資源簡介

(共17張PPT)
5.2　導數的運算
知識點 1 基本初等函數的求導公式
必備知識 清單破
原函數 導函數
f(x)=xα(α為常數) f '(x)=αxα-1
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a
f(x)=ex f '(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=
原函數 導函數
f(x)=ln x f '(x)=
f(x)=sin x f '(x)=cos x
f(x)=cos x f '(x)=-sin x
特別提醒 幾個常用函數的導數
(1)若f(x)=C(C為常數),則f '(x)=0.
(2)若f(x)= ,則f '(x)=- .
(3)若f(x)= ,則f '(x)= .
設函數f(x),g(x)均可導,且其導數分別為f'(x),g'(x),則
知識點 2 函數的和、差、積、商的求導法則
和的導數 [f(x)+g(x)]'=f '(x)+g'(x)
差的導數 [f(x)-g(x)]'=f '(x)-g'(x)
積的導數 [Cf(x)]'=Cf '(x)(C為常數),[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
商的導數 '= (g(x)≠0)
　
　　一般地,對于由函數y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數y=f(g(x)),它的導數與函數y=f(u),u=
g(x)的導數間的關系為y'x=y'u·u'x.
知識點 4 簡單復合函數的導數
知識辨析
1.[f(x0)]'=f'(x0),對嗎
2.(ax)'=xax-1(a>0,且a≠1),對嗎
3.若f'(x)=1,則f'(x)的原函數一定是f(x)=x嗎
4.已知函數f(x)=x- x2-ln x,則f'(-1)=3,正確嗎
一語破的
1.不對.f(x0)是一個常數,所以[f(x0)]'=0,而f'(x0)是當x=x0時f'(x)的函數值,不一定為0.
2.不對.(ax)'=axln a(a>0,且a≠1),而(xa)'=axa-1(a是常數).求導時不要混淆指數函數和冪函數的求 導公式.
3.不一定.若f'(x)=1,則f(x)=x+c(c為常數).
4.不正確.函數f(x)的定義域為{x|x>0},所以f'(-1)的值不存在.
利用導數的四則運算法則求導的策略
(1)若待求導的函數是兩個函數商的形式,則可先對函數進行適當變形,再求導.
(2)對于多個整式乘積形式的函數,可以考慮展開,化為和、差形式,再求導.
(3)對于三角函數,可考慮先進行恒等變形,再求導.
定點 1 利用導數的四則運算法則求導
關鍵能力 定點破
典例 求下列函數的導數.
(1)y=ln x+ ;
(2)y=(2x2-1)(3x+1);
(3)y=x-sin cos ;
(4)y= .
解析 (1)y'= '=(ln x)'+ '= - .
(2)因為y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3.
(3)因為y=x-sin cos =x- sin x,
所以y'= '=x'- '=1- cos x.
(4)y'= '= =- .
1.復合函數求導的步驟
定點 2 復合函數的導數
(1)通常是將復合函數分解為基本初等函數;
(2)求導時分清是對哪個變量求導;
(3)計算結果盡量簡單.
2.求復合函數的導數的注意點
典例 求下列函數的導數:
(1)y= ;
(2)y=(1-2x)3;
(3)y=sin ;
(4)y=22x+1.
解析 (1)函數y= 可以看作函數y= 和u=3x+1的復合函數,
∴y'x=y'u·u'x= '·(3x+1)'= '·3=-3 =-3(3x+1 .
(2)函數y=(1-2x)3可以看作函數y=u3和u=1-2x的復合函數,
∴y'x=y'u·u'x=(u3)'·(1-2x)'=-6u2=-6(1-2x)2.
(3)函數y=sin 可以看作函數y=sin u和u= -3x的復合函數,
∴y'x=y'u·u'x=(sin u)'· '=-3cos u=-3cos =3sin 3x.
(4)函數y=22x+1可以看作函數y=2u和u=2x+1的復合函數,
∴y'x=y'u·u'x=(2u)'·(2x+1)'=2·2uln 2=2·22x+1ln 2=4x+1ln 2.
切線問題的處理思路
(1)對函數進行求導;
(2)若已知切點,則直接求出切線斜率、切線方程;
(3)若切點未知,則先設出切點,用切點表示切線斜率,再根據條件求出切點坐標.
在解決此類問題時,求函數的導數是基礎,找出切點是關鍵.
定點 3 利用導數運算解決切線問題
典例 (1)若直線l:y=kx+b 與曲線f(x)=ex-1和g(x)=ln(x+1)均相切,則直線l的方程為　　 ;
(2)若點P是曲線y=x2-ln x-1上任意一點,則點P到直線y=x-3距離的最小值為　　　 .
y=x
解析 (1)設直線l與曲線f(x),g(x)分別相切于點A(x1, ),B(x2,ln(x2+1)),
由f'(x)=ex-1,g'(x)= ,可得k= = ,故曲線f(x)在點A處的切線方程為y- = (x-x1),即y
= x+ (1-x1),
曲線g(x)在點B處的切線方程為y-ln(x2+1)= (x-x2),即y= x+ln(x2+1)- ,由

得 ln(1+x2)=ln(1+x2)- ,
故 = ln(1+x2),故x2=0或ln(1+x2)=1,
若ln(1+x2)=1,則x2+1=e,則 = < ,不合題意,舍去,故x2=0,此時直線l的方程為y=x.
(2)由題意可得,當點P到直線y=x-3的距離最小時,曲線y=x2-ln x-1在點P處的切線平行于直線y =x-3,設P(x0,y0).
因為y=x2-ln x-1,所以y'=2x- ,
所以y' =2x0- =1,
解得x0=1或x0=- (舍去),
則y0=12-ln 1-1=0,即P(1,0).
故點P到直線y=x-3距離的最小值為 = .5.2.3　簡單復合函數的導數
基礎過關練
題組一　復合函數的求導法則
1.已知f(x)=,則f'(x)=(　　)
A.
2.(多選題)下列求導正確的是(　　)
A.(e3x)'=3e2x　　　　
B.(2sin x-3)'=2cos x
C.　　　　
D.(xcos x)'=cos x-xsin x
3.設函數f(x)=xsin 2x,則f'=　　　　.
4.設函數f(x)=,若f'(0)=1,則a=　　　　.
5.已知函數f(x)=-x2+3xf'(1)+6ln(2x+1),則f(1)=　　　　.
6.求下列函數的導數:
(1)y=(x2+3x+3)ex+1;
(2)y=;
(3)y=ln;
(4)y=sin2.
題組二　復合函數求導的綜合運用
7.已知曲線y=x+kln(1+x)在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,則k的值為(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.-6
8.已知f(x)=(a≠0)是奇函數,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程是(　　)
A.y=0　　　　B.y=x
C.y=2x　　　　D.y=ex
9.某海灣擁有世界上最大的海潮.假設在該海灣某一固定點處,大海水深d(單位:m)與午夜后的時間t(單位:h)之間的關系為d(t)=10+4cost,則下午5:00時該固定點的水位變化的速度(單位:m/h)為(　　)
A.
10.(多選題)關于雙曲正弦函數sinh x=和雙曲余弦函數cosh x=,下列結論正確的是(　　)
A.sinh(-x)=-sinh x
B.(cosh x)'=-sinh x
C.cosh(-1)D.sinh2x-cosh2x=1
11.若曲線y=ln(x+a)的一條切線為y=ex+b,其中a,b為正實數,則a+的取值范圍是　　　　.
能力提升練
題組　復合函數的導數及其應用
1.已知ω是正整數,函數f(x)=sin(ωx+ω)在(0,ωπ)內恰好有4個零點,其導函數為f'(x),則f(x)+f'(x)的最大值為(　　)
A.2　　　　B.
C.3　　　　D.
2.將函數g(x)=sin ωx(ω>0)的圖象向左平移(0<φ<π)個單位長度得到函數f(x)的圖象, f(0)=, f'(x)為f(x)的導函數,且f'(0)<0,若當x∈[0,π]時, f(x)的取值范圍為,則ω的取值范圍為(　　)
A.≤ω<1　　　　B.≤ω≤1
C.≤ω<≤ω≤
3.已知A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>x2)是函數f(x)=ln|x|圖象上的兩個不同點,且曲線f(x)在A,B兩點處的切線互相垂直,則x1-x2的取值范圍為(　　)
A.(0,+∞)　　　　B.(0,2)
C.[1,+∞)　　　　D.[2,+∞)
4.若函數y1=sin 2x1+,y2=x2+3,則的最小值為(　　)
A.
C.
5.已知函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)為偶函數,則g'(7)+g(17)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
6.若 m∈R, a,b∈R,使得=f(m)成立,則稱函數f(x)滿足性質Ω,下列函數不滿足性質Ω的是(　　)
A.f(x)=x2+3x　　　　B.f(x)=
C.f(x)=e-x+1　　　　D.f(x)=cos(1-2x)
7.設函數f(x)的定義域為R, f'(x)為f(x)的導函數, f(x+1)-f(2-x)=2x-1,則=　　　　.
8.已知函數f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, f'(x)是f(x)的導函數,且a=f',求過曲線y=x3上一點P(a,b)的切線方程.
答案與分層梯度式解析
5.2.3　簡單復合函數的導數
基礎過關練
1.D　f(x)=,則f'(x)=.故選D.
2.BD　(e3x)'=3e3x,故A錯誤;(2sin x-3)'=2cos x,故B正確;,故C錯誤;(xcos x)'=x'cos x+x(cos x)'=cos x-xsin x,故D正確.故選BD.
3.答案　-π
解析　由已知得 f'(x)=sin 2x+2xcos 2x,
所以f'=sin π+2×cos π=-π.
4.答案　1
解析　由題意可知f'(x)=,由f'(0)=1,得=1,所以a=1.
5.答案　6ln 3-4
解析　f'(x)=-2x+3f'(1)+,則f'(1)=-2+3f'(1)+4,得f'(1)=-1,
所以f(x)=-x2-3x+6ln(2x+1),故f(1)=6ln 3-4.
6.解析　(1)因為y=(x2+3x+3)ex+1,
所以y'=(x2+3x+3)'·ex+1+(x2+3x+3)·(ex+1)'
=(2x+3)ex+1+(x2+3x+3)ex+1=ex+1(x2+5x+6).
(2)因為y=,
所以y'=
=.
(3)因為y=ln,所以y'=.
(4)因為y=sin2,
所以y'=.
7.B　由y=x+kln(1+x)得y'=1+,所以y'x=1=1+,即曲線y=x+kln(1+x)在x=1處的切線斜率為1+,又直線x+2y=0的斜率為-,所以-=-1,解得k=2.故選B.
8.C　∵f(x)為奇函數,∴f(-x)+f(x)==0,可得(eax-1)(eax-e2x)=0,
∵a≠0,∴eax-1=0不恒成立,則eax=e2x,可得a=2,∴f(x)==ex-e-x,
則f(0)=0, f'(x)=ex+e-x,故f'(0)=2,可知切點坐標為(0,0),切線斜率為2,∴切線方程為y=2x.
故選C.
9.A　由d(t)=10+4cost,得d'(t)=-t,所以下午5:00時該固定點的水位變化的速度為d'(17)=-(m/h).故選A.
10.AC　sinh(-x)==-sinh x,
∴A中結論正確;
(cosh x)'==sinh x≠-sinh x,
∴B中結論錯誤;
cosh 2-cosh(-1)=>0,∴cosh 2>cosh(-1),∴C中結論正確;
sinh2x-cosh2x==-1,
∴D中結論錯誤.故選AC.
11.答案　[2,+∞)
解析　設切點為(x0,y0),由y=ln(x+a)得y'=,所以解得b=ae-2,
因為b>0,所以a>,
則a+≥2=2,當且僅當a=,即a=1時取等號,故a+的取值范圍為[2,+∞).
能力提升練
1.B　設f(x)的周期為T,則T=.
因為f(x)在(0,ωπ)內恰好有4個零點,
所以<ωπ-0≤,即<ωπ≤,所以3<ω2≤5,
又ω∈N*,所以ω=2,即f(x)=sin(2x+2),則f'(x)=2cos(2x+2),
所以f(x)+f'(x)=sin(2x+2)+2cos(2x+2)=sin(2x+2+φ)≤,其中tan φ=2,φ∈.故選B.
2.D　由題意得f(x)=sin=sin(ωx+φ),
則f'(x)=ωcos(ωx+φ),f(0)=sin φ=, f'(0)=ωcos φ<0,
∵ω>0,∴cos φ<0,又0<φ<π,∴φ=,
∴f(x)=sin.
當x∈[0,π]時,ωx+,
∵f(x)∈,∴π≤πω+,解得≤ω≤.故選D.
3.D　當x>0時, f(x)=ln x, f'(x)=,
當x<0時, f(x)=ln(-x), f'(x)=-,
因為曲線f(x)在A,B兩點處的切線互相垂直,
所以f'(x1)·f'(x2)==-1,即x1x2=-1,
又x1>x2,所以x1>0>x2,
因此x1-x2=x1+≥2=2,
當且僅當x1=,即x1=1時,等號成立,
所以x1-x2的取值范圍為[2,+∞).故選D.
4.D　(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值即點(x1,y1)和(x2,y2)之間的距離的平方的最小值.
由題可得y'1=2cos 2x1,令y'1=1,則cos 2x1=,
又x1∈,所以x1=,所以y1=,
故函數y1=sin 2x1+處的切線與直線y2=x2+3平行.
易得切點到直線y2=x2+3的距離為,
易知到直線y2=x2+3的距離的平方,
所以.
故選D.
5.C　∵g(3+x)為偶函數,∴g(3+x)=g(3-x),
又g(x)=f'(x+1),∴f'(x+4)=f'(-x+4),
對f(2+x)-f(2-x)=4x兩邊同時求導,得f'(2+x)+f'(2-x)=4,∴f'(4+x)+f'(-x)=4,即f'(4-x)+f'(-x)=4,∴f'(4+x)+f'(x)=4,則f'(8+x)=f'(x),∴函數f'(x)的周期為8,
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,
∴g(17)=f'(18)=f'(2)=2,
∵g(3+x)=g(3-x),
∴g'(3+x)=-g'(3-x),∴g'(7)=-g'(-1)①,
又f'(8+x)=f'(x),∴g(7+x)=g(x-1),∴g'(7+x)=g'(x-1),∴g'(7)=g'(-1)②,
由①②可得g'(7)=0,∴g'(7)+g(17)=2,故選C.
6.C　由題意得f(x)的值域是f'(x)值域的子集.
對于A,由二次函數的性質知f(x)=x2+3x的值域為,∵f'(x)=2x+3,∴f'(x)的值域為R,
則 R,A滿足性質Ω;
對于B, f(x)的值域為(0,1],且f(x)=
當x≥0時, f'(x)=∈[-2,0),當x<0時, f'(x)=∈(0,2),
顯然f(x)的值域是f'(x)值域的子集,B滿足性質Ω;
對于C,∵-x+1∈R,∴f(x)=e-x+1的值域為(0,+∞),
∵f'(x)=-e-x+1,∴f'(x)的值域為(-∞,0), f(x)的值域不是f'(x)值域的子集,C不滿足性質Ω;
對于D,∵1-2x∈R,∴f(x)=cos(1-2x)的值域為[-1,1],∵f'(x)=2sin(1-2x),∴f'(x)的值域為[-2,2],則[-1,1] [-2,2],D滿足性質Ω.故選C.
7.答案　89
解析　由f(x+1)-f(2-x)=2x-1,得f'(x+1)+f'(2-x)=2,所以f'(x)+f'(3-x)=2,令x=,則2f'=2,即f'=1,易知f'=2,
則+f'+…++1=89.
8.解析　f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,
則a=f'=3-2sin +2cos =1.
∵點P在曲線y=x3上,∴b=a3=1,
∴點P的坐標為(1,1).
由y=x3得y'=3x2.
設切點坐標為(x0,),則切線的斜率為3,
∴切線方程為y-(x-x0).
又P(1,1)在切線上,∴1-(1-x0),
∴2+1=0,
∴(x0-1)2(2x0+1)=0,∴x0=-或x0=1,
∴切點的坐標為或(1,1),
∴滿足題意的切線方程為y+或y-1=3(x-1),即3x-4y+1=0或3x-y-2=0.
115.2　導數的運算
5.2.1　基本初等函數的導數
基礎過關練
題組一　利用導數公式求函數的導數
1.已知函數f(x)=,則f'(3)=(　　)
A.
2.(多選題)已知函數f(x)=,且f'(m)=-1,則m的值可以為(　　)
A.1　　　　B.-1 C.2　　　　D.-2
3.下列運算正確的是(　　)
A.　　　　B.(4x)'=x·4x-1
C.(x-5)'=-
4.已知函數f1(x)=sin x, fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,則f2 020=(　　)
A.-
5.已知函數f(x)=xα的圖象過點(2,8),則f'(1)=　　　　.
6.已知f(x)=,g(x)=mx,且g'(3)=,則m=　　　　.
題組二　導數公式的應用
7.(多選題)設b為實數,則直線y=2x+b能作為
下列函數圖象的切線的有(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=x4 C. f(x)=ex　　　　D. f(x)=sin x
8.已知直線l經過點(0,b),且與直線y=2x平行,若l與曲線y=x2相切,則b=(　　)
A.-　　　　B.-1 C.1　　　　D.
9.已知函數f(x)及其導函數f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),則稱x0是f(x)的一個“巧值點”,下列函數中沒有“巧值點”的是(　　)
A. f(x)=x　　　　B. f(x)=ex C. f(x)=cos x　　　　D. f(x)=
10.若曲線y=ln x上恰有三個不同的點到直線y=x+a的距離為,則實數a的值為(　　)
A.-3　　　　B.-2 C.1　　　　D.-3或1
11.設曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸交點的橫坐標為xn,令an=lg ,則a1+a2+a3+…+a2 022 =　　　　.
12.若曲線f(x)=logax(a>1)與曲線g(x)=在公共點處有相同的切線,則a=　　　　.
13.已知直線l分別與曲線f(x)=ln x,g(x)=ex相切于點(x1,ln x1),(x2,),則的值為　　　　.
答案與分層梯度式解析
5.2　導數的運算
5.2.1　基本初等函數的導數
基礎過關練
1.A　由題意得f'(x)=.
故選A.
2.AB　由題意得f'(x)=-,則f'(m)=-=-1,∴m=±1.故選AB.
3.D　'=0,A錯誤;(4x)'=4xln 4,B錯誤;(x-5)'=-5x-6,C錯誤;(log2x)'=,D正確.故選D.
4.C　由題意得f2(x)=f'1(x)=cos x, f3(x)=f'2(x)=-sin x, f4(x)=f'3(x)=-cos x, f5(x)=f'4(x)=sin x,
……,則fn+4(x)=fn(x),故f2 020(x)=f4(x)=-cos x,所以f2 020.故選C.
5.答案　3
解析　將點(2,8)代入f(x)=xα可得8=2α,即α=3,所以f(x)=x3,則f'(x)=3x2,故f'(1)=3.
6.答案　-9
解析　由f(x)=得f'(x)=-,所以f'(3)=-,
由g(x)=mx得g'(x)=m,
所以m=g'(3)==-9.
7.BC　若直線y=2x+b為函數y=f(x)圖象的切線,則f'(x)=2有解.
對于A, f'(x)=-<0, f'(x)不可能等于2,不符合題意;
對于B, f'(x)=4x3,令4x3=2,解得x=,符合題意;
對于C, f'(x)=ex,令ex=2,解得x=ln 2,符合題意;
對于D, f'(x)=cos x∈[-1,1],故f'(x)不可能等于2,不符合題意.故選BC.
8.B　設切點為(m,m2),對y=x2求導,得y'=2x,因為l與曲線y=x2相切,且與直線y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切點為(1,1),又l過點(0,b),所以2=,解得b=-1.故選B.
方法總結　利用導數解決切線問題時,要知道切點既在直(切)線上,又在曲線上,把切點的橫坐標代入所求的導數中,得切線的斜率.
簡記:在直在曲,代橫得k.
9.D　對于A, f'(x)=1,令f(x)=f'(x),則x=1,故f(x)=x有“巧值點”;
對于B, f'(x)=ex,令f(x)=f'(x),則x∈R,故f(x)=ex有“巧值點”;
對于C, f'(x)=-sin x,令cos x=-sin x,
則sin x+cos x=0,即=0,
所以x+=kπ,k∈Z,解得x=kπ-,k∈Z,
故函數f(x)=cos x有“巧值點”;
對于D, f(x)的定義域為{x|x>0},則f'(x)=-<0,而f(x)>0,所以f(x)=f'(x)無解,故f(x)=沒有“巧值點”.故選D.
10.A　設直線l與直線y=x+a平行,且與曲線y=ln x相切于點P(m,n),
易知y=ln x的定義域為(0,+∞),且y'=,所以y'x=m=,故l的斜率為,
所以=1,解得m=1,則n=ln 1=0,故P(1,0),
所以l的方程為y=x-1,
若曲線y=ln x上恰有三個不同的點到直線y=x+a的距離為,則直線l到直線y=x+a的距離為,
則,解得a=1或a=-3,
當a=1時,直線y=x+a即為y=x+1,與曲線y=ln x沒有交點,曲線y=ln x上只有一個點到直線y=x+1的距離為,不符合題意;
當a=-3時,直線y=x+a即為y=x-3,與曲線y=ln x有兩個交點,曲線y=ln x上恰有三個不同的點到直線y=x-3的距離為,一個點為點P,剩余的兩個點在直線y=x-3的右下方,符合題意,故a=-3.
故選A.
11.答案　lg 2 023
解析　由y=xn+1,得y'=(n+1)xn,所以曲線y=xn+1(n∈N*)在點(1,1)處的切線的斜率為n+1,
則切線的方程為y-1=(n+1)(x-1).
令y=0,得x=,即xn=,
因此an=lg =lg(n+1)-lg n,n∈N*,
所以a1+a2+a3+…+a2 022=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+(lg 4-lg 3)+…+(lg 2 023-lg 2 022)=lg 2 023-lg 1=lg 2 023.
12.答案　
解析　由題意得f'(x)=,
設f(x)與g(x)的圖象的公共點為(x0,y0),
則
則則ln x0=2,所以x0=e2,
∴ln a=,故a=.
解題模板　用導數解決公切線問題的一般步驟
已知曲線C1:y=f(x)在點A(x1, f(x1))處的切線為l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理得y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1);曲線C2:y=g(x)在點B(x2,g(x2))處的切線為l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2),則有
曲線C1:y=f(x)與曲線C2:y=g(x)公切線的條數等價于方程組解的個數.
13.答案　1
解析　由題意得f'(x)=,g'(x)=ex,
曲線y=f(x)在點(x1,ln x1)處的切線方程為y-ln x1=(x-x1),曲線y=g(x)在點(x2,)處的切線方程為y-(x-x2),則得ln x1-1=ln (1-x2),
所以,可得=1.
75.2.2　函數的和、差、積、商的導數
基礎過關練
題組一　函數的和、差、積、商的導數
1.下列求導運算正確的是(　　)
A.　　　　B.(x2+3x)'=2x+3xlg 3
C.(xcos x)'=-sin x　　　　D.
2.已知函數f(x)=sin x+cos x,x∈(0,π),若f'(x0)=0,則x0=(　　)
A.
3.已知函數f(x)=3f'(1)x-x2+ln x+(f'(x)是f(x)的導函數),則f'(1)=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.
4.已知函數f(x)=x(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),則f'(0)=(　　)
A.315　　　　B.314　　　　C.-314　　　　D.-315
5.求下列函數的導數.
(1)y=3cos x-4sin x+2ex;
(2)y=log2x-3x;
(3)y=x2sin x+;
(4)y=ln x+.
題組二　求導法則的綜合應用
6.已知曲線f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在點(1, f(1))處的切線與直線x+y-1=0垂直,則ab的最大值為　　(　　)
A.1　　　　B.
7.已知函數f(x)=ln x+x的零點為x0,過原點作曲線y=f(x)的切線,切點為P(m,n),則mx0=(　　)
A.　　　　D.e2
8.函數f(x)=xsin x的導函數f'(x)在定義域[-π,π]上的圖象大致為　(　　)
A　 B　 C　 D　
9.已知點P是曲線x2=4y上的一個動點,則點P到直線x+y+4=0的距離的最小值是　　　　.
10.(2024江蘇高郵調研)已知函數f(x)=x3+x-2.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線方程;
(2)若直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標.
能力提升練
題組　導數的四則運算法則及其應用
1.設f'(x)為f(x)的導函數,若f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,則曲線y=f(x)在點(0, f(0))處的切線方程為(　　)
A.y=-x+1　　　　B.y=-2x+1
C.y=2x+1　　　　D.y=x+1
2.已知f'(x)是函數f(x)的導函數,且 x∈R,都有f'(x)=ex(2x-2)+f(x)(e是自然對數的底數), f(0)=1,則(　　)
A.f(x)=ex(x+1)　　　　B.f(x)=ex(x-1)
C.f(x)=ex(x+1)2　　　　D.f(x)=ex(x-1)2
3.已知將函數f(x)=xex+1的圖象繞原點按順時針方向旋轉后得到曲線y=g(x).若g(x)≥m,則實數m的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.(-∞,0]
C.(-∞,]　　　　D.(-∞,1]
4.若函數f(x)=x2-ax與g(x)=ln x+2x的圖象在公共點處有相同的切線,則實數a=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.e　　　　D.-2e
5.(多選題)函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域均為R,且f(x)-f(-x)=2x, f'(1+x)+f'(1-x)=0,則(注:f(1-x)的導數為-f'(1-x))(　　)
A.y=f(x)+x為偶函數
B.f(x)的圖象關于直線x=1對稱
C.f'(0)=1
D.f'(x+2)=f'(x)+2
6.已知函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的導函數為f'(x),關于x的不等式f(x)<0的解集為{x|17.對于三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),給出定義:設f'(x)是函數f(x)的導數, f ″(x)是f'(x)的導數,若方程f ″(x)=0有實數解x0,則稱點(x0, f(x0))為函數y=f(x)的“拐點”.經過探究發現:任何一個三次函數都有“拐點”,任何一個三次函數的圖象都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.設函數f(x)=,則f(x)的“拐點”為　　　　, f+…+f=　　　　.
8.已知函數f(x)=(1-x)ex.
(1)求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;
(2)過點A(a,0)作曲線y=f(x)的切線,若切線有且僅有1條,求實數a的值.
答案與分層梯度式解析
5.2.2　函數的和、差、積、商的導數
基礎過關練
1.D　,故A錯誤;
(x2+3x)'=(x2)'+(3x)'=2x+3xln 3,故B錯誤;
(xcos x)'=x'·cos x+x·(cos x)'=cos x-xsin x,故C錯誤;
,故D正確.故選D.
2.A　由已知得f'(x)=cos x-sin x,∴f'(x0)=cos x0-sin x0=0,即tan x0=1,又x0∈(0,π),∴x0=.故選A.
3.C　由題意可得f'(x)=3f'(1)-2x+,所以f'(1)=3f'(1)-2+1,則 f'(1)=,
故選C.
4.D　設φ(x)=(x-3)(x-32)(x-33)(x-34)(x-35),則f(x)=xφ(x),則f'(x)=φ(x)+xφ'(x),∴f'(0)=φ(0)=-3×32×33×34×35=-31+2+3+4+5=-315,故選D.
5.解析　(1)由y=3cos x-4sin x+2ex,
可得y'=-3sin x-4cos x+2ex.
(2)由y=log2x-3x,可得y'=-3xln 3.
(3)由y=x2sin x+,可得y'=2xsin x+x2cos x+=2xsin x+x2cos x-.
(4)由y=ln x+,可得y'=.
6.C　f'(x)=ax+b,所以f'(1)=a+b.
因為曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線與直線x+y-1=0垂直,所以f'(1)=1,即a+b=1,
則ab≤,當且僅當a=b=時等號成立.故選C.
7.B　由已知得P(m,ln m+m), f'(x)=+1,則切線方程為y=(x-m)+ln m+m,
因為切線過原點,所以0=(-m)+ln m+m,解得m=e,則P(e,e+1),由ln x0+x0=0,可得x0=-ln x0,故mx0=ex0·=ex0·=e.故選B.
8.C　導函數f'(x)的定義域為[-π,π],關于原點對稱,又f'(x)=sin x+xcos x,∴f'(-x)=-sin x-xcos x=-f'(x),∴f'(x)為奇函數,其圖象關于原點對稱,排除A、B;f'(π)=0-π=-π<0,排除D.故選C.
9.答案　
解析　設直線l與直線x+y+4=0平行且與曲線y=x2相切,切點為(x0,y0),由y=x2,得y'=x,所以y'x0=-1,
則x0=-2,故切點坐標為(-2,1),
所以點P到直線x+y+4=0的距離的最小值即為(-2,1)到直線x+y+4=0的距離,即.
10.解析　(1)由題意得f'(x)=3x2+1,則f'(1)=3×12+1=4.
故曲線y=f(x)在點(1,0)處的切線方程為y-0=4(x-1),即4x-y-4=0.
(2)設切點為(x0,+x0-2),則f'(x0)=3+1,
故切線l的方程為y-(+1)(x-x0).
由切線l經過原點,得-(+1),
所以x0=-1,故切點為(-1,-4),
故切線l的方程為y+4=4(x+1),即y=4x.
能力提升練
1.D　∵f(x)=(x+1)ex-f'(0)x,
∴f'(x)=ex(x+2)-f'(0),
令x=0,得f'(0)=2-f'(0),∴f'(0)=1,
∴f(x)=(x+1)ex-x,∴f(0)=1,
∴曲線y=f(x)在點(0, f(0))處的切線方程為y-1=x-0,即y=x+1.故選D.
2.D　由f'(x)=ex(2x-2)+f(x),
得=2x-2,
即'=2x-2,所以=x2-2x+c(c為常數),
所以f(x)=ex(x2-2x+c),又因為f(0)=1,所以c=1,
所以f(x)=ex(x-1)2.故選D.
易錯警示　已知原函數可求出唯一的導函數,已知導函數求原函數時,結論不唯一,如本題中由'=2x-2可以得到=x2-2x+c(c為常數),解題時容易將c遺漏導致解題錯誤.
3.A　因為f(x)=xex+1,所以f'(x)=(x+1)ex.
由題意知g(x)的最小值為f(x)=xex+1圖象上的點到直線y=x的距離的最小值.
設直線l與直線y=x平行,且與曲線y=f(x)切于點P(x0,y0),則直線l的斜率為f'(x0)=(x0+1)=1,解得x0=0,從而P(0,1),
因此f(x)=xex+1圖象上的點到直線y=x的距離的最小值為點(0,1)到直線y=x的距離,即為,因此m≤.故選A.
4.B　由已知得f'(x)=2x-a,g'(x)=+2,設f(x)與g(x)的圖象的公共點的坐標為(x0,y0),
依題意有
由①得a=2x0--2③,把③代入②得+ln x0-1=0,
令h(x)=x2+ln x-1,顯然h(x)在(0,+∞)上單調遞增,易得h(1)=0,因此在+ln x0-1=0中,x0=1,此時a=-1,經檢驗,符合題意,所以a=-1.故選B.
5.BC　對于A,假設y=f(x)+x為偶函數,則f(-x)-x=f(x)+x,變形為f(x)-f(-x)=-2x,與f(x)-f(-x)=2x矛盾,故假設不成立,y=f(x)+x不是偶函數,A錯誤;
對于B,假設f(x)的圖象關于直線x=1對稱,則f(1+x)=f(1-x)若f(x+a)=f(-x+b),則f(x)的圖象關于直線x=對稱,
兩邊求導得f'(1+x)=-f'(1-x),即f'(1+x)+f'(1-x)=0,假設成立,B正確;
對于C,對f(x)-f(-x)=2x兩邊求導,得f'(x)+f'(-x)=2,
令x=0,得f'(0)+f'(0)=2,解得f'(0)=1,C正確;
對于D,由B選項知f(1+x)=f(1-x),用-x-1代替x,得f(-x)=f(x+2),
又f(x)-f(-x)=2x,故f(x)-f(x+2)=2x,即f(x+2)-f(x)=-2x,兩邊求導得f'(x+2)-f'(x)=-2,
所以f'(x+2)=f'(x)-2,D錯誤.故選BC.
6.答案　0;
解析　∵關于x的不等式f(x)<0的解集為{x|10,且ax2+bx+c=0的兩根為1和2,
由根與系數的關系得-=2,則b=-3a,c=2a,∴f(x)=a(x2-3x+2),則f'(x)=a(2x-3),
∴f'=-2a+2a=0.
,當且僅當a=2時等號成立,即.
7.答案　;2 022
解析　由已知得f'(x)=x2-x+3, f ″(x)=2x-1,令f ″(x)=0,得x=,又f=1,故f(x)的“拐點”為,即函數f(x)圖象的對稱中心是,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f+…+f
=f+…+f=×(2×2 022)=2 022.
8.解析　(1)f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex,
所以f'(1)=-e,又f(1)=0,
故曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程為y=-e(x-1),令x=0,得y=e,令y=0,得x=1,則切線與兩坐標軸的交點坐標分別為(1,0),(0,e),故圍成的三角形的面積為.
(2)設切點為(x0,(1-x0)),由(1)得f'(x)=-xex,則切線斜率k=-x0,故切線方程為y-(1-x0)·(x-x0),
又直線過點A(a,0),所以-(1-x0)(a-x0),化簡得-(a+1)x0+1=0.
由切線有且僅有1條,得Δ=[-(a+1)]2-4=0,化簡得a2+2a-3=0,即(a+3)(a-1)=0,解得a=-3或a=1.
10

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