資源簡介

3.3　拋物線
3.3.1　拋物線的標準方程
基礎過關練
題組一　拋物線的定義及其應用
1.一個動圓P與定圓F:(x-3)2+y2=4相外切,且與直線l:x=-1相切,則動圓圓心P的軌跡方程為(　　)
A.y2=12x　　　　B.y2=8x　　　　C.y2=6x　　　　D.y2=4x
2.已知拋物線D:y2=4x的焦點為F,準線為l,點P在D上,過點P作準線l的垂線,垂足為A,若PA=AF,則PF=(　　)
A.2　　　　B.2　　　　D.4
3.已知過拋物線C:y2=2x的焦點F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點,Q為AB的中點,P為C上一點,則PF+PQ的最小值為(　　)
A.
4.若點P(x,y)滿足方程,則點P的軌跡是　　　　　.(填圓錐曲線的類型)
題組二　拋物線的標準方程和準線方程
5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(x0,3),且點M到C的焦點F的距離為3,則C的準線方程為　　(　　)
A.x=-　　　　B.x=-3　　　　C.x=-1　　　　D.x=-2
6.(多選題)經過點P(4,-2)的拋物線的標準方程為(　　)
A.y2=x　　　　B.x2=8y　　　　C.x2=-8y　　　　D.y2=-8x
7.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線上,且MF=3,FM的延長線交y軸于點N,若M為線段FN的中點,則p=(　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
題組三　直線與拋物線的位置關系
8.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線l與拋物線交于A、B兩點,若△AOF的面積是△BOF面積的2倍,則AB=(　　)
A.4　　　　B.
9.設經過拋物線y2=8x的焦點F且斜率為1的直線l與拋物線交于A,B兩點,拋物線的準線與x軸交于C點,則cos∠ACB=　　　　　 .
10.過拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點F,且斜率為-1的直線l與拋物線交于A、B兩點,AB=8.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過焦點F作直線l',交E于C、D兩點,直線AC與BD的交點是否在一條直線上 若是,求出該直線的方程;若不是,說明理由.
能力提升練
題組一　拋物線的定義及標準方程的應用
1.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(3,1)在C的內部,點B是C上的一個動點,且△ABF周長的最小值為4+,則p=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,準線為l,過點F且傾斜角為30°的直線交拋物線于點M(M在第一象限),MN⊥l,垂足為N,MN交x軸于點E,直線NF交x軸于點D,若MD=2,則拋物線的方程是(　　)
A.x2=y　　　　B.x2=2y
C.x2=4y　　　　D.x2=8y
3.(多選題)設拋物線y2=8x的頂點為O,焦點為F,點M是拋物線上異于O的一動點,直線OM交拋物線的準線于點N,下列結論正確的是(　　)
A.若MF=4,則OM=2
B.若MF=4,則O為線段MN的中點
C.若MF=8,則OM=4
D.若MF=8,則OM=3ON
4.(多選題)拋物線E:y2=4x的焦點為F,點M,N為拋物線上兩個位于第一象限的動點,且有=xF·xN(xM>1),直線MF,NF與準線分別交于A,B兩點,則下列說法正確的是(　　)
A.當xN=9時,MF=FA
B.當xM=2時,S△MFN∶S△ABF=4∶5
C.當xM=2時,AF∶BF=9∶5
D.當xM=3時,延長NM交準線于C,S△CBM∶S△ANF=5∶6
題組二　直線與拋物線的位置關系
5.設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過點F,且與C交于A,B兩點,以AB為直徑的圓與y軸交于D,E兩點,且DE=AB,則直線l的方程為(　　)
A.=0　　　　B.x±y-1=0
C.2x±y-2=0　　　　D.x±2y-1=0
6.已知拋物線y2=4x的焦點為F,直線l過點F且與拋物線交于A,B兩點,過點A作拋物線準線的垂線,垂足為M,∠MAF的平分線與拋物線的準線交于點P,線段AB的中點為Q.若AB=16,則PQ=(　　)
A.2　　　　B.4 C.6　　　　D.8
7.(多選題)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線l交C于P,Q兩點,則下列說法正確的是(　　)
A.C的準線方程為y=- B.直線AB與C相交
C.OP·OQ≥OA2 D.BP·BQ>BA2
8.(多選題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓=1的右焦點重合,拋物線C的動弦AB過點F,過點F且垂直于弦AB的直線交C的準線于點M,則下列結論正確的是(　　)
A.拋物線的標準方程為y2=4x
B.的最小值為2
C.過A,B分別作AA',BB'與準線垂直,則△A'FB'為直角三角形
D.△ABM的面積為定值
9.已知動點P在拋物線y2=4x上,過點P引圓C:(x-3)2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則AB的最小值為　　　　.
10.在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點F到其準線的距離為2,直線l過點P(0,1)且與C交于A、B兩點.
(1)求a的值及直線l的斜率的取值范圍;
(2)若AF+BF=8,求直線l的方程.
11.已知拋物線C:y2=4x,過其焦點F作兩條相互垂直且不平行于x軸的直線,分別交拋物線C于點A,B和點C,D,AB,CD的中點分別為M,N.
(1)若直線AB的斜率為2,求直線MN的方程;
(2)求線段MN的中點E的軌跡方程.
12.在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線E:y2=2px(p>0),兩定點P(1,1),Q(1,4),點R在E上,且滿足,過Q作一斜率存在的直線交E于A、B兩點,連接BP并延長,交E于點C.
(1)求拋物線E的標準方程;
(2)判斷直線AC是否恒過定點,若是,求出該定點坐標;若不是,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
3.3　拋物線
3.3.1　拋物線的標準方程
基礎過關練
1.A　圓F的圓心為F(3,0),半徑為2,設動圓圓心P(x,y),半徑為r,P到直線x=-1的距離為d,
則根據兩圓相外切及直線與圓相切的性質可得PF-2=r,d=r,
∴PF-d=2,∴PF=d+2,即P到F(3,0)的距離與P到直線x=-3的距離相等,
∴動圓圓心P的軌跡為以(3,0)為焦點的拋物線,
∴所求軌跡方程為y2=12x.故選A.
2.D　由題知F(1,0),準線l:x=-1,設準線與x軸的交點為C,則由拋物線的定義及已知得PA=AF=PF,則△PAF為等邊三角形.
解法一:在Rt△ACF中,CF=2,∠AFC=60°,則AF=4,故PF=AF=4.
解法二:過F作FB⊥AP于點B,則B為AP的中點,因為AB=2,所以AP=4,所以PF=AP=4.
3.B　由題意得焦點F,準線方程為x=-,直線AB:y=,
由,消去y并整理得12x2-20x+3=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,線段AB的中點Q的橫坐標xQ=,
過Q作準線的垂線,垂足為點D,交拋物線于點P,
則PF+PQ=PD+PQ=QD=,
在拋物線C上任取點P',過P'作準線的垂線,垂足為D',連接P'F,P'Q,D'Q,
則P'F+P'Q=P'D'+P'Q≥D'Q≥QD,當且僅當點P'與點P重合時取等號,所以PF+PQ的最小值為.故選B.
4.答案　拋物線
解析　由,
得,
易知等式左邊表示點P(x,y)到點(1,2)的距離,右邊表示點P(x,y)到直線3x+4y+12=0的距離,即點P(x,y)到點(1,2)的距離與到直線3x+4y+12=0的距離相等,
又因為點(1,2)不在直線3x+4y+12=0上,所以由拋物線的定義知,點P的軌跡是以(1,2)為焦點,直線3x+4y+12=0為準線的拋物線.
5.A　由已知得故拋物線C的準線方程為x=-,故選A.
6.AC　∵點P(4,-2)位于第四象限,∴設所求的拋物線方程為y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),
∴4=2p·4或16=-2p·(-2),∴p=或p=4.
故所求的拋物線方程為y2=x或x2=-8y.故選AC.
7.C　過點M作MA⊥y軸于點A,交拋物線的準線于點B(圖略),
由題意得F,設M,
由拋物線定義可知MF=MB==3,①
因為M為FN的中點,所以AM=OF,所以,②
由①②得p=4,故選C.
8.B　由題意得F(1,0),當直線l的斜率為0時,此時與拋物線只有1個交點,不合要求,舍去;
設l:x=1+my,與y2=4x聯立,得y2-4my-4=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,則y1+y2=4m,y1y2=-4,
因為△AOF的面積是△BOF面積的2倍,所以y1=-2y2,
則y1y2=-2=-4,所以y2=-,則y1=-2y2=2,
則4m=y1+y2=,解得m=,故x1+x2=,則AB=x1+x2+2=.故選B.
9.答案　
解析　由題意得F(2,0),C(-2,0),直線l的方程為y=x-2,
設A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)(y2<0),
聯立得y2-8y-16=0.
故y1=4+4,則x1=6+4,
故A(6+4),故AC=,
BC=,AB=x1+x2+4=16,
由余弦定理得cos∠ACB=.
10.解析　(1)由已知得直線l:y=-x+,設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y得x2-3px+=0,
所以x1+x2=3p,AB=x1+x2+p=4p=8,解得p=2,故拋物線E的方程為y2=4x.
(2)由(1)可知y1+y2=-4,y1·y2=-4,F(1,0).
設l'的方程為x=my+1,C(x3,y3),D(x4,y4),
聯立消去x得y2-4my-4=0,所以y3+y4=4m,y3·y4=-4.
直線AC的斜率為,
所以直線AC的方程為y-y3=(x-x3),即y=,①
同理可得直線BD的方程為y=②,
由①②得4(y1-y2+y3-y4)x=y1y2(y3-y4)+y3y4(y1-y2)=-4(y1-y2+y3-y4),
解得x=-1,所以直線AC與直線BD的交點都在x=-1上.
能力提升練
1.B　由已知得拋物線的準線方程為x=-,設為l,過點B作BM⊥l于M,過A作AH⊥l于H(圖略).
由拋物線的定義可知BF=BM,
∴△ABF的周長為AB+AF+BF=AB+BM+AF≥AH+AF=4+,
易得AH=3+,
∴3+,∴p=2.故選B.
2.C　如圖所示,過點F作FA⊥MN,垂足為A.
由題得∠AFM=30°,所以∠NMF=60°.
因為MF=MN,所以△MNF是等邊三角形.
因為O是FB的中點,所以DF=DN,
所以MD⊥DF,所以FM==4.
所以MN=4,則AN=2.
所以AE=EN=1,則AE=OF=1,∴=1,∴p=2.
所以拋物線的方程是x2=4y.故選C.
3.ABD　由已知可得F(2,0),準線方程為x=-2.
對于A,設M(x1,y1),根據拋物線的定義得MF=x1+2=4,解得x1=2,可得=16,可得OM=,A正確;
對于B,由=16,得y1=±4,不妨設M(2,4),則直線OM的方程為y=2x,
令x=-2,可得y=-4,即N(-2,-4),所以O為線段MN的中點,B正確;
對于C,設M(x2,y2),根據拋物線的定義得MF=x2+2=8,
解得x2=6,則=48,可得OM=,C不正確;
對于D,由=48,可得y2=±4,不妨設M(6,4),
則直線OM的方程為y=x,令x=-2,得y=-,即N,
則ON=,所以OM=3ON,D正確.故選ABD.
4.ACD　拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1,則xA=xB=-1,
由=xF·xN(xM>1),得=xN(xM>1).
對于A,當xN=9時,xM=3,則=1,
∴MF=AF,故A正確;
對于B,當xM=2時,M(2,2),N(4,4),則FM==5,
設直線MF:x=my+1,把M(2,2)代入,可得m=y+1,
令x=-1,得y=-4),同理B,
則FA=,
因為∠AFB=∠MFN,所以sin∠AFB=sin∠MFN,
所以,故B錯誤;
對于C,由B知AF∶BF=6∶=9∶5,故C正確;
對于D,當xM=3時,xN=9,則N(9,6),∴MC∶NC=(3+1)∶(9+1)=2∶5,
∴S△CBM=S△CBN,∴S△CBM=S△NBM,由A知MF=AF,∴S△MFN=S△NFA,
NF∶FB=(9-1)∶[1-(-1)]=4∶1,∴S△MFN=S△NBM,∴S△NFA=S△NBM,
∴S△CBM∶S△NFA=S△NBM∶S△NBM=5∶6,故D正確.故選ACD.
5.A　分別過A,B向準線x=-1作垂線,垂足分別為A1,B1,取AB的中點M,作MN⊥y軸于點N(圖略).
設AB=2r(2r≥4),
則2(MN+1)=AA1+BB1=AF+BF=AB=2r,所以MN=r-1,
則DE=2r,即9r2-50r+25=0,
解得r=5或r=(舍去),則xM=4,
設直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
則x1+x2==8,解得k=±,
所以直線方程為y=±(x-1),即=0,
故選A.
6.D　易得焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.
若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=1,
由解得y=±2,則AB=4,不符合題意,
所以直線l的斜率存在,設l的方程為y=k(x-1).
由消去y,化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0①,
Δ=[-(2k2+4)]2-4k4=16k2+16>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,
則AB=x1+x2+2=4+=16,故k2=,解得k=±,
不妨取k=,A在第一象限,則直線l:y=(x-1),傾斜角為,所以∠MAF=,∠MAP=,
①式為=0,即x2-14x+1=0,解得x1=,
y1=,
tan,
所以MP=MA·tan)=4,
則yP=y1-4=2,所以P(-1,2).
由于x1+x2=14,y1+y2=4,故,所以Q(7,2),所以PQ=8.故選D.
方法技巧　　　求解直線和拋物線相交所得弦長問題,一定要注意的是判斷直線的斜率是否存在.如果直線過拋物線的焦點,則可用AB=x1+x2+p來進行求解,其他情況用AB=來進行求解.
7.ACD　將點A(1,1)代入x2=2py,得p=,所以拋物線的方程為x2=y,故準線方程為y=-,故A正確.
kAB==2,所以直線AB的方程為y=2x-1,聯立可得x2-2x+1=0,Δ=0,故直線AB與C相切,故B錯誤.
若l與y軸重合,則l與C只有一個交點,不合題意,舍去,
所以l的斜率存在,設其方程為y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯立得x2-kx+1=0,所以
所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,
又OP=,
所以OP·OQ==|k|>2=OA2,故C正確.
因為BP=|x2|,
所以BP·BQ=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,
又BA2=12+[1-(-1)]2=5,故D正確.故選ACD.
8.ABC　對于A,易知橢圓的右焦點為(1,0),即拋物線C的焦點F(1,0),可得p=2,所以拋物線的標準方程為y2=4x,故A正確.
對于B,當直線AB的斜率不存在時,易得AB=2p=4,MF=2,所以=2;
當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,
則Δ=16(k2+1)>0,x1+x2=,x1x2=1,
可得AB=x1+x2+2=,
易知直線FM的方程為y=-(x-1),
由可得M,
則MF=,可得>2,故的最小值為2,故B正確.
對于C,由拋物線定義知AA'=AF,BB'=BF,則∠AA'F=∠AFA',∠BB'F=∠BFB',
又因為AA'∥OF∥BB',所以∠AA'F=∠A'FO,∠BB'F=∠B'FO,
可得∠A'FB'=(∠AFA'+∠A'FO+∠BFB'+∠B'FO)=90°,　　
故△A'FB'為直角三角形,故C正確.
對于D,當直線AB的斜率不存在時,AB=2p=4,MF=2,可得S△ABM=AB·MF=4;
當直線AB的斜率存在時,由B知AB=,
可得S△ABM=AB·MF=,顯然不為定值,故△ABM的面積不為定值,故D錯誤.
故選ABC.
9.答案　
解析　易得圓C的圓心為C(3,0),半徑為1,
則四邊形APBC的面積S=AB·PC=2S△APC=2××AP·AC=AP,所以AB=,
在Rt△PAC中,AP=,
所以AB=,
設P(x0,y0),由點P在拋物線上,可得=4x0,則PC2=(x0-3)2+-2x0+9=(x0-1)2+8,
當x0=1時,PC2取得最小值,最小值為8,所以AB的最小值為2.
10.解析　(1)因為拋物線C:y2=ax(a>0)的焦點F到其準線的距離為2,所以=2,解得a=4.
所以拋物線方程為y2=4x,
設直線l的方程為y=kx+1,
聯立消y得k2x2+(2k-4)x+1=0,由已知得方程有兩個不等的實數解,
故k2≠0,且Δ=(2k-4)2-4k2>0,解得k<1且k≠0.
所以直線l的斜率的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1).
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知x1+x2=,
易知AF+BF=x1+x2+2=8,
所以+2=8,即3k2+k-2=0,解得k=-1或k=,所以直線l的方程為y=-x+1或y=x+1.
11.解析　(1)由已知得拋物線的焦點F(1,0),直線AB的方程為y=2(x-1),設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立得x2-3x+1=0,則x1+x2=3,
所以AB中點M的橫坐標為,縱坐標為2×=1,即M,
直線CD的方程為y=-(x-1),設C(x3,y3),D(x4,y4),
聯立得x2-18x+1=0,則x3+x4=18,
所以CD中點N的橫坐標為9,縱坐標為-×(9-1)=-4,即N(9,-4),
所以kMN=-,直線MN的方程為y+4=-(x-9),
化簡得直線MN的方程為2x+3y-6=0.
(2)設直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(x,y),
聯立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
得x1+x2=,
所以AB中點M的橫坐標為1+,縱坐標為k1+-1=,即M,
將k換成-得N(1+2k2,-2k),
則MN的中點E的坐標為,
即x=1+-k,得y2=x-3,
所以線段MN的中點E的軌跡方程為y2=x-3.
12.解析　(1)(1,1)=(1,2),即R(1,2),
把R(1,2)代入y2=2px中,解得p=2.
所以拋物線E的標準方程為y2=4x.
(2)設過Q且斜率存在的直線方程為y-4=k(x-1),聯立消去x,得ky2-4y+16-4k=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=,
易得直線BP的方程為,與y2=4x聯立,消去x,得(y2-1)y2-(-4y2=0,
設C(x3,y3),則有y2y3=,得y3=,
則直線AC的方程為,即,得(y-y1),
則=4x+4,所以直線AC恒過定點(-1,0).
方法總結　　　解答直線與拋物線的題目時,時常把兩個曲線的方程聯立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數的關系,并結合題設條件建立有關參變量的等量關系.涉及直線方程的設法時,務必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在的特殊情形.強化有關直線與拋物線聯立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.
21(共16張PPT)
　　平面內到一個定點F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線,定點 F叫作拋物線的焦點,定直線l叫作拋物線的準線.
3.3 拋物線
知識點 1 拋物線的定義
知識 清單破
3.3.1 拋物線的標準方程
知識點 2 拋物線的標準方程
標準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
焦點坐標
準線方程 x=- x= y=- y=
開口方向 向右 向左 向上 向下
　　特別說明:
(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離.
(2)準線與焦點所在坐標軸垂直,垂足與焦點關于原點對稱,它們到原點的距離都等于一次項 系數的絕對值的 ,即 = .
(3)拋物線的開口方向與x軸(或y軸)的正半軸方向相同,即焦點在x軸(或y軸)的正半軸上,標準 方程的右端系數為正;開口方向與x軸(或y軸)的正半軸方向相反,即焦點在x軸(或y軸)的負半 軸上,標準方程的右端系數為負.
知識拓展
　　已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個點,若OA⊥OB,則直線AB過定點(2p,0),反之也成立.
知識辨析
1.在拋物線的定義中,若去掉“F不在l上”,則點的軌跡還是拋物線嗎
2.有人說:若拋物線的方程為y2=2ax(a≠0),則拋物線的焦點坐標為 ,對嗎
3.拋物線的標準方程中,p的幾何意義是焦點到準線的距離,它的大小與拋物線的開口大小有 關嗎
一語破的
1.不是.若去掉該條件,則動點的軌跡是過定點F且垂直于直線l的一條直線.
2.不對.拋物線的焦點坐標是 .
3.有關.對于方程y2=2px(p>0),當x的值確定后,p值越大,|y|也越大,所以拋物線的開口也越大.
定點 1 拋物線的標準方程的求解
關鍵能力 定點破

1.定義法
　　根據拋物線的定義確定p的值,再結合焦點位置求出拋物線的方程.
2.待定系數法
(1)設方程:根據焦點位置(或開口方向),設出標準方程;
(2)列方程:根據條件建立關于參數p的方程;
(3)解方程:解關于參數p的方程,求出p的值;
(4)得方程:根據參數p的值,寫出所求的標準方程.
　　若焦點位置不明確,一般需分四種情況討論,若焦點在x軸上,可設其方程為y2=mx(m≠0), 若焦點在y軸上,可設其方程為x2=my(m≠0).
典例 根據下列條件確定拋物線的標準方程.
(1)焦點在y軸上且過點(-1,-3);
(2)過點(4,-8);
(3)焦點在直線x-2y-4=0上.
解析 (1)由已知可設拋物線的方程為x2=-2py(p>0),把(-1,-3)代入得1=6p,故p= ,所以拋物線
方程為x2=- y.
(2)由已知可設拋物線的方程為y2=2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0),分別把點(4,-8)代入得64=8p1,16 =16p2,所以p1=8,p2=1,
所以拋物線的方程為y2=16x或x2=-2y.
(3)易知點(0,-2)和(4,0)在直線x-2y-4=0上,設拋物線方程為x2=-2p1y(p1>0)或y2=2p2x(p2>0),則
=2, =4,得p1=4,p2=8,
所以拋物線的方程為x2=-8y或y2=16x.
1.判斷軌跡問題
　　用拋物線的定義可以判斷與定點、定直線的距離有關的動點的軌跡是不是拋物線.
2.實現距離轉化
　　利用拋物線的定義可以實現拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離的等價轉化.“看 到準線想焦點,看到焦點想準線”是解決拋物線距離問題的有效途徑.
3.解決最值問題
　　求解拋物線上一點P到焦點F的距離和到已知點M(M在拋物線內部)的距離之和的最小 值問題,通常利用拋物線的定義將點P到F的距離轉化為點P到準線的距離,再利用三點共線 知識求解.
定點 2 拋物線定義的應用
　　已知拋物線上一點(x0,y0).
4.焦半徑公式
標準方程 焦半徑
y2=2px(p>0) x0+
y2=-2px(p>0) -x0
x2=2py(p>0) y0+
x2=-2py(p>0) -y0
典例 (1)已知動圓M與直線y=-2相切,且與定圓C:x2+(y-3)2=1外切,那么動圓圓心M的軌跡方程 為　　　　　 ;
(2)已知M為拋物線y2=4x上的動點,F為拋物線的焦點,P(3,1),則MP+MF的最小值為　　　 ;
(3)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(位于第一象限)到焦點F的距離等于2p,則直線MF的斜率 為　　　 .
x2=12y
4
解析 (1)解法一:由題意知,動點M到C(0,3)的距離比到直線y=-2的距離大1,
則動點M到C(0,3)的距離與到直線y=-3的距離相等,
根據拋物線的定義知M的軌跡是以直線y=-3為準線,點(0,3)為焦點的拋物線,
設拋物線方程為x2=2py(p>0),則 =3,解得p=6,故圓心M的軌跡方程為x2=12y.
解法二:設M(x,y),則 =|y+2+1|,變形為x2+y2-6y+9=y2+6y+9,則x2=12y,
故圓心M的軌跡方程為x2=12y.
(2)如圖所示:

設點M在準線上的射影為D,由拋物線的定義知MF=MD,
要求MP+MF的最小值,即求MP+MD的最小值,當D,M,P三點共線時,MP+MD最小,且(MP+MD) min=D'P=3-(-1)=4.
(3)因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M與焦點F間的距離MF=2p,
所以xM+ =2p,得xM= ,將xM= 代入y2=2px,得yM= p或yM=- p(舍去).
所以點M的坐標為 ,所以直線MF的斜率為 = .
1.判斷直線與拋物線的位置關系與橢圓、雙曲線一樣,通常使用代數法,即將直線與拋物線的 方程聯立,整理成關于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0).
(1)當a≠0時,利用判別式解決:
Δ>0 相交;Δ=0 相切;Δ<0 相離.
(2)當a=0時,方程只有一個解x=- ,這時直線與拋物線的對稱軸平行或重合.
　　注:若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線相切或直線與拋物線相交(此時直 線與拋物線的對稱軸平行或重合).
2.直線與拋物線相交的弦長問題
　　若直線(斜率為k)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則AB= |x1-x2|=
定點 3 直線與拋物線的位置關系
|y1-y2|(k≠0).
典例 已知拋物線C:y2=2px(p>0),直線l:2x-3y+4=0與拋物線C交于M,N兩點.
(1)若線段MN中點的縱坐標為3,求p的值;
(2)若MN= ,求p的值.
解析 設M(x1,y1),N(x2,y2).
(1)聯立 兩式相減可得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),即p= · = ×3=2.
(2)聯立 消去x,得y2-3py+4p=0,則Δ=9p2-16p>0,解得p> 或p<0(舍去),
由根與系數的關系得y1+y2=3p,y1y2=4p,
又直線l的斜率k= ,
所以MN= ·|y1-y2|= · = · = · = ,
故9p2-16p=4,解得p=2或p=- (舍去).
故p的值為2.

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