資源簡介

(共14張PPT)
　　平面內到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于常數(小于F1F2的正數)的點的軌跡叫作
雙曲線,兩個定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.
3.2 雙曲線
3.2.1 雙曲線的標準方程
知識點 1 雙曲線的定義
必備知識 清單破
知識點 2 雙曲線的標準方程
焦點的位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準
方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的關系 c2=a2+b2
知識拓展
1.若動點M與定點F(c,0)之間的距離和它到定直線l:x= 的距離之比是常數 (c>a>0),則動點
M的軌跡叫作雙曲線,定點為雙曲線的一個焦點.
2.已知定點A(-a,0),B(a,0),若直線AM、BM相交于點M,且它們的斜率之積為 ,則點M的軌跡
是雙曲線(不包含點A、B).
知識辨析
1.平面內到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡一定是雙曲線嗎
2.已知兩定點F1(-c,0),F2(c,0),若動點P滿足PF1-PF2=2a(2a3.雙曲線和橢圓的標準方程中,a,b,c的關系相同嗎
4.方程 - =1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線,對嗎
5.給定一個方程Ax2+By2=1(A,B≠0),它一定表示雙曲線嗎
一語破的
1.不一定.若常數為小于兩定點之間的距離的正數,則軌跡是雙曲線;若常數等于兩定點之間 的距離,則軌跡是分別以兩定點為端點的兩條射線;若常數大于兩定點之間的距離,則動點軌 跡不存在.
2.若2a<0,則動點P的軌跡為以F1,F2為焦點的雙曲線的左支;若2a=0,則動點P的軌跡為以F1,F2 為端點的線段的垂直平分線;若2a>0,則動點P的軌跡為以F1,F2為焦點的雙曲線的右支.
3.不相同.雙曲線的標準方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a與b的大小關系不確定;橢圓的標準方程中, a2=b2+c2,其中a>b>0.
4.不對.若m>0,n>0,則方程表示焦點在x軸上的雙曲線;若m<0,n<0,則方程表示焦點在y軸上的 雙曲線.
5.不一定.當AB<0時表示雙曲線;當A>0,B>0,且A≠B時表示橢圓;當A=B>0時表示圓.
定點 1 雙曲線標準方程的求解
關鍵能力 定點破
1.求雙曲線標準方程的步驟
(1)定位:即確定焦點的位置,若焦點位置不明確,需要分情況討論;
(2)定量:即確定a2,b2的值,常由條件列方程或方程組求解.
2.求雙曲線標準方程的兩種方法
(1)定義法:根據定義得出距離之差的等量關系式,求出a的值,由定點坐標確定c的值和焦點位 置,通過b2=c2-a2,求得b2,寫出標準方程.
(2)待定系數法:先設出標準方程,再根據條件求出待定系數,代入方程即可.
　　若焦點在x軸上,則其方程可設為 - =1(a>0,b>0);
若焦點在y軸上,則其方程可設為 - =1(a>0,b>0);
若焦點的位置不確定,則方程可設為mx2-ny2=1(mn>0)或mx2+ny2=1(mn<0).

1.雙曲線上的點P與兩焦點F1,F2構成的△PF1F2叫作焦點三角形.解決與焦點三角形有關的問 題可以根據定義,結合正、余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算,在運算 中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.
2.解決有關焦點三角形問題的常用結論
　　令PF1=r1,PF2=r2,∠F1PF2=θ,F1F2=2c,則
①定義:|r1-r2|=2a.
②余弦公式:4c2= + -2r1r2cos θ.
③面積公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.
④△PF1F2的內切圓圓心的橫坐標恒為定值a或-a.
定點 2 雙曲線的焦點三角形問題
⑤設∠PF1F2=α,∠F1F2P=β,則 = =e(e為雙曲線的離心率,下一節會講).
3.設A,B是雙曲線 - =1(a>0,b>0)的實軸兩端點,P是雙曲線上的一點,∠BPA=θ,則有 S△ABP=
.
典例 設F1,F2分別為雙曲線 - =1的左、右焦點,P為雙曲線上一點,且∠F1PF2=120°,則
△F1PF2的面積為　　　 .
解析 由題意可得a=5,b=3,c= ,則|PF1-PF2|=10,F1(- ,0),F2( ,0),故F1 =136,
由余弦定理可得F1 =P +P -2PF1·PF2cos 120°=(PF1-PF2)2+3PF1·PF2=100+3PF1·PF2=136,
∴PF1·PF2=12,∴△F1PF2的面積S= PF1·PF2·sin 120°= ×12× =3 .

1.直線與雙曲線的位置關系的判定方法
　　一般地,設直線l:y=kx+m(k≠0)①,雙曲線C: - =1(a>0,b>0)②.把①代入②,消去y并整
理得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)當b2-a2k2=0,即k=± 時,直線與雙曲線C相交于一點.
(2)當b2-a2k2≠0,即k≠± 時,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2),則
Δ>0 直線與雙曲線有兩個公共點;
Δ=0 直線與雙曲線有一個公共點;
Δ<0 直線與雙曲線沒有公共點.
定點 3 直線與雙曲線的位置關系
　　斜率為k的直線l與雙曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則AB= ·|x1-x2|= ·|y1-y2|(k≠0).
3.用“點差法”可以解決弦中點和弦所在直線斜率的關系問題,方法與橢圓一樣,但結果需要 檢驗.
2.弦長公式
典例 已知雙曲線C的焦點在y軸上,焦距為2 ,且過點A(5, ).
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)若斜率為2的直線l與C交于P,Q兩點,且 · =- (O為坐標原點),求PQ的長.
思路點撥 (1)根據焦距可求得c及焦點坐標,由雙曲線的定義可求得a,從而可得標準方程.
(2)設直線l的方程為y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯立直線方程與雙曲線方程,結合根與系數的關系 及 · =- 可求得參數m,再根據弦長公式即可求得PQ的長.
解析 (1)由已知可設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0),由題可知c= ,則焦點坐標為
(0, ),(0,- ),
根據雙曲線的定義可知 - =2=2a,解得a=1.
∴b2=c2-a2=6-1=5,
故雙曲線C的標準方程為y2- =1.
(2)設直線l:y=2x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯立 消去y,可得19x2+20mx+5m2-5=0,Δ=400m2-4×19×(5m2-5)>0,解得m∈R,
則x1+x2=- ,x1x2= ,
∴y1y2=(2x1+m)(2x2+m)=4x1x2+2m(x1+x2)+m2=- .
∵ · =- ,∴x1x2+y1y2= =- ,解得m=±1,
因此PQ= |x1-x2|= × = .3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線的標準方程
基礎過關練
題組一　雙曲線的定義及其應用
1.(多選題)設P為雙曲線=1上一點,F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,若PF1=10,則PF2=(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.18　　　　D.16
2.已知動圓C與圓C1:(x-3)2+y2=4外切,與圓C2:(x+3)2+y2=4內切,則動圓圓心C的軌跡方程為(　　)
A.圓　　　　B.橢圓 C.雙曲線　　　　D.雙曲線的一支
3.已知F1,F2為橢圓=1(b1>0)和雙曲線x2-=1(b2>0)的公共焦點,P為它們的一個公共點,且∠F1PF2=,則△PF1F2的面積為(　　)
A.
4.已知雙曲線C:=1的左焦點為F,點P是C右支上的一點,點M是圓E:x2+(y-2)2=1上的一點,則PF+PM的最小值為(　　)
A.5　　　　B.5+2　　　　C.7　　　　D.8
題組二　雙曲線的標準方程及其應用
5.(多選題)已知方程=1表示曲線C,則下列結論
正確的是(　　)
A.當1B.當t>4或t<1時,曲線C是雙曲線
C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,則1D.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線,則t>4
6.已知F1,F2分別是雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點,且F1(-,0),過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的方程為(　　)
A.-y2=1 C.x2-=1
7.已知m,b為實數,經過點P=1與雙曲線x2-=1有相同的焦點,則b=　　　　.
8.求適合下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)c=6,焦點在x軸上,且過點(-5,2);
(2)與橢圓=1有公共焦點,且滿足;
(3)經過兩點(-7,-6,-3).
題組三　直線與雙曲線的位置關系
9.已知雙曲線E:-y2=1,直線l:y=kx+1,若直線l與雙曲線E的兩個交點分別在雙曲線的兩支上,則k的取值范圍是(　　)
A.k<-或k>
C.k<-或k>
10.直線l與雙曲線x2-=1交于A、B兩點,線段AB的中點為M(3,2),則直線l的斜率為(　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.12
11.寫出滿足下列兩個條件的一個雙曲線C的方程:　　　　　　.
①焦距為4;②直線y=x-3與C的一支有2個公共點.
12.已知O為坐標原點,A(1,0),B(-1,0),直線AM,BM的斜率之積為4,記動點M的軌跡為E.
(1)求E的方程;
(2)直線l經過點(0,-3),與E交于P,Q兩點,線段PQ的中點D在第一象限,且縱坐標為,求△OPQ的面積.
題組四　雙曲線方程在實際生活中的應用
13.單葉雙曲面是最受設計師青睞的結構之一.如圖1,俗稱小蠻腰的廣州塔的外形就是單葉雙曲面,可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸在標準方程=1中,令x=0,得y2=-b2,在y軸上畫出B1(0,b),B2(0,-b),則B1B2為虛軸所在直線旋轉所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑,如圖2,已知該建筑最細處的直徑為100 m,下底面的直徑為50 m,上底面的直徑為50 m,最細處距下底面300 m,則該地標建筑的高為(　　)
圖1　　圖2
A.350 m　　　　B.375 m　　　　C.400 m　　　　D.450 m
14.如圖,某野生保護區監測中心設置在點O處,正西、正東、正北處有3個監測點A,B,C,且OA=OB=OC=30 km,一名野生動物觀察員在保護區遇險,發出求救信號,3個監測點均收到求救信號,A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早 s(注:信號每秒傳播v0 km).
(1)求觀察員所有可能出現的位置的軌跡方程;
(2)若C點信號失靈,現立即以C為圓心進行“圓形”紅外掃描,為保證有救援希望,掃描半徑r至少是多少千米
能力提升練
題組一　雙曲線的定義、標準方程及應用
1.已知等軸雙曲線的焦距為8,左、右焦點分別為F1,F2,中心在坐標原點,點A的坐標為(5,),P為雙曲線右支上一動點,則PF1-PA的最大值為注:若雙曲線=1(a>0,b>0)為等軸雙曲線,則a=b(　　)
A.2+4
2.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點,點P是雙曲線C上的一點,OP=OF2,且△POF1的面積為4,則實數b=(　　)
A.　　　　D.4
3.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),O為坐標原點,F1,F2為C的兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1=3PF2,OP=b,則雙曲線C的方程可以為(　　)
A.=1
C.=1
4.已知F1,F2分別是雙曲線-y2=1的左、右焦點,P為雙曲線右支上任意一點(不在x軸上),若△PF1F2的內切圓的圓心為I,則圓心I到圓x2+(y-1)2=1上任意一點的距離的最小值為(　　)
A.2　　　　B.-2
5.已知F1,F2是雙曲線E:=1(a>0,b>0)的左、右焦點,點P在E上,且∠F1PF2=,D是線段F1F2上的點,且F1D∶F2D=1∶2,PD=4,則當△PF1F2的面積最大時,雙曲線E的方程是(　　)
A.=1
C.=1
6.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的焦距為10,左、右焦點分別為F1,F2,點A在C上且AF2⊥x軸,△AF1F2的面積為,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍是　　　　.
題組二　直線與雙曲線的位置關系
7.若方程=2x+m有實數解,則實數m的取值范圍是(　　)
A.[-3,0)∪[2,+∞)　　　　
B.[-3,0)∪(0,3]
C.(-∞,-]∪[2,+∞)　　　　
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
8.(多選題)已知曲線C:=1(m≠0),則下列說法正確的是(　　)
A.若曲線C為橢圓,則m<0且m≠-4
B.若m=5,則以(1,1)為中點的弦AB所在直線的方程為5x-4y-1=0
C.當m<-4時,F1,F2為曲線C的焦點,P為曲線C上一點,且PF1⊥PF2,則=4
D.若m>0,直線l過曲線C的焦點F且與曲線相交于A,B兩點,則
9.已知直線2x-y-2=0與雙曲線C:x2-y2=1交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,P(x3,y3)為C上一點,且x110.已知雙曲線C:x2-=1.
(1)若C與直線l:y=kx+m(k≠±)有唯一的公共點,點Q(2,3)在l上,求l的方程;
(2)設點F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,E為雙曲線右支與x軸的交點,過點F2的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點(其中點A在第一象限),設M,N分別為△AF1F2,△BF1F2的內心.
①點M,N的橫坐標是不是定值 若是,求出橫坐標的值;若不是,請說明理由;
②求的取值范圍.
11.已知雙曲線Γ:=1(a>0,b>0)的焦距為4,且過點P.
(1)求雙曲線Γ的方程;
(2)過雙曲線Γ的左焦點F分別作斜率為k1,k2的直線l1與l2,直線l1交雙曲線Γ于A,B兩點,直線l2交雙曲線Γ于C,D兩點,設M,N分別為AB與CD的中點,若k1·k2=-1,試求△OMN與△FMN的面積之比.
答案與分層梯度式解析
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線的標準方程
基礎過關練
1.AC　由雙曲線的方程知a2=16,即a=4,
由雙曲線的定義可得|PF2-PF1|=2a=8,
所以|PF2-10|=8,即PF2-10=±8,
當PF2-10=8時,PF2=18,
當PF2-10=-8時,PF2=2,
所以PF2的長為2或18.故選AC.
2.D　設動圓C的圓心C(x,y),半徑為r,圓C1的圓心為C1(3,0),半徑為2,圓C2的圓心為C2(-3,0),半徑為2,
由題意可得所以CC1-CC2=4或CC1+CC2=4,
由CC1+CC2≥C1C2=6,知CC1+CC2=4不合題意,
所以CC1-CC2=4<6=C1C2,
根據雙曲線的定義知點C的軌跡是以C1,C2為焦點的靠近C2的雙曲線的一支.故選D.
3.C　由已知得焦點在x軸上,不妨設F1,F2分別為左、右焦點,點P在第一象限,則由橢圓的定義可知PF1+PF2=2①,由雙曲線的定義可知PF1-PF2=2②,
由①②得PF1=-1,
故PF1·PF2sin,故選C.
4.C　由已知得F(-2),記雙曲線C的右焦點為F1,則F1(2,0),所以PF+PM=PF1+PM+4≥PF1+PE+4-1≥EF1+3=+3=7,當且僅當點P為線段EF1與雙曲線C的交點時,取到最小值.故選C.
5.BCD　對于A,由于曲線C是橢圓,所以解得1對于B,由于曲線C是雙曲線,所以(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,故B正確;
對于C,由于曲線C是焦點在x軸上的橢圓,所以4-t>t-1>0,解得1對于D,由于曲線C是焦點在y軸上的雙曲線,所以解得t>4,故D正確.故選BCD.
6.C　根據雙曲線的定義,有AF2-AF1=2a①,BF1-BF2=2a②,
由于△ABF2為等邊三角形,因此AF2=AB=BF2,由①+②,得BF1-AF1=4a,則AB=AF2=BF2=4a,BF1=6a,
又因為∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,
則b2=c2-a2=6,所以雙曲線的方程為x2-=1.
故選C.
7.答案　1
解析　因為點P=1上,
所以=1,解得m=8,
所以橢圓方程為=1,
又橢圓=1與雙曲線x2-=1有相同的焦點,
所以10-8=1+b,解得b=1.
8.解析　(1)由題意可設雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0).
因為雙曲線過點(-5,2),所以=1,
又c2=a2+b2=36,所以a2=20,b2=16,
故所求雙曲線的標準方程為=1.
(2)解法一:由橢圓的標準方程知c2=12-3=9,
∴c=3,
∵雙曲線與橢圓共焦點,∴雙曲線中c=3,
由題意知雙曲線中b=a,結合a2+b2=c2,得a2+=9,解得a2=4,b2=5.
所以雙曲線的方程為=1.
解法二:設雙曲線的方程為=1(3<λ<12),則,解得λ=8.
所以雙曲線的方程為=1.
(3)設雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),
把點(-7,-6,-3)代入,得所以雙曲線的方程為x2-=1.
方法技巧　　　1.與橢圓=1(a>b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設為=1(b2<λ0,b>0)有公共焦點的雙曲線方程可設為=1(-b2<λ2.當不能確定雙曲線的焦點位置時,可設其方程為mx2+ny2=1(mn<0),這種設法可避免對焦點位置的討論.
9.B　由消去y并整理得(1-3k2)x2-6kx-6=0,
由直線l與雙曲線E的兩個交點分別在雙曲線的兩支上,
得解得-,
所以k的取值范圍是-.
故選B.
10.B　設A(x1,y1),B(x2,y2),
則兩式相減可得(x1+x2)(x1-x2)-=0,化簡得=4①,
∵AB的中點為M(3,2),∴x1+x2=6,y1+y2=4,故①式可變為=6,即kAB=6.
檢驗:當kAB=6時,直線l:y-2=6(x-3),即y=6x-16,聯立消去y,得8x2-48x+65=0,此時Δ=(-48)2-4×8×65>0,l與雙曲線有2個交點,滿足題意.故選B.
易錯警示　　　使用點差法求解直線與圓錐曲線的中點弦問題時,要記得檢驗,通常用判別式對根的情況進行判斷.
11.答案　=1或=1(答案不唯一)
解析　當雙曲線的焦點在x軸上時,設其方程為=1(m>0,n>0),
因為焦距為4,所以m+n=(2)2=12,則=1,0要使直線y=x-3與C的一支有2個公共點,則直線y=x-3與C的右支有2個公共點,設2個公共點為A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立消去y得(12-2m)x2+6mx+m2-21m=0,
則
即解得6當雙曲線的焦點在y軸上時,設其方程為=1(m>0,n>0),
因為焦距為4,所以m+n=(2)2=12,則=1,0要使直線y=x-3與C的一支有2個公共點,則直線y=x-3與C的下支有2個公共點,設2個公共點為A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立消去x得(12-2m)y2-6my+m2-21m=0,
則
即解得6綜上,滿足題意的雙曲線C的方程為,其中612.解析　(1)設M(x,y),則kAM=,所以kAM·kBM==4,化簡得x2-=1,
所以E的方程為x2-=1(x≠±1).
(2)當直線PQ的斜率不存在時,顯然不符合題意;
設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為y=kx-3,
由得(4-k2)x2+6kx-13=0,
則Δ=36k2+52(4-k2)>0且4-k2≠0,解得k2<13且k2≠4,
由根與系數的關系得x1+x2=,
因為線段PQ的中點D在第一象限,且縱坐標為,
所以x1+x2==3,解得k=2或k=-2(舍去),
所以直線PQ的方程為y=2,
所以PQ=·|x1-x2|
=,
又點O到直線PQ的距離d=,
所以△OPQ的面積S=.
解題模板　解決直線與雙曲線相交問題的常用步驟
(1)設出直線方程和交點坐標,假設交點為A(x1,y1),B(x2,y2);
(2)聯立直線與雙曲線方程,得到關于x(或y)的一元二次方程;
(3)由根與系數的關系寫出x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2);
(4)將所求問題或題中關系轉化為含x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的式子;
(5)代入求解.
13.C　畫出該地標建筑的軸截面,建立如圖所示的直角坐標系,
由題意可得A(50,0),C(25,-300),
設B(25,y0)(y0>0),雙曲線的方程是=1(a>0,b>0),
則a=50,=1,解得b2=20 000,所以雙曲線的方程為=1,
將點B(25,y0)代入得=1,所以y0=100,
所以該地標建筑的高為300+100=400(m).故選C.
14.解析　(1)設觀察員可能出現的位置為點P(x,y),
由題意得PB-PA=×v0=40故點P的軌跡為雙曲線的左支,
設雙曲線方程為=1(a>0,b>0,x≤-a),
又2a=40,2c=60,所以b2=c2-a2=500,
故點P的軌跡方程為=1(x≤-20).
(2)設軌跡上一點為M(x,y),
則MC=,
因為=1,所以x2=y2+400,
則MC=≥20,當且僅當y=時,MC取得最小值20,
故掃描半徑r至少是20 km.
能力提升練
1.B　設等軸雙曲線的方程為x2-y2=a2(a>0),因為焦距為8,所以c=4,故F2(4,0).而2a2=c2,所以a2=8,
故雙曲線的標準方程為=1,
由雙曲線的定義可知PF1-PA=PF2-PA+2a≤AF2+2a,
又AF2=,
故PF1-PA的最大值為AF2+2a=2+4,當且僅當P、A、F2三點共線且點P位于第一象限時取得最大值.故選B.
2.C　因為=4,所以=8.
又OP=OF2,所以OP=OF2=OF1=F1F2,所以△PF1F2為直角三角形,且PF1⊥PF2.
設PF1=m,PF2=n,所以|m-n|=2a,m2+n2=4c2,
所以mn==2b2,
所以mn=b2=8,又b>0,所以b=2.故選C.
3.B　設F1,F2分別為雙曲線的下、上焦點,
過點P作PH⊥F1F2于點H(圖略).
因為PF1=3PF2,PF1-PF2=2a,所以PF2=a,
因為OP=b,OF2=c,所以P,所以∠OPF2=90°,故OP·PF2=OF2·HP,
即HP·c,得HP=.
因為OH2+HP2=OP2,即OH2+=b2,所以OH=,故點P,
將P的坐標代入雙曲線方程中,得=1,化簡得b4-a4=a2c2,即b4-a4=a2(a2+b2),
所以b4-a2b2-2a4=0,則-2=0,
則=0,
解得=2或=-1(舍去),結合選項可知,選B.
4.C　設△PF1F2的內切圓分別與PF1,PF2,F1F2切于點A,B,M,則PA=PB,F1A=F1M,F2B=F2M.又點P在雙曲線的右支上,∴PF1-PF2=2a,即(PA+F1A)-(PB+F2B)=2a,
∴F1M-F2M=2a①,又F1M+F2M=2c②,
∴由①+②,可得F1M=a+c,又OF1=c,故OM=a,則M(a,0),由雙曲線的方程-y2=1知a=2,
∴內切圓圓心I在直線x=2上.
設I(2,y0),圓x2+(y-1)2=1的圓心為C,則C(0,1),∴CI=,當y0=1時,CI最小,且(CI)min=2,
此時圓心I到圓x2+(y-1)2=1上任意一點的距離的最小值為(CI)min-1=2-1=1.故選C.
5.C　(已知條件集中在△PDF1和△PDF2中,且∠PDF1和∠PDF2互補,考慮在兩個三角形中用余弦定理求解)
設PF1=n,PF2=m,∠PDF1=α,F1D=x,則∠PDF2=π-α,F2D=2x,
在△PF1D中,由余弦定理得n2=x2+16-8xcos α①,
在△PF2D中,由余弦定理得m2=4x2+16-16xcos(π-α)=4x2+16+16xcos α②,
①×2+②得2n2+m2=6x2+48③,(兩角互補,余弦值互為相反數,通過兩式相加化簡)
在△PF1F2中,由余弦定理得9x2=n2+m2-2mn·cos=n2+m2-mn④,
③④聯立消去x得2n2+m2+mn=72,
因為mn,所以當△PF1F2的面積最大時,mn最大,
由基本不等式可得72=2n2+m2+mn≥2+mn=3mn,
當且僅當2n2=m2,即m=4時等號成立,此時mn取得最大值,為24.
將m=4代入④,得x=2(舍負),所以F1F2=6,
在雙曲線中,有
所以雙曲線E的方程為=1.故選C.
6.答案　
解析　由題意可知2c=10,則c=5,F1(-5,0),F2(5,0),設A(5,yA),把A的坐標代入雙曲線方程得,所以yA=±,
則,得,又a2+b2=25,所以a2=16,b2=9,
故雙曲線C的方程為=1,
設P(x0,y0),則=1(x0≥4),
所以PF1=x0+4,同理PF2=x0-4,
因為x0≥4,所以.
7.C　設y=,則x2-y2=1(y≥0),故y=表示雙曲線x2-y2=1在y≥0的部分,如圖,
方程=2x+m有實數解,可轉化為曲線x2-y2=1(y≥0)與直線l:y=2x+m有交點,
當l過點(-1,0)或向上平移時,與曲線有交點,
當l過點(-1,0)時,0=-2+m,得m=2,當l向上平移時,有m>2,故m≥2;
當l和曲線位于y軸右側部分相切或向下平移時,與曲線有交點,
當l與曲線位于y軸右側部分相切時,聯立得3x2+4mx+m2+1=0,
令Δ=16m2-12(m2+1)=0,得m=±,結合圖形可知m=-,
當l向下平移時,有m<-,故m≤-.
綜上,m∈(-∞,-]∪[2,+∞),故選C.
8.AC　易知A中說法正確;
對于B,當m=5時,方程為=1,與5x-4y-1=0聯立,消去x可得4y2-8y+99=0,則Δ<0,可得直線AB與雙曲線無交點,故B中說法錯誤;
對于C,當m<-4時,曲線C為焦點在y軸上的橢圓,a2=-m,b2=4,c2=-m-4,
由PF1⊥PF2,可得P=4c2,
又PF1+PF2=2a,
所以PF1·PF2==2b2,故×2b2=4,故C中說法正確;
對于D,當m>0時,曲線C為焦點在x軸上的雙曲線,則a=2,b=,
當直線l的斜率為0時,設F(c,0),A(-a,0),B(a,0),故,故D中說法錯誤.故選AC.
9.答案　
解析　聯立
∵x1此時AB=,為定值,
要使△PAB的面積最大,只需使點P到直線AB的距離最大.
設直線2x-y+t=0(t≠-2)與雙曲線C相切于P點,
由消去y,化簡得3x2+4tx+t2+1=0,
由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-(正根舍去),
故切線方程為2x-y-=0,
直線2x-y-2=0與2x-y-=0之間的距離為,
所以△PAB面積的最大值為.
10.解析　(1)聯立消去y,得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0(*),
∵直線與雙曲線有唯一公共點,∴Δ=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=4(3m2+9-3k2)=0,∴k2=m2+3①,
又∵點Q(2,3)在直線l上,∴3=2k+m②,
由①②得k=2,m=-1,故直線l的方程為y=2x-1.
(2)①設P為△AF1F2的內切圓與x軸的切點,由切線長性質知F1A-F2A=F1P-F2P=c+xP-(c-xP)=2xP=2a,
∴xP=a,∴P與E重合,∴xM=xP=a=1,
同理xN=xP=a=1,即M,N的橫坐標是定值1.
②設∠MF2E=θ,則∠NF2E=-θ,
∴=-tan θ+.
當直線AB的斜率不存在時,滿足題意,此時θ=.
當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=k'(x-2),
與x2-=1聯立,得(3-k'2)x2+4k'2x-4k'2-3=0,
∴
∴k'2>3,∴k'>或k'<-,
設直線AB的傾斜角為α,則α∈,此時θ∈.
綜上,θ∈,tan θ∈.
∴=-tan θ+.
11.
思路分析　(1)
a2,b2→雙曲線方程
(2)
點M 點N→直線MN
面積比
解析　(1)由題意得2c=4,故c=2,所以a2+b2=4,①
因為點P在雙曲線上,所以=1,②
由①②得a2=3,b2=1,所以雙曲線的方程為-y2=1.
(2)易知F(-2,0),則直線l1的方程為y=k1(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1-3-3=0,
則x1+x2=,所以,
所以AB的中點M,
因為k1·k2=-1,所以可用-代替k1,得N,
當,即k1=±1時,直線MN的方程為x=-3,過點(-3,0),設為E.
當k1≠±1時,kMN=,
直線MN的方程為y-,
令y=0,得x==-3,
所以直線MN也過定點E(-3,0),
所以=3.
方法技巧　　　斜率之間存在特殊關系的兩條直線與圓錐曲線相交,若已求得一條直線上具有某個特征的點的坐標,則另一條直線上具有相同特征的點的坐標可由已求得點的坐標進行斜率關系代換后得到,如本題中用-代換k1得到N的坐標.
26

展開更多......

收起↑