資源簡介

4.2　等差數列
4.2.1　等差數列的概念　4.2.2　等差數列的通項公式
基礎過關練
題組一　等差數列的概念
1.在數列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N*),則數列{an}(　　)
A.是公差為1的等差數列
B.是公差為的等差數列
C.是公差為2的等差數列
D.不是等差數列
2.(多選題)若數列{an}為等差數列,則下列說法中正確的有(　　)
A.數列2a1,2a2,2a3,…,2an為等差數列
B.數列a2,a4,a6,…,a2n為等差數列
C.數列{anan+1}為等差數列
D.數列{an+an+1}為等差數列
3.已知數列{an},{bn}滿足bn=an+an+1,則“{an}為等差數列”是“{bn}為等差數列”的　　　　　　條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4.已知數列{an}的通項公式為an=pn2+qn(p,q∈R).
(1)當p和q滿足什么條件時,數列{an}是等差數列
(2)求證:數列{an+1-an}是等差數列.
題組二　等差中項
5.已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5,則m和n的等差中項是(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
6.若a>0,b>0,a,b的等差中項是1,且α=a+,則α+β的最小值為(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
7.已知一個正實數的小數部分的2倍、整數部分和自身構成等差數列,則這個正實數是　　　　.
題組三　等差數列的通項公式及其應用
8.已知等差數列{an}滿足4a3=3a2,則{an}中一定為零的項是(　　)
A.a6　　　　B.a4　　　　C.a10　　　　D.a12
9.已知數列{an}滿足a1=2,+1(n∈N*),則an=(　　)
A.
10.已知{an}是等差數列,{nan}是遞增數列,則(　　)
A.a1>0　　　　B.a2<0　　　　C.a3>0　　　　D.a4<0
11.已知等差數列{an}的各項均為正數,首項與公差相等,若,則a2 023=(　　)
A.6 069　　　　B.6 079　　　　C.6 089　　　　D.6 099
12.已知等差數列{bn}的首項為2,公差為8,在{bn}中每相鄰兩項之間插入三個數,使它們與原數列的項一起構成一個新的等差數列{an},則數列{an}的通項公式為an=　　　　.
13.在數列{an}中,已知a1=,且 n∈N*,恒成立,則a10=　　　　　.
14.(1)已知數列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數列,且a1=3,a3=9,求數列{an}的通項公式;
(2)已知數列{an}滿足a1=4,an+1=4-,記bn=,求證:數列{bn}是等差數列,并求出數列{an}的通項公式.
題組四　等差數列的性質及其應用
15.在等差數列{an}中,a1=3,a100=36,則a2+a3+a98+a99=(　　)
A.39　　　　B.76　　　　C.78　　　　D.117
16.在等差數列{an}中,已知a4+a8=20,a7=12,則a5=(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10
17.古時候人們通過用圭表測量日影長度來確定節氣,一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起,依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣,其日影長(單位:尺)依次成等差數列,若冬至、立春、春分時的日影長之和為31.5尺,小寒、雨水、清明時的日影長之和為28.5尺,則谷雨時的日影長為(　　)
A.8.5尺　　　　B.7.5尺　　　　C.6.5尺　　　　D.5.5尺
18.已知等差數列{an}滿足a1=4,a3+a5=+1,則a7=　　　　.
19.已知在遞增的等差數列{an}中,a3a7=55,a4+a6=16.
(1)求a3和a7;
(2)求{an}的通項公式.
能力提升練
題組一　等差數列的定義、通項公式及其應用
1.在數列{an}中,sin(an+1-an)·sin(an+1+an)=,則該數列項數的最大值為(　　)
A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.12
2.已知{an}為等差數列,數列{bn}滿足a1+b1=2,anbn=2n2-n(n∈N*),且5a4=7a3,則bn=(　　)
A.
3.已知數列{an}滿足a1=3,an+1=an+2+1,則a10=(　　)
A.80　　　　B.100　　　　C.120　　　　D.143
4.已知數列{an}滿足ak+1+ak=4k+3(k∈N*),則a1+a2 020=(　　)
A.4 040　　　　B.4 043　　　　C.4 046　　　　D.4 049
5.定義:在數列{an}中,若=d(n∈N*,d為常數),則稱數列{an}為“等比差數列”.已知{an}為“等比差數列”,且a1=a2=1,a3=3,則a5=　　　　,=　　　　.
6.已知數列{an}滿足an+1=(n∈N*),且a1=3.
(1)求a2,a3,a4;
(2)證明:數列是等差數列,并求an.
7.已知數列{an}的各項均為非負實數,且 n≥2,n∈N*,均有an+1=an-an-1+n.
(1)若a1,a2,a3成等差數列,證明:存在無窮多個正整數k,使得ak=k;
(2)若a2a2 022=1,求a2 023的最大值.
題組二　等差數列的性質及其應用
8.已知等差數列{an}的首項與公差d均為正數,且lg a1,lg a3,lg a6成等差數列,則lg a1,lg a3,lg a6的公差為(　　)
A.lg d　　　　B.lg　　　　D.lg(3d)
9.已知等差數列{an}為遞增數列,若=101,a5+a6=11,則數列{an}的公差d為　　　　.
10.已知函數f(x)=x3+3x2+5x+1,設數列{an}的通項公式為an=-2n+7,則f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=　　　　.
11.若數列{an}滿足=d(n∈N*,d為常數),則稱數列{an}為“調和數列”.已知正項數列為“調和數列”,且b1+b2+…+b2 020=20 200,則b2b2 019的最大值是　　　　.
題組三　等差數列的綜合應用
12.已知數列{an}的首項為1,an+1=使an≤2 021對任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值為(　　)
A.1 209　　　　B.1 211 C.1 213　　　　D.1 215
13.若數列{cn}滿足cn+1=,則稱{cn}為 “平方遞推數列”.已知數列{an}是 “平方遞推數列”,且a1>0,a1≠1,則(　　)
A.{lg an}是等差數列 B.{lg an+1-lg an}是等差數列
C.{anan+1}是 “平方遞推數列” D.{an+1+an}是 “平方遞推數列”
14.已知數列{an}滿足a1=4,an=(n≥2,n∈N*),若bn=·(nan-6),且存在n∈N*,使得4bn+m-6m2≥0成立,則實數m的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.[1-]
C.　　　　 D.
15.在數列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*).
(1)證明:數列是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)若λan+≥λ對任意的n≥2,n∈N*恒成立,求實數λ的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
4.2　等差數列
4.2.1　等差數列的概念
4.2.2　等差數列的通項公式
基礎過關練
1.B　由2an+1=2an+1得an+1=an+,即an+1-an=,
又a1=2,∴數列{an}是以2為首項,為公差的等差數列,故選B.
2.ABD　設等差數列{an}的公差為d.
A中,2an+1-2an=2(an+1-an)=2d(常數),A中說法正確.
B中,a2(n+1)-a2n=a1+(2n+1)d-[a1+(2n-1)d]=2d(常數),B中說法正確.
C中,n≥2時,anan+1-an-1an=an(an+1-an-1)=2and,
當d=0時,2and=0(常數),此時數列{anan+1}為等差數列;當d≠0時,2and=2a1d+2(n-1)d2(不是常數),此時數列{anan+1}不是等差數列,C中說法不正確.
D中,n≥2時,an+an+1-(an-1+an)=an+1-an-1=2d(常數),D中說法正確.故選ABD.
3.答案　充分不必要
解析　若{an}是等差數列,設其公差為d1,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d1,所以{bn}是等差數列,充分性成立.
若{bn}是等差數列,設其公差為d2,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=d2,
不能推出{an}是等差數列,必要性不成立.
故“{an}為等差數列”是“{bn}為等差數列”的充分不必要條件.
4.解析　(1)若{an}是等差數列,則an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q是一個與n無關的常數,所以2p=0,即p=0,所以當p=0,q∈R時,數列{an}是等差數列.
(2)證明:由(1)知an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,所以(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p,是一個與n無關的常數,所以數列{an+1-an}是等差數列.
5.B　由已知得
所以m和n的等差中項為=3.
6.C　因為a,b的等差中項是1,所以a+b=2.
又因為α=a+,且a>0,b>0,
所以α+β=a+≥3+=4,當且僅當a=b=1時取等號,所以α+β的最小值為4.故選C.
7.答案　
解析　設這個正實數的小數部分是x(0≤x<1),整數部分是y(y∈N),則這個正實數為x+y.
由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,
當y=0時,x=0,x+y=0,不符合要求;當y=1時,x=;當y=2時,x=;當y≥3時,x=≥1,不符合要求.
綜上所述,這個正實數是.
8.A　設等差數列{an}的公差為d,由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0.故選A.
9.B　記bn=,則bn+1=bn+1,b1==1,故數列{bn}是以1為首項,1為公差的等差數列,故bn=1+(n-1)=n,所以an=1+.故選B.
10.C　設等差數列{an}的公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d,n∈N*,
∵{nan}是遞增數列,∴(n+1)an+1>nan,n∈N*,
即(n+1)(a1+nd)>n[a1+(n-1)d],
化簡可得a1+2nd>0,即a2n+1>0,
當n=1時,a3>0,C正確,無法判斷A,B,D是否正確,故選C.
11.A　設等差數列{an}的公差為d(d>0),則an=a1+(n-1)d=nd,
因為),
所以)+…+(,所以d=3,
所以a2 023=2 023×3=6 069,故選A.
12.答案　2n
解析　設數列{an}的公差為d.由題意可知a1=b1,a5=b2,于是a5-a1=b2-b1=8.
因為a5-a1=4d,所以4d=8,解得d=2.
故an=2+(n-1)×2=2n.
13.答案　
解析　依題意可得,
∵,
∴=…==1,故數列=2為首項,d=1為公差的等差數列,
∴=2+(n-1)×1=n+1,即an=,故a10=.
14.解析　(1)令cn=log2(an-1),則c1=log2(a1-1)=1,c3=log2(a3-1)=3,
故等差數列{log2(an-1)}的公差為=1,所以cn=n,即log2(an-1)=n,故an=2n+1.
(2)由an+1=4-得bn+1-bn=,
又b1=,所以數列{bn}是首項為,公差為的等差數列,所以bn=,即,得an=2+.
15.C　由等差數列的性質得a2+a3+a98+a99=(a2+a99)+(a3+a98)=2(a1+a100)=2×(3+36)=78.故選C.
16.C　由等差數列的性質可得a4+a8=a7+a5,∴a5=20-12=8.故選C.
17.D　設從冬至起,這十二個節氣的日影長(單位:尺)依次成等差數列{an},設其公差為d,
由題可知
所以d=a5-a4=9.5-10.5=-1,
所以a9=a5+4d=9.5-4=5.5,即谷雨時的日影長為5.5尺,故選D.
18.答案　-2
解析　由題意得a3+a5=2a4=+1,∴a4=1,則a1+a7=2a4=2,∴a7=-2.
19.解析　(1)由已知得
解得
又{an}為遞增數列,所以a3=5,a7=11.
(2)設數列{an}的公差為d(d>0),
由(1)知d=,
所以數列{an}的通項公式為an=5+(n-3)×.
能力提升練
1.C　sin(an+1-an)·sin(an+1+an)
=,
所以{sin2an}為等差數列,公差為,
所以sin2an=sin2a1+(n-1)×≤1,
所以≤1-sin2a1≤1,故n≤11,所以nmax=11.故選C.
2.B　令n=1,得a1b1=1,又a1+b1=2,∴a1=b1=1.
設{an}的公差為d,由5a4=7a3得5a1+15d=7a1+14d,故d=2a1=2,則an=a1+(n-1)d=2n-1.
故bn==n.故選B.
3.C　因為an+1=an+2+1,所以an+1+1=(+1,即an+1+1=(+1)2,
等式兩邊開方可得+1,即=1,所以數列{}是首項為=2,公差為1的等差數列,
所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,
所以a10=102+20=120.故選C.
4.B　由ak+1+ak=4k+3可得ak+2+ak+1=4(k+1)+3,兩式相減可得ak+2-ak=4,
即相鄰的奇數項或偶數項成等差數列,且公差為4,
故a2 020=a2+×4=4 036+a2,即a1+a2 020=a1+a2+4 036,
當k=1時,a2+a1=4+3=7,因此a1+a2 020=7+4 036=4 043.故選B.
5.答案　105;3 363
解析　由題意得=2,則=2,
則數列=1,公差為2的等差數列,所以=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*),
所以=2n+1,則=(2n+1)(2n-1)=4n2-1(n∈N*),
所以=4×32-1=35,則a5=35a3=35×3=105,且=4×292-1=3 363.
6.解析　(1)由題意得a2=.
(2)因為an+1=(n∈N*),所以an+1-2=,
則
=,故,又a1=3,所以=1,
所以數列是首項為1,公差為的等差數列.
所以,
故an=.
方法點津　用構造法求等差數列的通項公式是很常見的一種方法,常見的構造技巧如下:(1)當數列{an}滿足an+1=kan+b時,常用待定系數法構造成an+1+m=k(an+m)的形式;(2)當遞推公式是分式形式時,常采用取倒數的方法;(3)當數列{an}滿足an+1=ban+cn時,常通過等式兩邊同除以cn+1得到am+1=kam+d的形式,再利用(1)中的方法構造求解.
7.解析　(1)證明:由an+1=an-an-1+n得an+3=an+2-an+1+n+2=an+1-an+n+1-an+1+n+2=2n+3-an,
則an+6=2(n+3)+3-an+3=an+6,
故{an}中序號相差6的項形成的子數列是以6為公差的等差數列,
又a1,a2,a3成等差數列,故2a2-a1=a3=a2-a1+2,解得a2=2,
所以a3=4-a1,a4=a3-a2+3=5-a1,a5=a4-a3+4=5,a6=a1+5,
又an+6=an+6,∴an+6m=an+6m(m∈N),
當n=2時,a2+6m=2+6m,當n=5時,a5+6m=5+6m,
所以對于ak=k,當k=6m+2或k=6m+5(m∈N)時,等號恒成立.
(2)由(1)可知a3=a2-a1+2,a4=5-a1,a5=7-a2,a6=7+a1-a2=9-a3,
又an+6m=an+6m(m∈N),
所以a2 022=a6+2 016=2 025-a3,a2 023=a1+2 022,
又a2a2 022=1,所以a2==a3+a1-2,則a1=+2 025-a3-2 023,
又因為數列{an}的各項均為非負實數,所以a3≥0,即2 025-a3≤2 025,
由對勾函數的單調性易知當2 025-a3=2 025時,(a1)max=2,
所以(a2 023)max=(a1)max+2 022=2 024.
8.C　由題可得a3=a1+2d,a6=a1+5d,
因為lg a1,lg a3,lg a6成等差數列,
所以2lg a3=lg a1+lg a6=lg(a1a6),
所以=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d),
所以a1d=4d2,又因為d>0,所以a1=4d,
則lg a3-lg a1=lg(6d)-lg(4d)=lg,故選C.
9.答案　1
解析　由=101,得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10.
又a1+a10=a5+a6=11,a1所以a1=1,a10=10,所以d==1.
10.答案　36
解析　f(x)=(x+3)3-4(x+3)+4,令y=x3-4x,其定義域為R,關于原點對稱,
又,所以y=x3-4x是奇函數,其圖象的對稱中心為(0,0),
所以曲線f(x)的對稱中心為(-3,4),
即f(x)+f(-6-x)=8,
因為an=-2n+7,所以數列{an}為等差數列,a5=-3,
所以a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=-6,
則f(a1)+f(a9)=f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=8,f(a5)=f(-3)=4,
所以f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=4×8+4=36.
11.答案　100
解析　由數列為“調和數列”,可得=bn+1-bn=d(n∈N*,d為常數),
∴數列{bn}是公差為d的等差數列,
∵b1+b2+…+b2 020=20 200,且b1+b2 020=b2+b2 019=b3+b2 018=…=b1 010+b1 011,
∴1 010(b2+b2 019)=20 200,∴b2+b2 019=20.
又b2>0,b2 019>0,
∴b2+b2 019≥2,即b2b2 019≤=100,當且僅當b2=b2 019=10時取等號,
∴(b2b2 019)max=100.
12.B　由已知得數列{an}中的項為1,6,11,6,11,16,11,16,21,16,21,26,21,26,31,…,
觀察發現這些項可按1,6,11,16,21,…;6,11,16,21,26,…;11,16,21,26,31,…的規律將原數列分為三個等差數列:
當n=3m+1,m∈N時,數列為1,6,11,16,21,…,即an=,
當n=3m+2,m∈N時,數列為6,11,16,21,26,…,即an=,
當n=3m+3,m∈N時,數列為11,16,21,26,31,…,即an=,
易得a1 209=2 021,a1 210=2 016,a1 211=2 021,a1 212=2 026>2 021,
所以滿足an≤2 021對任意的n≤k(k∈N*)恒成立的k的最大值為1 211.故選B.
13.C　對于A、B,因為{an}是 “平方遞推數列”,所以an+1=.
又a1>0,a1≠1,所以an>0,an≠1,則lg an+1-lg an=lg=lg an,(lg an+2-lg an+1)-(lg an+1-lg an)=lg an+1-lg an=lg an,
所以{lg an}和{lg an+1-lg an}都不是等差數列,所以A、B不正確.
對于C,因為an+2an+1==(an+1an)2 ,所以{anan+1}是 “平方遞推數列”,所以C正確.
對于D,因為an+2+an+1=≠(an+1+an)2 ,
所以{an+1+an}不是 “平方遞推數列”,所以D不正確.故選C.
14.D　∵an=(n≥2,n∈N*),
∴anan-1=4(an-1-1)(n≥2,n∈N*).
令cn=,
∴cn-cn-1=(n≥2,n∈N*).
又c1=,∴數列{cn}是以-為首項,-為公差的等差數列,
∴cn=-,即,
∴an=,∴bn=·(nan-6)=,
∵存在n∈N*,使得4bn+m-6m2≥0成立,∴4(bn)max+m-6m2≥0.
令則3≤n≤4,n∈N*,
∴n=3或n=4,
∴(bn)max=b3=b4=.
∴1+m-6m2≥0,即6m2-m-1≤0,
解得-≤m≤,
∴實數m的取值范圍是.故選D.
15.解析　(1)證明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N*),得=3(n≥2,n∈N*).
因為=1,所以數列是以1為首項,3為公差的等差數列.
(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,
所以an=(n∈N*).
(3)因為λan+≥λ對任意的n≥2,n∈N*恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤對任意的n≥2,n∈N*恒成立.
令f(n)=(n≥2,n∈N*),則只需滿足λ≤f(n)min即可.
因為f(n+1)-f(n)=
=,
所以當n≥2時, f(n+1)-f(n)>0,
即f(2)又因為f(2)=,所以λ≤.
所以實數λ的取值范圍為.
20(共18張PPT)
4.2　等差數列
知識點 1 等差數列的概念
必備知識 清單破
4.2.1　等差數列的概念　4.2.2 等差數列的通項公式
1.等差數列的通項公式
一般地,對于等差數列{an}的第n項an,有an=a1+(n-1)d.這就是等差數列{an}的通項公式,其中a1 為首項,d為公差.
2.等差數列與一次函數的關系
　　由等差數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一 些等間隔的點,其中,點的橫坐標是正整數,a1-d是直線在y軸上的截距,公差d是該直線的斜率, 即自變量每增加1,函數值增加d.
知識點 2 等差數列的通項公式
　
　　如果a,A,b這三個數成等差數列,那么A= ,我們把A= 叫作a和b的等差中項.
知識點 3 等差中項
性質1:若{an}是公差為d的等差數列,則an=am+(n-m)d(n,m∈N*,m≠n),d= .
性質2:若{an}為等差數列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an,特別地,若k+l=2p,則ak+al=2ap.
性質3:若{an}是等差數列,其公差為d,則{a2n}也是等差數列,其公差為2d.
性質4:若{an},{bn}分別是以d1,d2為公差的等差數列,則{pan+qbn}是以pd1+qd2為公差的等差數列.
性質5:若{an}是等差數列,其公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的等差數列.
性質6:若{an}是等差數列,其公差為d,則當d>0時,數列{an}為遞增數列;當d<0時,數列{an}為遞 減數列;當d=0時,數列{an}為常數列.
知識點 4 等差數列的常用性質
知識辨析
1.若一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數,則這個數列一定是等差數列嗎
2.等差數列的定義用符號可以表示成an-an-1=d或an+1-an=d,這兩個關系式在任何條件下都適用 嗎
3.等差數列的通項公式一定是關于n的一次函數嗎
4.等差數列{an}中必有a2+a3=a5嗎
一語破的
1.不一定.差是同一個常數時才是等差數列.
2.不是.使用關系式an-an-1=d時,要保證n∈N*且n≥2,使用關系式an+1-an=d時,要保證n∈N*.
3.不一定.等差數列的通項公式中變量n的系數d可以等于0,且變量n∈N*.
4.不是.在使用等差數列的性質:若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak+al=am+an時,要注意等式兩邊項 的個數必須相同,一般情況下,a2+a3=a1+a4≠a5.
判斷一個數列是不是等差數列的常用方法
(1)定義法:an+1-an=d(n∈N*)或an-an-1=d(n≥2,n∈N*) 數列{an}是等差數列,注意要保證條件中 最小的n值滿足a2-a1=d這一關鍵條件.
(2)等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N*) 數列{an}為等差數列.
(3)通項公式法:數列{an}的通項公式形如an=pn+q(p,q為常數) 數列{an}為等差數列(注意此 方法一般不用作證明).
定點 1 等差數列的判定(證明)
關鍵能力 定點破
典例1 已知數列{an}滿足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),證明數列{an}為等差數列.
證明 (等差中項法)由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N*),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,
兩式相減并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N*).
由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,
即2an=an-1+an+1,
因此an是an-1與an+1的等差中項,
故數列{an}為等差數列.
典例2 在數列{an}中,a1= ,2an+1an=an-an+1.
(1)求a2,a3;
(2)證明數列 為等差數列,并求數列{an}的通項公式.
思路點撥 (1)把n=1,2分別代入數列的遞推公式即可求出a2,a3.
(2)把遞推公式變形,通過兩邊同除以an+1an,得到后一項與前一項的差為同一個常數,進而得證, 再寫出通項公式.
解析 (1)因為2an+1an=an-an+1,
所以當n=1時,2a2a1=a1-a2,則2a2× = -a2,即 a2= ,解得a2= ,
當n=2時,2a3a2=a2-a3,則2a3× = -a3,即 a3= ,解得a3= .
(2)因為2an+1an=an-an+1,所以 - =2,又 =3,所以數列 是以3為首項,2為公差的等差數列,
故 =3+(n-1)×2=2n+1,則an= (n∈N*).
1.求等差數列通項公式的常見方法
(1)基本量法:設出基本量a1與d,利用條件構建方程組,求出a1,d,即可得出數列的通項公式;
(2)待定系數法:設通項公式為an=An+B,利用條件構建方程組,求出A,B,即可得數列的通項公 式;
(3)利用等差數列的性質:若{an}為等差數列,則可利用d= (n,m∈N*,m≠n)求出公差d,即
可得出數列的通項公式,一般已知數列中的兩項時用這種方法較簡便.
2.利用遞推關系進行轉化,構造等差數列,常見的轉化形式如下
(1)轉化為(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數,則數列{an+1-an}是等差數列.
(2)轉化為 - =常數,則數列 是等差數列.
定點 2 等差數列通項公式的求解及應用
(3)轉化為 - =常數,則數列 是等差數列,其中c為常數.
(4)轉化為 - =常數,則數列{ }是等差數列.
(5)轉化為 - =常數,則數列{ }是等差數列.
典例1 (1)已知等差數列{an}中,公差d>0,a1+a4+a7=-6,a2a4a6=24,求數列{an}的通項公式;
(2)已知數列{an}滿足a1=2,(n-1)an=nan-1+n(n-1)(n≥2),求{an}的通項公式.
解析 (1)解法一:由題意得

解得 或
∵d>0,∴a1=-8,d=2,
∴數列{an}的通項公式為an=2n-10.
解法二:由題意得a1+a4+a7=3a4=-6,解得a4=-2,則
解得 或
又d>0,∴a2=-6,a6=2,∴d= =2,
∴數列{an}的通項公式為an=-6+(n-2)×2=2n-10.
解法三:由解法二知a4=-2,
則a2a4a6=(a4-2d)·a4·(a4+2d)=(-2)×(4-4d2)=24,解得d=±2.
∵d>0,∴d=2,
∴數列{an}的通項公式為an=-2+(n-4)×2=2n-10.
(2)當n≥2時, - =1,又 =2,
∴ 是首項為2,公差為1的等差數列,
∴ =2+(n-1)×1=n+1,∴an=n(n+1).
∴{an}的通項公式為an=n(n+1).
典例2 已知各項均不為零的數列{an}滿足 = an+1(n∈N*),a1=1.證明:數列 為等差數
列,并求數列{an}的通項公式.
思路點撥 觀察式子的結構特征,等式兩邊取倒數構造等差數列,進而求通項公式.
解析 由 = an+1兩邊取倒數得 = ,∴ = + ,即 - = ,
∴ 是首項為 =1,公差為 的等差數列,
∴ =1+(n-1)× = ,∴an= .
技巧點撥 構造等差數列求通項公式時,需要認真觀察給定式子的結構,記住常見的構造類 型,做到熟能生巧,如本題中所給遞推公式為分式形式,則考慮用取倒數構造等差數列.
　　借助等差數列{an}的性質:若m+n=p+q=2w,則am+an=ap+aq=2aw(m,n,p,q,w都是正整數)可以 解決有關項的問題,可以簡化計算,但不一定每道題都能用,能用此性質的題都應具有一定的 特征,所以解決等差數列的有關問題時,應先考慮性質,若不能應用性質,再利用基本量求解.
定點 3 等差數列性質的應用
典例 已知等差數列{an}的公差d大于零,且a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足bn= ,是否存在非零實數c,使數列{bn}為等差數列 若存在,求出實數c
的值;若不存在,請說明理由.
解析 (1)因為數列{an}為等差數列,
所以a3+a4=a2+a5=22.
聯立 解得 或
因為公差d>0,所以a3所以d=a4-a3=4,
所以數列{an}的通項公式為an=9+(n-3)×4=4n-3.
(2)假設存在非零實數c,使數列{bn}為等差數列,則必有2b2=b1+b3.
由題意,得b1= ,b2= ,b3= ,其中c≠0,
所以 ×2= + ,即2c2+c=0,
解得c=- 或c=0(舍去).
將c=- 代入bn= ,整理得bn=2n,此時{bn}為等差數列,即存在非零實數c=- ,使數列{bn}為
等差數列.

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