資源簡介

3.3.2　拋物線的幾何性質
基礎過關練
題組一　拋物線的幾何性質及其應用
1.拋物線y=x2上一點A(x0,2)到其對稱軸的距離為(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D.1
2.(教材習題改編)已知等邊三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=4x上,則這個等邊三角形的邊長為(　　)
A.8
3.已知線段AB是拋物線y2=4x的一條弦,且AB的中點M在直線x=1上,則點A的橫坐標(　　)
A.有最大值,無最小值　　　　
B.無最大值,有最小值
C.無最大值,無最小值　　　　
D.有最大值,有最小值
4.已知拋物線C的頂點是坐標原點O,焦點F在y軸的正半軸上,經過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點,若=-12,則拋物線C的方程為(　　)
A.y2=8x　　　　B.y2=4x
C.x2=8y　　　　D.x2=4y
5.寫出一個同時滿足以下條件的拋物線C的方程:　　　　.
①C的頂點在坐標原點;
②C的對稱軸為坐標軸;
③C的焦點到其準線的距離為.
題組二　拋物線幾何性質的綜合應用
6.已知mn≠0,則方程mx2+ny2=1與ny2=mx在同一坐標系內對應的圖形編號可能是(　　)
A.①④　　　　B.②③
C.①②　　　　D.③④
7.如圖1,某家用電暖氣是由反射面、熱饋源、防護罩及支架組成,為了更好地利用熱效能,反射面設計成拋物面(拋物線繞其對稱軸旋轉形成的曲面),熱饋源安裝在拋物線的焦點處,圓柱形防護罩的底面直徑等于拋物面口徑.圖2是該電暖氣的軸截面,防護罩的寬度AD等于熱饋源F到口徑AB的距離,已知口徑長為40 cm,防護罩寬為15 cm,則頂點O到防護罩外端CD的距離為(　　)
　　　　　　圖1　　　　　　　　圖2
A.25 cm　　　　B.30 cm
C.35 cm　　　　D.40 cm
8.已知拋物線W:y2=2px的焦點F關于原點O的對稱點為A.若以F為圓心的圓經過點A且與W交于點B,C,則下面結論正確的是(　　)
A.△BOC一定是鈍角三角形
B.△BOC可能是銳角三角形
C.△ABC一定是鈍角三角形
D.△ABC可能是銳角三角形
能力提升練
題組　拋物線幾何性質的綜合應用
1.(多選題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ⊥l,垂足為Q,M,N分別為PQ,PF的中點,直線MN與x軸交于點R,若∠NRF=60°,則(　　)
A.∠FQP=60°　　　　B.QM=1
C.FP=4　　　　D.FR=2
2.設拋物線y2=4x的準線與x軸交于點K,過點K的直線l與拋物線交于A,B兩點.設線段AB的中點為M,過點M作x軸的平行線交拋物線于點N.已知△NAB的面積為2,則直線l的斜率為(　　)
A.±　　　　D.±2
3.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點,且,拋物線的準線l與x軸交于點C,AA1⊥l于點A1,若四邊形AA1CF的面積為5,則準線l的方程為(　　)
A.x=-
C.x=-2　　　　D.x=-1
4.(多選題)已知A,B是拋物線C:y2=6x上的兩動點,F是C的焦點,下列說法正確的是(　　)
A.直線AB過焦點F時,以AB為直徑的圓與C的準線相切
B.直線AB過焦點F時,AB的最小值為6
C.若坐標原點為O,且OA⊥OB,則直線AB過定點(3,0)
D.與拋物線C分別相切于A,B兩點的兩條切線交于點N,若直線AB過定點,則點N在拋物線C的準線上
5.(多選題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到準線的距離為2,過點F的直線與拋物線交于A、B兩點,M為線段AB的中點,O為坐標原點,則下列結論正確的是(　　)
A.若AB=8,則點M到y軸的距離為4
B.過點(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條
C.P是準線上一點,Q是直線PF與C的一個交點,若,則FP=6
D.9AF+BF≥16
6.已知拋物線M:x2=4y,圓C:x2+(y-3)2=4,在拋物線M上任取一點P,向圓C作兩條切線PA和PB,切點分別為A,B,則的取值范圍是　　　　.
7.已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,E的準線交x軸于點K,過K的直線l與拋物線E相切于點A,且交y軸正半軸于點P,△AKF的面積為2.
(1)求拋物線E的方程;
(2)過點P的直線交E于M,N兩點,過M且平行于y軸的直線與線段OA交于點T,點H滿足.證明:直線HN過定點.
答案與分層梯度式解析
3.3.2　拋物線的幾何性質
基礎過關練
1.A　把A(x0,2)代入拋物線方程中,得2=,解得x0=±4,
因為該拋物線的對稱軸為y軸,所以拋物線y=x2上一點A(x0,2)到其對稱軸的距離為4,
故選A.
2.A　由拋物線的對稱性知等邊三角形另外兩個頂點關于x軸對稱,
設另外兩個頂點的坐標分別為(m>0),
∴tan 30°=,解得m=4,
故這個等邊三角形的邊長為2m=8.故選A.
3.D　設A(x1,y1),B(x2,y2),
易知當點A在原點時,其橫坐標有最小值,為0;
當點B在原點時,點A的橫坐標有最大值,由=1,得x1=2,即點A的橫坐標的最大值為2.
故選D.
4.C　根據題意設拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則F,
易知直線AB的斜率存在.設直線AB的方程為y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立可得x2-2pkx-p2=0,
∴x1x2=-p2,y1y2=,
又=-12,∴x1x2+y1y2=-12,∴-p2+=-12,∴p=4,
故拋物線的方程為x2=8y.
5.答案　y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(寫出一個即可)
解析　由①②可知C的方程為拋物線的標準方程,由③可知p=,
所以拋物線C的方程可以為y2=x或y2=-x或x2=y或x2=-y(寫出一個即可).
6.B　方程ny2=mx(mn≠0)表示焦點在x軸上的拋物線,④不符合要求.
當m,n>0時,方程mx2+ny2=1表示橢圓或圓,拋物線的開口向右,③符合要求.
當m,n<0時,方程mx2+ny2=1不表示任何圖形.
當m>0,n<0時,方程mx2+ny2=1表示焦點在x軸上的雙曲線,拋物線開口向左.
當m<0,n>0時,方程mx2+ny2=1表示焦點在y軸上的雙曲線,拋物線開口向左,①不符合要求,②符合要求.故選B.
7.C　以頂點O為坐標原點,射線OF所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖,
設軸截面邊界曲線AOB所在拋物線方程為y2=2px(p>0),
則F,因為點A在拋物線上,所以400=2p,又p>0,所以p=10,則O到CD的距離d=+30=35(cm),
所以頂點O到防護罩外端CD的距離為35 cm.故選C.
8.A　設p>0,B位于第一象限,C位于第四象限,
由題意得F,
則圓的方程為+y2=p2,與y2=2px聯立,解得則B,
則有xB=xC=xF,則BF⊥AF,則tan∠BOF==2,
根據對稱性得tan∠BOC=tan 2∠BOF=<0,
又因為∠BOC∈(0,π),所以∠BOC∈,所以△BOC一定是鈍角三角形,故A正確,B錯誤.
又因為AF=BF=p,且AF⊥BF,所以△ABF為等腰直角三角形,故∠BAF=,根據對稱性知∠BAC=,則△ABC為直角三角形,故C,D錯誤.故選A.
能力提升練
1.ACD　如圖所示,連接MF,QF,設準線l與x軸的交點為H.
易知焦點F(1,0),準線l:x=-1,∴FH=2,PF=PQ.
∵M,N分別為PQ,PF的中點,∠NRF=60°,
∴MN∥QF,∠QFH=∠NRF=60°.
∵PQ⊥l,∴PQ∥OR,∴∠FQP=∠QFH=60°,A正確.
∵PQ=PF,∴△PQF為等邊三角形,
∵QH⊥HF,∴QF=2FH=4,
∴FP=PQ=QF=4,C正確.
∴MF⊥PQ,∴四邊形QMFH為矩形,
∴QM=FH=2,B錯誤.
∵PQ∥OR,MN∥QF,∴四邊形QMRF為平行四邊形,
∴FR=QM=2,D正確.故選ACD.
2.A　易得拋物線y2=4x的準線方程為x=-1,則K(-1,0).
顯然直線l的斜率存在且不為0,設其方程為x=ty-1(t≠0),與y2=4x聯立,化簡并整理得y2-4ty+4=0.
由Δ=(-4t)2-16>0,得t2>1.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4t,y1y2=4,
∴x1+x2=ty1-1+ty2-1=t(y1+y2)-2=4t2-2.
∵M是AB的中點,∴M(2t2-1,2t).
過點M且平行于x軸的直線為y=2t,與拋物線的交點為N(t2,2t),∴MN=t2-1.
又∵(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=(4t)2-4×4=16(t2-1),∴|y1-y2|=4,
∴△NAB的面積S=MN·|y1-y2|=2()3=2,得t2=2(滿足Δ>0),解得t=±.
∴直線l的方程為x=±y-1,即y=±(x+1),
∴直線l的斜率為±.故選A.
3.D　解法一:由題意知F,準線l的方程為x=-,設A(x1,y1),B(x2,y2),
則,由,得,即x2=(3p-2x1),①
由題意知直線AB的斜率存在且不為0,
設直線AB的方程為y=k(k≠0),代入拋物線方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,
所以x1x2=,②
聯立①②,得2-3px1+p2=0,
解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p,
易知四邊形AA1CF是直角梯形,所以·|y1|=5,
將x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍負),所以準線l的方程為x=-1,故選D.
解法二:不妨設A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,則AF=,
因為,所以,解得cos θ=,則sin θ=,
易知四邊形AA1CF是直角梯形,其中CF=p,AA1=AF=p,AC=AFsin θ=p·p,所以四邊形AA1CF的面積為,解得p=2(舍負),所以準線l的方程為x=-1,故選D.
導師點睛　　　AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的傾斜角為α,則有下列結論成立:
(1)x1x2=,y1y2=-p2.
(2)AF=x1+.
(3)AB=x1+x2+p=.
4.ABD　對于A,設線段AB的中點為M,分別過點A,B,M向準線作垂線,垂足分別為A1,B1,M1(圖略),
則由拋物線的定義可得AF=AA1,BF=BB1,則MM1=,
所以以AB為直徑的圓與C的準線相切,故A正確.
對于B,易得F,
由題意可知直線AB的斜率不為0,設其方程為x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去x得y2-6my-9=0,則Δ=(-6m)2+36=36m2+36>0恒成立.
y1+y2=6m,y1y2=-9,則x1+x2=my1+=6m2+3,
所以AB=x1+x2+3=6m2+6,當且僅當m=0時,AB取到最小值6,故B正確.
對于D,先證拋物線C在點處的切線方程為x=,
聯立消去x得y2-2y0y+=(y-y0)2=0,
可知方程組只有一個解,即直線x=與拋物線C相切,
可知拋物線C在點A,B處的切線方程分別為x=,
聯立即點N,
結合B可得,所以點N在拋物線C的準線x=-上,故D正確.
對于C,由題意可知直線AB的斜率不為0,設其方程為x=my+a,A,y1y2≠0,
則,
若OA⊥OB,則+y1y2=0,解得y1y2=-36或y1y2=0(舍去),
聯立消去x可得y2-6my-6a=0,
則y1y2=-6a=-36,解得a=6,
此時Δ=(-6m)2+4×36=36m2+144>0,符合題意,
所以OA⊥OB,則直線AB過定點(6,0),故C錯誤.
故選ABD.
5.CD　由題意得 p=2,則拋物線C:y2=4x,所以焦點F(1,0),準線方程為x=-1,
對于A,設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=AF+BF=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,
又M為線段AB的中點,所以M,所以點M到y軸的距離為=3,故A錯誤.
對于B,若過點(0,1)的直線斜率不存在,則該直線為y軸,易知y軸與拋物線C相切;
若過點(0,1)的直線的斜率為零,則直線的方程為y=1,聯立
此時直線y=1與拋物線C只有一個交點;
若過點(0,1)的直線的斜率存在且不為零,設該直線的方程為y=kx+1,
聯立可得k2x2+(2k-4)x+1=0,則解得k=1,
即直線y=x+1與拋物線C只有一個公共點,故滿足條件的直線共有三條,故B錯誤;
對于C,過點Q作準線的垂線,垂足為Q',則QQ'=QF,
設準線與x軸交于點D,則△PQ'Q∽△PDF,
因為,所以,
則Q'Q=,則xQ=QQ'-1=,所以|yQ|=,
即Q'D=,所以PD=4,則PF==6,故C正確.
對于D,設直線AB的方程為x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
顯然Δ>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,則x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2==1,
所以=1,
所以9AF+BF=(9AF+BF)
=10+≥10+2=16,
當且僅當,即AF=,BF=4時取等號,故D正確.故選CD.
6.答案　(-4,0]
解析　由已知得圓心C(0,3),半徑r=2.
設點P(x0,y0),則=4y0,
PC2=-2y0+9=(y0-1)2+8,
在Rt△PAC中,
cos2∠PCA=,
易知∠ACB=2∠PCA,則cos∠ACB=2cos2∠PCA-1=-1,
則|cos∠ACB=4-4,
因為y0≥0,所以當y0=1時,取得最大值,為-4=0,又>0,所以>-4.
所以的取值范圍是(-4,0].
7.解析　(1)由題可知F,準線方程為x=-,
因為直線l的斜率存在且不為0,所以設l的方程為x=my-,
聯立消去x,得y2-2pmy+p2=0,
因為l與E相切,所以Δ=4p2(m2-1)=0,所以m=1或m=-1,
因為直線l與y軸正半軸交于點P,所以m=1,
因此y2-2py+p2=0,所以y=p,所以A,
故AF⊥KF,所以S△AKF=p2=2,所以p=2(負值舍去),所以拋物線E的方程為y2=4x.
(2)證明:由(1)知A(1,2),l:y=x+1,所以P(0,1),
因為過點P的直線交E于M,N兩點,所以MN的斜率存在且不為零,
設MN的方程為y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯立消去x,得ky2-4y+4=0(k≠0),
則Δ=16(1-k)>0,所以k<1且k≠0,y1+y2=y1y2=.
易得直線OA:y=2x,令x=x1,得y=2x1,所以T(x1,2x1),
因為,所以H(x1,4x1-y1),所以kNH=,
所以直線NH的方程為y-y2=(x-x2),
所以y=
=,
因為4x1x2-x1y2-x2y1=4×[y1y2-(y1+y2)]=0,
所以直線NH的方程為y=x,所以NH恒過定點(0,0).
16(共19張PPT)
知識點 1 拋物線的幾何性質
知識 清單破
3.3.2 拋物線的幾何性質
標準方程
(p>0) y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
p的幾何意義:焦點F到準線l的距離
頂點 O(0,0)
對稱軸 x軸 y軸
離心率 e=1
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
1.焦點弦的概念
　　過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.
2.通徑
　　過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的通徑,拋物 線的通徑長為2p,是所有焦點弦中最短的弦.
定點 2 拋物線的焦點弦
3.有關拋物線焦點弦的結論
　　如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均 垂直于準線,直線AB的傾斜角為θ.
則有:(1)AB=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)AF= ,BF= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;
(6)以AB為直徑的圓與準線相切;
(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.
知識拓展
1.圓錐曲線可以統一定義為:平面內到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等 于常數e的點的軌跡,其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線l是圓錐曲 線的準線.
當01時,它是雙曲線;當e=1時,它是拋物線.
橢圓和雙曲線都有兩條準線,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓或雙曲線,與焦點F1(-c,0),
F2(c,0)對應的準線方程分別為x=- ,x= .
2.阿基米德三角形:圓錐曲線的弦AB與過弦的端點的兩條切線圍成的△PAB叫作阿基米德三 角形.
　　拋物線阿基米德三角形的常用性質:
(1)當AB過焦點時,點P在準線上且PA⊥PB,PF⊥AB;
(2)當點P在準線上時,AB過焦點,底邊AB的中線所在直線平行或重合于對稱軸,且S△PAB的最小 值為p2.
知識辨析
1.拋物線的標準方程有四種形式,它們的離心率都相等嗎
2.拋物線y=ax2(a≠0)的準線方程是x=- 嗎
3.如何區分曲線是拋物線還是雙曲線的一支
4.“直線與拋物線只有一個交點”是“直線與拋物線相切”的充分必要條件嗎
一語破的
1.相等.拋物線的離心率是拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離的比值,因為兩個距離 相等,所以離心率都是1.
2.不是.將拋物線化成標準方程為x2= y(a≠0),所以其準線方程為y=- .
3.曲線的延伸趨勢不相同,當拋物線y2=2px(p>0)上的點趨于無窮遠時,拋物線接近于與x軸平 行;當雙曲線上的點趨于無窮遠時,雙曲線接近于它的漸近線.
4.不是.當直線與拋物線有一個交點時,直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行(或 重合);當直線與拋物線相切時,直線與拋物線有一個交點.因此“直線與拋物線只有一個交 點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件.
定點 1 拋物線幾何性質的應用
關鍵能力 定點破
　　涉及拋物線的幾何性質的問題,常畫出圖形,結合拋物線的定義求解,通過圖形可以直觀 地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征.
典例 已知拋物線的頂點在坐標原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,AB=2 ,求
拋物線的方程.
解析 由已知得,拋物線的焦點可能在x軸正半軸上,也可能在x軸負半軸上,故可設拋物線方 程為y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關于x軸對稱,
∴點A與點B關于x軸對稱,
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 ,
∴|y1|=|y2|= ,代入x2+y2=4,得x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1, )或A(±1,- ),
代入拋物線方程,得3=±a,∴a=±3.
∴所求拋物線的方程是y2=3x或y2=-3x.
　　解決拋物線焦點弦問題的關鍵是熟記有關焦點弦的結論,并靈活運用.知識點2中有關焦 點弦的結論都是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,在實際應用中不能盲目套用.
定點 2 拋物線的焦點弦問題
典例 已知拋物線y2=4x,經過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且MF= 3NF,則k=　　　 .
解析 解法一:分別過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S,設 NF=m(m>0),則MF=3m,
由拋物線的定義得MP=MF=3m,NQ=NF=m,
所以MS=2m,MN=m+3m=4m,
則sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°,
故直線l的傾斜角為60°,
所以k=tan 60°= .
解法二:設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
由于MF= ,NF= ,且MF=3NF,
所以 = ,解得cos θ= ,
所以θ= ,所以k=tan θ= .
學科素養 情境破
素養解讀
圓錐曲線的定點問題主要是曲線系(直線系)過定點問題,反映的是數學對象的本質屬性,常見的具有圓錐曲線的性質背景的題目有蒙日圓、阿基米德三角形等;定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數、直線的斜率等)的大小或代數表達式的值等和參數無關,是一個確定的值,這類問題的綜合性比較強,常涉及圓錐曲線的定義、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等知識,同時與函數、不等式、方程、平面向量等知識緊密聯系,解決此類問題需要有較強的運算能力和圖形識別能力,能準確進行數與形的轉換,合理猜想并仔細推理論證,在求解論證的過程中培養學生數學抽象和數學運算的核心素養.
素養 在解決圓錐曲線定點、定值問題中培養學生數學抽象和數學運算的核心素養
例題 已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,短軸長為2 ,離心率為 .
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)一條動直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,O為坐標原點,△OMN的面積為 ,求證:OM 2+
ON 2為定值.
典例呈現
主編點評 本題第(2)問是定值問題,題設條件沒有給出這個定值,那么我們可以這樣思考:由 于這個定值對符合要求的一些特殊情況必然成立,因此我們可以根據特殊情況先找到這個定 值,明確了解決問題的目標,然后進行一般情況下的推理證明.
解題思路 (1)設橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0),則2b=2 ,e= = ,
所以b= , = = = = ,
解得a= ,c=1,
故橢圓C的標準方程為 + =1.
(2)證明:當直線l的斜率不存在時,不妨設l:x=n,- 將x=n代入橢圓方程 + =1,
可得y=± ,- 不妨設M ,N ,
則S△OMN= ·MN·|n|=|n| = ,
化簡可得4n4-12n2+9=0,解得n=± ,
此時M ,N ,
故OM2+ON2= +12+ +(-1)2=5.
當直線l的斜率存在時,不妨設l:y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
聯立 消去y整理得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,
Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,則2+3k2>m2,
由根與系數的關系得
易得點O到直線l的距離為 ,
MN= ·
= ·
= ·
= · ,
所以S△OMN= · · · = ,
整理得(3k2-2m2+2)2=0,所以3k2+2=2m2>m2,滿足題意,
所以x1+x2= ,x1x2= ,
故y1+y2=k(x1+x2)+2m= ,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2· +km· +m2= -1,
則OM2+ON2= + + +
=(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y1y2
= -2· + -2
= - + - +2
= = =5.
綜上,OM2+ON2為定值5.
思維升華
解決定點、定值問題可以直接推理求出定點、定值,也可以從特殊情形、極限狀態、圖形的 對稱性等方面入手猜測結論,再證明這個點(值)與變量無關,要設定合理的變量,準確把握各 變量間的數量關系,充分利用題目信息,合理變形,另外,在解題過程中經常會用到設而不求整 體代換的思想和消元思想.

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