資源簡介

第3章　圓錐曲線與方程
3.1　橢圓
3.1.1　橢圓的標準方程
基礎過關練
題組一　橢圓的定義及其應用
1.(多選題)過已知圓內一個定點作圓C與已知圓相切,則圓心C的軌跡可能是(　　)
A.圓　　　　B.橢圓
C.線段　　　　D.射線
2.已知點P為橢圓+y2=1上的一個動點,點F1,F2分別為該橢圓的左、右焦點,當∠F1PF2=時,△F1F2P的面積為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
3.已知橢圓=1上的點M到該橢圓一個焦點F的距離為4,N是MF的中點,O為坐標原點,則線段ON的長是　(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
4.已知F1,F2為橢圓的焦點,且F1F2=2,M,N是橢圓上兩點,且,以F1F2為直徑的圓經過M點,則△MNF2的周長為(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12
題組二　橢圓的標準方程及其應用
5.已知橢圓C:=1的焦點在y軸上,則實數k的取值范圍是(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-5,-1) C.(-5,3)　　　　D.(-5,-1)∪(-1,3)
6.若動點P(x,y)滿足,則動點P的軌跡方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.已知△ABC的周長為20,且頂點B(0,-4),C(0,4),則頂點A的軌跡方程是(　　)
A.=1(x≠0)　　　　B.=1(x≠0)
C.=1(x≠0)　　　　D.=1(x≠0)
8.已知橢圓=1(a>b>0)的焦點為F1,F2,P(3,4)為橢圓上的一點,且PF1⊥PF2,則橢圓的標準方程為　　　　　　　　.
9.求適合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)經過點(2,3),且與橢圓9x2+4y2=36有共同的焦點;
(2)經過P(-2,-2)兩點.
10.已知F1,F2是橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點,F1F2=2,M為C上一點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若P為C上一點,且∠F2PF1=30°,求△F1PF2的面積.
題組三　直線與橢圓的位置關系
11.過橢圓x2+2y2=2的左焦點作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點,則弦AB的長為(　　)
A.
12.如圖,已知F1,F2為橢圓=1的左、右焦點,橢圓上的點A在第一象限,且AF2⊥x軸,若線段BF1與x軸垂直,直線AB與橢圓只有一個交點,則BF1,AF1的大小關系是　(　　)
A.BF1=AF1　　　　B.BF1>AF1
C.BF113.已知橢圓=1,過點E(0,1)且斜率為k的直線l與x軸交于點M,與橢圓交于A,B兩點,若,則k的值為　　　　.
14.(2023江西南昌外國語學校月考)已知橢圓C:+y2=1,直線l與橢圓C相交于A,B兩點,點P為線段AB的中點.
(1)求直線l的方程;
(2)若O為坐標原點,求△OAB的面積.
能力提升練
題組一　橢圓的定義、標準方程及其應用
1.已知橢圓C:=1的左焦點為F,P為C上一動點,定點A(-1,),則PF+PA的最大值為(　　)
A.4
2.古希臘數學家阿波羅尼斯所著的八冊《圓錐曲線論》中,首次提出了圓錐曲線的光學性質,其中之一的內容為:若點P為橢圓上的一點,F1、F2為橢圓的兩個焦點,則點P處的切線平分∠F1PF2的外角.根據此信息回答下列問題:已知橢圓C:=1,O為坐標原點,l是點P(2,)處的切線,過左焦點F1作l的垂線,垂足為M,則OM=(　　)
A.2
3.已知F1,F2分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點,點A(0,b),點B在橢圓C上,且,D,E分別是AF2,BF2的中點,且△DEF2的周長為4,則橢圓C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
4.(多選題)已知橢圓C:+y2=1的左、右焦點分別為F1,F2,與x軸的負、正半軸的交點分別是A,B,點P是C上的一個動點,則下列結論正確的有(　　)
A.不存在點P,使得∠F1PF2=
B.cos∠APB的最小值為-
C.若∠F1PF2=,則△F1PF2的面積為
D.點P到點(1,0)的距離的最小值為
題組二　直線與橢圓的位置關系
5.橢圓=1的一個焦點為F,過原點O作直線與橢圓交于A,B兩點,若△ABF的面積是20,則直線AB的斜率為(　　)
A.±
6.已知F1、F2分別是橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓C上,且PF1⊥x軸,點A、B分別是橢圓與x軸、y軸正半軸的交點,且AB∥OP,PF1+PF2=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過橢圓C的左焦點F1作不與坐標軸垂直的直線,交橢圓于M,N兩點,線段MN的垂直平分線與y軸負半軸交于點Q,若點Q的縱坐標的最大值是-,求MN的最大值.
答案與分層梯度式解析
第3章　圓錐曲線與方程
3.1　橢圓
3.1.1　橢圓的標準方程
基礎過關練
1.AB　設已知圓的圓心為A,半徑為R,圓內的定點為B,動圓C的半徑為r,則r=BC,
若點A與點B不重合,由題意知圓A與圓C內切,則AC=R-r=R-BC,即CA+CB=R,
∴動點C到兩個定點A,B的距離之和為常數R.
∵B為圓A內的定點,∴AB若A,B重合,則動點C的軌跡是以R為直徑的圓.故選AB.
2.A　由題意可得a=2,b=1,c=,設PF1=m,PF2=n,
則所以(m+n)2-2mn=12,解得mn=2,所以mn=1.故選A.
3.C　不妨設左焦點為F,右焦點為F1,連接MF1,因為N是MF的中點,O是FF1的中點,故ON是△MFF1的中位線,故ON=MF1,
由橢圓方程得a=6,由橢圓的定義可知MF+MF1=2a=12,因為MF=4,所以MF1=8,故ON=MF1=4,故選C.
4.D　由于以F1F2為直徑的圓經過M點,所以MF1⊥MF2,
不妨設NF1=x,則MF1=2x,MN=3x.
由橢圓的定義可得MF2=2a-2x,NF2=2a-x,
由勾股定理可得
即所以a=3,x=1,
故△MNF2的周長為4a=12,故選D.
5.A　因為橢圓的焦點在y軸上,所以5+k>3-k>0,解得-16.B　設F1(-2,0),F2(2,0),故原式表示點P到F1,F2的距離之和為4,
又F1F2=4,所以PF1+PF2=4>F1F2,
故點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且2a=4,2c=4,所以b2=a2-c2=8-4=4,
故點P的軌跡方程為=1.故選B.
7.B　由題意得BC=8,故AB+AC=12>BC,
所以頂點A的軌跡是以B(0,-4),C(0,4)為焦點的橢圓(去掉點(0,-6),(0,6)).
設橢圓的方程為=1(a>b>0),則a=6,c=4,
所以b2=a2-c2=20.
故頂點A的軌跡方程為=1(x≠0).
易錯警示　　　本題隱含A,B,C三點不共線,因此在求軌跡方程時,要去掉y軸上的兩點,防止漏掉x≠0導致錯誤.
8.答案　=1
解析　設F1(c,0),F2(-c,0),則b2=a2-c2,
由PF1⊥PF2,可得=-1,解得c=5,∴橢圓方程為=1,
∵點P(3,4)在橢圓上,∴=1,解得a2=45或a2=5,又a>c,故a2=45,b2=20,
故所求橢圓的標準方程為=1.
9.解析　(1)橢圓方程可變形為=1,
故橢圓的焦點在y軸上,且c=,
設所求橢圓的標準方程為=1(a>b>0),
所以
所以所求橢圓的標準方程為=1.
(2)設所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0),
把P(-2,-2)代入,得
解得=1.
方法技巧　　　在不確定橢圓焦點位置時,經過兩點的橢圓方程可設為mx2+ny2=1(m>0,n>0),這樣能避免對焦點所在位置的討論.
10.解析　(1)由F1F2=2,可得c=1,設F1(-1,0),F2(1,0),則MF1=,
由橢圓的定義可得a=,所以b==2,
故橢圓C的標準方程為=1.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理得F1PF1·PF2,①
由橢圓的定義可得PF1+PF2=2a=2,
平方得P+2PF1·PF2=20,結合①得F1PF1·PF2+2PF1·PF2=20,解得PF1·PF2=16(2-),
所以△F1PF2的面積S=PF1·PF2sin 30°=4(2-).
11.D　橢圓方程可變形為+y2=1,∴a2=2,b2=1,c2=1,∴c=1,
若設左焦點為F(-1,0),則過F且斜率為1的直線為y=x+1,代入橢圓方程得3x2+4x=0.①
解法一:由①解得x=0或x=-,則y=1或y=-.
∴AB=.
解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=0,
所以AB=,
故選D.
12.A　由已知得a=2,b=,則c=1,F1(-1,0),F2(1,0),將x=1代入橢圓方程,可得y=±,又A在第一象限,∴A,故AF1=.
設直線AB的方程為y-=k(x-1),
由得(3+4k2)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,
∴Δ=(12k-8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12k-3)=0,整理得4k2+4k+1=0,∴k=-,
則直線AB的方程為y-(x-1),即y=-x+2,
直線BF1的方程為x=-1,
由即B,
故BF1==AF1,故選A.
13.答案　±　　
解析　由已知得直線l的方程為y=kx+1,k≠0,則M,設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y得(2+3k2)x2+6kx-9=0,
∴Δ=36k2+36(2+3k2)>0,x1+x2=,
又,
∴x1+=-x2,y1=1-y2,即x1+x2=-,解得k=±.
14.解析　(1)由題意知直線l的斜率存在,設其方程為y-=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:由得(4k2+2)x2+(4k-8k2)x+4k2-4k-3=0,
因為點P為線段AB的中點,所以x1+x2==2×1,解得k=-1,
故直線l的方程為y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0.
解法二:由題意得=1②,
①-②整理得,因為點P為線段AB的中點,所以x1+x2=2,y1+y2=1,
所以直線l的斜率k==-1,
所以直線l的方程為y-=(-1)×(x-1),即2x+2y-3=0.
(2)由(1)知x1+x2=2,x1x2=,
所以AB=
=,
O到直線l的距離d=,
所以S△OAB=AB·d=.
能力提升練
1.B　由已知得a=2,c=2,由<1,知A在橢圓內部,記橢圓的右焦點為E,則E(2,0),由橢圓的定義得PF+PE=2a=4,則PF=4-PE,
故PF+PA=4-PE+PA≤4+AE,當且僅當P是AE的延長線與橢圓的交點時,取等號,
所以PF+PA的最大值為4,故選B.
解題模板　　　求橢圓內一點,橢圓上一點與焦點間的距離的最值問題,一般利用平面幾何知識,轉化為三點共線問題解決.設橢圓方程為=1(a>b>0),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,Q(x0,y0)為橢圓內一定點,M為橢圓上任意一點,則
(1)-QF1≤MQ-MF1≤QF1;
(2)2a-QF1≤MF2+MQ≤2a+QF1.
2.A　不妨設右焦點為F2,延長F1M、F2P交于點N,
由題意可知∠F1PM=∠NPM,
又因為PM⊥F1N,所以M為F1N的中點,且PF1=PN,所以F2N=PN+PF2=PF1+PF2=2a=4,
又因為O為F1F2的中點,
所以OM=.故選A.
3.B　因為,所以A,F1,B三點共線,且AF1=2F1B,
因為D,E分別為AF2和BF2的中點,
所以4a=AB+AF2+BF2=2(DE+DF2+EF2)=8,解得a=2,設B(x0,y0),F1(-c,0),A(0,b),
由,可得(-c,-b)=2(x0+c,y0),
則x0=-,所以B,
把B的坐標代入橢圓方程得=1,故c2=,所以橢圓C的方程為=1.故選B.
4.BCD　設橢圓與y軸的正、負半軸的交點分別為D,E,由橢圓方程知a=2,b=1,c=,
所以F1(-,0),A(-2,0),B(2,0),D(0,1),E(0,-1),
則,-1),所以=-3+1=-2<0,
則∠F1PF2的最大角為鈍角,即存在點P,使得∠F1PF2=,故A錯誤;
當點P運動到D或E的位置時,∠APB最大,則cos∠APB最小,
此時AD=BD=,且AB=4,
在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,
所以cos∠APB的最小值為-,故B正確;
設PF1=m,PF2=n,由橢圓定義可得m+n=2a=4,即m2+n2+2mn=16①,
由余弦定理可得F1-2PF1·PF2cos,
即m2+n2-mn=12②,①-②可得3mn=4,即mn=,
所以,故C正確;
設P(x0,y0),-2≤x0≤2,則=1,
則點P到點(1,0)的距離為,
當x0=時,[,故D正確.故選BCD.
5.A　由橢圓方程得c==5,不妨取F(5,0).
①當直線AB的斜率不存在時,直線AB的方程為x=0,此時AB=4,
S△ABF=AB·5=,不符合題意;
②當直線AB的斜率存在時,可設其方程為y=kx,
由可得(4+9k2)x2=180,得x=±6,
不妨設xA=6,則yA=,
∴S△ABF=2S△AOF=2×=20,解得k=±.故選A.
6.解析　(1)由題可知F1(-c,0),A(a,0),B(0,b),
因為PF1⊥x軸,所以可以把x=-c代入=1,可得|y|=,所以P或P,
又AB∥OP,所以kOP=kAB,所以-(舍去),得b=c,
又由橢圓定義知PF1+PF2=2a=2,所以a=,所以b=c=1,
所以橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)由(1)知F1(-1,0),易知直線MN的斜率存在.設直線MN的方程為x=my-1,聯立得(m2+2)y2-2my-1=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=,
所以x1+x2=m(y1+y2)-2=,所以MN中點的坐標為,
故線段MN的垂直平分線的方程為y-,令x=0,得y=-,
因為點Q的縱坐標的最大值為-,
所以-≤-,解得1≤m≤2,
所以MN=,
1≤m≤2,
當m=2時,MN取得最大值,為.
技巧點撥　　　直線與橢圓的位置關系的問題中,設直線方程時有以下技巧:直線過x軸上的定點M(x0,0)時,常設m型直線,即x-x0=my(不含斜率為0的直線),消元常常消去x,保留y;直線過y軸上的定點N(0,y0)時,常設k型直線,即y-y0=kx(不含斜率不存在的直線),消元常常消去y,保留x.
17(共19張PPT)
　　平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓,兩個定點F1,
F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點間的距離叫作橢圓的焦距.
第3章 圓錐曲線與方程
3.1　橢圓
知識點 1 橢圓的定義
必備知識 清單破
3.1.1 橢圓的標準方程
知識點 2 橢圓的標準方程
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的關系 a2=b2+c2
　
　　點P(x0,y0)與橢圓 + =1(a>b>0)的位置關系:
(1)點P在橢圓上 + =1;
(2)點P在橢圓內部 + <1;
(3)點P在橢圓外部 + >1.
知識點 3 點與橢圓的位置關系
　
1.直線與橢圓位置關系的判斷
　　一般地,聯立直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)與橢圓 + =1(a>b>0)的方程,得
整理,得到一個關于x(或y)的一元二次方程.
知識點 4 直線與橢圓的位置關系
位置關系 Δ的取值 交點的個數
相交 Δ>0 2
相切 Δ=0 1
相離 Δ<0 0
2.弦長公式
　　設直線l:y=kx+b與橢圓交于兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2= |x1-x2|= ·
或P1P2= |y1-y2|= · (k≠0).
知識拓展
1.若動點M與定點F(c,0)之間的距離和它到定直線l:x= 的距離之比是常數 (0M的軌跡叫作橢圓,定點為橢圓的一個焦點.
2.已知定點A(-a,0),B(a,0),若直線AM、BM相交于點M,且它們的斜率之積為- ,則點M的軌跡
是橢圓(不包含點A、B).
知識辨析
1.平面內到兩個定點的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓嗎
2.橢圓 + =1(a>b>0)和橢圓 + =1(a>b>0)的焦點雖然不同,但都滿足a2=b2+c2,這種說
法正確嗎
3.橢圓的標準方程可以寫成mx2+ny2=1(m>0,n>0)的形式,反過來,若一個方程是mx2+ny2=1(m>0, n>0)的形式,它一定表示橢圓嗎
一語破的
1.不一定.當常數大于兩定點之間的距離時,點的軌跡是橢圓;當常數等于兩定點之間的距離 時,點的軌跡是線段;當常數小于兩定點之間的距離時,點的軌跡不存在.
2.正確.焦點無論是落在x軸上還是y軸上,都滿足a2=b2+c2,且a>b,a>c.
3.不一定.若m=n,則該方程表示的圖形是圓.
　
1.定義法求橢圓的標準方程
　　根據橢圓的定義,確定a2,b2的值,結合焦點位置寫出橢圓的標準方程.
2.待定系數法求橢圓的標準方程
(1)求橢圓的標準方程,一般是先“定性”,即判斷焦點所在的坐標軸,再“定量”,即確定a,b 的值.
(2)求a,b的值時可利用條件直接求出,也可用待定系數法設出相應的標準方程,然后計算.
如果明確橢圓的焦點在x軸或y軸上,那么設所求的橢圓方程為 + =1或 + =1(a>b>0).
如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上,還是在y軸上,那么方程可以設為mx2+ny2 =1(m>0,n>0,m≠n).
定點 1 橢圓標準方程的求解
關鍵能力 定點破
典例 求符合下列條件的橢圓的標準方程.
(1)兩個焦點的坐標分別為(0,-2),(0,2),并且橢圓經過點 ;
(2)焦點在坐標軸上,且經過A( ,-2)和B(-2 ,1)兩點.
思路點撥 (1)定性:設橢圓的方程為 + =1(a>b>0) 定量:求a,b的值 求橢圓的標準
方程.
(2)設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 待定系數法求橢圓的標準方程.
解析 (1)由題意知,橢圓的焦點在y軸上,
∴設橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0).
由橢圓的定義,知2a= + =2 ,即a= .
又c=2,∴b2=a2-c2=6.
∴所求橢圓的標準方程為 + =1.
(2)設所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
∵A( ,-2)和B(-2 ,1)兩點在橢圓上,
∴
即 解得
∴所求橢圓的標準方程為 + =1.
　
1.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.關于橢圓的焦點三角 形問題,通常利用橢圓的定義,并結合勾股定理、正弦定理、余弦定理等知識求解.
2.焦點三角形的常用結論
(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知F1 =P +P -2PF1·PF2·cos∠F1PF2.
(3)設P(xP,yP),則焦點三角形F1PF2的面積為c·|yP|= PF1·PF2·sin∠F1PF2=b2tan .
定點 2 橢圓的焦點三角形問題
典例 已知點P是橢圓 + =1上的點,點F1,F2是橢圓的兩個焦點,若△F1PF2中有一個角的大
小為 ,則△F1PF2的面積為　　 　 .
3 或6
解析 由橢圓方程知a=5,b=3,則c= =4.
若∠F1PF2= ,則 =b2tan =9tan =3 ;
若∠PF1F2= ,設PF1=m,則PF2=2a-m=10-m,
由余弦定理得P =P +F1 -2PF1·F1F2cos∠PF1F2,即(10-m)2=m2+64-8m,解得m=3,
∴ = PF1·F1F2·sin∠PF1F2= ×3×8× =6 ;
同理可得,當∠PF2F1= 時, =6 .
綜上所述,△F1PF2的面積為3 或6 .
　
1.求相交弦的長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓的兩交點的坐標,用兩點間的距離公式求弦長.
(2)聯立直線與橢圓的方程,消元,得到一個關于x(或y)的一元二次方程,設兩個交點分別為A(x1,
y1),B(x2,y2),根據弦長公式AB= |x1-x2| ,結合根與系數的關
系求弦長.
2.與橢圓中點弦有關的三種題型及解法
(1)利用根與系數的關系求中點坐標:聯立直線和橢圓方程構成方程組,消去x(或y)得到一元二 次方程,利用一元二次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
(2)利用點差法求直線斜率或方程:利用弦的端點在橢圓上,將端點坐標分別代入橢圓方程,然
定點 3 直線與橢圓的相交弦問題
后作差,得到中點坐標和直線斜率的關系,即若橢圓方程為 + =1(a>b>0),直線與橢圓相交
于點A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,且弦AB的中點為M(x,y),則 ①-②,整理得a2( - )+
b2( - )=0,所以 =- · =- · .
　　這樣就建立了中點坐標與直線斜率之間的關系,從而使問題得以解決.
(3)利用共線法求直線方程:設橢圓 + =1(a>b>0)與直線AB的一個交點為A(x,y),另一個交
點為B,如果弦AB的中點為P(x0,y0),那么利用中點坐標公式可得B(2x0-x,2y0-y),則有 + =1,
+ =1,兩式作差即可得所求直線的方程.
　　其中點差法是解決中點弦問題最常用的方法,點差法中體現的設而不求思想還可以用于 解決對稱問題.
典例 已知橢圓 + =1和點P(4,2),直線l經過點P且與橢圓交于A,B兩點.
(1)當直線l的斜率為 時,求線段AB的長度;
(2)當P恰好為線段AB的中點時,求l的方程.
思路點撥 (1)求出直線方程 聯立直線與橢圓的方程,得方程組 解方程組得交點坐
標 由兩點間距離公式求得弦長.
(2)設A,B的坐標 利用“點差法”求出kAB 得出直線l的方程.
解析 (1)由已知可得直線l的方程為y-2= (x-4),即y= x.
由 得x2-18=0,解得x=±3 .
設A(xA,yA),B(xB,yB),
不妨令xA=3 ,xB=-3 ,
則A ,B ,
所以AB= =3 ,
所以線段AB的長度為3 .
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則有
兩式相減,
得 + =0,
整理,得kAB= =- .
又P(4,2)是線段AB的中點,所以x1+x2=8,y1+y2=4,于是kAB=- =- ,
于是直線l的方程為y-2=- (x-4).
即x+2y-8=0.
方法技巧 (1)解答直線與橢圓的綜合題目時,常把直線與橢圓的方程聯立,消去x(或y)建立一 元二次方程,然后借助根與系數的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.
(2)涉及求解直線方程的問題,務必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.

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