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5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系
必備知識(shí) 清單破
5.3.1 單調(diào)性
2.由函數(shù)單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)
　　若函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有f'(x)≥0恒成立(但不恒等于0);若函數(shù) y=f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有f'(x)≤0恒成立(但不恒等于0).
知識(shí)辨析
1.在區(qū)間(a,b)內(nèi),若f'(x)>0,則f(x)在此區(qū)間上單調(diào)遞增,反之也成立嗎
2.若函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增,對(duì)嗎
3.由f'(x)>0或f'(x)<0能求得f(x)的單調(diào)區(qū)間,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間只能寫成開區(qū)間,這種說 法對(duì)嗎
4.“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是(a,b)”和“函數(shù)在(a,b)上單調(diào)”說法是一致的嗎
5.導(dǎo)數(shù)的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度,這個(gè)說法正確嗎
一語(yǔ)破的
1.不一定.比如f(x)=x3在R上為增函數(shù),但其在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)=0.
2.不對(duì).比如f(x)=- ,雖然在定義域內(nèi)滿足f'(x)= >0,但在其定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)不具有
單調(diào)性.
3.不對(duì).若函數(shù)在單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)處有意義,則區(qū)間寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可以,若無(wú)意義,則 只能寫成開區(qū)間.
4.不一致.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)單調(diào)的完整區(qū)間,而在某區(qū)間上單調(diào)時(shí),這個(gè)區(qū)間是函數(shù)單 調(diào)區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間.
5.不正確.導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小反映了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間或某點(diǎn)附近變化的快慢程度.
1.導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)圖象的變化,遵循“符號(hào)為正,圖象上升;符號(hào)為負(fù),圖象下降” 的原則.導(dǎo)函數(shù)圖象在x軸的上方或下方,確定導(dǎo)函數(shù)的正或負(fù).解決問題時(shí),一定要分清是原 函數(shù)圖象還是導(dǎo)函數(shù)圖象.
2.一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快, 這時(shí),函數(shù)的圖象就比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖象就“平緩”一些.
定點(diǎn) 1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象間的關(guān)系
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
典例 已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是 ( )

A B C　　　 D
C
解析 由題圖可知函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
則當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),f'(x)>0,且f'(-1)=0.
對(duì)于函數(shù)y=xf'(x),
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),xf'(x)>0;
當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),xf'(x)<0;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),xf'(x)>0,
且當(dāng)x=-1時(shí),xf'(x)=0,當(dāng)x=0時(shí),xf'(x)=0,顯然C符合.故選C.
1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的基本步驟
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求導(dǎo)數(shù)f'(x);
(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f'(x)>0或f'(x)<0;
(4)確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.
　　注意:單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集.
2.含參函數(shù)的單調(diào)性問題
　　研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題,要依據(jù)參數(shù)對(duì)導(dǎo)函數(shù)的影響進(jìn)行分類討論,通常考慮以下 幾方面:
①導(dǎo)函數(shù)的類型;
定點(diǎn) 2 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
②導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn);
③導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域內(nèi);
④若導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)有多個(gè)零點(diǎn),則需比較它們的大小關(guān)系.
典例 已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex- ax2(a∈R),討論f(x)的單調(diào)性.
思路點(diǎn)撥 求f(x)的定義域及f'(x) 對(duì)a分情況討論 確定f'(x)的符號(hào) 得到函數(shù)的單
調(diào)性.
解析 由已知得f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex+(x-1)ex-ax=x(ex-a).
若a≤0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,令f'(x)=0,得x=0或x=ln a.
①若a=1,則f'(x)=x(ex-1)≥0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
②若0當(dāng)x∈(-∞,ln a)∪(0,+∞)時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)x∈(ln a,0)時(shí),f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,ln a)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(ln a,0)上單調(diào)遞減.
③若a>1,則ln a>0,
當(dāng)x∈(-∞,0)∪(ln a,+∞)時(shí),f'(x)>0;
當(dāng)x∈(0,ln a)時(shí),f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,ln a)上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)0當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>1時(shí),f(x)在(-∞,0)和(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,ln a)上單調(diào)遞減.
已知f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào),求參數(shù)的值(取值范圍)的步驟
(1)求導(dǎo);
(2)將f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增(減)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立處理,即f '(x)≥0(f '(x)≤0)在(a,b)內(nèi)恒成立;
(3)利用最大(小)值解決不等式的恒成立問題,從而確定參數(shù)的值(取值范圍);
(4)注意驗(yàn)證等號(hào)能否取到.
定點(diǎn) 3 已知單調(diào)性求參數(shù)的值(取值范圍)
典例 已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b.
(1)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),求實(shí)數(shù)a的值.
思路點(diǎn)撥 (1)求f'(x) 由f'(x)≥0分離參數(shù)a 確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)思路一:f'(1)=0 確定實(shí)數(shù)a的值.思路二:對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論 得到實(shí)數(shù)a的值.
解析 (1)由題易得f(x)的定義域?yàn)镽,且f'(x)=3x2-a.
若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
則f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
因?yàn)閤>1,所以3x2>3,所以a≤3,
即a的取值范圍是(-∞,3].
(2)解法一:由題知f'(1)=3-a=0,解得a=3,經(jīng)驗(yàn)證,a=3滿足條件,所以a=3.
解法二:令f'(x)≥0,得x2≥ .
若a≤0,則x2≥ 恒成立,即f'(x)≥0恒成立,
此時(shí),f(x)=x3-ax+b在R上是增函數(shù),與題意不符.
若a>0,由f'(x)≥0,得x≥ 或x≤- .
因?yàn)?1,+∞)是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解題意時(shí),要注意“(1)函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增”與“(2)函數(shù)f(x)的一個(gè) 單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)”的區(qū)別,其中(2)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的一個(gè)完整的單調(diào)遞增 區(qū)間,而(1)中的區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的子區(qū)間.
1.利用單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù),研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式,因此 熟悉以下結(jié)論可以達(dá)到事半功倍的效果.
(1)對(duì)于f'(x)>g'(x),構(gòu)造h(x)=f(x)-g(x),特殊地,若遇到f'(x)>a(a≠0),即導(dǎo)函數(shù)大于某個(gè)非零常數(shù) (若a=0,則無(wú)需構(gòu)造),則可構(gòu)造h(x)=f(x)-ax.
(2)對(duì)于f'(x)+g'(x)>0,構(gòu)造h(x)=f(x)+g(x).
(3)對(duì)于f'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=ex·f(x).
(4)對(duì)于f'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)= .
(5)對(duì)于xf'(x)+f(x)>0,構(gòu)造h(x)=x·f(x).
(6)對(duì)于xf'(x)-f(x)>0,構(gòu)造h(x)= .
定點(diǎn) 4 構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明(解)不等式
(7)對(duì)于 >0,分類討論:①若f(x)>0,則構(gòu)造h(x)=ln f(x);②若f(x)<0,則構(gòu)造h(x)=ln[-f(x)].
2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的步驟
(1)將要證明的不等式f(x)>g(x)(x∈(a,b))移項(xiàng),構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),轉(zhuǎn)化為證明F(x)>0.
(2)確定函數(shù)的單調(diào)性,若F'(x)>0,則F(x)在(a,b)上單調(diào)遞增;若F'(x)<0,則F(x)在(a,b)上單調(diào)遞 減.
(3)將單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)值代入,若函數(shù)F(x)單調(diào)遞增,且F(a)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時(shí), f(x)-g(x)>0,即
f(x)>g(x);若F(x)單調(diào)遞減,且F(b)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時(shí), f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).
典例1 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞), f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f(x)<-xf '(x),則不等式f(x+ 1)>(x-1)f(x2-1)的解集是 (　 )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(1,2) D.(0,1)
A
解析 設(shè)g(x)=xf(x),
則g'(x)=f(x)+xf '(x).
∵f(x)<-xf '(x),∴g'(x)<0,
∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
∵f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
∴ 解得x>1.
將原不等式的兩邊同乘x+1,
得(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),
即g(x+1)>g(x2-1),∴x+1解得x>2或x<-1(舍去),
∴原不等式的解集為(2,+∞).
典例2 求證:當(dāng)x>1時(shí), +1> .
證明 由題意可知x-1>0,要證 +1> ,即證 (x-1)>2ln x,
即證x- -2ln x>0.
令φ(x)=x- -2ln x,x>1,
則φ'(x)=1+ - = >0,
∴φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴φ(x)>φ(1)=0,即x- -2ln x>0,即原不等式成立.
規(guī)律總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題,通常先構(gòu)造新函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單 調(diào)性,從而使不等式問題得以解決.5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　單調(diào)性
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化
1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A.(-2,1)　　　　B.(-2,0),(2,+∞)
C.(-∞,-1)　　　　D.(-∞,-1),(1,+∞)
2.已知f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f'(x)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可能是(　　)
A B C D
3.已知函數(shù)f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,則不等式xf'(x)>0的解集為(　　)
A.∪(2,+∞)　　　　B.(-∞,0)∪
C.(-∞,0)∪∪(2,+∞)
4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x)=,則函數(shù)f(x)的圖象可能是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
題組二　利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
5.函數(shù)f(x)=xln x+1的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)
A. B.(0,e) C. D.(e,+∞)
6.(多選題)已知f(x)=,則下列說法正確的是(　　)
A.曲線f(x)在x=1處的切線方程為y=x+1
B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(e,+∞)
C.曲線f(x)在x=1處的切線方程為y=x-1
D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e,+∞)
7.函數(shù)y=,x∈的圖象大致是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
8.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題
9.已知函數(shù)f(x)=ax-sin x(a∈R),則“a=1”是“f(x)在上單調(diào)遞增”的(　　)
A.充要條件　　　　B.充分不必要條件
C.必要不充分條件　　　　D.既不充分也不必要條件
10.已知函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A. C.
11.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,3)　　　　B.(-∞,3]
C.(-∞,0)∪(0,3]　　　　D.(-∞,0)∪(0,3)
12.(多選題)若函數(shù)f(x)=x2-9ln x在[m-1,m+1]上單調(diào),則實(shí)數(shù)m的取值范圍可以是(　　)
A.m≥4　　　　B.m≤2 C.113.已知函數(shù)f(x)=x2-ax+ln x(a∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為,則a=　　　　.
14.已知函數(shù)f(x)=(x2-2x+a)ex.
(1)若f(x)在[1,5]上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
題組四　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用
15.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為f'(x),g'(x),且f'(x)>g'(x)恒成立,則當(dāng)x∈(a,b)時(shí),下列不等式中一定成立的是(　　)
A.f(x)>g(x)　　　　
B.f(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)　　　　
D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)
16.已知命題p: θ∈,(cos θ)sin θ≤(sin θ)cos θ,則 p是　　　　命題.(填“真”或“假”)
17.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足e1-2x=(2x+y)ey,則x+的最小值為　　　　.
18.已知定義在[-4,4]上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)>f(x),則不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0的解集是　　　　.
能力提升練
題組一　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化
1.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f(x)的圖象如圖所示,則f(x)·f'(x)>0的解集是(　　)
A.(2,3)∪(5,+∞)　　　　B.(-∞,0)∪(1,3)
C.(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞)　　　　D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,5)
2.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式可以為(　　)
A.f(x)=　　　　B.f(x)=
C.f(x)=　　　　D.f(x)=
3.(多選題)函數(shù)f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的大致圖象可能為(　　)
A　　　　B
C　　　　D
題組二　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
4.若函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí), f'(x)>2x,則不等式f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1)的解集為(　　)
A.∪(1,+∞)
C.(1,+∞)　　　　D.
5.已知奇函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(-2)=0.當(dāng)x>0時(shí),3f(x)>xf'(x),則使得f(x)>0成立的x的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-2)∪(0,2)　　　　B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)　　　　D.(-2,0)∪(0,2)
6.已知a=ln 2,c=1-,則(　　)
A.b>c>a　　　　B.b>a>c C.a>b>c　　　　D.c>b>a
7.(多選題)若函數(shù)f(x)=的值域?yàn)閇2,+∞),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.f(3)>f(2)　　　　
B.m≥2
C.f < f 　　　　
D.logm(m+1)>log(m+1)(m+2)
8.已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f'(-x)>2f(x),且f(3)=0,則不等式f(x)>0的解集為　　　　　　　　.
題組三　利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題
9.已知函數(shù)f(x)=ax2-4ax-ln x,則f(x)在(1,4)上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是(　　)
A.a>-
C.a>或-
10. x1,x2∈(1,3],當(dāng)x10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　(　　)
A.(3,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(9,+∞)　　　　D.[9,+∞)
11.已知函數(shù)f(x)=ex+x2-ax+2(a>0),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若函數(shù)f(x)與函數(shù)f(f(x))的單調(diào)區(qū)間相同,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
12.已知函數(shù)f(x)=.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若≤f(x)+2x,求a的取值范圍.
13.已知函數(shù)f(x)=x-1-aln x.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)已知函數(shù)g(x)=,若當(dāng)a<0時(shí),對(duì)任意x1,x2∈(0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
5.3　導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
5.3.1　單調(diào)性
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　由題圖知,當(dāng)-22時(shí), f'(x)<0,因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,0),(2,+∞).故選B.
2.C　由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)x<0時(shí), f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)02時(shí), f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,故C中圖象符合.故選C.
3.A　由題圖可知當(dāng)x<或x>2時(shí), f(x)單調(diào)遞增, f'(x)>0,當(dāng)xf'(x)>0等價(jià)于故不等式xf'(x)>0的解集為∪(2,+∞),故選A.
4.B　由題知f(x)的定義域?yàn)閇-1,1],且f'(x)≥0,則f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,又y=1-x2在(0,1)上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,y=在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以由復(fù)合函數(shù)“同增異減”可知f'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,即當(dāng)x∈[-1,1]時(shí), f'(x)的值由小變大再變小,即f(x)的圖象從左到右的遞增趨勢(shì)是先慢后快再變慢.故選B.
5.A　f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,得x=.
當(dāng)x∈時(shí), f'(x)<0,當(dāng)x∈時(shí), f'(x)>0,所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故選A.
6.BC　由f(x)=得f'(x)=,
所以曲線f(x)在x=1處的切線的斜率為f'(1)==1,又f(1)==0,
所以曲線f(x)在x=1處的切線方程為y=x-1,A錯(cuò)誤,C正確;
易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
令f'(x)>0,得0e,
所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,B正確,D錯(cuò)誤.
故選BC.
7.A　設(shè)f(x)=,x∈,因?yàn)閒(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)==-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),排除C;
易得f'(x)=
=,
當(dāng)00,所以f(x)在上單調(diào)遞增,故排除B、D.故選A.
8.答案　
解析　f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=0或x=.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí), f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈時(shí), f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時(shí), f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
9.B　當(dāng)a=1時(shí), f(x)=x-sin x, f'(x)=1-cos x≥0,∴f(x)在R上單調(diào)遞增,故充分性成立,
當(dāng)f(x)在上單調(diào)遞增時(shí), f'(x)=a-cos x≥0,即a≥cos x,∴a≥1,故必要性不成立,
故“a=1”是“f(x)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選B.
方法總結(jié)　若f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則[a,b]是f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的子集,即f'(x)≥0在區(qū)間[a,b]上恒成立;若f(x)在區(qū)間[a,b]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則f'(x)>0在區(qū)間[a,b]上有解.
10.A　由已知得f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=(x2-2ax+2x-2a)ex,
∵函數(shù)f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,
∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立,
即x2-2ax+2x-2a≤0在[-1,1]上恒成立,
∴解得a≥,
∴a的取值范圍是.故選A.
11.D　由已知得f'(x)=3ax2-6x+1,由f(x)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,得f'(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),
∴a≠0,且Δ=36-12a>0,∴a<3且a≠0,∴a∈(-∞,0)∪(0,3).故選D.
12.AC　由已知得f'(x)=x-(x>0),
令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3),
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[m-1,m+1]上單調(diào),
所以或m-1≥3,解得1故選AC.
13.答案　3
解析　由題意可得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且f'(x)=2x-a+,∵f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,∴f'(x)<0的解集為,故方程2x2-ax+1=0的兩根分別為和1,
∴,∴a=3.
14.解析　(1)由已知得f(x)的定義域?yàn)镽, f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+a)ex=(x2+a-2)ex,
因?yàn)閒(x)在[1,5]上單調(diào)遞增,所以f'(x)≥0在[1,5]上恒成立,則(x2+a-2)ex≥0在[1,5]上恒成立,
因?yàn)閑x>0恒成立,所以x2+a-2≥0在[1,5]上恒成立,
即a-2≥-x2在[1,5]上恒成立,即a-2≥(-x2)max,
因?yàn)?≤x≤5,所以-25≤-x2≤-1,所以a-2≥-1,則a≥1,故a的取值范圍是[1,+∞).
(2)由(1)得f'(x)=(x2+a-2)ex,
當(dāng)a≥2時(shí), f'(x)≥0, f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<2時(shí), f'(x)=[x2-(2-a)]ex=(x+)ex,
由f'(x)>0得x<-或x>;
由f'(x)<0得-,
所以f(x)在(-)上單調(diào)遞減,在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a≥2時(shí), f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<2時(shí), f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在(-)上單調(diào)遞減.
方法總結(jié)　對(duì)于f'(x)=g'(x)-a,要想判斷f'(x)的正負(fù),首先求出g'(x)的值域,然后分類討論a與g'(x)的值域的關(guān)系,a在g'(x)的值域外, f'(x)恒正或恒負(fù);a在g'(x)的值域內(nèi), f'(x)有正有負(fù).
15.C　令F(x)=f(x)-g(x),則F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,則F(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,故F(a)則f(x)+g(a)>g(x)+f(a), f(x)+g(b)16.答案　真
解析　 p: θ∈,(cos θ)sin θ>(sin θ)cos θ,
由θ∈,得0(cos θ)sin θ>(sin θ)cos θ sin θln(cos θ)>cos θln(sin θ) ,
令f(x)=(00恒成立,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
又0(sin θ)cos θ,所以 p是真命題.
17.答案　2
解析　將e1-2x=(2x+y)ey變形為e1-2x=ey+ln(2x+y),則1-2x=y+ln(2x+y),即2x+y+ln(2x+y)=1,
令g(t)=ln t+t(t>0),則g'(t)=+1>0恒成立,所以g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
又g(1)=1,所以2x+y=1,則x+≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)且2x+y=1,即x=y=時(shí)等號(hào)成立,故x+的最小值為2.
18.答案　(1,2]
解析　設(shè)g(x)=,
則g'(x)=,
因?yàn)閒'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上單調(diào)遞增,
不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等價(jià)于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,
故g(1+x)-g(2x)<0,即g(1+x)因?yàn)間(x)在[-4,4]上單調(diào)遞增,所以-4≤1+x<2x≤4,解得1故不等式的解集為(1,2].
能力提升練
1.C　由題中函數(shù)f(x)的圖象可知當(dāng)x<-1時(shí), f(x)>0,且單調(diào)遞減,則f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;
當(dāng)-10;
當(dāng)10,故f(x)·f'(x)<0;
當(dāng)20,且單調(diào)遞增,則f'(x)>0,故f(x)·f'(x)>0;
當(dāng)30,且單調(diào)遞減,則f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;
當(dāng)x>5時(shí), f(x)<0,且單調(diào)遞減,則f'(x)<0,故f(x)·f'(x)>0.
故f(x)·f'(x)>0的解集是(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞),故選C.
2.D　對(duì)于A,要使函數(shù)f(x)有意義,則得x<-3或-3-1,
所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A不正確;
對(duì)于B,由題圖知函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn),而f(0)=≠0,故B不正確;
對(duì)于C, f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0, f'(x)=,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí), f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增,與題圖不符,故C不正確;
對(duì)于D, f(x)的定義域?yàn)?-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,當(dāng)x<-1時(shí), f'(x)<0,當(dāng)-10,當(dāng)x>1時(shí), f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,1)上單調(diào)遞增,與題圖相符,故D正確.故選D.
3.ABC　由已知得f(x)的定義域?yàn)镽, f'(x)=3x2+2ax+2.
當(dāng)Δ=(2a)2-4×3×2≤0,即-≤a≤時(shí), f'(x)≥0對(duì)任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增,故C正確;
當(dāng)Δ=(2a)2-4×3×2>0,即a<-或a>時(shí),設(shè)方程3x2+2ax+2=0的兩根分別為x1,x2(x10,x1,x2同號(hào),
令f'(x)<0,得x10,得xx2,
所以f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增,故A、B正確,D錯(cuò)誤.
故選ABC.
4.D　令g(x)=f(x)-x2,因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以g(x)為偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí), f'(x)>2x,所以g'(x)=f'(x)-2x>0,故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,
由f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1),
得f(3x-1)-(3x-1)2>f(2)-22,
所以g(3x-1)>g(2),故|3x-1|<2,解得-所以不等式的解集為.故選D.
5.A　令F(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),則F'(x)=,
因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),3f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
又f(x)(x≠0)為奇函數(shù),
所以F(-x)==F(x),故F(x)為偶函數(shù),則F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,且F(-2)=F(2)==0,
當(dāng)x>0時(shí),若f(x)>0,則F(x)>0,故0當(dāng)x<0時(shí),若f(x)>0,則F(x)<0,故x<-2,
故使得f(x)>0成立的x的取值范圍為(-∞,-2)∪(0,2).故選A.
6.C　a2=令g(x)=ln x-(x>1),則g'(x)=,
令f(x)=2-x-1,則f'(x)=-1<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,即g(x)∴當(dāng)x>1時(shí),ln x<,則ln ,即bb>c.故選C.
7.ABD　當(dāng)x≥1時(shí), f(x)=x+1-ln x,則f'(x)=1-≥0,所以f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(1)=2,且f(3)>f(2),故A正確.
當(dāng)x<1時(shí), f(x)=-x3-x+2+m,則f'(x)=-3x2-1<0,所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,所以f(x)>-13-1+2+m=m.故當(dāng)x≥1時(shí), f(x)≥2,當(dāng)x<1時(shí), f(x)>m,因?yàn)閒(x)的值域是[2,+∞),所以m≥2,故B正確.
令g(x)=,則g'(x)=,當(dāng)00,所以g(x)單調(diào)遞增,
所以g(2)又<1, f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,
所以f,故C錯(cuò)誤.
令h(x)=,則h'(x)=,x>0且x≠1,
令H(x)=xln x,則H'(x)=ln x+1,令H'(x)>0,得x>,所以H(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
因此當(dāng)x>1時(shí),xln x<(x+1)ln(x+1),所以當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
因?yàn)閙≥2,所以h(m)>h(m+1),即,即logm(m+1)>log(m+1)(m+2),故D正確.故選ABD.
8.答案　(-3,0)∪(3,+∞)
解析　由題意得f(-x)=-f(x),兩邊求導(dǎo)得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),
又因?yàn)閤>0時(shí),f'(-x)>2f(x),所以f'(x)>2f(x),
構(gòu)造函數(shù)h(x)=,所以h'(x)=,
所以當(dāng)x>0時(shí),h'(x)>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
又因?yàn)閒(3)=0,所以h(3)=0,故在(3,+∞)上h(x)>0,在(0,3)上h(x)<0,
又因?yàn)閑2x>0,所以當(dāng)x>0時(shí),在(3,+∞)上f(x)>0,在(0,3)上f(x)<0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以當(dāng)x<0時(shí),在(-∞,-3)上f(x)<0,在(-3,0)上f(x)>0.
綜上所述,f(x)>0的解集為(-3,0)∪(3,+∞).
9.D　易得f'(x)=2ax-4a-.
令g(x)=2ax2-4ax-1,易知其圖象的對(duì)稱軸方程為x=1,
由題意可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,4)上有零點(diǎn).
當(dāng)a=0時(shí),顯然不成立;
當(dāng)a≠0時(shí),
只需
解得a>或a<-.所以f(x)在(1,4)上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件即為的真子集.故選D.
10.D　原不等式等價(jià)于,即ln,即3x1-3x2>aln x1-aln x2,即3x1-aln x1>3x2-aln x2,
令f(x)=3x-aln x,x∈(1,3],則 x1,x2∈(1,3],當(dāng)x1f(x2),故f(x)在(1,3]上單調(diào)遞減,
即 x∈(1,3], f'(x)=3-≤0,則a≥3x,由x∈(1,3]得3x∈(3,9],所以a≥9,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[9,+∞).故選D.
11.答案　(0,e+2]
解析　易得f'(x)=ex+2x-a.
設(shè)h(x)=ex+2x-a,則h'(x)=ex+2>0,
所以f'(x)單調(diào)遞增,
又f'(-1)=-2-a<0, f'(a)=ea+a>0,
所以存在x0∈(-1,a),使得f'(x0)=+2x0-a=0,即a=+2x0.
當(dāng)x>x0時(shí), f'(x)>0, f(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x設(shè)g(x)=f(f(x)),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間相同,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,
又g'(x)=f'(f(x))·f'(x),所以f'(f(x))≥0對(duì)任意x∈R恒成立,即f(x)≥x0恒成立.
因?yàn)閒(x)min=f(x0)=-ax0+2,
所以-ax0+2≥x0,
將a=+2x0代入上式,整理,得(x0-1)(+x0+2)≤0.
因?yàn)閍=+2x0>0,所以+2>0,所以x0≤1,又h(x)=ex+2x-a在(-∞,1]上單調(diào)遞增,所以e1+2-a≥+2x0-a=0,所以a≤e+2,又a>0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,e+2].
12.解析　(1)f'(x)=,a≠0,
若a<0,則當(dāng)x∈(-∞,1-a)時(shí), f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(1-a,+∞)時(shí), f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增;
若a>0,則當(dāng)x∈(1-a,+∞)時(shí), f'(x)<0, f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(-∞,1-a)時(shí), f'(x)>0, f(x)單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a<0時(shí), f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1-a),單調(diào)遞增區(qū)間為(1-a,+∞);當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1-a,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-a).
(2)原不等式為+2x,即x≥2+2ln x-2xex.
因?yàn)閤>0,所以.
令t=x+ln x,則其在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,
令x=,則t=<0;令x=1,則t=1>0,
所以存在唯一的x0∈,使得t=x0+ln x0=0,
令g(t)=et-t-1(t∈R),則g'(t)=et-1.
當(dāng)t<0時(shí),g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>0時(shí),g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增,
所以g(t)≥g(0)=0,即et-t-1≥0,et≥t+1.故ex+ln x≥x+ln x+1.
故x+ln x-ex+ln x≤x+ln x-(x+ln x+1)=-1,
所以=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x+ln x=0,即x=x0時(shí),等號(hào)成立,
故≥-2,解得a≤-或a>0,
即a的取值范圍為∪(0,+∞).
13.解析　(1)f '(x)=1-(x>0),
當(dāng)a≤0時(shí), f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),令f '(x)=0,得x=a,
當(dāng)0當(dāng)x>a時(shí), f '(x)>0,所以f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a<0時(shí), f '(x)=1->0在(0,1]上恒成立,則f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
g'(x)=-<0在(0,1]上恒成立,則g(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,
不妨設(shè)x1≤x2,因?yàn)閷?duì)任意x1,x2∈(0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立,
所以f(x2)-f(x1)≤g(x1)-g(x2)在(0,1]上恒成立,即f(x2)+g(x2)≤f(x1)+g(x1)在(0,1]上恒成立,令F(x)=f(x)+g(x)=x-1-aln x+,則F(x)在(0,1]上單調(diào)遞減,
所以F'(x)=1-≤0在(0,1]上恒成立,
即a≥x-在(0,1]上恒成立,
令h(x)=x-,x∈(0,1],易知h(x)在(0,1]上遞增,
所以h(x)max=h(1)=-3,所以a≥-3.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,0).
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