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第4章　數列
4.1　數列
基礎過關練
題組一　對數列概念的理解
1.下列說法中正確的是(　　)
A.一個數列不是遞增數列就是遞減數列
B.數列1,0,-1,-2與-2,-1,0,1是相同的數列
C.數列的第k項為1+,k,n∈N*
D.數列0,2,4,6,…可記為{2n},n∈N*
2.下面四個數列中,既是無窮數列又是遞增數列的是(　　)
A.1,,…
B.sin,…
C.-1,-,…
D.1,,…,
題組二　數列的通項公式
3.已知數列{an}的一個通項公式為an=(-1)n·2n+a,且a3=-5,則實數a等于(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.-1　　　　D.-3
4.已知數列{an}的前4項分別為-1+,則該數列的一個通項公式為(　　)
A.an=(-1)nn+(-1)n　　　　
B.an=(-1)nn-(-1)n
C.an=(-1)nn-(-1)n-1　　　　
D.an=(-1)nn+(-1)n-1
5.觀察下圖,并閱讀圖形下面的文字,像這樣10條直線相交,交點的個數最多為(　　)
2條直線相交,最多有1個交點 3條直線相交,最多有3個交點 4條直線相交,最多有6個交點
A.40　　　　B.45　　　　C.50　　　　D.55
6.根據下面數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.
(1),…;
(2)0.3,0.33,0.333,0.333 3,…;
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(4)-,….
7.(教材習題改編)已知數列{an}的一個通項公式為an=n2-7n+6.
(1)這個數列的第4項是多少
(2)150是不是這個數列中的項 若是,求出它是第幾項;若不是,請說明理由;
(3)該數列從第幾項開始各項都是正數
題組三　數列的遞推公式
8.如圖所示,九連環是我國傳統民間智力玩具,以金屬絲制成9個圓環,解開九連環共需要256步,解下或套上一個環算一步,且九連環的解下和套上是一對逆過程.把玩九連環時,按照一定的程序反復操作可以將九個環全部從框架上解下或者全部套上.將第n個圓環解下最少需要移動的次數記為an(n≤9,n∈N*),已知a1=1,a2=1,按規則有an=an-1+3an-2+2(n≥3),則解下第5個圓環最少需要移動的次數為(　　)
A.15　　　　B.21　　　　C.27　　　　D.31
9.已知斐波那契數列{an}滿足:a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,則k=(　　)
A.2 022　　　　B.2 023　　　　C.59　　　　D.60
10.已知數列{an}滿足an+1=若a1=,則a2 023=(　　)
A.
11.已知數列{an}滿足an+1=(-1)nan,且a1=1,則a18+a19=(　　)
A.-2　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
12.在數列{an}中,a1=1,a2=3,anan+2=1,則a2 023+a2 024=　　　　.
13.已知數列{an}滿足a1=1,an-an+1=(n∈N*),則an=　　　　.
題組四　數列與函數的關系
14.(多選題)若數列{an}是遞增數列,則{an}的通項公式可能為(　　)
A.an=n2-3n+1　　　　B.an=-
C.an=n+
15.已知數列{an}的通項公式為an=n×,則{an}中的最大項的項數為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.2或3　　　　D.4
16.已知數列{an}是遞增數列,且an=則a的取值范圍是(　　)
A.
17.已知數列{an}的通項公式為an=,則an取得最大值時,正整數n=　　　　.
能力提升練
題組一　數列的通項公式及其應用
1.大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論,主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項都代表太極衍生過程中曾經經歷過的兩儀數量總和,是中國傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.已知該數列的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則此數列的第20項與第21項的和為(　　)
A.380　　　　B.410　　　　C.420　　　　D.462
2.已知數列{an}的通項公式為an=3n+1,{bn}的通項公式為bn=n2,若將數列{an},{bn}中相同的項按從小到大的順序排列后構成數列{cn},則484是數列{cn}中的第(　　)
A.12項　　　　B.13項　　　　C.14項　　　　D.15項
3.(多選題)若數列{an}滿足: i,j∈N*,若iA.an=n2-4n+1　　　　B.an=
C.an=sin nπ　　　　D.an=ln
4.某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,圖(1)(2)(3)(4)為最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮.現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖案包含f(n)個小正方形,則f(6)=　　　　.
題組二　數列的遞推公式及其應用
5.已知數列{an}滿足,a1=1,則數列{an}的通項公式是(　　)
A.an=
C.an=
6.數列{an}的構成法則如下:a1=1,若an-2為自然數且之前未出現過,則用遞推公式an+1=an-2,否則用遞推公式an+1=3an,則a6=(　　)
A.7　　　　B.3　　　　C.15　　　　D.81
7.已知數列{an}滿足a1=,則an=　(　　)
A.
C.
8.(多選題)如果一個人爬樓梯的方式只有兩種,一次上一級臺階或一次上兩級臺階,設爬上n級臺階的方法數為an,則下列結論正確的有(　　)
A.a6=13　　　　 B.an+2=an+an+1
C.a1+a2+…+a7=51　　　　D.+…+=anan+1-1
9.(多選題)已知正項數列{an}滿足a1=1,an=,則(　　)
A.a2=　　　　 B.{an}是遞增數列
C.an+1-an>
題組三　數列與函數的關系及其應用
10.已知數列{an}對任意的n∈N*都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,則下列說法正確的是(　　)
A.數列{an+1-an}為遞減數列,且a5>1
B.數列{an+1-an}為遞增數列,且a5>1
C.數列{an+1-an}為遞減數列,且a5<1
D.數列{an+1-an}為遞增數列,且a5<1
11.(多選題)設函數f(x)=數列{an}滿足an+1=f(an),則(　　)
A.當a1=時,1B.若{an}為常數列,則a1=1或a1=2
C.若{an}為遞減數列,則1D.當a1=3時,+…+<1
12.已知數列{an}滿足 m,n∈N*,am+n=aman,且a1=.
(1)求a4的值;
(2)數列{n2·an}中的最大項為第幾項
13.已知數列{an}的通項公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,則數列中有多少項是負數 n為何值時,an有最小值 并求出這個最小值;
(2)若對任意的n∈N*,都有an+1>an,求實數k的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
第4章　數列
4.1　數列
基礎過關練
1.C　對于A,數列還可以為常數列或擺動數列,A錯誤;
對于B,兩個數列的單調性不同,故不是相同數列,B錯誤;
對于C,設an=,則當n=k時,ak=,k,n∈N*,C正確;
對于D,數列中的第一項不能用2n,n∈N*表示,D錯誤.故選C.
2.C　觀察可知A中數列是遞減數列,B中數列是擺動數列,D中數列是有窮數列,均不符合題意.故選C.
3.B　把n=3代入數列的通項公式,得-23+a=-5,解得a=3.故選B.
4.D　觀察可知數列前4項的整數部分分別為-1,2,-3,4,可寫成(-1)n·n,分數部分分別為,可寫成(-1)n-1,所以該數列的一個通項公式為an=(-1)nn+(-1)n-1.故選D.
5.B　由題圖得,交點個數的最大值構成數列1,3,6,…,即,…,則猜想該數列的一個通項公式為an=,易知10條直線相交的交點個數的最大值為該數列的第9項,∴a9==45,故選B.
6.解析　(1)易知該數列中每一項的分子比分母少1,且分母可依次寫成21,22,23,24,25,…,故所求數列的一個通項公式為an=,n∈N*.
(2)因為數列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一個通項公式為bn=1-,而數列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的每一項都是上面數列對應項的,所以所求數列的一個通項公式為an=,n∈N*.
(3)原數列可變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以該數列的一個通項公式為an=n+,n∈N*.
(4)該數列中各項的分子都是1,分母是n2+1,第n項的符號可以用(-1)n來表示,所以該數列的一個通項公式為an=(-1)n·,n∈N*.
7.解析　(1)a4=42-7×4+6=-6.
(2)令an=n2-7n+6=150,即(n-16)(n+9)=0,解得n=16或n=-9(舍去),故150是數列{an}的第16項.
(3)令an=n2-7n+6>0,即(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,因為n∈N*,所以從第7項開始都為正數.
8.D　由題意可知a3=a2+3a1+2=6,a4=a3+3a2+2=11,a5=a4+3a3+2=31.故選D.
9.D　由題意得a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=…=a58+a59=a60=ak,故k=60.
故選D.
10.B　由題意得a2=2a1-1=,……,故數列{an}的周期為4,則a2 023=a4×505+3=a3=.故選B.
11.A　因為=(-1)n,所以=(-1)1+2+3+…+17=(-1)153=-1,
所以a18=-1,所以a19=(-1)18a18=-1,所以a18+a19=-2,故選A.
方法技巧　若=f(n)(n≥2,n∈N*),則通常用累乘法求數列{an}的通項公式.
12.答案　
解析　因為a1=1,a2=3,anan+2=1,所以a1a3=1,a2a4=1,a3a5=1,a4a6=1,……,則a3=1,a4=,a5=1,a6=3,……,由此可得數列{an}為1,3,1,,…,以4為周期,
則a2 023=a4×505+3=a3=1,a2 024=a4×506=a4=,
所以a2 023+a2 024=.
規律總結　已知數列{an}的遞推公式求an時,若n的值較大,則數列通常具有周期性,此時先求出數列的周期再求an較簡便.
13.答案　
解析　由an-an+1=(n∈N*)可得,
所以當n≥2,n∈N*時,,……,,
累加可得,即an=,
當n=1時,a1=1符合上式,所以an=.
方法總結　若數列的遞推關系是形如an+1-an=f(n)的形式,則可以用累加法求數列的通項公式.
14.BD　選項A,an+1-an=(n+1)2-3(n+1)+1-n2+3n-1=2n-2,所以a2-a1=0,故{an}不是遞增數列;
選項B,an+1-an=->0,所以{an}是遞增數列;
選項C,an+1-an=n+1+,所以a2-a1=0,故{an}不是遞增數列;
選項D,an+1-an=ln>0,所以{an}是遞增數列.
故選BD.
15.C　a1=1×當n≥4時,an+1-an=(n+1)·-n·<0,所以an+1所以數列{an}中的最大項的項數為2或3.故選C.
16.D　因為數列{an}是遞增數列,
所以則a的取值范圍是.故選D.
易錯警示　分段數列的單調性與相應分段函數的單調性有所不同,如本題中數列{an}遞增需滿足a517.答案　6
解析　an=.易知當3n-17取最小正數時,an取得最大值,
令3n-17>0,得n>,又n∈N*,故nmin=6.
能力提升練
1.C　設該數列為{an},由已知可得該數列的偶數項的通項公式為a2n=2n2,奇數項的通項公式為a2n-1=2n(n-1),∴a20=a2×10=2×102=200,a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故選C.
2.C　令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N*.易知a1=4,b2=4符合題意.
若m=3k,則bm=9k2 {an};
若m=3k+1,則bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1∈{an};
若m=3k+2,則bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1∈{an}.
故當m=3k+1和m=3k+2,k∈N*時,項bm才能在{an}中出現,即為公共項.
所以公共項為b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…,
令m2=484,得m=22,即b22=484,為數列{bn}的第22項,{cn}的第14項.故選C.
3.BD　對于A,不妨取i=1,j=3,則a1=-2=a3,不滿足ai對于B,an=, i,j∈N*,若i對于C,不妨取i=2,j=4,則a2=0=a4,不滿足ai對于D,an=ln, i,j∈N*,若i4.答案　61
信息提取　①四個對稱圖形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1,從而歸納出f(n).
解析　由題圖得, f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
所以f(6)=2×6×5+1=61.
5.A　因為,所以,……,,
所以×…××…×,即,又a1=1,所以an=.
故選A.
6.C　由a1=1,a1-2=-1 N,得a2=3a1=3.
又a2-2=1=a1,所以a3=3a2=9.
又a3-2=7∈N,所以a4=a3-2=7.
又a4-2=5∈N,所以a5=a4-2=5.
又a5-2=3=a2,所以a6=3a5=15.故選C.
7.B　因為an+1=an+,
所以an+1-an=,
則當n≥2,n∈N*時,a2-a1=1-,……,an-an-1=,將這(n-1)個式子左、右兩邊分別相加可得an-a1=1-+…+,
因為a1=,所以an=1-,
當n=1時,a1=符合該式,
所以an=,n∈N*.
8.ABD　由題意得爬到第(n+2)級臺階有兩種方法:從第(n+1)級上一級臺階或從第n級上兩級臺階,
則an+2=an+an+1,故B正確;
易知a1=1,a2=1+1=2,所以a3=2+1=3,a4=3+2=5,a5=5+3=8,a6=8+5=13,故A正確;
a7=13+8=21,所以a1+a2+…+a7=1+2+3+5+8+13+21=53≠51,故C錯誤;
由B選項分析可知=a3(a4-a2),……,=an(an+1-an-1),n≥2,
則+…+=1+a2(a3-a1)+a3(a4-a2)+…+an-1(an-an-2)+an(an+1-an-1)=1+a2a3-a1a2+a3a4-a2a3+…+an-1an-an-1an-2+anan+1-anan-1=anan+1-a1a2+1=anan+1-1,當n=1時,=a1a2-1,滿足上式,故+…+=anan+1-1,故D正確.
故選ABD.
9.BCD　由題意得a1==1,即-a2-1=0,解得a2=,
因為{an}為正項數列,所以a2=,故A錯誤;
因為an+1-an=an+1->0,因此{an}是遞增數列,故B正確;
易知an+1>1,所以an+1-an=,即an+1-an>,故C正確;
因為an+1-an=,即an+1-an<,
所以a2-a1<1,a3-a2<,……,an+1-an<,
因此an+1-a1<1++…+,即an+1<1+,故D正確.故選BCD.
10.D　∵數列{an}對任意的n∈N*都有an+1<,
∴an+2-an+1>an+1-an,因此(an+2-an+1)-(an+1-an)>0,
∴{an+1-an}為遞增數列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故選D.
解題模板　數列的單調性問題可以類比函數的單調性問題求解,解題時一般先分析數列自身的特點,再考慮作差,如an+1-an,判斷其符號,符號為正,則數列遞增;符號為負,則數列遞減.
11.ABD　對于A,當a1=時,a1∈(1,2),∴a2=f(a1)=-2a1+2=(a1-1)2+1∈(1,2),∴a3=f(a2)∈(1,2),
同理a4∈(1,2),……,an∈(1,2),故A正確;
對于B,若{an}為常數列,則an+1=an,當an≤0時,有an+1=f(an)=an-1=an,不成立,
當an>0時,an+1=f(an)=-2an+2=an,解得an=1或an=2,故B正確;
對于C,若{an}為遞減數列,則an+1當an≤0時,an+1-an=an-1-an=-1<0,
當an>0時,an+1-an=-2an+2-an=(an-1)(an-2)<0,解得1對于D,當a1=3>2時,an+1=+1>2,由an+1=-2an+2可得an+1-2=an(an-2),
∴,
∴,
故+…++…+<1,故D正確.故選ABD.
12.解析　(1)因為am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2=.
(2)因為am+n=am·an,
所以n≥2時,an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·,因為a1=符合上式,所以an=,n∈N*,所以n2an=n2.
設數列{n2·an}的第k(k≥2,k∈N*)項最大,
則有
即
解得k∈[2+].
因為k≥2,k∈N*,所以k=5,所以第5項最大.
13.解析　(1)當k=-5時,an=n2-5n+4.由n2-5n+4<0,解得1所以數列中有兩項是負數,即為a2,a3.
易得an=n2-5n+4=,
由二次函數的性質,結合n∈N*得當n=2或n=3時,an有最小值,最小值為a2=a3=-2.
(2)因為an+1>an,所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,整理得k>-2n-1,
又對任意的n∈N*,都有an+1>an,
所以k>(-2n-1)max,所以k>-2-1=-3.
所以實數k的取值范圍為(-3,+∞).
19(共17張PPT)
1.數列的概念
　　按照一定次序排列的一列數稱為數列,數列中的每個數都叫作這個數列的項.
2.數列的表示
　　數列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為{an},其中a1稱為數列{an}的第1項或首 項,a2稱為第2項……an稱為第n項.
第4章 數列
4.1　數列
知識點 1 數列的相關概念
必備知識 清單破
(有些項滿足an+1>an,有些項滿足 an+14.數列與函數的聯系與區別
　　數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1,2,…,k})為定義域的函數an=f(n),當自變 量按照從小到大的順序依次取值時,所對應的一列函數值.反過來,對于函數y=f(x),如果f(i)(i= 1,2,3,…)有意義,那么我們可以得到一個數列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
3.數列的分類
(1)按項數可分為有窮數列、無窮數列.
(2)按項的變化趨勢可分為遞增數列(an+1>an)、遞減數列(an+1　　一般地,如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個公式來表示,那么
這個公式叫作這個數列的通項公式.
數列可以由通項公式來給定,也可以通過列表或圖象來表示.
知識點 2 數列的通項公式
知識點 3 數列的遞推公式
　　一般地,如果已知一個數列{an}的第1項(或前幾項),且任一項an與它的前一項an-1(或前幾 項)間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫作這個數列的遞推公式.遞推公式也 是給定數列的一種方法.
知識辨析
1.an和{an}表示的意思相同嗎
2.任何一個數列都有通項公式,對嗎
3.1,1,1,1,1是數列嗎
4.數列1,2,3,4,5與數列5,4,3,2,1是同一個數列嗎
5.如果一個數列的任一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示,那 么這個公式是這個數列的遞推公式嗎
6.已知數列{an},{bn},{cn}滿足an= (n∈N*),bn= (n∈N*),cn= (n∈N*),則
數列{an},{bn},{cn}是同一個數列嗎
一語破的
1.不相同.an表示數列{an}的第n項或數列的通項,而{an}表示數列.
2.不對.數列是一種特殊的函數,正如不是所有的函數都有解析式一樣,不是所有的數列都有 通項公式,存在數列只能用表格或圖象表示.
3.是.這是一個常數列.
4.不是.兩個數列中的數雖然相同,但順序不同,故不是同一個數列.
5.不是.用遞推公式表示數列時,必須給出數列的第1項(或前幾項),而且數列中的任一項an與 它的前一項an-1(或前幾項)間的關系可用一個公式來表示.
6.是.三個數列都可以寫成0,1,0,1,…的形式,故數列{an},{bn},{cn}是同一個數列.
定點 1 求數列的通項公式
關鍵能力 定點破
根據數列的前幾項寫出它的一個通項公式的步驟
(1)觀察數列的前幾項,一般從下面4個角度出發:
①各項的符號特征;
②各項能否拆分,以及拆分后的特征;
③分式的分子、分母的特征;
④相鄰項的變化規律.
(2)尋找項與對應的項的序號之間的規律,一般方法如下:
①統一項的結構,將數列的各項拆分成若干個常見數列的“和”“差”“積”“商”,如都 化成分數、根式等;
②分析結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分與對應序號間的函數解析式;
③當一個數列各項的符號出現“+”“-”相間時,應把符號分離出來,可用(-1)n+1或(-1)n來表 示;
④當數列的奇偶項分別呈現各自的規律時,一般考慮用分段的形式給出,有時也可以將給出 的各項統一化成某種形式.
典例 寫出下列數列的一個通項公式.
(1) , , , ,…;
(2)1,0, ,0, ,0, ,…;
(3)0.8,0.88,0.888,…;
(4)- , ,- , ,….
解析 (1)觀察發現各項為分數,分子是連續正整數,分母比分子大2,
∴數列的一個通項公式為an= .
(2)觀察發現數列的偶數項為0,奇數項為分數,分子為1,分母為n,故數列的一個通項公式為an= k∈N*.
(3)原數列可寫成 × , × , × ,…,
∴數列的一個通項公式為an= × .
(4)數列可寫成(-1)1× ,(-1)2× ,(-1)3× ,(-1)4× ,…,
∴數列的一個通項公式為an=(-1)n× = .
　　數列是一種特殊的函數,可以通過研究函數的性質來研究數列的性質.
1.判斷數列的單調性
判斷數列單調性的方法主要有:作差比較法、作商比較法及結合相應函數直觀判斷.
(1)作差比較法:根據an+1-an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列.
①an+1-an>0 數列{an}是遞增數列;
②an+1-an<0 數列{an}是遞減數列;
③an+1-an=0 數列{an}是常數列.
(2)作商比較法:根據 (an>0或an<0)與1的大小關系進行判斷.
①當an>0時, >1 數列{an}是遞增數列; <1 數列{an}是遞減數列; =1 數列{an}是
定點 2 利用數列與函數的關系解決相關問題
常數列.
②當an<0時, >1 數列{an}是遞減數列; <1 數列{an}是遞增數列; =1 數列{an}是
常數列.
(3)函數法:結合相應的函數圖象直觀判斷.
2.求數列的最大項與最小項的常用方法
(1)將數列視為函數f(x)當x∈N*時所對應的一列函數值,作出f(x)的圖象,或利用求函數最值的 方法求出f(x)的最值,進而求出數列的最大(小)項;
(2)通過通項公式an研究數列的單調性,利用 (n≥2,n∈N*)確定最大項,利用
(n≥2,n∈N*)確定最小項;
(3)單調性法:若數列{an}是遞增數列,則{an}的最小項為a1,若數列{an}是遞減數列,則{an}的最
大項為a1.
3.數列周期性問題
數列的周期性可由函數的周期性得到,一般先寫出前幾項確定周期,再依據周期求解.若待求 式中出現較大下標或已知條件中有關鍵恒等式,都是周期數列的“信號”.
典例 已知數列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.
(1)當λ=-7時,討論{an}的單調性;
(2)若數列{an}的第7項是最小項,求實數λ的取值范圍.
思路點撥 (1)思路一:運用作差法比較an+1與an的大小,進而判斷數列{an}的單調性;思路二:利 用二次函數的性質求解.
(2)根據已知條件列出不等式組 從而求出實數λ的取值范圍.
解析 (1)解法一:當λ=-7時,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
當1≤n≤3時,{an}單調遞減;當n≥4時,{an}單調遞增.
解法二:當λ=-7時,an=n2-7n= - .
易知函數f(x)= - 的圖象的對稱軸為直線x= ,
所以由二次函數的性質可知,當1≤n≤3時,{an}單調遞減;
當n≥4時,{an}單調遞增.
(2)由題意得 即
解得-15≤λ≤-13,
所以實數λ的取值范圍是[-15,-13].
易錯警示 在利用函數的有關知識解決數列問題時,要注意數列的定義域是N*或其有限子集.

1.根據數列的遞推公式和第1項(或其他項)求數列的前幾項時,首先要弄清公式中各部分之間 的關系,然后依次代入計算即可.
2.求數列中的某項時,對于通項公式,可以通過將序號代入直接求解,而對于遞推公式,必須通 過逐項計算求出該項.
3.由遞推公式求通項公式的常用技巧
(1)形如an+1-an=f(n)的遞推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求出通 項公式,這種方法叫累加法;
(2)形如 =f(n)(an≠0)的遞推公式,可以利用a1· · ·…· =an(n≥2,n∈N*)求出通項公式,
這種方法叫累乘法.
定點 3 利用數列的遞推關系解決問題
典例 (1)已知數列{an}滿足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N*),則an=　　　 ;
(2)設數列{an}是首項為1的正項數列,且(n+1) -n +an+1·an=0,則它的通項公式為an=　　 .
解析 (1)因為an-an+1=nanan+1,
所以 = - =n,
則 = + +…+ + =(n-1)+(n-2)+…+1+1= +1=
,
所以an= .
(2)由(n+1) -n +an+1·an=0,
得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0,
又an>0,a1=1,
所以(n+1)an+1-nan=0,即 = ,
所以an= · ·…· ·a1= × ×…× ×1= .

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