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第5章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念
5.1.1　平均變化率
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　函數(shù)的平均變化率
1.函數(shù)f(x)=x2+2在區(qū)間[1,3]上的平均變化率為(　　)
A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.1
2.某物體運(yùn)動的位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系為s(t)=t2+1,則這個物體在時間段[1,2]內(nèi)的平均速度為(　　)
A.2　　　　B.
3.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)在下列幾個區(qū)間內(nèi)的平均變化率最大的一個是(　　)
A.[x1,x2]　　　　B.[x2,x3]　　　　C.[x1,x3]　　　　D.[x3,x4]
4.已知函數(shù)f(x)=2x2+3x-5.
(1)求f(x)在[4,5]上的增量Δy和平均變化率;
(2)求f(x)在[4,4.1]上的增量Δy和平均變化率;
(3)分析(1)(2)中的平均變化率的幾何意義.
題組二　平均變化率的應(yīng)用
5.若函數(shù)f(x)=ln(x+1),則f(1),的大小關(guān)系為(　　)
A.f(1)<
C.
6.在某室內(nèi),空氣中微生物密度c(mg/m3)與開窗通風(fēng)換氣時間t(min)的關(guān)系如圖所示.則下列時間段內(nèi),空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是(　　)
A.[5,10]　　　　B.[5,15]　　　　C.[5,20]　　　　D.[5,35]
7.(多選題)已知甲、乙兩人服用某藥物后,血管中的藥物濃度c(mg/mL)與時間t(h)的關(guān)系如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.在t1時刻,甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同
B.在[t1,t2]時間段內(nèi),甲血管中藥物濃度的平均變化率大于乙
C.在[t2,t3]時間段內(nèi),甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同
D.在[t1,t2]和[t2,t3]時間段內(nèi),甲血管中藥物濃度的平均變化率相同
答案與分層梯度式解析
第5章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念
5.1.1　平均變化率
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　由題意得=4,故選A.
2.B　物體在時間段[1,2]內(nèi)的平均速度為.
故選B.
3.D　由題圖得f(x)在[x1,x2]上的平均變化率P1=>0,
在[x2,x3]上的平均變化率P2=<0,
在[x1,x3]上的平均變化率P3=<0,
在[x3,x4]上的平均變化率P4=>0,
結(jié)合函數(shù)y=f(x)的圖象,可得P24.解析　(1)Δy=f(5)-f(4)=2×52+3×5-5-(2×42+3×4-5)=21,所以平均變化率=21.
(2)Δy=2×4.12+3×4.1-5-(2×42+3×4-5)=1.92,所以平均變化率=19.2.
(3)在(1)中,,它表示過曲線y=f(x)上兩點(4,39)與(5,60)的直線的斜率;
在(2)中,,它表示過曲線y=f(x)上兩點(4,39)與(4.1,40.92)的直線的斜率.
5.C　作出函數(shù)f(x)=ln(x+1)的圖象,如圖所示.
由圖可知曲線上各點與坐標(biāo)原點所連直線的斜率隨著x的增大而減小.
由1<2<3,得,即f(1)>,故選C.
6.C　設(shè)直線t=5,t=10,t=15,t=20,t=35與曲線的交點分別為A,B,C,D,E,連接AB,AC,AD,AE(圖略).
由圖可知0>kAB>kAC>kAE>kAD,所以[5,20]內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快.故選C.
7.AC　對于A,在t1時刻,兩圖象相交,說明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同,A正確;
對于B,在[t1,t2]時間段內(nèi),甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同,都為,B錯誤;
同B知C正確;
對于D,在[t1,t2]和[t2,t3]兩個時間段內(nèi),甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為,顯然不相同,D錯誤.故選AC.
5(共17張PPT)
函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為 .
平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”,或者說,曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”.
第5章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
5.1　導(dǎo)數(shù)的概念
知識點 1 平均變化率
必備知識 清單破
知識點 2 曲線上一點處的切線
知識點 3 瞬時速度與瞬時加速度
1.函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),若Δx無限趨近于0時,比值 = 無
限趨近于一個常數(shù)A,則稱f(x)在x=x0處可導(dǎo),并稱該常數(shù)A為函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為 瞬時變化率),記作f '(x0).通常又可表示為f '(x0)= .
函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)還可以記作y' .
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
導(dǎo)數(shù)f '(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0, f(x0))處的切線的斜率.
3.導(dǎo)函數(shù)
若f(x)對于區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點都可導(dǎo),則f(x)在各點處的導(dǎo)數(shù)也隨著自變量x的變化而變化,因
知識點 4 瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)
而也是自變量x的函數(shù),該函數(shù)稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作f '(x).
在不引起混淆時,導(dǎo)函數(shù)f '(x)也簡稱為f(x)的導(dǎo)數(shù).
瞬時速度是運(yùn)動物體的位移S(t)對于時間t的導(dǎo)數(shù),即v(t)=S'(t);
瞬時加速度是運(yùn)動物體的速度v(t)對于時間t的導(dǎo)數(shù),即a(t)=v'(t).
f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f '(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f '(x)在x=x0處的函數(shù)值.
知識辨析
1.Δx和Δy一定是正數(shù)嗎
2.Δx無限趨近于0與Δx=0的意思相同嗎
3.函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率為零,說明函數(shù)值在此區(qū)間上沒有發(fā)生變化,對嗎
4.f'(x)與f'(x0)表達(dá)的意思相同嗎
5.運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時加速度為0,那么該時刻物體一定停止運(yùn)動嗎
一語破的
1.不一定.Δx可正、可負(fù),但不能為0;Δy可正、可負(fù)、可為0(當(dāng)f(x)為常數(shù)函數(shù)時,Δy=0).
2.不相同.Δx無限趨近于0是一種極限思想,它無限逼近于0,但是不等于0.
3.不對.只能說明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)可以有變化.
4.不相同.f'(x)表示函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),是一個變量,而f'(x0)表示f'(x)在x=x0處的函數(shù)值,是確定的值.
5.不一定.瞬時加速度刻畫的是速度在某一時刻變化得快慢,瞬時加速度為0時,速度不一定為0.
定點 1 平均變化率與瞬時變化率
關(guān)鍵能力 定點破
　
　　平均變化率:對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變化到x1的過程中,若設(shè)Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0), 則稱 = 為函數(shù)f(x)在點x0附近的平均變化率.
瞬時變化率:在上述過程中,當(dāng)Δx無限趨近于0,即x1無限趨近于x0時,稱 = 為
f(x)在x=x0處的瞬時變化率.
平均變化率與瞬時變化率是兩個不同的概念,但可以用平均變化率的值來估算瞬時變化率的 值,當(dāng)Δx無限趨近于0時,平均變化率無限趨近于的常數(shù)即為瞬時變化率.
典例 已知自由落體的物體的運(yùn)動方程為s= gt2,求:
(1)物體在t0到t0+Δt這段時間內(nèi)的平均速度;
(2)物體在t0時刻的瞬時速度.
解析 (1)物體在t0到t0+Δt這段時間內(nèi)路程的增量Δs= g(t0+Δt)2- g ,因此,物體在這段時間
內(nèi)的平均速度 = = = g· = g·(2t0+Δt).
(2)物體在t0時刻的瞬時速度v= = g(2t0+Δt)=gt0.
方法技巧 求瞬時速度的步驟:(1)求平均速度 ,(2)令Δt→0,求出瞬時速度.
　
1.導(dǎo)數(shù)定義的等價形式
　 y'= ;
　 y'= ;
　 y'= .
　　注意:自變量之差與函數(shù)值之差要相互對應(yīng).
2.求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟
(1)求函數(shù)的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率: = ;
定點 2 求函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)
(3)取極限,得導(dǎo)數(shù):f'(x0)= .
典例 (1)下列各式中正確的是 (　 )
A.y' =
B.y' =
C.y' =
D.y' =
(2)已知函數(shù)f(x)在x=x0處可導(dǎo),若 =1,則f'(x0)= (　 )
A.1　　　 B. 　　　 C.3　　　 D.0
C
B
解析 (1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為y' = ,其中Δy是函數(shù)值的差,Δx是自變
量的差,顯然A、B、D都不符合;對于C,Δx→0等價于x→x0,所以y' = .故選C.
(2) =3 =3f'(x0)=1,所以f'(x0)= .故選B.
易錯警示 導(dǎo)數(shù)的定義有多種等價形式,其本質(zhì)結(jié)構(gòu)都是f'(x0)= ,應(yīng)用時注意Δx與Δy的
取值要對應(yīng).

1.曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程
(1)點P(x0, f(x0))為切點;
(2)切線斜率k=f'(x0);
(3)切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.曲線y=f(x)過點P(x0, f(x0))的切線方程
(1)點P可能是切點,也可能不是切點;
(2)如果點P不是切點,則切線可能不止一條,切線條數(shù)與切點個數(shù)有關(guān),此時求切線方程的一 般步驟如下:
①設(shè)出切點(x1, f(x1));
②求出函數(shù)f(x)在點(x1, f(x1))處的導(dǎo)數(shù)f'(x1);
定點 3 求曲線的切線方程
③寫出切線方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),將(x0,f(x0))代入,求得x1;
④將x1代入切線方程,化簡得到最終方程.
3.注意
(1)直線l與曲線C有唯一公共點時,直線l不一定是曲線的切線,如圖中的直線l1.
(2)當(dāng)直線l與曲線C有不止一個公共點時,直線l也可能是曲線C的切線,如圖中的直線l2,其中N 是切點.

典例 已知曲線y=f(x)=x3-3x上一點P(1,-2).
(1)求曲線y=f(x)在點P處的切線方程;
(2)求曲線y=f(x)過點P的切線方程.
思路點撥 (1)在點P處的切線,則P為切點 切線斜率f'(1) 切線方程.
(2)過點P,則P不一定是切點 設(shè)出切點坐標(biāo)(x0, -3x0) 切線斜率f'(x0) 利用P在切線
上求出x0 切線方程.
解析 (1) = =3x·Δx+3x2+(Δx)2-3,
當(dāng)Δx→0時, →3x2-3,
∴f'(x)=3x2-3,則曲線y=f(x)在點P處的切線的斜率為f'(1)=0,
∴所求切線的方程為y=-2.
(2)設(shè)切點坐標(biāo)為(x0, -3x0),則由(1)知切線的斜率為f'(x0)=3 -3,
∴切線的方程為y-( -3x0)=(3 -3)(x-x0),又切線過點P(1,-2),
∴-2-( -3x0)=(3 -3)(1-x0),
整理得(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=- .
∴所求切線的斜率為0或- ,故切線的方程為y=-2或9x+4y-1=0.
易錯警示 求曲線的切線方程時,首先要區(qū)分是“在某點處”還是“過某點”.如果是“過 某點”,那么應(yīng)先設(shè)出切點坐標(biāo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式,求出切點坐標(biāo),進(jìn)而求出 切線方程.5.1.2　瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　曲線的割線、切線的斜率
1.已知點A(x1,y1),B(x2,y2)在函數(shù)y=f(x)的圖象上,若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為,則下面敘述正確的是(　　)
A.曲線y=f(x)的割線AB的傾斜角為
B.曲線y=f(x)的割線AB的傾斜角為
C.曲線y=f(x)的割線AB的斜率為-
D.曲線y=f(x)的割線AB的斜率為-
2.過曲線y=上一點(2,-2)及其附近一點(2+Δx,-2+Δy)作割線,則當(dāng)Δx=0.5時,割線的斜率為(　　)
A.
3.若拋物線y=x2-x+c上一點P的橫坐標(biāo)是-2,拋物線在點P處的切線恰好過坐標(biāo)原點O,則實數(shù)c的值為　　　　.
題組二　瞬時速度與瞬時加速度
4.已知某質(zhì)點運(yùn)動的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系為s(t)=,則該質(zhì)點在t=3 s時的瞬時速度為(　　)
A. m/s　　　　B.- m/s　　　　C. m/s　　　　D.- m/s
5.某堆雪在融化過程中,其體積V(單位:m3)與融化時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系:V(t)=H(H為常數(shù)),其圖象如圖所示.記這堆雪從開始融化到結(jié)束的平均融化速度為(m3/h),則
瞬時融化速度等于(m3/h)的時刻是(　　)
A.t1　　　　B.t2　　　　C.t3　　　　D.t4
6.寧啟鐵路線新開行的“綠巨人”動力集中復(fù)興號動車組列車的最高速度為160 km/h.假設(shè)“綠巨人”開出站一段時間內(nèi),速度v(m/s)與行駛時間t(s)的關(guān)系為v=6.6t+0.6t2,則出站后“綠巨人”的速度首次達(dá)到48 m/s時的加速度為(　　)
A.12.6 m/s2　　　　B.14.6 m/s2 C.14.8 m/s2　　　　D.16.8 m/s2
7.某質(zhì)點的位移s(單位:m)與時間t(單位:s)滿足函數(shù)關(guān)系式s=t4+3t2-t,當(dāng)t=t0 s時,該質(zhì)點的瞬時加速度大于9 m/s2,則t0的取值范圍是(　　)
A. C.(1,+∞)　　　　D.
8.某物體的運(yùn)動方程為s=(位移s的單位:m,時間t的單位:s),求:
(1)物體在[3,5]這段時間內(nèi)的平均速度;
(2)物體的初速度v0;
(3)物體在t=1 s時的瞬時速度.
題組三　導(dǎo)數(shù)的定義及應(yīng)用
9.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為(　　)
A.f'(x0)=
B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f'(x0)=
10.設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則=(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9
11.已知f(x)=x2-1,則f'(1)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
12.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且f'(1)=2 021,則=　　　　.
題組四　導(dǎo)數(shù)的幾何意義
13.曲線f(x)=x3+1在點(-1, f(-1))處的切線方程為(　　)
A.y=-3x-1　　　　B.y=3x+1
C.y=3x+3　　　　D.y=-3x-3
14.如圖,已知函數(shù)f(x)的圖象在點P(2, f(2))處的切線為l,則f(2)+f'(2)=(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.1
15.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示, f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.0B.0C.0D.0<16.已知函數(shù)f(x)可導(dǎo),且=1,則曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線的傾斜角為　　(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.135°
17.(多選題)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的圖象在點(m, f(m))處的切線為lm,則(　　)
A.lm的斜率的最小值為-2
B.lm的斜率的最小值為-3
C.l0的方程為y=1
D.l-1的方程為y=9x+6
18.已知函數(shù)g(x)與f(x)=x2(x∈[0,+∞))的圖象關(guān)于直線y=x對稱,將g(x)的圖象先向右平移2個單位,再向下平移2個單位得到h(x)的圖象,若P,Q分別為函數(shù)f(x),h(x)圖象上的點,則這兩點間距離的最小值為　　　　.
19.已知函數(shù)f(x)=x3.
(1)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f(x)在x=2處的導(dǎo)數(shù);
(2)過點(2,8)作曲線y=f(x)的切線,求切線的方程.
答案與分層梯度式解析
5.1.2　瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率為,則割線AB的斜率為,傾斜角為.故選B.
2.B　,當(dāng)Δx=0.5時,,故選B.
3.答案　4
解析　把x=-2代入y=x2-x+c中,得y=6+c,即P(-2,6+c),所以拋物線在點P處的切線斜率為-,
易知拋物線在點P及其附近一點(-2+Δx,6+c+Δy)的割線的斜率k==Δx-5,
當(dāng)Δx趨近于0時,k趨近于-5,故拋物線在點P處的切線斜率為-5,故-=-5,解得c=4.
4.D　,
所以.故選D.
5.C　由題意得平均融化速度,表示V(t)的圖象與坐標(biāo)軸交點所連直線的斜率,
觀察可知在t3處,瞬時融化速度(即切線的斜率)與平均融化速度相等,故選C.
6.A　設(shè)t0 s時,“綠巨人”的速度首次達(dá)到48 m/s,
則48=6.6t0+0.6,即+11t0-80=0,
解得t0=5或t0=-16(舍去),
=(12.6+0.6Δt)=12.6,
即速度首次達(dá)到48 m/s時的加速度為12.6 m/s2,
故選A.
7.B　由題意可得
s'(t)=
=[(Δt)3+4t·(Δt)2+6t2Δt+3Δt+4t3+6t-1]
=4t3+6t-1,
設(shè)f(t)=4t3+6t-1,
則f'(t0)=
=+12t0·Δt+6]=12+6,
因為當(dāng)t=t0 s時,該質(zhì)點的瞬時加速度大于9 m/s2,所以f'(t0)=12+6>9,所以t0>,所以t0的取值范圍是.故選B.
8.解析　(1)由已知得物體在[3,5]內(nèi)的運(yùn)動方程為s=3t2+2,
所以平均速度為=24(m/s).
(2)要求物體的初速度v0,即求物體在t=0 s時的瞬時速度,
因為
==3Δt-18,
所以物體在t=0 s時的瞬時變化率為(3Δt-18)=-18,所以物體的初速度為-18 m/s.
(3)因為
==3Δt-12,
所以物體在t=1 s時的瞬時變化率為(3Δt-12)=-12,即物體在t=1 s時的瞬時速度為-12 m/s.
9.A　
10.A　×3=1.故選A.
易錯警示　導(dǎo)數(shù)的定義有多種等價形式,其本質(zhì)結(jié)構(gòu)都是f'(x0)=,應(yīng)用時注意Δx與Δy的取值要對應(yīng).
11.C　由f(x)=x2-1,
得f'(1)=(2+Δx)=2.
故選C.
12.答案　1
解析　由導(dǎo)數(shù)定義可知f'(1)==2 021,
所以×2 021=1.
13.C　由題可得f(-1)=-1+1=0, f'(-1)=[(Δx)2+3-3Δx]=3,
所以曲線f(x)=x3+1在點(-1, f(-1))處的切線方程為y=3(x+1),即y=3x+3.故選C.
14.D　由題圖可得切線l過點(0,4)和(4,0),故切線斜率為=-1,切線方程為=1,所以f'(2)=-1,切點坐標(biāo)為(2,2),則f(2)=2,所以f(2)+f'(2)=2-1=1.故選D.
15.B　f'(1)和f'(3)分別表示曲線f(x)在x=1和x=3處的切線的斜率,表示直線AB的斜率,觀察題圖可知016.A　由=1,可得f'(1)=1,則曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線的斜率為1,
設(shè)曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線的傾斜角為θ(0°≤θ<180°),則tan θ=1,可得θ=45°.故選A.
17.BCD　f'(m)=
=[3m2-6m+3mΔx-3Δx+(Δx)2]=3m2-6m=3(m-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值為-3.
因為f'(0)=0, f(0)=1,所以l0的方程為y=1.
因為f'(-1)=9, f(-1)=-3,所以l-1的方程為y+3=9(x+1),即y=9x+6.故選BCD.
18.答案　
解析　將直線y=x先向右平移1個單位,再向下平移1個單位可得函數(shù)f(x)和h(x)圖象的對稱軸,即直線y=x-1-1,即y=x-2,
所以P,Q兩點之間距離的最小值等于P到直線y=x-2距離的最小值的2倍,易知當(dāng)點P到直線y=x-2的距離最小時, f(x)的圖象在點P處的切線平行于直線y=x-2,設(shè)P(x0,y0),
則=Δx+2x0,當(dāng)Δx→0時,→2x0,故函數(shù)f(x)=x2的圖象在點P處的切線斜率為2x0,故2x0=1,解得x0=,則y0=,
所以點P到直線y=x-2的距離的最小值為,
所以P,Q兩點之間距離的最小值為2×.
方法技巧　曲線上的點到直線距離的最小值即為曲線上與該直線平行的切線的切點到該直線的距離.
19.解析　(1)由已知得
==(Δx)2+6Δx+12,
所以[(Δx)2+6Δx+12]=12,則f'(2)=12.
(2)設(shè)切點為(x0,),則切線的斜率k=f'(x0)=,
故切線方程為y-(x-x0),
將點(2,8)代入得8-(2-x0),即+4=0,得(x0+1)(x0-2)2=0,
所以x0=-1或x0=2,
所以切線方程為3x-y+2=0或12x-y-16=0.
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