資源簡介

5.3.2　極大值與極小值
基礎過關練
題組一　函數極值的概念及求解
1.(多選題)下列關于函數極值的說法正確的是(　　)
A.導數值為0的點一定是函數的極值點
B.函數的極小值可能大于它的極大值
C.函數在定義域內必有一個極小值和一個極大值
D.若f(x)在區間(a,b)上有極值,則f(x)在區間(a,b)上不單調
2.函數f(x)=sin在區間(0,5)上有(　　)
A.1個極大值點和1個極小值點
B.1個極大值點和2個極小值點
C.2個極大值點和1個極小值點
D.2個極大值點和2個極小值點
3.已知函數f(x)在R上可導,其導函數為f'(x),且函數g(x)=xf'(x)的圖象如圖所示,則下列結論一定成立的是(　　)
A.f(x)有兩個極值點
B.f(x)有兩個極小值
C.f(0)為f(x)的極小值
D.f(-1)為f(x)的極小值
4.已知函數f(x)=在x=4處取得極值,則f(x)的極大值為　(　　)
A.　　　　D.-4
5.(多選題)已知函數f(x)=-x3+x+1的導函數為f'(x),兩個極值點為α,β,則下列結論正確的是(　　)
A.f(x)有三個不同的零點
B.α+β=0
C.f(α)+f(β)=1
D.直線y=x+1是曲線y=f(x)的切線
6.函數f(x)=(sin x+cos x)·sin 2x的極小值為　　　　.
7.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+2,曲線y=f(x)在x=1處的切線方程是8x-y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的極值.
題組二　含參函數的極值問題
8.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1處有極值8,則f(1)=　　　(　　)
A.-4　　　　B.16　　　　C.-4或16　　　　D.16或18
9.(多選題)設a≠0,若x=a為函數f(x)=a(x-a)2(x-b)的極小值點,則下列關系可能成立的是(　　)
A.a>0且a>b　　　　B.a>0且aC.a<0且ab
10.(多選題)若函數f(x)=aex-x2-2x+b有兩個不相等的極值點,則實數a的取值可以是(　　)
A.e　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
11.若函數f(x)=aln x+(a≠0)既有極大值又有極小值,則下列說法中正確的有　　　　(填序號).
①bc>0;②ab>0;③b2+8ac>0;④ac<0.
12.若函數f(x)=ex+ax有大于零的極值點,則實數a的取值范圍是　　　　.
13.函數f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x(a>0).
(1)當a=1時,求函數f(x)的單調區間;
(2)求函數f(x)的極值.
題組三　函數極值的綜合應用
14.已知等比數列{an}的各項均為正數,a5,a6是函數f(x)=x2+ex+1的極值點,則ln a1+ln a2+…+ln a10=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.10　　　　D.15
15.已知函數f(x)=cos(ω>0)在區間上無極值,則ω的取值范圍是(　　)
A.(0,5]　　　　B.(0,5)　　　　C.
16.已知三次函數f(x)=mx3+nx2+px+2q的圖象如圖所示,則 =　　　　.
17.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1處都取得極值.
(1)求a,b的值;
(2)若方程f(x)=2c有三個實數根,求實數c的取值范圍.
能力提升練
題組　函數極值的綜合應用
1.已知函數f(x)=sin ωx(ω>0)在上單調遞增,且在[0,4π]上僅有一個極大值點,則ω的取值范圍為(　　)
A.
2.已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),若不等式f(x)<0的解集為{x|xA.-
3.已知函數f(x)=kxln x--kx(k∈R)在(0,e2)上有且只有一個極值點,則k的取值范圍是(　　)
A.[0,e)　　　　B.(-∞,0)∪∪{e}
C.(-∞,0)∪ D.(0,e]
4.(多選題)已知函數f(x)=sinωx+(ω>0)在[0,2π]上有且僅有4個零點,則下列各選項正確的是(　　)
A.f(x)在上單調遞增
B.ω的取值范圍是
C.f(x)在(0,2π)上有2個極小值點
D.f(x)在(0,2π)上有3個極大值點
5.(多選題)已知函數f(x)=(x2+ax+b)ex,則下列結論正確的是(　　)
A.若f(x)無極值點,則f(x)沒有零點
B.若f(x)無零點,則f(x)沒有極值點
C.若f(x)恰有一個零點,則f(x)可能恰有一個極值點
D.若f(x)有兩個零點,則f(x)一定有兩個極值點
6.若過點(2,m)有三條直線與函數 f(x)=(x-1)3-3x+1的圖象相切,則實數m的取值范圍為　　　　.
7.已知函數f(x)=cos2ωx-2sin ωxcos ωx-sin2ωx-(ω>0)在區間上恰有一個極小值點,三個零點,則ω的取值范圍是　　　　.
8.已知f'(x)為函數f(x)=x3-mx2+x+m2(m∈R)的導函數,且函數f'(x)有兩個不同的零點x1,x2,設g(m)=f(x1)+f(x2),則g(m)的極值為　　　　.
9.已知函數f(x)=2ln x-x2與g(x)=x+有相同的極值點.
(1)求實數a的值;
(2)若 x1,x2∈,不等式≤1恒成立,求實數k的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
5.3.2　極大值與極小值
基礎過關練
1.BD
2.C　由正弦函數的性質可知,當f(x)取極大值時,2x++2kπ,k∈Z,即極大值點為x=kπ+,k∈Z,
又x∈(0,5),∴x=或x=;
當f(x)取極小值時,2x++2kπ,k∈Z,即極小值點為x=kπ+,k∈Z,又x∈(0,5),∴x=,
故f(x)在區間(0,5)上有2個極大值點和1個極小值點.故選C.
3.B　由題圖可得當x∈(-∞,-2)時,xf'(x)>0,
所以f'(x)<0, f(x)單調遞減;
當x∈(-2,0)時,xf'(x)<0,
所以f'(x)>0, f(x)單調遞增;
當x∈(0,1)時,xf'(x)<0,
所以f'(x)<0, f(x)單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,xf'(x)>0,
所以f'(x)>0, f(x)單調遞增,
所以當x=-2時, f(x)有極小值;當x=0時, f(x)有極大值;當x=1時, f(x)有極小值,故B正確.故選B.
方法總結　由圖象判斷函數y=f(x)的極值時,要抓住兩點:(1)由y=f'(x)的圖象與x軸的交點,可得函數y=f(x)的可能極值點;(2)由導函數y=f'(x)的圖象可以看出y=f'(x)的正負,從而可得函數y=f(x)的單調性,兩者結合可得極值點.
4.B　f'(x)=,依題意可得f'(4)=0,即=0,解得a=4,所以f(x)=,其定義域為R,且f'(x)=,令f'(x)>0,解得x>4或x<-1,令f'(x)<0,解得-15.BD　f'(x)=-3x2+1,令f'(x)=0,解得x=±,
當x∈時, f'(x)<0, f(x)單調遞減,
當x∈時, f'(x)>0, f(x)單調遞增,
當x∈時, f'(x)<0, f(x)單調遞減,
所以當x=-時,函數f(x)有極小值,為f>0,
當x=時,函數f(x)有極大值,為f>0,且兩個極值點之和為0,B正確;
當x→+∞時, f(x)→-∞,所以f(x)在R上有且僅有一個零點,A錯誤;
f(α)+f(β)=1-=2,C錯誤;
當x=0時, f'(0)=1, f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=x+1,D正確.
故選BD.
6.答案　-
解析　設t=sin x+cos x=,則t∈[-],
由t2=(sin x+cos x)2=1+sin 2x,得sin 2x=t2-1.令g(t)=t(t2-1)=t3-t,t∈[-],則g'(t)=3t2-1,
當t∈時,g'(t)<0,當t∈時,g'(t)>0,
所以g(t)在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,所以g(t)的極小值為g,即f(x)的極小值為-.
7.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為f'(1)=3+2a+b,
又f(1)=a+b+3,所以解得a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-或x=-1,
當x∈(-∞,-1)時, f'(x)>0, f(x)單調遞增,
當x∈時, f'(x)<0, f(x)單調遞減,
當x∈時, f'(x)>0, f(x)單調遞增,
所以f(x)極大值 =f(-1)=2, f(x)極小值 =f.
8.A　f'(x)=3x2+2ax+b,若函數f(x)在x=-1處有極值8,則f(-1)=8且f'(-1)=0,
即
當a=3,b=3時, f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此時x=-1不是極值點,故舍去,
當a=-2,b=-7時, f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1),
當x>或x<-1時, f'(x)>0,當-1故f(x)=x3-2x2-7x+4,故f(1)=-4,故選A.
解題模板　已知函數極值,確定解析式中的參數時,可根據極值點處的導數為0和極值這兩個條件列方程組求解,求解后要注意代入檢驗.
9.AC　由已知得f'(x)=3a(x-a),
令f'(x)=0,得x=a或x=,
要使x=a為函數f(x)的極小值點,
則當a>0時,滿足b,A正確;
當a<0時,滿足>a,解得a故選AC.
10.BC　f'(x)=aex-x-2,由f(x)有兩個不相等的極值點,知f'(x)=0有兩個不相等的實數根,即a=有兩個不相等的實數根,
記g(x)=,則g'(x)=,
故當x>-1時,g'(x)<0,g(x)單調遞減,當x<-1時,g'(x)>0,g(x)單調遞增,
所以g(x)的極大值為g(-1)=e,又當x>-2時,g(x)>0恒成立,故011.答案　②③④
解析　由已知得f(x)的定義域為(0,+∞), f'(x)=,
∵f(x)既有極大值又有極小值,
∴f'(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點,
又a≠0,∴方程ax2-bx-2c=0有兩個不相等的正實數根,設為x1,x2,
于是則b2+8ac>0,ab>0,ac<0,bc<0.故②③④正確.
12.答案　(-∞,-1)
解析　由已知得f'(x)=ex+a.
當a≥0時, f'(x)>0, f(x)在R上單調遞增,無極值.
當a<0時,令f'(x)=0,得x=ln(-a),
當x>ln(-a)時, f'(x)>0,當x所以f(x)在(-∞,ln(-a))上單調遞減,在(ln(-a),+∞)上單調遞增,
所以函數f(x)存在極小值點x=ln(-a),
由題意得ln(-a)>0,解得a<-1,
所以實數a的取值范圍是(-∞,-1).
13.解析　(1)當a=1時, f(x)=ln x+x2-3x,定義域為(0,+∞),則f'(x)=,
令f'(x)>0,得01;令f'(x)<0,得(2)函數f(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,定義域為(0,+∞),則f'(x)=,
令f'(x)=0,得x=1或x=.
①當a>時,0<<1,易得函數f(x)在,(1,+∞)上單調遞增,在上單調遞減,
所以函數f(x)在x=處取得極大值,為f,在x=1處取得極小值,為f(1)=-a-1;
②當0所以函數f(x)在x=1處取得極大值,為f(1)=-a-1,在x=處取得極小值,為f;
③當a=時,=1,則f'(x)=≥0恒成立,故函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,無極值.
綜上,當a>時, f(x)的極大值為-ln(2a)-,極小值為-a-1;當014.A　由已知得f'(x)=x2-5x+e,
因為a5,a6是函數f(x)的極值點,所以a5,a6是f'(x)=0的兩根,所以a5a6=e,
又{an}是等比數列,所以a1a10=a2a9=…=a5a6=e,
則ln a1+ln a2+…+ln a10=ln(a1a2…a10)=ln e5=5,
故選A.
15.A　由已知得f'(x)=-ωsin(ω>0),
由函數f(x)在區間上無極值,知f(x)在區間上單調,
∴-ωsin≥0或-ωsin≤0在區間上恒成立,
當-ωsin≥0時,sin≤0,
∵0當-ωsin≤0時,sin≥0,
∵016.答案　1
解析　由題意得m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由題圖可知,函數f(x)的極大值點是x=2,極小值點是x=-1,即2,-1是f'(x)=0的兩個根,
則
∴f'(0)=p=-6m, f'(1)=-6m,∴=1.
17.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,
由題意得
此時f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
當x<-或x>1時, f'(x)>0,當-所以a=-,b=-2.
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,且f(x)在,(1,+∞)上單調遞增,在上單調遞減,
當x=-時, f(x)取得極大值,為f+c,當x=1時, f(x)取得極小值,為f(1)=-+c,
因為方程f(x)=2c有三個實數根,所以-+c,解得-,
所以實數c的取值范圍是.
能力提升練
1.D　因為f(x)在上單調遞增,
所以所以0<ω≤,
又因為f(x)在[0,4π]上只有一個極大值點,
所以≤4πω<,解得≤ω<.
綜上,ω的取值范圍為,故選D.
2.C　因為不等式f(x)<0的解集為{x|x則f'(x)=2(x-m)[x-(m+1)]+(x-m)2=(x-m)·(3x-3m-2),
則當x>或x0,當m所以f(x)在,(-∞,m)上單調遞增,在上單調遞減,
所以f(x)在x=處取得極小值,為f.故選C.
3.C　f'(x)=kln x+k-x-k=kln x-x,由題意知f'(x)在(0,e2)上只有一個變號零點,
設g(x)=f'(x)=kln x-x,則g'(x)=,
若k=0,則f(x)=-,此時f(x)在(0,e2)上沒有極值點;
若k<0,則g'(x)<0在(0,e2)上恒成立,g(x)單調遞減,當x→0+時,g(x)>0,因此g(e2)=2k-e2<0,即k<,所以k<0;
若k≥e2,則g'(x)>0在(0,e2)上恒成立,g(x)單調遞增,當x→0+時,g(x)<0,因此g(e2)=2k-e2>0,即k>,所以k≥e2;
若00,g(x)單調遞增,當k畫圖可知g(x)max=g(k)=kln k-k,當x→0+時,g(x)<0,
因為g(x)在(0,e2)上只有一個變號零點,所以g(k)>0且g(e2)≥0,所以得k≥,所以≤k綜上,k的取值范圍是(-∞,0)∪.故選C.
4.BC　當x∈[0,2π]時,ωx+,
因為f(x)在[0,2π]上有且僅有4個零點,
所以≤ω<,
即ω的取值范圍是,故B正確;
設t=ωx+,當x∈(0,2π)時,t∈,由正弦函數的性質知y=sin t在上有兩個確定的極小值點,為,有兩個確定的極大值點,為,故C正確,D錯誤;
由B選項分析可知ω∈,不妨取ω=,此時t=ωx+,
而y=sin t在上單調遞增,在上單調遞減,故A錯誤.故選BC.
5.AD　由已知得f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,
令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0,
若f(x)無極值點,則Δ=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,對于y=x2+ax+b,Δ=a2-4b≤-4<0,則y=x2+ax+b>0,所以f(x)=(x2+ax+b)ex>0,沒有零點,故A正確;
若f(x)無零點,則a2-4b<0,此時a2-4b+4<4,
當a2-4b+4>0時, f'(x)先正后負再正, f(x)先增后減再增,故有極值點,故B錯誤;
若f(x)恰有一個零點,則a2-4b=0,此時a2-4b+4=4>0, f'(x)先正后負再正, f(x)先增后減再增,有兩個極值點,故C錯誤;
若f(x)有兩個零點,則a2-4b>0,此時a2-4b+4>4>0, f'(x)先正后負再正,函數f(x)先增后減再增,有兩個極值點,故D正確.故選AD.
6.答案　(-5,-4)
解析　由已知得f(x)=x3-3x2,f(x)的定義域為R, f'(x)=3x2-6x,
設切點坐標為(x0,),
則切線方程為y-(-6x0)(x-x0),
因為切線過點(2,m),所以m-(-6x0)·(2-x0),即m=-2-12x0,
依題意知直線y=m與曲線y=-2x3+9x2-12x有三個交點.
設g(x)=-2x3+9x2-12x,則g'(x)=-6x2+18x-12=-6(x-1)(x-2).
令g'(x)<0,得x<1或x>2;令g'(x)>0,得1所以g(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上單調遞減,在(1,2)上單調遞增,
當x=1時,g(x)取得極小值,為g(1)=-5;當x=2時,g(x)取得極大值,為g(2)=-4,
故實數m的取值范圍為(-5,-4).
7.答案　
解析　f(x)=cos2ωx-2sin ωxcos ωx-sin2ωx-
=cos 2ωx-sin 2ωx-,
令2ωx-=t,因為ω>0,且x∈,所以-,記g(t)=-sin t-,
所以原題可轉化為g(t)在上恰有一個極小值點,三個零點,則π,
解得<ω≤,故ω的取值范圍為.
8.答案　3
解析　由題意可知f'(x)=3x2-2mx+1=0有兩個不同的根x1,x2,所以x1+x2=,由Δ>0得m>或m<-.
則g(m)=m2
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-m[(x1+x2)2-2x1x2]+x1+x2+m2
=m2
=m2
=-,m∈(-∞,-)∪(,+∞),
則g'(m)=-(2m2-5m-3),m∈(-∞,-)∪(,+∞),
令g'(m)>0,解得3,
所以g(m)在(-∞,-)上單調遞減,在(,3)上單調遞增,在(3,+∞)上單調遞減,
所以g(m)極大值=g(3)=-4+5+2=3.
9.解析　(1)f'(x)=(x>0),
令f'(x)>0,得01,
所以f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,故f(x)的極大值點為1,無極小值點.
因為g(x)=x+,所以g'(x)=1-,
依題意得x=1是函數g(x)的極值點,
所以g'(1)=1-a=0,解得a=1,
所以g'(x)=1-,
則當x>1或x<-1時,g'(x)>0,當0所以g(x)在(1,+∞)和(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,0)和(0,1)上單調遞減,
所以函數g(x)在x=1處取得極小值,符合題意,故a=1.
(2)由(1)知g(x)=x+,且g(x)在上單調遞減,在(1,3]上單調遞增, f(x)在上單調遞增,在(1,3]上單調遞減.
易得g,故g(1)所以當x∈時,g(x)min=2,g(x)max=.
由f(x)=2ln x-x2得f,f(1)=-1, f(3)=2ln 3-9,
顯然f(3)所以當x∈時, f(x)min=2ln 3-9, f(x)max=-1.
①當k>1時,問題等價于f(x1)-g(x2)≤k-1恒成立,
所以k≥f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≥[f(x1)-g(x2)]max+1,
又f(x1)-g(x2)+1≤-1-2+1=-2,所以k≥-2,故k>1;
②當k<1時,問題等價于f(x1)-g(x2)≥k-1恒成立,
即k≤f(x1)-g(x2)+1恒成立,
即k≤[f(x1)-g(x2)]min+1,
又f(x1)-g(x2)+1≥2ln 3-9-+1=2ln 3-,
所以k≤2ln 3-.
綜上,k的取值范圍是∪(1,+∞).
19(共17張PPT)
5.3.2 極大值與極小值
知識點 1 函數極值、極值點的概念
必備知識 清單破
1.極大值與極大值點
一般地,若存在δ>0,當x∈(x1-δ,x1+δ)時,都有f(x)≤f(x1),則稱f(x1)為函數f(x)的一個極大值,稱x1為 函數f(x)的一個極大值點.
2.極小值與極小值點
一般地,若存在δ>0,當x∈(x2-δ,x2+δ)時,都有f(x)≥f(x2),則稱f(x2)為函數f(x)的一個極小值,稱x2為 函數f(x)的一個極小值點.
3.極值與極值點
函數的極大值、極小值統稱為函數的極值,函數的極大值點、極小值點統稱為函數的極值點.
1.極大值與導數之間的關系
知識點 2 函數的極值與導數的關系
x x1左側 x1 x1右側
f '(x) f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0
f(x) ↗ 極大值f(x1) ↘
2.極小值與導數之間的關系
x x2左側 x2 x2右側
f '(x) f '(x)<0 f '(x)=0 f '(x)>0
f(x) ↘ 極小值f(x2) ↗
知識辨析
1.函數的極值點是平面內的一個點嗎
2.導數為0的點一定是函數的極值點嗎
3.函數的極大值一定比極小值大嗎
4.若函數f(x)在(a,b)內有極值,則f(x)在(a,b)內一定不單調,這種說法正確嗎
5.在可導函數的極值點處,該函數圖象的切線與x軸一定平行或重合嗎
6.函數的極值點一定只能出現在區間內部嗎 區間的端點能不能成為極值點
一語破的
1.不是.函數的極值點是一個實數.如f(x)在x=a處取得極值,則實數a是f(x)的一個極值點.
2.不一定.只有導數為0的點的兩側導數值異號時才是極值點,但極值點處導數值必定為0,所 以函數在一點處的導數為0是函數在這點處取得極值的必要不充分條件.
3.不一定.函數的極大值一定大于相鄰的極小值,對于不相鄰的極大值與極小值不能確定大小 關系.如圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,但f(x1)4.正確.根據極值的概念,極值點兩邊導數值不同號,所以函數不單調.
5.一定.由極值的概念可知,可導函數在極值點處的導函數值為0,即函數圖象的切線的斜率為 0,所以切線與x軸平行或重合.
6.根據函數極值的定義,若x1為極值點,則存在δ>0,當x∈(x1-δ,x1+δ)時,都有f(x)≤f(x1)或f(x)≥
f(x1),極值點x1的左、右兩側應該都存在f(x),故函數的極值點只能出現在區間內部,區間的端點 不能成為極值點.
1.求可導函數f(x)的極值的步驟
(1)確定函數的定義域;
(2)求函數的導函數f'(x);
(3)由f'(x)=0,求出全部的根;
(4)列表:方程的根將整個定義域劃分成若干個區間(如果根中含有參數,則需根據參數的范圍 分類劃分區間),把x, f'(x), f(x)在每個區間內的變化情況列在一個表格內;
(5)得結論:若導數在根x0附近左正右負,則函數在x0處取得極大值;若左負右正,則取得極小值.
2.有關含參數的函數的極值問題
(1)求含參數的函數的極值,要根據f'(x)=0的不同類型對參數進行分類討論.通常要考慮以下 幾個方面:
定點 1 利用導數解決函數的極值問題
關鍵能力 定點破
①方程f'(x)=0有無實數根;
②方程f'(x)=0的實數根是否在定義域內;
③方程f'(x)=0的實數根的大小.
(2)由極值求參數的值或取值范圍,解題的切入點是極值存在的條件:極值點處的導數值為0, 極值點兩側的導數值異號.解題步驟如下:
①求函數的導函數f'(x);
②由極值點處的導數值為0,列出方程(組),求解參數.
　　注意:求出參數后,一定要驗證是否滿足題目的條件.
典例1 已知f(x)=[x2-(a+3)x+a+3]ex-a+1,a∈R,求f(x)的極值.
解析 f(x)的定義域為R,f'(x)=[x2-(a+3)x+a+3+2x-(a+3)]ex=x[x-(a+1)]ex,
令f'(x)=0,得x=0或x=a+1,
①當a=-1時,f'(x)≥0恒成立,則f(x)在R上單調遞增,無極值;
②當a<-1時,列表如下:
x (-∞,a+1) a+1 (a+1,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值f(a+1) ↘ 極小值f(0) ↗
所以f(x)的極大值為f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),極小值為f(0)=4;
x (-∞,0) 0 (0,a+1) a+1 (a+1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值f(0) ↘ 極小值f(a+1) ↗
所以f(x)的極大值為f(0)=4,極小值為f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).
綜上,當a=-1時,f(x)無極值;
當a<-1時,f(x)極大值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1),f(x)極小值=f(0)=4;
當a>-1時,f(x)極大值=f(0)=4,f(x)極小值=f(a+1)=(1-a)(ea+1+1).
③當a>-1時,列表如下:
典例2 (1)若函數f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,求a,b的值;
(2)已知函數f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m為常數)在區間(1,+∞)內有兩個極值點,求實數
m的取值范圍.
思路點撥 (1)求f'(x) 建立關于a,b的方程組 解方程組 求出a,b的值并檢驗.
(2)由題知f'(x)的圖象在(1,+∞)內與x軸有兩個不同的交點 列關于m的不等式組 解不
等式組,得到m的取值范圍.
解析 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+a2得 f'(x)=3x2+2ax+b,
依題意得 整理得
解得 或
當a=-3,b=3時, f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,
故f(x)在R上單調遞增,不可能在x=1處取得極值,所以a=-3,b=3不符合題意,舍去.
而當a=4,b=-11時,經檢驗符合題意,故a,b的值分別為4,-11.
(2)由f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x得 f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.
因為函數f(x)在(1,+∞)內有兩個極值點,
所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6的圖象在(1,+∞)內與x軸有兩個不同的交點,如圖所示.

所以 解得m>3,故實數m的取值范圍是(3,+∞).
易錯警示 解決利用極值求函數中的參數問題時,注意f'(x0)=0是x0為極值點的必要不充分條 件,(1)中由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意檢驗極值的存在條件,防止漏掉檢驗導致解題 錯誤.
1.利用導數可以判斷函數的單調性,研究函數的極值情況,并能在此基礎上畫出函數的大致圖 象,從直觀上判斷函數圖象與x軸的交點或兩個函數圖象的交點的個數,從而為研究方程根的 個數問題提供了方便.
2.利用導數解決函數問題中,函數的零點問題是比較復雜的綜合問題,常常在高考壓軸題中出 現.解決此類問題可通過極值的正用和逆用,分類討論、數形結合等思想方法進行有效處理, 解題的關鍵是掌握求單調區間和極值的方法.
定點 2 利用函數極值解決函數零點(方程的根)問題
典例 已知函數f(x)=(ax2+x-1)ex(a∈R,且a為常數).
(1)當a=1時,求f(x)的單調區間;
(2)若a=-1,函數f(x)與g(x)= x3+ x2+m的圖象有3個不同的交點,求實數m的取值范圍.
思路點撥 (1)對f(x)求導 f'(x)>0, f(x)單調遞增, f'(x)<0, f(x)單調遞減.
(2)構造函數h(x)=f(x)-g(x),則問題轉化為函數h(x)有3個不同的零點,求出h(x)的極值,進而得到 關于m的不等式組,求解即可.
解析 (1)當a=1時,f(x)=(x2+x-1)ex,則f'(x)=x(x+3)ex.
令f'(x)=0,得x=0或x=-3,
當x<-3時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,
當-3當x>0時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,
綜上所述,f(x)的單調遞減區間為(-3,0),單調遞增區間為(-∞,-3),(0,+∞).
(2)a=-1時,f(x)=(-x2+x-1)ex,
令h(x)=f(x)-g(x)=(-x2+x-1)ex- ,則h'(x)=-(x2+x)(ex+1),
令h'(x)=0,解得x=0或x=-1.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,+∞)
h'(x) - 0 + 0 -
h(x) ↘ 極小值h(-1) ↗ 極大值h(0) ↘
∴h(x)在x=-1處取得極小值h(-1)=- - -m,在x=0處取得極大值h(0)=-1-m.
若函數f(x),g(x)的圖象有3個不同的交點,則h(x)有3個不同的零點,
∴ 即 得- -

展開更多......

收起↑