資源簡介

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1.一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列就叫作等比數列,這個常數叫作等比數列的公比,公比通常用字母q表示.
2.代數形式: =q(q是常數且不為0,n≥2,n∈N*)或 =q(q是常數且不為0,n∈N*).
4.3 等比數列
知識點 1 等比數列的概念
4.3.1 等比數列的概念　4.3.2 等比數列的通項公式
必備知識 清單破
　
　　一般地,對于等比數列{an}的第n項an,有an=a1qn-1,這就是等比數列{an}的通項公式,其中a1
為首項,q為公比.
　　當q>0且q≠1時,an=a1qn-1= ·qn可以看成關于n的指數型函數.
知識點 2 等比數列的通項公式
　　若a,G,b成等比數列,則稱G為a和b的等比中項,此時G2=ab.
知識點 3 等比中項
1.單調性
知識點 4 等比數列的性質
a1>0 a1<0
0q=1 {an}是常數列,不具有單調性 q>1 單調遞增 單調遞減
q<0 {an}是擺動數列,不具有單調性 2.常用性質
(1)若{an}是等比數列,且m+n=s+t=2k,m,n,s,t,k∈N*,則am·an=as·at= .
(2)在等比數列{an}中,等距離取出若干項也構成一個等比數列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數
列,公比為qk.
　　特別地,等比數列的奇數項、偶數項分別組成一個等比數列,新數列的公比為原公比的
平方.
(3)若數列{an},{bn}(項數相同)是等比數列,則{λan}(λ≠0), ,{ },{an·bn}, 仍是等比數
列.
(4)若數列{an}是各項均為正數的等比數列(公比為q),則數列{logaan}(a>0且a≠1)是公差為
logaq的等差數列.
知識辨析
1.若數列{an}滿足 =4n,則數列{an}是等比數列嗎
2.存在一個數列既是等差數列又是等比數列嗎
3.2和8的等比中項是4嗎
4.等比數列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立嗎
一語破的
1.不是.4n不是一個非零常數,所以數列{an}不是等比數列.
2.存在.非零常數列既是等差數列又是等比數列.
3.不是.應該是±4,可以說4是2和8的等比中項.
4.成立.等比數列的性質:若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),則am·an=as·at,可以推廣使用,即若m+n+…+k=s
+t+…+r(m,n,…,k,s,t,…,r∈N*),則有am·an·…·ak=as·at·…·ar(等式兩邊項的個數要相同).
定點 1 等比數列的判定(證明)
關鍵能力 定點破
　
判斷一個數列是不是等比數列的方法
(1)定義法:若數列{an}滿足 =q(q是常數且不為0,n≥2,n∈N*)或 =q(q是常數且不為0,n
∈N*),則{an}是等比數列;
(2)等比中項法:對于數列{an},若 =anan+2(an≠0,n∈N*),則{an}是等比數列;
(3)通項公式法:若數列的通項公式是形如an=k·qn(k,q是不為0的常數),則數列{an}是等比數列.
　　其中,定義法和等比中項法可作為證明一個數列是不是等比數列的依據.
典例 已知數列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.
(1)若數列{an}為等差數列,求Sn;
(2)若bn+1=b1+2Sn,證明:數列{an+bn}和{an-bn}均為等比數列.
解析 (1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,
又a1=2,b1=1,所以a2=4.
因為數列{an}為等差數列,所以該數列的公差為a2-a1=2,
所以Sn=2n+ ×2=n2+n.
(2)證明:當n≥2時,an=a1+2Tn-1,
因為Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,
同理可得bn+1=bn+2an.
則an+1+bn+1=3(an+bn),所以 =3(n≥2),①
又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,
所以 = =3,滿足①式,
所以數列{an+bn}是以3為首項,3為公比的等比數列.
因為an+1-bn+1=-(an-bn),所以 =-1(n≥2)②,又 = =-1,滿足②式,
所以數列{an-bn}是以1為首項,-1為公比的等比數列.
易錯警示 用 =q(q是常數且不為0,n≥2)證明等比數列時,要保證 =q,否則不滿足等比
數列的定義.
　
1.等比數列{an}的通項公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四個量:a1,q,n,an,可知三求一.
2.等比數列通項公式的變形
(1)an=amqn-m(m,n∈N*):表明已知等比數列{an}中的一項am及公比q,可以求出等比數列中的任意
一項an;
(2)qn-m= (m,n∈N*):表明已知等比數列{an}中的任意兩項an和am,可以求出公比q.
3.構造等比數列求通項公式
　　當數列{an}不是等比數列時,往往需要利用待定系數法構造與之相關的等比數列.利用等
比數列的通項公式求出包含an的關系式,進而求出an.常見類型有:
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化歸為an+1- =c ,當a1- ≠0時,數列 為等
定點 2 等比數列通項公式的求解及應用
比數列;也可消去常數項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1),當a2
-a1≠0時,數列{an+1-an}是公比為c的等比數列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化歸為an+1- =c 或將遞推公式兩邊同除以dn+1化為
(1)型或兩邊同除以cn+1,累加求通項.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化歸為an+1- =c +dn,即(2)型.
典例1 已知數列{an}是等比數列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數列,求數列{an}的通項公式.
解析 設等比數列{an}的公比為q.
解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因為a4,a5+1,a6成等差數列,
所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),
即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q= ,
故an=a1qn-1=q-6·qn-1= .
解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7,
則a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.
因為a4,a5+1,a6成等差數列,
所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),
從而q= ,故an=qn-7= .
解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數列,知a4,a5+a7,a6成等差數列,
所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),
易知a4,a6同號,所以a4+a6≠0,
所以q= ,故an=a7qn-7=qn-7= .
典例2 (1)已知數列{an}滿足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),則數列{an}的通項公式為an
=　　　 ;
(2)若數列{an}滿足an+1=λan+3n,且數列 是等比數列,則實數λ的值為　　　 .
0或2
解析 (1)由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即 =3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3
為首項,3為公比的等比數列,
所以an+1+an=3×3n-1=3n,則 + · = .
不妨令cn= ,則cn+1+ cn= ,
所以cn+1- =- ,即 =- ,
又c1- = - = ,所以數列 是首項為 ,公比為- 的等比數列,
所以 - =cn- = × ,
所以an= .
(2)①若λ=0,則 = ,可得 -1=- ,此時數列 為等比數列;
②若λ≠0,在等式an+1=λan+3n兩邊同時除以3n+1可得 = + = · + ,
因為數列 為等比數列,所以可設 -1= · ,則 -1= · - ,
即 = · - +1,
則1- = ,解得λ=2.
綜上所述,λ=0或λ=2.
1.與等比數列有關的問題中,常常涉及次數較高的指數運算,若按常規的解題方法,則需建立
關于a1,q的方程組求解,這種方法運算量比較大,如果結合等比數列的有關性質(如若m+n=p+q
(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq)來求解,那么會簡化運算過程.
2.在應用等比數列的性質解題時,需時刻注意等比數列性質成立的前提條件.
定點 3 等比數列性質的應用
典例 已知{an}為等比數列.
(1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解析 (1)由等比數列的性質,化簡條件得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7.
(2)由等比數列的性質知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]=log395=10.
規律總結 利用等比數列的性質解題時要充分發揮項的“下標”的指導作用,分析等比數列
項與項之間的關系,選擇恰當的性質解題.4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念　4.3.2　等比數列的通項公式
基礎過關練
題組一　等比數列的概念及其應用
1.已知a,b,c,d成等比數列,給出下列三個數列:(1)a2,b2,c2,d2;(2)ab,bc,cd;(3)a-b,b-c,c-d,其中一定是等比數列的有(　　)
A.0個　　　　B.1個　　　　C.2個　　　　D.3個
2.(多選題)已知數列{an},{bn}都是等比數列,則下列數列中一定是等比數列的是(　　)
A.{anbn}　　　　B.{an+bn}　　　　C.　　　　D.{an-bn}
題組二　等比數列的通項公式
3.已知正項等比數列{an}的公比為q,等差數列{bn}的公差為d,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7,則q+d=(　　)
A.4　　　　B.0
C.-4　　　　D.2
4.已知等比數列{an}的首項為3,則“a9A.充分不必要條件　　　　
B.必要不充分條件
C.充要條件　　　　
D.既不充分也不必要條件
5.已知{an}為等比數列,公比q≠1,a1=,且3a1,2a2,a3成等差數列,則通項公式an=　　　　.
6.已知數列{an}的前n項和為Sn, n∈N*,都有Sn=,若1題組三　等比中項
7.若1,a,3成等差數列,1,b,4成等比數列,則=(　　)
A.±　　　　C.1　　　　D.±1
8.已知等差數列{an}滿足a1=-8,a2=-6.若將a1,a4,a5都加上同一個數,所得的三個數依次成等比數列,則所加的這個數為(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
9.已知等差數列{an}(an≥0)的前n項和為Sn,若,S3+1,S9成等比數列,則的最小值為　　　　.
題組四　等比數列的性質
10.在等比數列{an}中,a4a5=2,a8a9=32,則a6a7=(　　)
A.64　　　　B.±8　　　　C.-8　　　　D.8
11.在等比數列{an}中,a7=6,則a5+4a9的最小值是(　　)
A.12　　　　B.24　　　　C.36　　　　D.48
12.已知正項等比數列{an}中,a2a2 023=4,則log2a1+log2a2+…+log2a2 024=(　　)
A.1 012　　　　B.2 024
C.21 012　　　　D.22 024
13.(多選題)已知數列{an}為等比數列,則(　　)
A.數列a2,a4,a8成等比數列
B.數列a1a2,a3a4,a5a6成等比數列
C.數列a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比數列
D.數列a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9成等比數列
能力提升練
題組一　等比數列的概念、通項公式及其應用
1.已知數列{an}滿足a1=2,an+1=,則a6=(　　)
A.220　　　　B.224　　　　C.21 024　　　　D.24 096
2.已知等比數列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為(　　)
A.32　　　　B.16　　　　C.128　　　　D.64
3.已知數列{an}滿足a1=1,a2=,則a5=(　　)
A.2-12　　　　B.2-10　　　　C.2-9　　　　D.2-8
4.(多選題)已知數列{an},{bn}的項數均為k(k為確定的正整數,k≥2),若a1+a2+…+ak=2k-1,b1+b2+…+bk=3k-1,則(　　)
A.a1=1
B.{bn}中可以有(k-1)項為1
C.為公比的等比數列
D.是以2為公比的等比數列
5.(多選題)已知數列{an}滿足an+2an-1=kn,n∈N*,n≥2,則(　　)
A.當k=0且a1≠0時,{an}是等比數列
B.當k=1時,是等比數列
C.當k=-2時,是等差數列
D.當k=-3且a1=-3時,是等比數列
6.(多選題)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,公比為q,且滿足a4=27,an+1=2Sn+c,則(　　)
A.q=3
B.c=1
C.a1=3
D.若bn=,則當b1b2…bn最小時,n=7
7.設等差數列{an}的前n項和為Sn,且S5=5,{bn}是等比數列,滿足anbn=(n+1)2n,則Sn=　　　　.
8.已知數列{an}對任意n∈N*滿足an+1=.
(1)如果數列{an}為等差數列,求a1;
(2)如果a1=,
①是否存在實數λ,使得數列為等比數列 如果存在,請求出所有λ的值;如果不存在,請說明理由;
②求數列{an}的通項公式.
題組二　等比數列的性質及綜合應用
9.記等比數列{an}的前n項積為Tn,若a1·a5·a12為確定的常數,則下列各數為常數的是(　　)
A.T7　　　　B.T8　　　　C.T10　　　　D.T11
10.若{an}為等差數列,Sn是其前n項和,且S11=π,{bn}為等比數列,b5·b7=,則tan(a6+b6)=(　　)
A.
11.(多選題)設等比數列{an}的公比為q,其前n項積為Tn,且a1>1,a89a90>1,(a89-1)·(a90-1)<0,則下列結論正確的是(　　)
A.0B.a89a91>1
C.T90是{Tn}中最大的項
D.使Tn>1成立的最大正整數n等于178
12.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且S11>S10>S12,若bn=2 02,數列{bn}的前n項積為Tn,則使Tn>1的最大正整數n為　　　　.
13.已知各項均為正數的等比數列{an}中,a2=27,且a5+6a4=a2a3.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=2log3an,Sn是數列{bn}的前n項和,求使得Sn≥270成立的正整數n的最小值.
14.設同時滿足條件:①≥bn+1;②bn≤M(n∈N*,M是常數)的無窮數列{bn}叫作P數列,已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=(an-1)(a為常數,且a≠0,a≠1).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=+1,若數列{bn}為等比數列,求a的值,并證明數列為P數列.
答案與分層梯度式解析
4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
4.3.2　等比數列的通項公式
基礎過關練
1.C　設數列a,b,c,d的公比為q(q≠0),則a,b,c,d均不為0,且=q,
對于(1),=q2,故a2,b2,c2,d2成等比數列,且公比為q2;
對于(2),=q2,因此ab,bc,cd成等比數列,且公比為q2;
對于(3),a-b=a(1-q),b-c=b(1-q)=aq(1-q),c-d=aq2(1-q),當q≠1時,a-b,b-c,c-d成等比數列,且公比為q,但當q=1時,a-b=b-c=c-d=0,不是等比數列.故選C.
2.AC　設數列{an},{bn}的公比分別為q1,q2(q1,q2≠0).
對于A,=q1q2,數列{anbn}為等比數列,A滿足條件;
對于B,不妨取an=(-1)n,bn=(-1)n+1,滿足{an},{bn}都是等比數列,但an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n-(-1)n=0,故數列{an+bn}不一定是等比數列,B不滿足條件;
對于C,,故為等比數列,C滿足條件;
對于D,不妨取an=(-2)n,bn=2n,滿足數列{an},{bn}都是等比數列,
當n=2k,k∈N*時,an-bn=(-2)n-2n=(-2)2k-22k=4k-4k=0,故數列{an-bn}不一定是等比數列,D不滿足條件.故選AC.
3.A　由(負值舍去),故q+d=4.
故選A.
4.B　設等比數列{an}的公比為q,
由a91,∴q>1或q<-1,
當q<-1時,a11-a14=3q10(1-q3)>0,即a11>a14,充分性不成立;
當a111,則q8故“a95.答案　·3n-1
解析　由題意得4a2=3a1+a3,即4a1·q=3a1+a1q2,∴q2-4q+3=0,解得q=1或q=3,又q≠1,∴q=3,∴an=·3n-1.
6.答案　4
解析　當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),
即an=-2an-1,又a1=S1=,所以a1=-1,
所以{an}是首項為-1,公比為-2的等比數列,則an=-(-2)n-1,Sn=,
因為17.D　由題意得a==±2,所以的值為±1,故選D.
易錯警示　同號的兩個數的等比中項有兩個,且它們互為相反數,不能默認是正數.
8.A　設{an}的公差為d.因為a1=-8,a2=-6,所以d=a2-a1=2,則an=2n-10,
所以a4=-2,a5=0,設a1,a4,a5都加上x,得到的三個新數依次為x-8,x-2,x,
則(x-8)x=(x-2)2,解得x=-1.故選A.
9.答案　5
解析　由題意得(S3+1)2=S9,所以(3a2+1)2=(a1+a9),即(3a2+1)2=3a5,
故+3≥5,
當且僅當a2=時取等號,則的最小值為5.
10.D　設{an}的公比為q(q≠0).由等比數列的性質得(a6a7)2==(a4a8)(a5a9)=a4a5a8a9=64,
由a6a7=a4a5q4=2q4>0,可得a6a7=8.故選D.
11.B　設{an}的公比是q,則a9=a7q2,a7=a5q2.
因為a7=6>0,所以a5>0,a9>0.
由等比數列的性質可得a5a9==36,
則a5+4a9≥2=4a7=24,當且僅當a5=4a9=12時,等號成立.故選B.
12.B　由等比數列的性質得a1a2 024=a2a2 023=a3a2 022=…=a1 012a1 013=4,
故log2a1+log2a2+…+log2a2 024=log2(a1a2…a2 023a2 024)
=log2[(a1a2 024)(a2a2 023)…(a1 012a1 013)]=log241 012=1 012log24=1 012×2=2 024.故選B.
13.BD　設等比數列{an}的公比為q,
由等比數列的性質知=q4,當q≠±1時,q2≠q4,故A錯誤;
易知數列中每項都不為0,且=q4,故B正確;
當數列{an}為1,-1,1,-1,1,…時,a1+a2=a3+a4=a5+a6=0,故C錯誤;
易知數列的每項都不為0,且=q3,故D正確.故選BD.
能力提升練
1.C　由an+1=,得an>0,故ln an+1=4ln an,又a1=2,
故{ln an}是首項為ln 2,公比為4的等比數列,則ln an=4n-1·ln 2,所以ln a6=45·ln 2=ln 21 024,
故a6=21 024.
故選C.
2.D　設等比數列{an}的公比為q.
由題意得,
從而a1+a3=a1+a1q2=a1=10,解得a1=8,故an=a1qn-1=24-n,則數列{an}是遞減數列,
令an≥1,得n≤4,故(a1a2…an)max=a1a2a3a4=23×22×21×20=23+2+1+0=64.故選D.
3.D　由題意得數列,公比為4的等比數列,∴,
當n≥2時,an=·a1=×4n-4×4n-5×…×4-2×1=,
∵n=1時,21-8+7=1=a1,∴an=,故a5=225-40+7=2-8.故選D.
4.AC　由題意可得a1+a2+…+ak=2k-1①,a1+a2+…+ak-1=2k-1-1②,k≥2,
①-②得ak=2k-1,k≥2,同理可得bk=2×3k-1,k≥2,
對于A,a1+a2=22-1=3,a2=2,所以a1=1,故A正確;
對于B,b1+b2=32-1=8,b2=2×3=6,所以b1=2,當n≥2時,bn=2×3n-1>2,故B錯誤;
對于C,D,,所以當k≥2時,為公比的等比數列,故C正確,D錯誤.故選AC.
5.ACD　對于A,當k=0時,an+2an-1=0,即an=-2an-1,又a1≠0,∴=-2,∴{an}為等比數列,A正確;
對于B,當k=1時,an+2an-1=1,∴an=-2an-1+1,
則an-,當a1-=0時,不是等比數列,B錯誤;
對于C,當k=-2時,an+2an-1=(-2)n,則=1,則=1,
∴是以1為公差的等差數列,C正確;
對于D,當k=-3時,an+2an-1=(-3)n,則=1,則+1,
∴,
又-3=-2≠0,∴為公比的等比數列,D正確.故選ACD.
6.ABD　因為an+1=2Sn+c,所以an=2Sn-1+c(n≥2),兩式相減得an+1=3an(n≥2,n∈N*),
故{an}的公比q=3,A正確;
由a4=27,得a1·33=27,解得a1=1,C錯誤;
an=3n-1,在an+1=2Sn+c中,令n=1,得a2=2S1+c=2a1+c=2+c=3,解得c=1,B正確;
bn=,則=3>1,且b1=,則bn+1>bn>0恒成立,
故數列{bn}是以為首項,3為公比的等比數列,且為遞增數列,
令bn=<1,得3n<6 069,由37=2 187<6 069,38=6 561>6 069,可得n≤7,
即b17.答案　
解析　設等比數列{bn}的公比為q,由題意知q=2,
∵S5=5a3=5,∴a3=1,則b3==32,
∴b1=8,bn=8·2n-1=4·2n,
故anbn=an·4·2n=(n+1)2n,∴an=,
∴Sn=.
8.解析　(1)由an+1=,可得a2=,
由{an}為等差數列,可得a1+,
當a1=0時,an=0,符合條件;
當a1≠0時,1+,整理得4-5a1+1=0,解得a1=或a1=1,
當a1=1時,an=1,符合條件;
當a1=時,a2=,此時a4=,
a3-a2≠a4-a3,不滿足{an}為等差數列,舍去.
綜上可得,a1=0或a1=1.
(2)①當a1=時,,
假設存在滿足題意的λ,則,即λ,
所以,解得λ=1,所以,
又因為≠0,所以數列是首項為-,公比為的等比數列,
故存在實數λ=1符合題意.
②由①知,所以an=.
9.D　設等比數列{an}的公比為q,則a1·a5·a12=a1·a1q4·a1q11=(a1q5)3為確定的常數,即a6為確定的常數.
T7=a1a2…a6a7=,不符合題意;
T8=a1a2…a7a8=,不符合題意;
T10=a1a2…a9a10=(a5a6)5,不符合題意;
T11=a1a2…a10a11=,為確定的常數,符合題意.
故選D.
10.D　因為{an}為等差數列,故S11=π,所以a6=,
因為{bn}為等比數列,b5·b7=,所以b6=±,
當b6=時,tan(a6+b6)=tan;
當b6=-時,tan(a6+b6)=tan.
所以tan(a6+b6)=,故選D.
11.AD　由a89a90>1,得·q177>1,所以q(a1·q88)2>1,所以q>0,
又a1>1,(a89-1)(a90-1)<0,所以a89>1,a90<1,所以0由得0由T90=T89·a90,0T178=a1·a2·…·a178=(a1·a178)·(a2·a177)·…·(a89·a90)=(a89·a90)89>1,
T179=a1·a2·…·a179=(a1·a179)·(a2·a178)·…·(a89·a91)·a90=<1,故D正確.
故選AD.
12.答案　21
解析　設等差數列{an}的公差為d,因為S11>S10>S12,所以a11=S11-S10>0,a11+a12=S12-S10<0,故a12<0,故d=a12-a11<0,
則=2 02=2 023d<1,易知bn>0,故bn故{bn}為各項均為正數的等比數列,且是遞減數列.
又b11=2 02>1,b12=2 02<1,b11b12=2 02<1,
故b1>b2>…>b11>1>b12>b13>…,
所以T20=b1×b2×…×b20=b1×(b2b20)×…×(b10b12)×b11=b1>1,
T21=b1×b2×…×b21=(b1b21)×(b2b20)×…×(b10b12)×b11=>1,
T22=b1×b2×…×b22=(b1b22)×(b2b21)×…×(b11b12)=(b11b12)11<1,
所以T23=T22b23<1,即使Tn>1的最大正整數n為21.
13.解析　(1)設等比數列{an}的公比為q,依題意得an>0,則q>0.
由a2=27,且a5+6a4=a2a3,
得a2q3+6a2q2=q,即q2+6q-27=0,
解得q=-9(舍去)或q=3.
所以數列{an}的通項公式為an=27×3n-2=3n+1(n∈N*).
(2)由(1)得bn=2log3an=2log33n+1=2(n+1),則bn+1-bn=2(n+2)-2(n+1)=2.
所以數列{bn}是首項為b1=2×2=4,公差為2的等差數列,
則Sn==n2+3n,
令Sn≥270,得n2+3n-270≥0,
解得n≤-18(舍去)或n≥15(n∈N*).
故使得Sn≥270成立的正整數n的最小值為15.
規律總結　正項等比數列中,各項的對數構成等差數列,等差數列中,各項的指數冪構成等比數列,利用此關系可以實現等比數列與等差數列的轉化.解題時要注意等比數列必須各項為正才可以取對數.
14.解析　(1)當n=1時,a1=S1=(a1-1),∴a1=a.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(an-an-1),整理得=a,
即數列{an}是以a為首項,a為公比的等比數列,
所以an=a·an-1=an.
(2)由(1)知,bn=+1
=,(*)
由數列{bn}是等比數列,得=b1b3,
故,
即,解得a=,
再將a=代入(*)式,得bn=3n.
所以,滿足條件①,
又由于,所以存在M≥滿足條件②.
故數列為P數列.
17

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