資源簡介

(共14張PPT)
知識點 1 雙曲線的幾何性質
知識 清單破
3.2.2 雙曲線的幾何性質
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
圖形
幾何性質 范圍 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
對稱性 關于x軸、y軸、原點對稱
中心 O(0,0)
頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸 線段A1A2叫作雙曲線的實軸,長度為2a,線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,長度為2b
漸近線 直線y=± x 直線y=± x
離心率 e= ,e∈(1,+∞)
知識拓展
1.雙曲線的通徑:過雙曲線的焦點作垂直于實軸的直線,該直線被雙曲線截得的弦叫作通徑, 其長度為 ,通徑是過雙曲線的一個焦點與同側雙曲線的一支相交所得弦中最短的一條.
2.雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是b.
3.雙曲線 - =1(a>0,b>0)右支上任意一點M到左焦點距離的最小值為a+c;到右焦點距離的
最小值為c-a.
4.焦半徑:雙曲線上一點P(x0,y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段的長度叫作雙曲線 的焦半徑,記r1=PF1,r2=PF2.
(1)對于 - =1(a>0,b>0),若點P在右支上,則r1=ex0+a,r2=ex0-a;若點P在左支上,則r1=-ex0-a,r2=
-ex0+a.
(2)對于 - =1(a>0,b>0),若點P在上支上,則r1=ey0+a,r2=ey0-a;若點P在下支上,則r1=-ey0-a,r2=
-ey0+a.
知識點 2 兩類特殊的雙曲線
知識辨析
1.雙曲線 - =1(a>0,b>0)與 - =1(a>0,b>0)的漸近線相同嗎
2.雙曲線的離心率越大,其開口越大,對嗎
3.有相同漸近線的兩條雙曲線的離心率一定相等嗎
一語破的
1.不一定.雙曲線 - =1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=± x,雙曲線 - =1(a>0,b>0)的漸近
線方程為y=± x,若a=b,則兩雙曲線的漸近線相同;若a≠b,則兩雙曲線的漸近線不同.
2.對.因為e= = = ,若a一定,則當e增大時,b增大,從而雙曲線的開口變大.
3.不一定.不妨設兩條雙曲線具有共同的漸近線y=±m(xù)x(m>0),則它們的方程分別為 -x2=λ1和
-x2=λ2(λ1≠λ2),若λ1,λ2同號,則它們的離心率相等,若λ1,λ2異號,則當且僅當m=1時,它們的離心
率相等.
定點 1 雙曲線的幾何性質及其應用
關鍵能力 定點破
1.由雙曲線的方程研究其幾何性質的步驟
(1)將雙曲線的方程化為標準方程;
(2)根據標準方程確定焦點的位置,求出a,b的值;
(3)由c2=a2+b2求出c的值,進而寫出雙曲線的幾何性質.
2.根據雙曲線的幾何性質求其標準方程
(1)由雙曲線的幾何性質求雙曲線的標準方程,一般用待定系數法.當雙曲線的焦點位置不明 確時,方程可能有兩種形式,此時應注意分類討論,為了避免討論,也可設雙曲線的方程為mx2+ ny2=1(mn<0).
(2)常見雙曲線方程的設法
①漸近線為y=± x的雙曲線方程可設為 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果兩條漸近線的方程為
Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
②與雙曲線 - =1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為 - =λ(λ≠0,λ≠1,a>0,b>0).
③與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程可設為 - =λ(λ>0,a>0,b>0)或
- =λ(λ>0,a>0,b>0),要注意由離心率不能確定焦點位置.
④與橢圓 + =1(a>b>0)共焦點的雙曲線方程可設為 - =1(b2<λ典例 求適合下列條件的雙曲線的標準方程:
(1)漸近線方程為y=± x,經過點P(2,2);
(2)焦點在x軸上,離心率為 ,且過點(2, );
(3)實軸長為2,且與橢圓 + =1共焦點.
解析 (1)設雙曲線方程為x2-4y2=λ(λ≠0),將P(2,2)代入,解得λ=-12,
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
(2)由e= = ,得c= a,
又b2=c2-a2=( a)2-a2=a2,故a=b,
故可設雙曲線的方程為 - =1(a>0),把點(2, )代入,得 - =1,解得a2=2,
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
(3)設雙曲線方程為 - =1(4<λ<8).
因為實軸長為2,所以8-λ=1,解得λ=7.
所以雙曲線的標準方程為x2- =1.
　
　　雙曲線的漸近線與離心率是雙曲線最重要的兩個幾何性質,需注意以下幾點 以雙曲線
- =1(a>0,b>0)為例 :
(1)漸近線的斜率 與離心率e的關系: = ,e= .
(2)已知漸近線方程為y=mx(m>0)求離心率時,若焦點的位置不確定,則雙曲線的離心率有兩種 可能.
(3)求雙曲線離心率的方法
①公式法:直接求出a,c或找出a,b,c之間任意兩個的關系,代入公式e= = 計算.
②構造法:根據已知條件,結合c2=a2+b2,構造關于a,c的方程(不等式),兩邊同時除以a的最高次
定點 2 雙曲線的漸近線與離心率
冪,轉化為關于e的關系式,再結合e∈(1,+∞)得出結果.求解范圍時,注意利用圖形中的不等關 系(如三角形中的邊角關系、曲線上的點到焦點的距離的范圍等).
③特例法:通過特殊值或特殊位置求解.
典例 (1)已知雙曲線Γ: - =1(a>0)的一條漸近線方程是y=3x,則雙曲線Γ的離心率為　　 ;
(2)設雙曲線C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,若過點F2且斜率為 的直線l與
雙曲線的右支交于A,B兩點,則該雙曲線的離心率的取值范圍為　　　 .
(1,2)
解析 (1)由已知可得雙曲線的焦點在x軸上,b=9,一條漸近線方程為y= x=3x,
所以a=3,c= =3 ,
所以離心率e= = = .
(2)雙曲線的漸近線方程為y=± x,
由于過點F2且斜率為 的直線l與雙曲線的右支交于A,B兩點,所以 < ,
因此e= = = = <2,
又e>1,所以該雙曲線的離心率的取值范圍是(1,2).3.2.2　雙曲線的幾何性質
基礎過關練
題組一　根據雙曲線的標準方程研究其幾何性質
1.雙曲線4x2+ky2=4k的虛軸長是實軸長的2倍,則實數k的值是(　　)
A.16　　　　B.
2.(多選題)已知雙曲線C:=1,則下列說法正確的是(　　)
A.C的實軸長為2
B.若C的兩條漸近線相互垂直,則m=2
C.若C的一個焦點為(2,0),則m=2
D.若m=2,則C上的點到焦點距離的最小值為2
3.(多選題)設F1,F2分別是雙曲線C:=1的左、右焦點,且F1F2=4,則下列結論正確的有(　　)
A.m=2
B.存在實數t,使直線y=2x+t與雙曲線的左、右兩支各有一個交點
C.C的虛軸長是
D.C的離心率是
題組二　由雙曲線的幾何性質求其標準方程
4.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為-2,實軸長為4,則C的標準方程為(　　)
A.y2-=1
C.=1
5.(教材習題改編)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的漸近線方程為x±2y=0,且C過點(4,1),則C的方程為(　　)
A.=1
C.=1
6.與橢圓C:=1共焦點且過點P(2,)的雙曲線的標準方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直,且交E于A,B兩點,|AF2-AF1|=4.
(1)求E的方程;
(2)設點P為線段AB的中點,求直線OP的方程.
題組三　雙曲線的漸近線
8.若雙曲線C:=1的一條漸近線與直線l:3x+2y-2=0相互垂直,則C的兩個焦點與虛軸的一個端點構成的三角形的面積S=(　　)
A.2　　　　D.8
9.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F作C的一條漸近線l的垂線,垂足為A,且A在第一象限,并與C交于點B,若,則l的斜率為　　(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.
10.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的虛軸的一個端點為D,F1,F2分別是C的左、右焦點,直線x=2a與C交于A,B兩點.若△ABD的重心在以F1F2為直徑的圓上,則C的漸近線方程為(　　)
A.y=±x
C.y=±x
11.(多選題)已知雙曲線C過點(3,),且漸近線方程為y=±x,則下列結論正確的是(　　)
A.雙曲線C的方程為-y2=1
B.雙曲線C的離心率為
C.曲線y=ex-2-1經過雙曲線C的一個焦點
D.焦點到漸近線的距離為1
題組四　雙曲線的離心率
12.過雙曲線=1(a>0,b>0)的右頂點作x軸的垂線與兩漸近線交于兩點,這兩個點與雙曲線的左焦點恰好是一個正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為(　　)
A.　　　　D.4
13.設F1,F2是橢圓C1:=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:=1(a2>0,b2>0)的公共焦點,曲線C1,C2在第一象限內交于點M,∠F1MF2=60°,若橢圓的離心率e1∈,則雙曲線的離心率e2的取值范圍是(　　)
A.(1,] C.[,+∞)
14.已知F1,F2分別是雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1且傾斜角為30°的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若AF2=BF2,則雙曲線C的離心率為(　　)
A.
15.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0).
(1)若雙曲線C為等軸雙曲線,且過點P(2,),求雙曲線C的方程;
(2)經過原點O且傾斜角為45°的直線l與C的右支交于點M,△OMF是以線段OF為底邊的等腰三角形,求雙曲線C的離心率.
能力提升練
題組　雙曲線的幾何性質及其應用
1.若雙曲線C:=1(a>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,則雙曲線C的焦距為(　　)
A.8　　　　B.10　　　　C.12　　　　D.16
2.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為x-2y=0,左焦點在直線x+y+=0上,A,B分別是左、右頂點,點P為右支上位于第一象限的動點,直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,則k1+k2的取值范圍為(　　)
A.[2,+∞)　　　　B.(,+∞)　　　　C.(2,+∞)　　　　D.(1,+∞)
3.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F作直線分別與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B兩點,且,則該雙曲線的離心率為(　　)
A.
4.已知F1,F2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且PF1>PF2,線段PF1的垂直平分線過F2,若橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則的最小值為(　　)
A.
5.已知F1,F2分別是雙曲線Γ:=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點,點C在x軸上,,BF2平分∠F1BC,則雙曲線Γ的漸近線方程為(　　)
A.y=±x
C.y=±x
6.已知圓C1:x2+y2=b2(b>0)與雙曲線C2:=1(a>0,b>0),在C2上存在一點P,過點P作圓C1的兩條切線,切點分別為A、B,且∠APB=,則雙曲線C2的離心率的取值范圍是(　　)
A. B. C.(1,] D.[,+∞)
7.(多選題)過雙曲線C:=1的右焦點作直線l與該雙曲線交于A、B兩點,則(　　)
A.存在四條直線l,使AB=6
B.存在直線l,使弦AB的中點為(4,1)
C.與該雙曲線有相同漸近線且過點(8,10)的雙曲線的標準方程為=1
D.若A,B都在該雙曲線的右支上,則直線l斜率的取值范圍是
8.(多選題)隨著我國航天科技的快速發(fā)展,雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要的作用,雙曲線的光學性質是:從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得,過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知F1,F2分別為雙曲線C:-y2=1的左、右焦點,過C右支上一點A(x0,y0)(x0>2)作直線l交x軸于M,交y軸于點N,則(　　)
A.C的漸近線方程為y=±x
B.過點F1作F1H⊥AM于H,則OH=2
C.點N的坐標為
D.四邊形AF1NF2的面積的最小值為2
9.已知雙曲線C:x2-2y2=1的左、右頂點分別為A,B,點P(x,y)是雙曲線C在第一象限內的點,則的取值范圍為　　　　.
10.設雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,a2+b2=1,O為坐標原點,過F的直線l與C的右支交于A,B兩點.
(1)若b<,求C的離心率e的取值范圍;
(2)若∠AOB恒為銳角,求C的實軸長的取值范圍.
11.已知橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦點F1,F2,且雙曲線的實軸長為2.
(1)求雙曲線C2的標準方程;
(2)若曲線C1與C2在第一象限內的交點為P,求證:∠F1PF2=90°;
(3)過右焦點F2的直線l與雙曲線C2的右支交于A,B兩點,與橢圓C1交于C,D兩點,記△AOB,△COD的面積分別為S1,S2,求的最小值.
答案與分層梯度式解析
3.2.2　雙曲線的幾何性質
基礎過關練
1.C　雙曲線方程可化為=1,易知k<0,所以雙曲線的焦點在y軸上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2,又因為虛軸長是實軸長的2倍,所以2×4=2,解得k=-16.故選C.
2.BC　由題意知a=,則實軸長為2a=2,A錯誤;
漸近線方程為y=±x,若兩條漸近線相互垂直,則-=-1,∴m=2,B正確;
由(2,0)為焦點,知c=2,則2+m=c2=4,得m=2,C正確;
若m=2,則雙曲線C:=1,故C上的點到焦點距離的最小值為c-a=2-,D錯誤.
故選BC.
3.AD　由于雙曲線的焦點在x軸上,所以m>0,
由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,則m+m=c2=4,故m=2,A正確;
由m=2得雙曲線的方程為=1,則a=b=,所以虛軸長為2,離心率為,故C錯誤,D正確;
易得漸近線的方程為y=±x,斜率為±1,由于直線y=2x+t的斜率為2>1,所以不存在實數t,使直線y=2x+t與雙曲線的左、右兩支各有一個交點,B錯誤.
故選AD.
4.C　由題意知雙曲線的焦點在y軸上,2a=4,-=-2,即a=2,b=1,故C的標準方程為-x2=1.故選C.
5.B　因為雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0,
所以可設C的方程為x2-4y2=λ(λ≠0),把點(4,1)代入得λ=42-4×1=12,
所以C的方程為x2-4y2=12,即=1.故選B.
方法技巧　　　若題目中已知雙曲線的漸近線方程為Ax±By=0,求雙曲線的標準方程時,標準方程可設為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某點坐標求解.
6.C　解法一:易得橢圓C中c=3,記F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|=2a,
所以a=,所以b=,所以雙曲線的標準方程為=1,故選C.
解法二:由題意可設雙曲線的標準方程為=1(16<λ<25),
把點P(2,)代入,得=1,解得λ=22或λ=13(舍去),
∴雙曲線的標準方程為=1.
方法技巧　　　與橢圓=1(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設為=1(b2<λ7.解析　(1)因為|AF2-AF1|=4,所以2a=4,即a=2.
因為斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直,
所以-,所以b=1,
所以E的方程為-y2=1.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則P=2,則kOP=,
又點A,B在雙曲線E上,所以
兩式相減得=0,
兩邊同時除以(x2-x1)(x2+x1),并整理得kOP·kAB=.
又kAB=2,a=2,b=1,所以kOP=,所以直線OP的方程為y=x.
8.C　由題意得雙曲線的這條漸近線方程為2x-ay=0,由兩直線垂直得2×3-2a=0,解得a=3,∴c2=a2+b2=13,∴雙曲線的焦點坐標為(,0),易知虛軸的一個頂點坐標為(0,2),∴S=.故選C.
9.B　由題意得漸近線l的方程為y=x,即bx-ay=0,點F(c,0),則FA==b,
因為,所以B為線段AF的中點,則BF=,
設雙曲線C的左焦點為F1,則BF1=2a+,
在△BFF1中,cos∠BFF1=,
又AF⊥OA,所以cos∠BFF1=,所以a=b,故l的斜率為1,故選B.
10.D　由題意知虛軸的端點為(0,±b),不妨取D(0,b),A在x軸上方,
聯(lián)立則A(2a,b),
所以△ABD重心的坐標為,即,
易得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,
因為△ABD的重心在以F1F2為直徑的圓上,所以=c2=a2+b2,所以,所以C的漸近線方程為y=±x.故選D.
11.ACD　設雙曲線C的方程為Ax2+By2=1(AB<0),將點(3,)代入可得9A+2B=1①,
因為漸近線方程為y=±x,所以±,所以②.
由①②解得A=,B=-1,故雙曲線的方程為-y2=1,A正確.
由A可知a=,b=1,c=2,所以離心率e=,B錯誤.
雙曲線的焦點坐標為(±2,0),其中(2,0)在雙曲線y=ex-2-1上,C正確.
焦點(2,0)到漸近線x±3y=0的距離為=1,D正確.故選ACD.
12.B　雙曲線的漸近線方程為y=±x,令x=a,得y=±b,
不妨取A(a,-b),B(a,b),左焦點為F1(-c,0),
∵△ABF1為正三角形,
∴,即=3,即=3,∴4a=2c,∴e=2.故選B.
13.B　不妨設F1(-c,0),F2(c,0),由橢圓及雙曲線的定義得
在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos 60°=,
兩邊同時除以c2得=4,
因為e1∈,所以,所以∈(1,3],所以∈[1,3),則e2∈(1,].
故選B.
14.A　過F2作F2N⊥AB于點N(圖略),
設AF2=BF2=m,則AF1=m-2a,BF1=2a+m,
∴AB=BF1-AF1=4a,AN=2a,F1N=m,
由題意知∠BF1F2=30°,∴在Rt△F1NF2中,F2N=F1F2sin 30°=c,F1N=F1F2cos 30°=c,
在Rt△ANF2中,AN2+N,
即(2a)2+c2=(c)2,即2c2=4a2,∴e=.故選A.
15.解析　(1)由題意可知a=b,
把點P(2,)代入方程得=1,解得a2=1,故雙曲線C的方程為x2-y2=1.
(2)解法一: 易知△OMF是等腰直角三角形,OF=c,
過M作MA⊥x軸于點A,則A,
設左焦點F1(-c,0),由雙曲線的定義知MF1-MF=2a,
∴2a=c,故e=.
解法二:同解法一得M,
∵點M在C上,
∴=1,即=4,整理得e4-6e2+4=0,解得e2=3±,
∵e>1,∴e=.
能力提升練
1.A　易知雙曲線的漸近線方程為y=±x,不妨設直線y=x,即ax-2y=0被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,所以圓心(2,0)到直線ax-2y=0的距離為,解得a2=12,又a2+4=c2,所以c2=16,c=4,故該雙曲線的焦距為2c=8.故選A.
2.D　由雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,得a=2b,
在x+y+=0中,令y=0,得x=-,故左焦點為(-,0),則c=,結合c2=a2+b2得a=2,b=1,
故A(-2,0),B(2,0),設P(x,y),x>2,y>0,則k1·k2=,
因為P在第一象限內,所以k1>0,k2>0,則k1+k2≥2=1,顯然k1≠k2,故等號不成立,即k1+k2>1.故選D.
3.B　由題意得雙曲線的右焦點為F(c,0),漸近線方程為bx±ay=0,
∵=0,∴OB⊥BF,故F到漸近線的距離為BF==b,
∴OB==a,AB=2BF=2b,
則tan∠AOB=,tan∠FOB=,tan 2∠FOB=,
由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan 2∠FOB=0,即=0,解得=2,
則=3,∴離心率e=.故選B.
4.C　設橢圓的長軸長為2a1(a1>0),雙曲線的實軸長為2a2(a2>0),由題意可知F1F2=F2P=2c,不妨設點P在第一象限內,
由橢圓及雙曲線的定義得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,兩式相減,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c,
則≥4+2=6,當且僅當,即c=2a2時取等號,∴的最小值為6,故選C.
5.D　因為,所以△F1AF2∽△F1BC.
在雙曲線中,易知F1F2=2c,則F2C=6c,設AF1=t,則BF1=4t,AB=3t.
由BF2平分∠F1BC及角平分線定理可知,
所以BC=3BF1=12t,所以AF2=BC=3t.
由雙曲線定義知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a.
由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a,
所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形.
由余弦定理知cos∠F1BF2=,
即,化簡得11a2=3c2,所以8a2=3b2,則雙曲線Γ的漸近線方程為y=±x.故選D.
6.B　連接OB,OA,OP,則OA⊥AP,由切線長定理可知PA=PB,易證得△AOP≌△BOP,
所以∠APO=∠BPO=∠APB=,則OP=2OA=2b,
設P(x,y),且|x|≥a,則y2=-b2,
OP=2b==a,
所以,故e=,
故選B.
7.ACD　由已知得a=2,b=,c=3,對于A,雙曲線的通徑為=5<6,實軸長為2a=4<6,故有四條直線l滿足題意,故A正確.
對于B,假設存在滿足題意的直線l,設其方程為y-1=k(x-4),與=1聯(lián)立,得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,易知Δ>0恒成立.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·,又AB的中點為(4,1),
所以所以k=5,所以l的方程為y-1=5(x-4),由于右焦點(3,0)不在該直線上,故不存在這樣的直線l,故B錯誤.
對于C,設與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為=λ(λ≠0),
把點(8,10)代入得λ=-4,所以該雙曲線的標準方程為=1,故C正確.
對于D,設直線l的方程為x=my+3.
聯(lián)立得(5m2-4)y2+30my+25=0,易知Δ>0恒成立.
設A(xA,yA),B(xB,yB),則yA+yB=.
若A、B都在該雙曲線的右支上,則yAyB=<0,
即5m2-4<0,解得,即直線l的斜率的取值范圍是,故D正確.故選ACD.
解后反思　　　求解本題要熟記兩個結論:一是雙曲線的通徑,即過雙曲線的焦點作垂直于實軸的直線,該直線被雙曲線截得的弦叫通徑,其長為,它是過雙曲線焦點的弦中最短的一條;二是與雙曲線=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設為=λ(λ≠0,a>0,b>0).
8.ABD　對于A,由已知可得a=2,b=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,故A正確.
對于B,易得kAM=,
所以直線AM的方程為y=,
聯(lián)立化簡得x2-2x0x+=0,由于Δ=4=0,所以直線AM為雙曲線的切線.
由雙曲線的光學性質可知AM平分∠F1AF2,
延長F1H與AF2交于點E(圖略),則AH垂直平分F1E,即H為F1E的中點.
又O是F1F2的中點,所以OH=(AF1-AF2)=a=2,故B正確.
對于C,設N(0,yN),則,
整理可得-yN+4yN=4y0.
又=1,所以,所以-(4+4)yN+4yN=4y0,解得yN=-,所以N,故C錯誤.
對于D,,
當且僅當|y0|=,即y0=±1時,等號成立.
所以四邊形AF1NF2的面積的最小值為2,故D正確.
故選ABD.
9.答案　(,+∞)
解析　由雙曲線方程可知A(-1,0),B(1,0),
則kPB=,
∵點P(x,y)在雙曲線上,
∴x2-2y2=1,
∴kPA·kPB=,且有kPA>0,kPB>0,
令kPA=m,則kPB=(m>0),
則+m≥2,當且僅當m=,即m=時等號成立,
∵雙曲線漸近線的斜率為±,∴m≠,
∴的取值范圍為(,+∞).
10.解析　(1)因為b<,所以b2<,因為a2+b2=1,所以c=1,a2=1-b2>,所以a>,
則e=,又e>1,
所以C的離心率e的取值范圍是(1,).
(2)易知F(1,0),直線l的斜率不為0,所以可設其方程為x=my+1.
聯(lián)立得[a2(m2+1)-m2]y2+2m(a2-1)·y-(a2-1)2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,
由于A,B兩點均在C的右支上,故y1y2<0,即a2(m2+1)-m2>0,即m2<.
則=x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2
=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=(m2+1)·+m·+1
=.
由∠AOB恒為銳角,得>0,即m2a2(1-a2)-a4+3a2-1>0恒成立.
由于a2(1-a2)>0,所以只需-a4+3a2-1>0成立即可,
解得,
結合0所以C的實軸長的取值范圍是(-1,2).
11.解析　(1)因為橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2:=1(a>0,b>0)有共同的左、右焦點F1,F2,且雙曲線的實軸長為2,
所以
故雙曲線C2的標準方程為-y2=1.
(2)證明:聯(lián)立所以點P,易知F1(-,0),
則,則=0,∴∠F1PF2=90°.
(3)設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).當直線l的斜率不存在時,易得AB=,CD=1,此時.
當直線l的斜率存在時,設其方程為y=k(x-),與橢圓方程聯(lián)立,消去y,得(1+4k2)x2-8k2x+12k2-4=0,
則x3+x4=,
由弦長公式得CD=.把直線方程y=k(x-)與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得(1-2k2)x2+4k2x-6k2-2=0,
則x1+x2=,
由弦長公式得AB=.因為直線l與雙曲線C2的右支交于A,B兩點,所以解得k2>,故AB=.
設原點到直線l的距離為d,
∴∈(,+∞).
綜上可知,.
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