6.(多選題)已知兩圓C1:x2+y2=4與C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),則下列說法不正確的是(　　)
A.若兩圓相切,則r=3
B.若兩圓的公共弦所在直線的方程為3x-4y-2=0,則r=5
C.若兩圓的公共弦長為2,則r=
D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則r=4
7.已知圓C1:x2+y2-4x-16=0與圓C2:x2+y2+2y-4=0,則圓C1與圓C2的公切線方程是　　　　.
8.已知圓C:(x-2)2+y2=4,點(diǎn)P在直線x-y-1=0上運(yùn)動,過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若直線AB過定點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　　　　.
9.已知圓M:x2+y2-2x-6y-1=0和圓N:x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)當(dāng)m取何值時(shí),兩圓外切
(2)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在的直線方程和公共弦的長.
題組三　圓與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用
10.(多選題)已知圓C1:x2+y2-3x-3y+3=0與圓C2:x2+y2-2x-2y=0交于A,B兩點(diǎn),則(　　)
A.線段AB的中垂線方程為x+y=0
B.直線AB的方程為x+y-3=0
C.公共弦AB的長為2
D.所有經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓中,面積最小的圓是圓C1
11.已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=4和兩點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圓C上有且僅有一點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則實(shí)數(shù)a的值是(　　)
A.2- C.2-或2+
能力提升練
題組一　圓與圓的位置關(guān)系
1.(多選題)已知圓C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0),則下列說法正確的是(　　)
A.當(dāng)r=1時(shí),圓C1與圓C2有4條公切線
B.當(dāng)r=2時(shí),直線y=1是圓C1與圓C2的一條公切線
C.當(dāng)r=3時(shí),圓C1與圓C2相交
D.當(dāng)r=4時(shí),圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+
2.已知直線l:x-2y-1=0與圓C:x2+y2+2ax+2y+a2+1=0始終有公共點(diǎn),則圓C與圓M:x2+y2-ax+a2=0的位置關(guān)系為(　　)
A.相交　　　　B.外離　　　　C.外切　　　　D.內(nèi)切
3.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=9和兩點(diǎn)
A(t,0),B(-t,0)(t>0),若圓C上至少存在一點(diǎn)P,使得<0,則實(shí)數(shù)t的
取值范圍是(　　)
A.(2,8)　　　　B.(2,+∞)　　　　C.(3,+∞)　　　　D.(1,3)
4.若直線l:mx+y-3m-2=0與圓M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B兩點(diǎn),則當(dāng)弦AB最短時(shí),圓M與圓N:(x+2m)2+y2=9的位置關(guān)系是　(　　)
A.內(nèi)切　　　　B.外離　　　　C.外切　　　　D.相交
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在點(diǎn)M,且點(diǎn)M關(guān)于直線x+y+1=0的對稱點(diǎn)N在圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,則r的取值范圍是(　　)
A.[+2]
C.[+2]
6.已知圓C:x2+y2-2x+m=0與圓(x+3)2+(y+3)2=4外切,點(diǎn)P是圓C上一動點(diǎn),則點(diǎn)P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為　　　　　.
7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(3,0),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心C在直線l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使得MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.
題組二　兩圓的公共弦與公切線
8.已知圓C1:x2+y2-kx+2y=0與圓C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直線恒過點(diǎn)P,且點(diǎn)P在直線mx-ny-2=0上(m>0,n>0),則mn的最大值是(　　)
A.
9.(多選題)如圖,點(diǎn)A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧,是以BC為直徑的圓上的一段圓弧,是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧,三段弧構(gòu)成曲線Ω,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.曲線Ω與x軸圍成的圖形的面積為
B.的公切線的方程為x+y-1-=0
C.所在圓的公共弦所在直線的方程為x-y=0
D.所在圓截直線y=x所得弦的長為
10.已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)證明圓C1與圓C2外切,并求過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程;
(2)求過點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.
題組三　圓與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用
11.已知M,N分別是圓C1:x2+y2-4x-4y+7=0,圓C2:x2+y2-2x=0上的兩個(gè)動點(diǎn),P為直線x+y+1=0上的一個(gè)動點(diǎn),則PM+PN的最小值為(　　)
A.　　　　C.2　　　　D.3
12.設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(4,0),動點(diǎn)P滿足2PA=PB,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C1,圓C2:(x+)2+(y-3)2=4,C1與C2交于點(diǎn)M,N,Q為直線OC2上一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則=(　　)
A.4　　　　B.2
13.設(shè)點(diǎn)P為直線2x+y-2=0上的點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:x2+y2+2x+2y-2=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時(shí),直線AB的方程為　　　　　　.
14.定義圓的反演點(diǎn):若點(diǎn)M在圓O外,過M作圓O的兩條切線,兩切點(diǎn)的連線與OM的交點(diǎn)就是M的反演點(diǎn);若點(diǎn)M在圓O內(nèi),則連接OM,過點(diǎn)M作OM的垂線,在該垂線與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)處分別作圓O的切線,切線的交點(diǎn)即為M的反演點(diǎn).已知圓O:x2+y2=4,點(diǎn)M(1,3),則M的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　.
15.已知圓C1:x2+y2+6x-2y+6=0和圓C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0).
(1)若圓C1與圓C2相交,求r的取值范圍;
(2)若直線l:y=kx+1與圓C1交于P,Q兩點(diǎn),且=4,求實(shí)數(shù)k的值;
(3)若r=2,設(shè)M為平面上的點(diǎn),且滿足:存在過點(diǎn)M的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).
答案與分層梯度式解析
2.3　圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　由題意得,圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2:(x-4)2+(y-a)2=16的圓心為C2(4,a),半徑r2=4,因?yàn)閮蓤A有3條公切線,所以兩圓外切,則C1C2=r1+r2,即=5,解得a=±3.故選C.
規(guī)律總結(jié)　圓與圓的位置關(guān)系與公切線條數(shù)
位置關(guān)系 內(nèi)含 內(nèi)切 相交 外切 外離
公切線條數(shù) 0 1 2 3 4
2.B　由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑為r,圓C2的圓心為C2(-3,4),半徑為2,則C1C2==5,
∵C1與C2有公共點(diǎn),
∴|r-2|≤C1C2≤r+2,
又r>0,∴3≤r≤7,故r的最小值為3.故選B.
3.D　與點(diǎn)A(1,2)距離為3的點(diǎn)的軌跡是以A(1,2)為圓心,3為半徑的圓,與點(diǎn)B(3,8)距離為1的點(diǎn)的軌跡是以B(3,8)為圓心,1為半徑的圓,
則所求直線即為兩圓的公切線,
因?yàn)锳B=>1+3=4,
所以兩圓外離,有4條公切線,所以符合題意的直線有4條.故選D.
4.答案　(3,7)
解析　設(shè)P(x,y),則=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,變形得(x-1)2+y2=4,
故點(diǎn)P在以點(diǎn)(1,0)為圓心,2為半徑的圓上,
要使圓M上恰有兩點(diǎn)Pi(i=1,2)滿足=3,
則圓(x-1)2+y2=4與圓M有兩個(gè)交點(diǎn),故|r-2|<5.CD　兩圓方程相減,得兩圓公共弦所在直線的方程為(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,
易得圓O1的圓心為O1(1,-1),半徑為2,
因?yàn)辄c(diǎn)O1到直線(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距離d=,
所以d=,
解得a=±1或a=±.故選CD.
6.ACD　由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(3,-4),半徑為r,則C1C2=5,
對于A,當(dāng)兩圓外切時(shí),C1C2=r1+r,即5=2+r,解得r=3;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),C1C2=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故兩圓相切時(shí),r=3或r=7,故A中說法錯(cuò)誤;
對于B,兩圓方程相減,得公共弦所在直線的方程為6x-8y+r2-29=0,
又因?yàn)楣蚕宜谥本€的方程為3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中說法正確;
對于C,圓心C1(0,0)到直線6x-8y+r2-29=0的距離d=,
因?yàn)閮蓤A的公共弦長為2,所以2,所以d=1,
所以=1,解得r2=19或r2=39,即r=或r=,故C中說法錯(cuò)誤;
對于D,若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則滿足r2+,即r2+4=25,所以r=,故D中說法錯(cuò)誤.故選ACD.
易錯(cuò)警示　　　本題A選項(xiàng)容易出錯(cuò),當(dāng)已知兩圓相切時(shí),要分內(nèi)切和外切兩種情況討論.
7.答案　2x+y+6=0
解析　圓C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圓心為C1(2,0),半徑r1=2,
圓C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圓心為C2(0,-1),半徑r2=.
因?yàn)閳A心距C1C2==r1-r2,所以兩圓內(nèi)切.
聯(lián)立所以兩圓切點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-2),
又,所以公切線的斜率為-2,
所以公切線的方程為y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0.
解題模板　　　當(dāng)兩圓外切時(shí),有一條內(nèi)公切線,且垂直于兩圓的連心線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),有一條外公切線,且垂直于兩圓的連心線.求切線方程時(shí),可先聯(lián)立兩圓方程求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用垂直關(guān)系求出公切線的斜率,進(jìn)而得到方程.
8.答案　(-2,4)
解析　由題意得圓C的圓心為C(2,0),半徑r=2,設(shè)P(t,t-1),
由題意知A,B在以PC為直徑的圓上,該圓的方程為,
化簡得x2+y2-(t+2)x-(t-1)y+2t=0,
與圓C的方程(x-2)2+y2=4相減,得直線AB的方程為(2-t)x-(t-1)y+2t=0,即t(-x-y+2)+2x+y=0,
由
所以直線AB過定點(diǎn)M(-2,4).
9.解析　設(shè)圓M的半徑為r1,圓N的半徑為r2.將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,分別為M:(x-1)2+(y-3)2=11,N:(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61),
則圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為r1=.
(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),滿足MN=r1+r2,即,解得m=25+10.
(2)當(dāng)m=45時(shí),=4,則4-,所以兩圓相交,
則兩圓的公共弦所在直線的方程為x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,
圓心M(1,3)到直線4x+3y-23=0的距離d==2,所以公共弦的長為2.
10.BD　設(shè)圓C1的半徑為r1,圓C2的半徑為r2.將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為C1:,C2:(x-1)2+(y-1)2=2,
圓心分別為C1,C2(1,1),半徑分別為r1=.
由圓的性質(zhì)可知,線段AB的中垂線過圓心C1,C2,則線段AB的中垂線的斜率為=1,方程為y-1=x-1,即x-y=0,A錯(cuò)誤;
將兩圓方程相減得直線AB的方程為x+y-3=0,B正確;
圓心C2到直線AB的距離d=,
所以AB=2,C錯(cuò)誤;
易知經(jīng)過A,B兩點(diǎn)的圓中,以AB為直徑的圓的面積最小,
因?yàn)锳B=2r1,所以圓C1即是以AB為直徑的圓,故D正確.
11.C　圓C的圓心為C(1,1),半徑r=2,
由點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0)可得以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,
設(shè)該圓為圓O,則圓心為O(0,0),半徑R=a,
若點(diǎn)P滿足∠APB=90°,則P在圓O上,
由圓C上有且僅有一點(diǎn)P使得∠APB=90°,得圓C與圓O相切,
則兩圓內(nèi)切或兩圓外切易錯(cuò)點(diǎn),即OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又a>0,所以a=2-或a=2+.故選C.
能力提升練
1.ABD　由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2的圓心為C2(3,3),半徑為r,故C1C2=3.
當(dāng)r=1時(shí),C1C2>2=r1+r,所以兩圓外離,故有4條公切線,A正確;
直線y=1是圓C1的切線,當(dāng)r=2時(shí),圓心C2到直線y=1的距離d=2=r,即直線y=1是圓C2的切線,B正確;
當(dāng)r=3時(shí),C1C2>4=r1+r,即兩圓外離,C錯(cuò)誤;
當(dāng)r=4時(shí),r-r1=3將兩圓方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即y=-x+,D正確.
2.B　由題意得圓C的圓心為C(-a,-1),半徑r1=|a|(a≠0),圓M的圓心為M,半徑r2=|a|.
因?yàn)橹本€l與圓C始終有公共點(diǎn),所以|a|,解得a≥,
因此CM=a,
所以圓C與圓M外離.故選B.
3.B　由題得圓C的圓心為C(3,4),半徑r=3,
因?yàn)閳AC上至少存在一點(diǎn)P,使得<0,
所以∠APB>90°,
所以圓C與圓O:x2+y2=t2(t>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn))相交、內(nèi)切或內(nèi)含,則OC<3+t,
又因?yàn)镺C==5,所以5<3+t,解得t>2.
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,+∞).故選B.
4.B　直線l的方程可變形為m(x-3)+y-2=0,所以直線l過定點(diǎn)(3,2),記為P,圓M的圓心M(5,4),半徑為5.
因?yàn)?3-5)2+(2-4)2<25,所以P(3,2)在圓M內(nèi).
當(dāng)弦AB最短時(shí),l⊥PM,
又kPM==1,所以-m=-1,解得m=1,
此時(shí)圓N的方程是(x+2)2+y2=9,圓心為N(-2,0),半徑為3.
則MN=,
因?yàn)?5+3=8,所以圓M與圓N外離.故選B.
5.D　設(shè)圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4關(guān)于直線x+y+1=0對稱的圓為C0:(x-a)2+(y-b)2=4,
則
故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.
由題意可知,圓C0:(x+2)2+(y+3)2=4與圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交點(diǎn),
圓C0與圓C2的圓心分別為C0(-2,-3),C2(-1,-1),半徑分別為2,r,
則C0C2=,
則滿足|r-2|≤≤r+2,解得-2≤r≤+2.
∴r的取值范圍是[+2].故選D.
6.答案　4
解析　將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-m,圓心為C(1,0),半徑為(m<1),
圓(x+3)2+(y+3)2=4的圓心為(-3,-3),半徑為2,
因?yàn)閮蓤A外切,所以,解得m=-8,
所以圓C的半徑為3,
因?yàn)閳A心C(1,0)到直線5x+12y+8=0的距離為=1,
所以點(diǎn)P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為3+1=4.
7.解析　(1)聯(lián)立即兩直線的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2),
則圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1,
當(dāng)過點(diǎn)A的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,不是圓C的切線;
當(dāng)過點(diǎn)A的直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,
要想該直線為圓C的切線,則=1,解得k=±,
所以切線方程為=0或=0.
(2)由題可得點(diǎn)C(a,2a-4),則圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,
設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2MO,所以,化簡得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,
所以點(diǎn)M在以點(diǎn)(-1,0)為圓心,2為半徑的圓上,設(shè)D(-1,0).
因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),
所以|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3,解得≤a≤2,
所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為.
8.D　將兩圓方程相減,得公共弦所在直線的方程為kx+(k-2)y-4=0,整理得k(x+y)-2y-4=0,令所以點(diǎn)P(2,-2),代入mx-ny-2=0,得m+n=1,所以mn≤,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)等號成立,所以mn的最大值為.故選D.
9.BC　所在圓的方程分別為(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)2+y2=1.
由題意得曲線Ω與x軸圍成的圖形的面積為=π+2,故A中結(jié)論錯(cuò)誤;
設(shè)的公切線的方程為y=kx+b(k<0,b>0),則=1,所以k=-1,b=1+,
所以的公切線的方程為y=-x+1+,即x+y-1-=0,故B中結(jié)論正確;
由x2+(y-1)2=1與(x-1)2+y2=1作差得x-y=0,即公共弦所在直線的方程為x-y=0,故C中結(jié)論正確;
所在圓的方程為(x+1)2+y2=1,圓心為(-1,0),
圓心(-1,0)到直線y=x的距離d=,
則所求弦長為2×,故D中結(jié)論錯(cuò)誤.
故選BC.
10.解析　(1)由圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0可得(x+2)2+(y-2)2=13,
由圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0可得(x-4)2+(y+2)2=13,
因此兩圓的圓心分別為C1(-2,2),C2(4,-2),
兩圓的半徑r1=r2=,
因?yàn)镃1C2==r1+r2,所以兩圓外切.
由兩式相減得3x-2y-3=0,故過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程為3x-2y-3=0.
(2)易知直線C1C2經(jīng)過切點(diǎn),且直線C1C2的方程為,即2x+3y-2=0.
由故切點(diǎn)為(1,0),設(shè)為M.
與兩圓相切于點(diǎn)M(1,0)的圓的圓心必在已知兩圓的圓心連線C1C2:2x+3y-2=0上,
設(shè)圓心為P(a,b),半徑為r,
則
所以r2=PM2=,
故所求圓的方程為(x+4)2+.
11.D　將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,分別為C1:(x-2)2+(y-2)2=1,C2:(x-1)2+y2=1.
設(shè)圓C2關(guān)于直線x+y+1=0對稱的圓為C'2,其圓心為C'2(a,b).
依題意得解得
因此,圓C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如圖所示.
∵C1C'2==5,
∴(PM+PN)min=C1C'2-2=3,故選D.
12.C　設(shè)點(diǎn)P(x,y),則2,
化簡得動點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x2+y2=4,
聯(lián)立
解得不妨設(shè)M(-,1),N(0,2),
如圖所示,由平面幾何知識可得||cos∠QMN=|,故|·||cos∠QMN=||·)2+(2-1)2]=2.故選C.
13.答案　2x+y-1=0
解析　由題意得圓心C(-1,-1),半徑r=2,
易知S四邊形PACB=2S△PCA,又AC⊥AP,∴S四邊形PACB=2×·AC·AP=AC·AP=2AP=2,
∴要想S四邊形PACB取得最小值,只需CP取得最小值.當(dāng)CP的長為圓心C到直線2x+y-2=0的距離,即CP與直線2x+y-2=0垂直時(shí),CP取得最小值,
此時(shí)kCP=,又C(-1,-1),
∴直線CP:y+1=(x+1),即x-2y-1=0,
由即P(1,0),
∴線段CP的中點(diǎn)為,
又,
∴以CP為直徑的圓的方程為x2+,
由得2x+y-1=0,故直線AB的方程為2x+y-1=0.
14.答案　
解析　圓O的圓心為O(0,0),半徑r=2.
因?yàn)镺M=>2,所以點(diǎn)M在圓O外,
過M作圓O的兩條切線,設(shè)兩切點(diǎn)分別為A,B,則A,B在以O(shè)M為直徑的圓上,
易得該圓方程為,
與圓O的方程相減,得公共弦AB所在直線的方程為x+3y-4=0,
易得直線OM的方程為y=3x,由所以M的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為.
15.解析　(1)圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y-1)2=4,則圓心C1(-3,1),半徑r1=2,圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-5)2=r2(r>0),則圓心C2(4,5),半徑為r,
∴C1C2=,
∵圓C1與圓C2相交,∴|r-2|<∴r的取值范圍為(+2).
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立消去y,整理得(1+k2)x2+6x+5=0,
由題意得Δ=36-20(1+k2)>0,得k∈,
又x1+x2=-,所以+6=4,解得k=,
因?yàn)閗∈,所以k=.
(3)由已知得直線l1與l2的斜率均存在且不為0.
設(shè)M(m,n),直線l1:y-n=k1(x-m),則直線l2:y-n=-(x-m),
即l1:k1x-y+n-k1m=0,l2:-m=0,
因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,且兩圓的半徑相等,
所以圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等,
則,
化簡得(2-m-n)k1=m-n-3或(m-n+8)k1=m+n-5,
關(guān)于k1的方程有無窮多解,
則
解得所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
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