資源簡介

4.4　數學歸納法
基礎過關練
題組一　用數學歸納法證明等式
1.用數學歸納法證明1-+…++…+(n∈N*)時,第一步應驗證的等式是(　　)
A.1-
C.1=
2.(多選題)斐波那契數列又稱黃金分割數列,因意大利數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數列”.在數學上,斐波那契數列被以下遞推的方法定義:數列{an}滿足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),則下列結論正確的是(　　)
A.a8=13 B.a2 023是奇數
C.+…+=a2 021a2 022 D.a2 022被4除的余數為0
3.用數學歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=時,從k到k+1,等式左邊需要增加的代數式是　　　　.
4.用數學歸納法證明下列命題:1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*).
題組二　用數學歸納法證明不等式
5.用數學歸納法證明2n≥n2(n∈N*,n≥4)時,第二步應假設(　　)
A.當n=k(k∈N*,k≥2)時,2k≥k2成立
B.當n=k(k∈N*,k≥3)時,2k≥k2成立
C.當n=k(k∈N*,k≥4)時,2k≥k2成立
D.當n=k(k∈N*,k≥5)時,2k≥k2成立
6.用數學歸納法證明不等式+…+時,從n=k到n=k+1,不等式左邊需要增加的項為(　　)
A.
C.
7.用數學歸納法證明對任意n>k(n,k∈N)的自然數都成立時,k的最小值為(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
8.已知數列{an}中,a1=2,an+1=(2-,n∈N*.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足b1=2,bn+1=,證明:題組三　用數學歸納法解決整除問題
9.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,若存在自然數m,使得對任意n∈N*, f(n)都能被m整除,則m的最大值為(　　)
A.30　　　　B.9　　　　C.36　　　　D.6
10.用數學歸納法證明:n3+5n(n∈N*)能被6整除.
題組四　用數學歸納法解決歸納—猜想—證明問題
11.已知函數f(x)=
(1)求f(2),f(3)+f(4),f(5)+f(6)+f(7)+f(8)的值;
(2)對任意正整數n,記an=f(2n-1+1)+f(2n-1+2)+f(2n-1+3)+f(2n-1+4)+…+f(2n),即an=f(2n-1+i),猜想數列{an}的通項公式,并用數學歸納法證明.
12.請你從下列兩個遞推公式中,任意選擇一個填入題中橫線上,并解答問題:
①Sn-1+an=n2(n∈N*,n≥2);
②an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N*).
已知數列{an}的前n項和為Sn,且S1=1,　　　　.
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并證明.
答案與分層梯度式解析
4.4　數學歸納法
基礎過關練
1.D　 當n=1時,2n=2,故等式的左邊為1-,右邊為,所以第一步應驗證的等式是1-.故選D.
2.BCD　對于A,∵a1=a2=1,∴a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,a8=21,A錯誤.
對于B,3的倍數項為偶數,其他項為奇數,下面用數學歸納法證明:
當n=1,2,3時,a1=a2=1,a3=2,滿足規律.
假設當n=3k-3,3k-2,3k-1時,滿足a3k-3為偶數,a3k-2,a3k-1為奇數.
當n=3k,3k+1,3k+2時,a3k=a3k-2+a3k-1,
∵a3k-2,a3k-1為奇數,∴a3k為偶數,
a3k+1=a3k-1+a3k,∵a3k-1為奇數,a3k為偶數,∴a3k+1為奇數,
a3k+2=a3k+a3k+1,∵a3k+1為奇數,a3k為偶數,∴a3k+2為奇數,故3的倍數項為偶數,其他項為奇數得證,
∵2 023不是3的倍數,∴a2 023是奇數,B正確.
對于C,當n=1時,=1=a1·a2,滿足規律.
假設當n=k時,滿足+…+=akak+1成立.
當n=k+1時,+…+=ak+1(ak+ak+1)=ak+1ak+2成立,滿足規律,
故+…+=anan+1,令n=2 021,則+…+=a2 021a2 022成立,C正確.
對于D,當n=6時,a6=8,故a6被4除的余數為0.
假設當n=6k時,滿足a6k=4m,m∈N.
當n=6(k+1)時,a6(k+1)=a6k+6=a6k+5+a6k+4=2a6k+4+a6k+3=3a6k+3+2a6k+2=5a6k+2+3a6k+1=8a6k+1+5a6k=8a6k+1+20m=4(2a6k+1+5m).
∵a6k+1∈N*,m∈N,∴a6k+6能被4整除得證,
∵a2 022=a6×337,∴a2 022能被4整除得證,D正確.
故選BCD.
3.答案　(k+1)2+k2
解析　當n=k時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,
當n=k+1時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,
兩式作差得(k+1)2+k2.
4.證明　當n=1時,左邊=1,右邊=12=1,等式成立;
假設當n=k(k∈N*)時,1+3+5+…+(2k-1)=k2成立,
那么當n=k+1時,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2成立.
綜上,1+3+5+…+(2n-1)=n2對于任意n∈N*成立.
5.C　證明的結論為2n≥n2(n∈N*,n≥4),
所以第二步應假設n=k(k∈N*,k≥4)時命題成立,即2k≥k2成立.故選C.
6.D　 當n=k時,+…+,
當n=k+1時,+…+,
從n=k到n=k+1,可知增加的項為.故選D.
7.B　當n=1時,左邊=,右邊=不成立;
當n=2時,左邊=,右邊=不成立;
當n=3時,左邊=,右邊=,即左邊大于右邊,不等式成立,
因為不等式對任意n>k(n,k∈N)的自然數都成立,所以k的最小值為2.故選B.
8.解析　(1)因為an+1=(2-,
所以an+1-,
即an+1--2),
即an+1-),
所以數列{an-}是首項為2-,公比為2-的等比數列,
故an-)n,即{an}的通項公式為an=(2-.
(2)證明:(i)當n=1時,因為<2,b1=a1=2,所以(ii)假設當n=k時,結論成立,即當n=k+1時,bk+1->0,
又,所以bk+1-)≤(2-)2·(a2k-1-,所以當n=k+1時,結論成立.
根據(i)和(ii)知9.C　由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,
f(2)=3×36, f(3)=10×36,f(4)=34×36,
由此猜想m的最大值為36.
下面用數學歸納法證明:
(1)當n=1時,顯然成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時, f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,
那么當n=k+1時,
f(k+1)=[2(k+1)+7]·3k+1+9
=3[(2k+7)×3k+9]-18+2×3k+1
=3[(2k+7)×3k+9]+18(3k-1-1).
∵3k-1-1能被2整除,∴18(3k-1-1)能被36整除,
∴當n=k+1時, f(k+1)也能被36整除.
由(1)(2)可知對任意n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除,故m的最大值為36.
故選C.
10.證明　①當n=1時,13+5=6,顯然能被6整除;
②假設n=k(k∈N*)時,n3+5n(n∈N*)能被6整除,即k3+5k能被6整除,
則當n=k+1時,(k+1)3+5(k+1)=k3+5k+3k(k+1)+6,
因為k(k+1)能被2整除,所以3k(k+1)+6能被6整除,
又k3+5k能被6整除,所以當n=k+1時,n3+5n能被6整除.
由①②可知,n3+5n(n∈N*)能被6整除.
11.解析　(1)f(2)=f(1)=1,f(3)=3,f(4)=f(2)=1,f(5)=5,f(6)=f(3)=3,f(7)=7,
f(8)=f(4)=1,所以f(3)+f(4)=3+1=4,f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=5+3+7+1=16.
(2)a1=f(2)=1,a2=f(3)+f(4)=4,a3=f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=16,
所以猜想an=4n-1,
證明:當n=1時,a1=40=1,成立,
假設當n=k時,猜想成立,即ak=4k-1,
即ak=f(2k-1+1)+f(2k-1+2)+f(2k-1+3)+f(2k-1+4)+…+f(2k),
那么當n=k+1時,ak+1=f(2k+1)+f(2k+2)+f(2k+3)+…+f(2k+1)
=[f(2k+1)+f(2k+3)+…+f(2k+2k-1)]+[f(2k+2)+f(2k+4)+…+f(2k+2k)]=(2k+1)+(2k+3)+…+(2k+2k-1)+[f(2k-1+1)+f(2k-1+2)+…+f(2k)]
=2k-1·2k++4k-1
=22k-1+22k-2+4k-1==4k=4(k+1)-1,
所以當n=k+1時,猜想成立,
綜上可知,當n∈N*時,an=4n-1成立.
12.解析　選擇條件①.
(1)∵Sn-1+an=n2(n∈N*,n≥2),
∴當n=2時,S1+a2=4,即a2=3,
當n=3時,S2+a3=9,
∴a1+a2+a3=9,即a3=5,
當n=4時,S3+a4=16,即a4=7.
(2)猜想an=2n-1,證明如下:
n≥2時,有Sn-1+an=n2,
∴Sn+an+1=(n+1)2,
兩式相減得Sn+an+1-Sn-1-an=(n+1)2-n2,
即an+1=2n+1=2(n+1)-1,則an=2n-1,n≥2,
當n=1時,由題知a1=1,猜想也成立,
∴an=2n-1.
綜上所述,對任意n∈N*,有an=2n-1.
選擇條件②.
(1)∵an+1=nan-2n2+3n+1(n∈N*),
∴當n=1時,a2=a1-2×12+3×1+1=3,
當n=2時,a3=2a2-2×22+3×2+1=5,
當n=3時,a4=3a3-2×32+3×3+1=7.
(2)猜想an=2n-1,證明如下:
當n=1時,由題知a1=1,猜想成立;
假設n=k(k∈N*,k≥1)時,猜想成立,即ak=2k-1,
則ak+1=kak-2k2+3k+1=k(2k-1)-2k2+3k+1=2k+1=2(k+1)-1,
∴n=k+1時,an=2n-1也成立.
綜上所述,對任意n∈N*,有an=2n-1.
1(共9張PPT)
一般地,證明一個與正整數n有關的數學命題,可按如下兩個步驟進行:
(1)證明當n=n0(n0∈N*)時命題成立;
(2)假設當n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.
根據(1)(2)就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數n都成立.
上述證明方法叫作數學歸納法.
知識點 數學歸納法
必備知識 清單破
4.4　數學歸納法
知識辨析
1.用數學歸納法證明問題時,第一步一定是驗證當n=1時結論成立嗎
2.證明與正整數n有關的命題時,只需當n取前幾個值時命題正確就可以嗎
3.在利用數學歸納法證明問題時,如果推理過程正確,就可以不用歸納假設嗎
4.用數學歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1(k∈N*),等式左邊一定只增加了一項嗎
一語破的
1.不一定.如證明凸n邊形的內角和為(n-2)·180°,第一步要驗證當n=3時結論成立.
2.不可以.由n取前幾個值時命題正確,推不出與正整數n有關的命題正確,是不完全歸納法.
3.不可以.如果不用歸納假設,那么后續的證明就沒有了基礎,數學歸納法的步驟缺一不可.
4.不一定.如用數學歸納法證明1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)時,由n=k到n=k+1,等式的左邊
增加了兩項.
定點 1 用數學歸納法證明不等式
關鍵能力 定點破
　　用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立,得n=k+1時成立,主要方法有比較法、 放縮法等.
　　用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求 進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.對第二類往往要先對n取前k個值的情 況分別驗證比較,以免出現判斷失誤的情況,最后猜出從某個k值開始都成立的結論,常用數學 歸納法證明.
典例 用數學歸納法證明: + +…+ >1- + - +…+ - (n∈N*).
證明 (1)當n=1時,左邊=1,右邊=1- = ,左邊>右邊,所以不等式成立.
(2)假設當n=k(k≥1,k∈N*)時,不等式成立,
即 + +…+ >1- + - +…+ - ,
則當n=k+1時, + +…+ + >1- + - +…+ - +
>1- + - +…+ - +
=1- + - +…+ - + - ,
即當n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(2)知,不等式對任何n∈N*都成立.
“歸納—猜想—證明”的解題步驟

定點 2 用“歸納—猜想—證明”解決與遞推公式有關的數列問題
典例 已知數列{an}中, =- ,其中n≥2,且n∈N*.從條件①:a1= 與條件②:a1a2=- ,
且a1>0中任意選擇一個,完成下面的問題.
(1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通項公式;
(2)證明(1)中的猜想.
解析 (1)選條件①.
由題意可得a2=a1· =- ,同理可得a3= ,a4=- ,
猜想an= (n∈N*).
選條件②.
由題意可得 =- =- ,
∵a1>0,a1a2=- ,
∴a1= ,a2=- ,
∴a3=a2· = ,
同理可得a4=- ,
猜想an= (n∈N*).
(2)證明:顯然當n=1時,猜想成立,假設當n=k時,猜想成立,即ak= (k∈N*),
當n=k+1時,由 =- ,
可得ak+1=- ·ak
=- ·
= = (k∈N*),
即當n=k+1時,猜想也成立.
綜上所述,an= (n∈N*).

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