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知識(shí)點(diǎn) 橢圓的幾何性質(zhì)
必備知識(shí) 清單破
3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)
焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸,對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
軸長(zhǎng) 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b
離心率 e= (0知識(shí)拓展
1.橢圓的通徑:過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫作橢圓的通徑,通徑長(zhǎng)為 .
2.焦半徑:橢圓上的任一點(diǎn)P(x0,y0)與焦點(diǎn)F1 或F2之間的線段的長(zhǎng)度叫作橢圓的焦半徑.記r1= PF1,r2=PF2,則
①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),r1=a+ey0,r2=a-ey0.
3.焦點(diǎn)弦:過(guò)焦點(diǎn)的直線與橢圓相交形成的弦.焦點(diǎn)弦中通徑最短.
4.最大角:已知橢圓C: + =1(a>b>0),F1,F2分別為它的左、右焦點(diǎn),A,B分別為它的左、右
頂點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)P為C的上(下)頂點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大且∠APB最大.
知識(shí)辨析
1.橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)嗎
2.若橢圓的中心在原點(diǎn),頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,則一定能根據(jù)橢圓頂點(diǎn)的坐標(biāo)判斷橢圓焦點(diǎn)的位置 嗎
3.橢圓的離心率e決定著橢圓的扁平程度,e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓,這種說(shuō)法正確嗎
一語(yǔ)破的
1.不一定是.橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與其對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn).若橢圓的方程是標(biāo)準(zhǔn)方程,則此時(shí)橢圓的 對(duì)稱(chēng)軸是坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)可看作橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).
2.不一定.當(dāng)橢圓的中心在原點(diǎn)時(shí),若只知道橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),或一條坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂 點(diǎn)坐標(biāo),無(wú)法判斷焦點(diǎn)的位置;若知道不在同一條坐標(biāo)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo),則可判斷焦點(diǎn) 位置.
3.正確.由e= = 可知,e越大, 越小,橢圓越扁;e越小, 越大,橢圓越圓.
　
1.已知橢圓方程,確定橢圓的幾何性質(zhì)的步驟
(1)將所給方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式;
(2)判斷焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸;
(3)確定a,b,由a2=b2+c2求出c,從而確定相關(guān)性質(zhì).
2.利用橢圓的性質(zhì)確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
　　利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通常用待定系數(shù)法:
(1)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為 + =k1(k1>0,a>b>0)或 + =
k2(k2>0,a>b>0).
(2)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為 + =1(a2>b2>k).
定點(diǎn) 1 橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
典例 (1)求兩個(gè)頂點(diǎn)分別為(3,0),(-3,0),離心率為 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)( ,- ),且與橢圓 + =1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解析 (1)若焦點(diǎn)在x軸上,則a=3,由 = ,得c=2 ,∴b2=a2-c2=1,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1;
若焦點(diǎn)在y軸上,則b=3,將 = 代入b2=a2-c2中,得a2- a2=9,∴a2=81,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1或 + =1.
(2)解法一:設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1(a>b>0),由題意得c= =4,
又橢圓過(guò)點(diǎn)( ,- ),所以由橢圓的定義知2a= + =4
,所以a=2 ,故b2=a2-c2=4.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
解法二:設(shè)所求橢圓的方程為 + =1(k<9),把點(diǎn)( ,- )代入,得 + =1,解得k
=5或k=21(舍).
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1.
　
求橢圓離心率的兩種方法
(1)若已知a,c,則可直接利用e= 求解;若已知a,b(或b,c),可由a2=b2+c2求出c(或a),再代入e= 求
解;
(2)若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立a,b,c的關(guān)系式,由a2=b2+c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程 或不等式,然后兩邊同時(shí)除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程或不等式,解得e的值或范圍,最 后結(jié)合0定點(diǎn) 2 橢圓離心率的求解
典例 (1)若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,求橢圓的離心率;
(2)已知橢圓C: + =1(a>b>0),點(diǎn)F1,F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),在橢圓C上存在點(diǎn)P,且P
在以原點(diǎn)O為圓心, c為半徑的圓上,求橢圓離心率的取值范圍.
解析 (1)不妨設(shè)該橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,根據(jù)題意得橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等 邊三角形,如圖,
則∠BF1F2=60°,tan∠BF1F2= = = ,
所以b= c,由a2=b2+c2=3c2+c2=4c2,得e2= = ,因?yàn)?(2)因?yàn)镻在以原點(diǎn)為圓心, c為半徑的圓上,所以b≤ c≤a,
又 c≤a e≤ ,b≤ c ≤3 ≤3 ≤2 e≥ ,所以 ≤e≤ .
故橢圓離心率的取值范圍是 .
與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常用解法
(1)利用定義將其轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題,解題時(shí)可結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)、平面幾何中的定理、性 質(zhì)等進(jìn)行求解.特別地,橢圓上到焦點(diǎn)距離最大和最小的點(diǎn)是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),距離的最大值 為a+c,最小值為a-c.
(2)利用換元法將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理,此時(shí),應(yīng)注意橢圓中x,y的取值范圍.
定點(diǎn) 3 與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題
典例 已知橢圓C: + =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率e= ,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢
圓交于M,N兩點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn)).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)Q(0,2),求線段MQ長(zhǎng)度的取值范圍;
(3)延長(zhǎng)MO交橢圓C于點(diǎn)P,求△MNP的面積的最大值.
思路點(diǎn)撥 (1)利用長(zhǎng)軸長(zhǎng)及離心率求出a,c,再利用b2=a2-c2求出b2,從而求得橢圓方程.(2)設(shè)點(diǎn) M(x0,y0),利用兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上及變量的范圍,即可求得MQ長(zhǎng)度的范圍.(3)設(shè) 直線l的方程為x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示
出線段MN的長(zhǎng),結(jié)合點(diǎn)到直線的距離,表示出三角形的面積,最后根據(jù)基本不等式求面積的最 大值.
解析 (1)由題意得2a=4,∴a=2.
又∵e= = ,∴c= ,∴b2=a2-c2=1.
∴橢圓C的方程為 +y2=1.
(2)設(shè)M(x0,y0),則 + =1,y0∈[-1,0)∪(0,1],
∴MQ= = = ,y0∈[-1,0)∪(0,1].
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,線段MQ長(zhǎng)度的取值范圍是[1,2 )∪ .
(3)設(shè)直線l的方程為x=my+ ,M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立 消去x,得(4+m2)y2+2 my-1=0.
易知Δ>0,y1+y2= ,y1y2= ,
∴MN= = .
又原點(diǎn)O到直線l的距離d= ,
∴P到直線l的距離為2d= ,
∴S△MNP= MN·2d= .
令 =t,則m2=t2-1,t≥1,則S△MNP= = ≤ =2,當(dāng)且僅當(dāng)t= 時(shí),取等號(hào).
所以△MNP的面積的最大值是2.
1.解決定點(diǎn)問(wèn)題,需要注意兩個(gè)方面
(1)抓“特值”,涉及的定點(diǎn)多在兩條坐標(biāo)軸上,所以可以從斜率不存在或斜率為0的特殊情況 入手找出定點(diǎn),為解題指明方向.
(2)抓“參數(shù)之間的關(guān)系”,定點(diǎn)問(wèn)題多是直線過(guò)定點(diǎn),其實(shí)質(zhì)就是求解直線方程中參數(shù)之間 的關(guān)系,所以要熟悉直線方程的特殊形式,若直線方程為y=kx+b,則直線恒過(guò)點(diǎn)(0,b),若直線方 程為y=k(x-a),則直線恒過(guò)點(diǎn)(a,0).
2.定值問(wèn)題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問(wèn)題,解決定值問(wèn)題的常用方法:
(1)從特殊情況入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).
(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.
定點(diǎn) 4 與橢圓有關(guān)的定點(diǎn)、定值問(wèn)題
典例 已知橢圓C: + =1(a>b>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線x+y- =0上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)A(2,1),若過(guò)點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線AM和直線AN的斜率 分別為k1和k2,求證:k1+k2為定值.
思路點(diǎn)撥 (1)求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),可得橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得c,b,再 由a2=b2+c2求出a2,從而得橢圓方程.(2)設(shè)直線方程為y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),將直線方程與橢 圓方程聯(lián)立,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算k1+k2即可.
解析 (1)對(duì)于x+y- =0,當(dāng)x=0時(shí),y= ,當(dāng)y=0時(shí),x= ,
因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線x+y- =0上,所以b= ,c= ,所以a2=b2+c2=6,
所以橢圓的方程為 + =1.
(2)證明:易知B(3,0)在橢圓外,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)B(3,0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),
所以直線l的斜率一定存在,設(shè)其方程為y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2),
由 得(1+2k2)x2-12k2x+18k2-6=0,則Δ=144k4-4(1+2k2)(18k2-6)>0,得-1 ,x1x2= ,
所以k1+k2= +
=
=
=
= =-2.3.1.2　橢圓的幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究其幾何性質(zhì)
1.橢圓=1(m>0)的焦點(diǎn)為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,若∠F1AF2=,則m=　　(　　)
A.1　　　　B.　　　　D.2
2.橢圓=1和橢圓=1(0A.等長(zhǎng)的長(zhǎng)軸　　　　B.相等的焦距
C.相等的離心率　　　　D.等長(zhǎng)的短軸
3.設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在橢圓上,∠CBA=45°,AB=4,BC=,則橢圓的焦距為(　　)
A.
4.(多選題)設(shè)橢圓C:+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是C上的動(dòng)點(diǎn),則(　　)
A.PF1+PF2=2 B.離心率e=
C.短軸長(zhǎng)為2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 D.∠F1PF2不可能是鈍角
題組二　由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程
5.與橢圓=1有相同焦點(diǎn),且滿足短半軸長(zhǎng)為2的橢圓方程是(　　)
A.=1
C.=1
6.已知P是橢圓=1(a>b>0)上一點(diǎn),F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若△PF1F2的周長(zhǎng)為6,且橢圓的離心率為,則橢圓的方程為(　　)
A.+y2=1
C.=1
7.已知F,A分別為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn),橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10,且cos∠OFA=,則橢圓的方程為(　　)
A.=1或=1
C.=1或=1
8.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓C:=1(a>b>0)的面積是8π,長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,則橢圓的方程為(　　)
A.=1
C.=1
題組三　求橢圓離心率的值(或范圍)
9.已知橢圓=1(a>b>0)上存在點(diǎn)P,使得PF1=3PF2,其中F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A.
10.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足=0的點(diǎn)M總在橢圓的內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是　　(　　)
A.
C.
11.已知橢圓C:=1(a>b>0),斜率為2的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓C的離心率是(　　)
A.
12.在△ABC中,AC⊥BC,sin A=,以A,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的橢圓的離心率記為e1,以B,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率記為e2,則=　　　　.
題組四　橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用
13.如圖,橢圓C:=1與x軸交于點(diǎn)A,B,把線段AB分成6等份,過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,P3,P4,P5,F是橢圓C的右焦點(diǎn),則P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=(　　)
A.20　　　　B.15　　　　C.36　　　　D.30
14.(多選題)如圖所示,用一個(gè)與圓柱底面所成的角θ=的平面截圓柱,所得截面是一個(gè)橢圓,已知圓柱底面圓的半徑為2,則(　　)
A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4
B.橢圓的離心率為
C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是=1
D.橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為4-2
15.若F1,F2是橢圓C:=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P,Q為橢圓C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且PQ=F1F2,則四邊形PF1QF2的面積為　　　　.
16.(2024浙江嘉興八校聯(lián)盟期中)給定橢圓C:=1(a>b>0),稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O,半徑是的圓為橢圓C的準(zhǔn)圓.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.
(1)求橢圓C和其準(zhǔn)圓的方程;
(2)若點(diǎn)A,B是C的準(zhǔn)圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.
能力提升練
題組　橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
1.已知橢圓E:=1(a>b>0)的離心率是,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),且∠F1PF2=,△F1PF2的面積等于3,則橢圓E的方程為(　　)
A.+y2=1
C.=1
2.已知橢圓C:=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,連接AF2并延長(zhǎng),交橢圓C于點(diǎn)B,若BF1∶BF2=7∶3,則橢圓C的離心率為(　　)
A.
3.已知橢圓C:=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,它與y軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-),過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且滿足=0,若M為直線AB上任意一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則OM的最小值為(　　)
A.1　　　　B.
4.已知F1,F2是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),若E上存在不同的兩點(diǎn)A,B,使得,則橢圓E的離心率的取值范圍為(　　)
A.(-1)
C.(0,3-2,1)
5.(多選題)已知橢圓C:=1(a>b>0)與直線l:x-y-1=0交于A,B兩點(diǎn),記直線l與x軸的交點(diǎn)為E,點(diǎn)E,F關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),若∠AFB=90°,則(　　)
A.2a2+b2=a2b2
B.橢圓C過(guò)四個(gè)定點(diǎn)
C.存在實(shí)數(shù)a,使得AB=3
D.AB<
6.(多選題)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,其中F1F2=2c,直線l:y=k(x+c)(k∈R)與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則下列說(shuō)法中正確的有(　　)
A.若AB的中點(diǎn)為M,則kOM·k=
B.△ABF2的周長(zhǎng)為4a
C.若AB的最小值為3c,則橢圓的離心率e=
D.若=3c2,則橢圓的離心率的取值范圍是
7.已知橢圓C:=1(a>0,b>0)的離心率為,點(diǎn)A1,A2為其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上異于A1,A2的一點(diǎn),則直線PA1和PA2的斜率之積等于　　　　.
8.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,斜率為正的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),與x軸、y軸分別交于P,Q兩點(diǎn),且,則直線l的斜率為　　　　.
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(0,-2),且離心率為,右焦點(diǎn)為F.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)M滿足2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),在橢圓C上是否存在點(diǎn)B(異于C的頂點(diǎn)),使得直線AB與以M為圓心的圓相切于點(diǎn)P,且P為線段AB的中點(diǎn) 若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
10.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A(-2,0),過(guò)點(diǎn)R(1,0)作與x軸不重合的直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn),連接AM,AN,分別交直線x=3于P,Q兩點(diǎn),若直線PR、QR的斜率分別為k1、k2,則k1·k2是不是定值 若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案與分層梯度式解析
3.1.2　橢圓的幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.C　由題意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則tan ,所以m=.故選C.
2.B　橢圓=1的焦點(diǎn)在y軸上,且a==4.橢圓=1的焦點(diǎn)在x軸上,且a=5,b=3,c=4,所以兩個(gè)橢圓有相等的焦距.由于03.A　不妨設(shè)橢圓的方程為=1(a>b>0),A,B分別為長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),則2a=4,a=2.過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D.由BC=,∠CBA=45°,可得CD=BD=1,則C(1,1)或C(1,-1),又C在橢圓上,所以=1,解得b2=,所以c=,所以焦距2c=.故選A.
4.ACD　由橢圓方程知a=,b=1.
對(duì)于A,PF1+PF2=2a=2,故A正確;
對(duì)于B,c==1,故離心率e=,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,短軸長(zhǎng)為2b=2,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2,故C正確;
對(duì)于D,PF1+PF2=2≥2,故PF1·PF2≤2,
當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2=時(shí)等號(hào)成立,
故cos∠F1PF2=≥0,故D正確.故選ACD.
5.A　因?yàn)闄E圓=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),
所以所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0),即c=,
因?yàn)樗髾E圓的短半軸長(zhǎng)為2,所以b=2,
所以a2=b2+c2=20+5=25,
故所求橢圓的方程為=1.故選A.
6.C　設(shè)橢圓的半焦距為c,則c>0,由題意可得=1.故選C.
7.C　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),cos∠OFA=,
因?yàn)?a=10,所以a=5,c=4,則b2=a2-c2=9,所以橢圓方程為=1;
同理,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓方程為=1.
故選C.
8.A　由已知得=ab,則ab=8①,
由長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,得=2b②,
聯(lián)立①②得b2=8,a2=24,故橢圓的方程為=1.故選A.
9.D　由橢圓的定義得PF1+PF2=2a,
因?yàn)镻F1=3PF2,所以PF1=a,
而PF1-PF2≤F1F2=2c,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,
即a≤2c,即a≤2c,則e=,又010.B　根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0),F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0),
由=0得(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=0,即=0,即,
∵點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部,∴<1,則b2)-a2b2<0,即,
要想該不等式恒成立,只需2a2-<0,即2a2c2又011.B　設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),因?yàn)镸,N在橢圓C上,
所以兩式相減得b2(y1+y2)(y1-y2)+a2(x1+x2)(x1-x2)=0,①
因?yàn)镸N的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),直線MN的斜率為2,所以x1+x2=2,y1+y2=-2,=2,則①式為-4b2+2a2=0,即-4(a2-c2)+2a2=0,即2c2=a2,
所以e=.故選B.
12.答案　
解析　由題意可設(shè)BC=3,AC=4,則AB=5,以線段AC的中點(diǎn)為原點(diǎn),以AC所在直線為x軸,過(guò)線段AC的中點(diǎn)且垂直于AC的直線為y軸建系,則以A,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的橢圓方程為=1(a1>b1>0),以線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過(guò)線段BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線為y軸建系,則以B,C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的橢圓方程為=1(a2>b2>0),
由橢圓定義可得2a1=AB+BC=5+3=8,2c1=AC=4,則a1=4,c1=2,故e1=.
同理可知2a2=AB+AC=5+4=9,2c2=BC=3,則a2=,故e2=,所以.
13.D　由題意知P1與P5,P2與P4分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,連接P1F1,由已知得a=6,
則P1F+P5F=P1F+P1F1=2a,同時(shí)P2F+P4F=2a,P3F=a,∴P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=5a=30.
故選D.
14.BCD　設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,橢圓長(zhǎng)軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓的直徑,
由cos,得a=4,A不正確;
顯然b=2,則c=,離心率e=,B正確;
當(dāng)以橢圓長(zhǎng)軸所在直線為x軸,短軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,C正確;
橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為a-c=4-2,D正確.故選BCD.
15.答案　8
解析　由已知及對(duì)稱(chēng)性得四邊形PF1QF2為矩形,即PF1⊥PF2,所以=PF1·PF2,
由橢圓定義與勾股定理知
可得PF1·PF2=8.所以四邊形PF1QF2的面積為8.
16.解析　(1)由題意知c=,且a=,可得b=1,
故橢圓C的方程為+y2=1,其準(zhǔn)圓方程為x2+y2=4.
(2)設(shè)P(m,n)(-≤m≤),則+n2=1,
不妨設(shè)A(2,0),B(-2,0),所以=(m+2,n),
所以-3,
又-≤m≤,所以-3∈[-3,-1],
所以的取值范圍是[-3,-1].
能力提升練
1.D　由題意知,即3a2=4c2,根據(jù)橢圓的定義,可得PF1+PF2=2a,又因?yàn)椤螰1PF2=,且△F1PF2的面積等于3,所以P=4c2,且PF1·PF2=6,則P=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2=4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a2=12,所以c2=9,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓的方程為=1.故選D.
2.C　由橢圓定義可得BF1+BF2=2a,
又BF1∶BF2=7∶3,所以BF2=,
因?yàn)锳為橢圓的上頂點(diǎn),所以AF1=AF2=a,所以AB=AF2+BF2=a,
在△ABF1中,由余弦定理得cos∠F1AB=,
在△AF1F2中,由余弦定理得F1-2AF1·AF2·cos∠F1AF2,
即4c2=a2+a2-a2=a2,所以,
故橢圓C的離心率為.故選C.
3.B　由題意得2a=2,則a==2,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,
∵在橢圓內(nèi),可知直線AB與橢圓總有兩個(gè)交點(diǎn),
∵=0,∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),顯然x1≠x2,則x1+x2=3,y1+y2=1,
由=0,
則(x2+x1)(x2-x1)+3(y2+y1)(y2-y1)=0,
即3(x2-x1)+3(y2-y1)=0,
故=-1,即直線AB的斜率為-1,
∴直線AB的方程為y-,即x+y-2=0,
∵M(jìn)為直線AB上任意一點(diǎn),
∴OM的最小值為點(diǎn)O到直線AB的距離,
∴(OM)min=.故選B.
4.D　延長(zhǎng)AF1交橢圓于A1,根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性,得,則,
設(shè)直線AA1的方程為x=my-c,A(x1,y1),A1(x2,y2),
聯(lián)立消去x,整理得(b2m2+a2)y2-2b2mcy-b4=0,
則y1+y2=,
由,得y1=-y2,所以-,得y2=,
則y1=-,
由y1y2=-,
可得,
整理得m2=>0,
則(3+2)a2>0,即)2,∴橢圓的離心率e=,
又0∴橢圓的離心率的取值范圍是(3-2,1).故選D.
5.ABC　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,故Δ=4a4-4(a2+b2)·(a2-a2b2)=4a2b2(a2+b2-1)>0,則a2+b2>1,
由根與系數(shù)的關(guān)系得易得E(1,0),所以F(-1,0),又∠AFB=90°,所以=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)(x2+1)+(x1-1)(x2-1)=2x1x2+2=0,所以x1x2==-1,即2a2+b2=a2b2,所以=1,即橢圓過(guò)定點(diǎn)(1,),故A正確,B正確;
由弦長(zhǎng)公式得AB=·|x1-x2|=,由2a2+b2=a2b2得b2=>0,則a2>1,所以,則有AB=2,因?yàn)閍2>1,所以AB的取值范圍為(2,4),故C正確,D錯(cuò)誤.故選ABC.
6.BD　對(duì)于A,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則k=,可得kOM=,
由A,B在C上,得,即,所以kOM·k=,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,直線l恒過(guò)點(diǎn)(-c,0),即左焦點(diǎn)F1,
所以△ABF2的周長(zhǎng)為AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a,故B正確;
對(duì)于C,直線l所過(guò)的定點(diǎn)F1(-c,0)在橢圓內(nèi)部,故l與橢圓相交,
聯(lián)立消去y可得(a2k2+b2)x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
則x1+x2=-,
則AB=
=2
=
=
=
=,
令t=k2≥0,可知f(t)=在[0,+∞)上單調(diào)遞減,無(wú)最小值,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,=(c-x1,-y1),則-c2=3c2,可得=4c2,
由=1,可得,則=4c2,整理得,又-a≤x1≤a,
所以0≤≤a2,即0≤4c2-b2≤c2,則0≤4c2-(a2-c2)≤c2,
所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,即4e2≤1≤5e2,解得≤e≤,故D正確.故選BD.
7.答案　-3或-
解析　若a>b>0,則不妨取A1(0,-a),A2(0,a),
設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),由P在橢圓C上,得=1,即),
所以,
∵,即,
故=-3;
若b>a>0,則不妨取A1(-b,0),A2(b,0),
設(shè)P(x1,y1)(x1≠±b),由點(diǎn)P在橢圓C上,得=1,則),
則,
∵,即,
故,
故直線PA1和PA2的斜率之積為-3或-.
8.答案　
解析　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的斜率為k(k>0),點(diǎn)A在第一象限,
∵,∴AP=PQ=QB,且A,B,P,Q四點(diǎn)共線,
∴xP-x1=xQ-xP=x2-xQ,yP-y1=yQ-yP=y2-yQ,
又∵xQ=0,yP=0,∴x1=-2x2,y1=-y2,
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上,
∴=1,
兩式相減可得=0,即,
∴,
又k=,
∴=-k,
∴-k2=-,又k>0,∴k=.
9.解析　(1)由題意可知
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)B,則由題意可得直線AB和直線MP的斜率均存在.
設(shè)直線AB的方程為y=kx-2,k≠0,
聯(lián)立消去y可得(2k2+1)x2-8kx=0,
解得x=0或x=,則點(diǎn)B.
因?yàn)镻為AB的中點(diǎn),A(0,-2),所以P.
由2,F(2,0)可得M(1,0),
所以直線MP的斜率為.
因?yàn)橹本€AB與以M為圓心的圓相切于點(diǎn)P,所以AB⊥MP,
所以k·=-1,整理得2k2-2k+1=0,方程無(wú)實(shí)數(shù)解.所以不存在滿足題意的點(diǎn)B.
10.解析　(1)由題意得
故橢圓C的方程為=1.
(2)設(shè)l的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由消去x,得(m2+2)y2+2my-3=0,
所以y1+y2=,
由A、M、P三點(diǎn)共線可知kAM=kAP,即,所以yP=,同理可得yQ=,
故k1k2=
=
=,
因此k1·k2為定值-.
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