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1.如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同,但順序不同,那么它們是不同的數(shù)列.
2.同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn).
3.{an}表示一個數(shù)列,an表示數(shù)列中的第n項.
4.并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式.
5.數(shù)列的分類:
(1)按項的個數(shù)分:有窮數(shù)列,無窮數(shù)列;
(2)按數(shù)列的變化趨勢分:遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動數(shù)列,常數(shù)列.
1.1 數(shù)列的概念
1 | 數(shù)列相關(guān)概念的理解
1.數(shù)列是特殊的函數(shù),從函數(shù)的觀點看:
2.求數(shù)列中的項或判斷某項是不是數(shù)列的項時,①如果已知an=f(n)和n0,則 = f(n0);②判斷m是不是{an}的項,只需令m=an,判斷此方程是否有正整數(shù)解.
定義域 正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})
解析式 數(shù)列的通項公式
值域 自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)
的一列函數(shù)值組成的集合
表示方法 (1)通項公式(解析法);
(2)圖象法;(3)列表法
2 | 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
1.通項公式反映了數(shù)列中項與序號之間的關(guān)系,而遞推公式反映了數(shù)列中項與項
之間的關(guān)系;
2.求數(shù)列的某一項時,可以通過將序號代入通項公式直接求出該項,而對于遞推公
式,則必須通過逐項計算求出該項;
3.遞推公式可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì),但不容易了解數(shù)列的全貌,計算也不方便,
而通項公式可以“把握”整個數(shù)列.
3 | 數(shù)列的通項公式與遞推公式的區(qū)別
1.數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同
不相同.數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,相當(dāng)于f(n),
而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.
2.數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是同一個數(shù)列嗎
不是.兩個數(shù)列中的數(shù)雖然相同,但順序不同,故不是同一個數(shù)列.
3.數(shù)列an= an= (n∈N+),an= (n∈N+)是同一個數(shù)列嗎
是.三個數(shù)列都可以寫成0,1,0,1,…的形式,數(shù)列的通項公式不一定是唯一的.
知識辨析
1.從下面4個角度觀察數(shù)列的前幾項:
(1)各項的符號特征;
(2)各項能否拆分;
(3)分式的分子、分母的特征;
(4)相鄰項的變化規(guī)律.
2.尋找各項與對應(yīng)的項的序號之間的規(guī)律,一般方法如下:
(1)統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu),將數(shù)列的各項拆分成若干個常見數(shù)列的“和”“差”“積”
“商”,如都化成分?jǐn)?shù)、根式等;
1 求數(shù)列的通項公式
(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分與對應(yīng)序號間的函數(shù)解
析式;
(3)當(dāng)一個數(shù)列各項的符號出現(xiàn)“+”“-”相間時,應(yīng)把符號分離出來,可用(-1)n或
(-1)n+1來表示;
(4)當(dāng)數(shù)列的奇偶項分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時,一般考慮用分段的形式給出,有時也
可以將給出的各項統(tǒng)一化成某種形式.
典例　根據(jù)下面數(shù)列的前幾項,寫出數(shù)列的一個通項公式:
(1) ,2, ,8, ,…;
(2) , , , , ,…;
(3)2,6,2,6,…;
(4)2,3,5,9,17,33,…;
(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;
(6)2,-6,12,-20,30,-42,….
思路點撥　先觀察各項的特點,注意前后項間的關(guān)系,分子與分母的關(guān)系,項與序
號的關(guān)系,每一項符號的變化規(guī)律,然后歸納出通項公式.
解析 (1)將每一項都統(tǒng)一寫成分母為2的分?jǐn)?shù),即 , , , , ,…,所以它的一個
通項公式是an= .
(2)分子為偶數(shù),分母為相鄰兩奇數(shù)的積,即an= .
(3)此數(shù)列為擺動數(shù)列,而2=4-2,6=4+2,中間符號用(-1)n來表示,所以an=4+(-1)n·2或
an=
(4)因為a1=2=1+1,a2=3=2+1,a3=5=22+1,a4=9=23+1,a5=17=24+1,a6=33=25+1,……,所
以an=2n-1+1.
(5)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,…,所以an=n+ .
(6)將數(shù)列變形為1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,-6×7,…,所以an=(-1 n(n+1).
1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法
(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求解.
(2)通過作差法或作商法比較數(shù)列中相鄰兩項的大小關(guān)系.
2.求數(shù)列中的最大(或最小)項的方法
(1)構(gòu)造函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)一步求出數(shù)列的最大(或最小)項.
(2)利用 (n≥2,n∈N+)求數(shù)列中的最大項an;利用 (n≥2,n∈N+)求
數(shù)列中的最小項an.當(dāng)所得解不唯一時,比較各解的大小即可.
2 數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系列
典例　已知數(shù)列{an}中,an=n2+λn,n∈N+.
(1)當(dāng)λ=-7時,討論{an}的單調(diào)性;
(2)若數(shù)列{an}的第7項是最小項,求實數(shù)λ的取值范圍.
思路點撥 (1)運用作差法比較an+1與an的大小,進(jìn)而判斷單調(diào)性,或利用二次函數(shù)
的性質(zhì)求解;
(2)通過列出不等式組 從而求出實數(shù)λ的取值范圍.
解析 (1)解法一:當(dāng)λ=-7時,an=n2-7n,an+1=(n+1)2-7(n+1)=n2-5n-6,
所以an+1-an=n2-5n-6-(n2-7n)=2n-6.
當(dāng)1≤n≤3時,an+1-an≤0,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時,an+1-an>0,{an}單調(diào)遞增.
解法二:當(dāng)λ=-7時,an=n2-7n= - .
易知函數(shù)f(x)= - 圖象的對稱軸為直線x= ,
所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知
當(dāng)1≤n≤3時,an+1-an≤0,{an}單調(diào)遞減;當(dāng)n≥4時,an+1-an>0,{an}單調(diào)遞增.
(2)由題意得 即
解得-15≤λ≤-13,所以實數(shù)λ的取值范圍是[-15,-13].
易錯警示 在利用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時,要注意數(shù)列的定義域是N+或
其有限子集.
1.根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(或其他項)求數(shù)列前幾項的方法
(1)根據(jù)遞推公式求數(shù)列的前幾項,首先要弄清公式中各部分的關(guān)系,依次代入計
算即可.
(2)若已知末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式,如an= 2an+1+1.
(3)若已知首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式,如an+1=
.
3 利用數(shù)列的遞推關(guān)系解決相關(guān)數(shù)列問題
2.由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法:根據(jù)數(shù)列的某項和遞推公式,求出數(shù)列的前幾項,歸納出通項公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法,遞推公式對應(yīng)的有以下幾類:
①an+1-an=常數(shù),或an+1-an=f(n)[f(n)是可以求和的],使用累加法或迭代法;
②an+1=pan(p為非零常數(shù)),或an+1=f(n)an[f(n)是可以求積的],使用累乘法或迭代法;
③an+1=pan+q(p,q為非零常數(shù)),適當(dāng)變形后轉(zhuǎn)化為第②類解決.
典例 (1)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=an+ - ,則an等于 (　 )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1= an(n∈N+),則an等于 (　 )
A.n+1　 B.n　
C. 　 D.
B
D
解析 (1)解法一(歸納法):數(shù)列的前5項分別為a1=1,a2=1+1- =2- = ,a3= + - =
2- = ,a4= + - =2- = ,a5= + - =2- = ,由此可得數(shù)列的一個通項公式為an
= .
解法二(迭代法):a2=a1+1- ,a3=a2+ - ,……,an=an-1+ - (n≥2),
則an=a1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2).
又a1=1也適合上式,
所以an= (n∈N+).
解法三(累加法):an+1-an= - ,a1=1,a2-a1=1- ,a3-a2= - ,a4-a3= - ,……,an-an-1=
- (n≥2),以上各式相加得an=1+1- + - + - +…+ - =2- = (n≥2).
因為a1=1也適合上式,
所以an= (n∈N+).
(2)由題意得 = ,
所以an= · ·…· · ·a1
= × ×…× × ×1
= .第1章　數(shù)列
1.1　數(shù)列的概念
基礎(chǔ)過關(guān)練
　　　　　　　　　　　　　
題組一　對數(shù)列相關(guān)概念的理解
1.(多選)下面四個結(jié)論正確的是(　　)
A.數(shù)列1,2,3,4和數(shù)列1,3,4,2是相同的數(shù)列
B.數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函數(shù)
C.數(shù)列的圖象是一系列孤立的點
D.數(shù)列的項數(shù)是無限的
2.下列數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(　　)
A.1,,,,…
B.sin ,sin ,sin ,sin ,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
3.寫出一個同時滿足下列條件的數(shù)列{an}:①無窮數(shù)列;②遞減數(shù)列;③每一項都是正數(shù),則an=　　　　　.
題組二　數(shù)列的通項公式
4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=,n∈N+,則該數(shù)列的前4項依次為(　　)
A.1,0,1,0　　　　B.0,1,0,1
C.,0,,0　　　　D.2,0,2,0
5.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一個通項公式是an=(　　)
A.(10n-1)　　　　B.(10n-1)
C.　　　　D.(10n-1)
6.下圖是一系列有機(jī)物的結(jié)構(gòu)簡圖,圖中的“小黑點”表示原子,兩點間的“短線”表示化學(xué)鍵,按圖中結(jié)構(gòu),第n個圖中化學(xué)鍵的個數(shù)為(　　)
A.6n　　　　B.5n+1
C.5n-1　　　　D.4n+2
7.已知數(shù)列1,,,,,,,,,,…,則是數(shù)列中的(　　)
A.第29項　　　　B.第30項
C.第36項　　　　D.第37項
題組三　數(shù)列的遞推公式
8.數(shù)列{an}中,a1=1,對所有的n≥2,n∈N+,都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5等于(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
9.九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲,它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串,按一定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù),決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中,用an表示解下n(n≤9,n∈N+)個圓環(huán)最少需要移動的次數(shù),數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1=則解下5個環(huán)最少需要移動的次數(shù)為(　　)
A.7　　　　B.10
C.16　　　　D.31
10.分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦·B·曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科,它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.下圖是按照,的分形規(guī)律生長成的一個樹形圖,則第10行的實心圓點的個數(shù)是(　　)
A.89　　　　B.55
C.34　　　　D.144
11.數(shù)列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=　　　　.
題組四　數(shù)列的單調(diào)性
12.已知數(shù)列{an}滿足an=n∈N+,若對于任意n∈N+都有an>an+1,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
13.已知an=(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前40項中,最大項和最小項分別是(　　)
A.a1,a30　　　　B.a1,a9
C.a10,a9　　　　D.a12,a11
14.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n∈N+),且數(shù)列{an}從第n項起單調(diào)遞減,則n的最小值為(　　)
A.11　　　　B.12
C.13　　　　D.不存在
15.若an=2n2+λn+3(其中λ為實常數(shù)),n∈N+,且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍為　　　　.
16.已知an=(n∈N+),則數(shù)列{an}中有沒有最大項 如果有,求出最大項;如果沒有,請說明理由.
能力提升練
題組一　數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
1.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論,主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數(shù)列的第20項與第21項的和為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.380　　B.410　　C.420　　D.462
2.設(shè)an=+++…+(n∈N+),那么an+1-an=(　　)
A.　　　 　B.
C.+　　　　D.-
3.(多選)已知數(shù)列{an}的前4項依次為2,0,2,0,則數(shù)列{an}的通項公式可以為(　　)
A.an=　　　　B.an=1+(-1)n+1
C.an=2　　　　D.an=
4.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,圖(1)、(2)、(3)、(4)為最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個圖案包含f(n)個小正方形,則f(6)=　　　　.
5.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=.
(1)判斷是不是數(shù)列{an}中的項;
(2)試判斷數(shù)列{an}中的各項是否都在區(qū)間(0,1)內(nèi);
(3)試判斷在區(qū)間內(nèi)是否有數(shù)列{an}中的項.若有,是第幾項 若沒有,請說明理由.
題組二　數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用
6.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,則a2 021=(　　)
A.7　　　　B.8
C.9　　　　D.10
7.雪花曲線因其形狀類似雪花而得名,它的產(chǎn)生與雪花類似,由等邊三角形開始,把三角形的每一條邊三等分,并以每一條邊三等分后的中段為邊,向外作新的等邊三角形,但要去掉與原三角形疊合的邊,接著對每一個等邊三角形“尖出”的部分繼續(xù)上述過程,即以每條邊三等分后的中段為邊向外作新的等邊三角形[圖(2)、(3)、(4)是等邊三角形(1)經(jīng)過第一次、第二次、第三次變化所得的雪花曲線].若按照上述規(guī)律,一個邊長為3的等邊三角形,經(jīng)過四次變化得到的雪花曲線的周長是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
8.數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想,角谷猜想就是其中之一,一般指冰雹猜想,它是指一個正整數(shù),如果是奇數(shù)就乘3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過若干次數(shù),最終回到1.對任意正整數(shù)a0,記按照上述規(guī)則實施第n次運算的結(jié)果為an(n∈N),則使a7=1的a0的所有可能取值的個數(shù)為(　　)
A.3　　　　B.4
C.5　　　　D.6
題組三　數(shù)列的單調(diào)性
9.已知數(shù)列{an}對任意的n∈N+都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,則下列說法正確的是(　　)
A.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5>1
B.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5>1
C.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞減數(shù)列,且a5<1
D.數(shù)列{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,且a5<1
10.已知數(shù)列{an}滿足 m,n∈N+,am+n=am·an,且a1=.則
(1)a4=　　　　;
(2)數(shù)列{n2·an}的最大項為第　　項.
11.已知數(shù)列{an}滿足an=1+(n∈N+,a∈R且a≠0).
(1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值;
(2)若對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,求實數(shù)a的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.BC
2.C　
3.答案　(答案不唯一)
4.A　解法一:由an=,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故選A.
解法二:因為當(dāng)n∈N+且n為奇數(shù)時,1+(-1)n+1=2,當(dāng)n∈N+且n為偶數(shù)時,1+(-1)n+1=0,所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項的值為1,偶數(shù)項的值為0,故該數(shù)列的前4項依次為1,0,1,0.
5.C　數(shù)列9,99,999,9 999,…的一個通項公式是bn=10n-1,則數(shù)列0.9,0.99,0.999,0.999 9,…的一個通項公式是cn=×(10n-1)=1-,則數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一個通項公式是an=.故選C.
6.B　題圖中化學(xué)鍵的個數(shù)依次為6,11,16,…,后一個圖中的化學(xué)鍵的個數(shù)總比前一個圖中的化學(xué)鍵的個數(shù)多5,則第n個圖中有(5n+1)個化學(xué)鍵.故選B.
7.A　數(shù)列中分母與分子之和為2的有一個,為3的有兩個,為4的有三個,……,故出現(xiàn)在和為9的那組,即第八組,且為該組的第一個數(shù),前七組共有1+2+3+…+7=28個數(shù),故是第29個數(shù),即第29項.故選A.
8.C　當(dāng)n=2時,a1a2=22;當(dāng)n=3時,a1a2a3=32;當(dāng)n=4時,a1a2a3a4=42;當(dāng)n=5時,a1a2a3a4a5=52,則a3===,a5===,所以a3+a5=.故選C.
9.C　由題意知a5=2a4+2=2(2a3-1)+2=4(2a2+2)=8(2a1-1)+8=16a1=16.故選C.
10.C　設(shè)第n行實心圓點的個數(shù)為an,由題圖可得,a1=0,a2=1,a3=1,a4=2,a5=3,a6=5,……,則an=an-2+an-1(n≥3),故a7=a5+a6=8,a8=a6+a7=13,a9=a7+a8=21,a10=a8+a9=34.故選C.
11.答案　
解析　由已知得an+1===1-=1-=an-2,所以a8=a5=a2=2,而a2==2,解得a1=.
12.C　由題意可得解得13.D　an==1+,當(dāng)n≤11時,數(shù)列{an}遞減,且an<1;當(dāng)n≥12時,數(shù)列{an}遞減,且an>1,故最大項和最小項分別是a12和a11.故選D.
14.A　解法一:∵an=,∴an+1=,
∴an+1-an=-
=.
由數(shù)列{an}從第n項起單調(diào)遞減可得an+1-an<0,
即-n2-n+130<0,n∈N+,解得n>或n<(舍去).
∵22<<23,∴10.5<<11,
∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,
即從第11項起,{an}單調(diào)遞減,
∴n的最小值為11.
解法二:設(shè)f(x)=(x>0),
則f(x)=,x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時等號成立,則當(dāng)x=時,x+取得最小值,此時f(x)取得最大值,又∵11<<12,a11=>a12=,∴數(shù)列{an}中的最大項是第11項,故選A.
15.答案　(-6,+∞)
解析　若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則an+1>an,即2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,整理得λ>-(4n+2),∵n≥1,∴-(4n+2)≤-6,故λ>-6.
16.解析　解法一:由an=(n∈N+)得,an+1-an=-=,n∈N+.
當(dāng)n<8時,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8時單調(diào)遞增;當(dāng)n=8時,an+1-an=0,即an+1=an,即a8=a9;當(dāng)n>8時,an+1-an<0,即an+18時單調(diào)遞減.
所以數(shù)列{an}的最大項是第8項或第9項,
即a8=a9=.
解法二:設(shè)an為最大項,
則(n≥2,n∈N+),
即解得8≤n≤9.
又因為n∈N+,所以n=8或n=9.
故{an}的最大項為a8=a9=.
能力提升練
1.C　由已知可得該數(shù)列的偶數(shù)項的通項公式a2n=2n2,∴a20=a2×10=2×102=200,奇數(shù)項的通項公式a2n-1=2n(n-1),∴a21=a2×11-1=2×11×10=220,∴a20+a21=200+220=420,故選C.
2.D　∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.故選D.
3.ABC　對于A,∵an=∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正確;
對于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正確;
對于C,∵an=2,∴a1=2=2,a2=2=0,a3=2=2,a4=2=0,故C正確;
對于D,∵an=,∴a1==2,a2==1,a3==2,a4==1,故D錯誤.故選ABC.
4.答案　61
信息提取?、偎膫€對稱圖形;②f(1)=1, f(2)=1+3+1, f(3)=1+3+5+3+1, f(4)=1+3+5+7+5+3+1.
數(shù)學(xué)建?！”绢}以小正方形的個數(shù)變化為背景構(gòu)建“數(shù)列模型”.前四個圖案中小正方形的個數(shù)分別是1,5,13,25,排成一列形成一個數(shù)列,從而把實際問題抽象成數(shù)列問題,再探索規(guī)律,總結(jié)出f(n).
解析　由題圖得, f(1)=1,
f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3,
f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5,
f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7,
故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.
當(dāng)n=6時, f(6)=2×6×5+1=61.
5.解析　(1)由題可得an===,
令=,解得n=.
因為不是正整數(shù),所以不是數(shù)列{an}中的項.
(2)由(1)可得an===1-,
因為n∈N+,所以0<<1,所以0所以數(shù)列{an}中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi).
(3)在區(qū)間內(nèi)有數(shù)列{an}中的項.
令即解得又因為n∈N+,所以n=2.
故區(qū)間內(nèi)有且僅有一個數(shù)列{an}中的項,是第2項,且a2=.
6.D　∵a3n+2=an+2,a3n+1=a3n=an,∴a2 021=a3×673+2=a673+2=a3×224+1+2=a224+2=a3×74+2+2=a74+4=a3×24+2+4=a24+6=a8+6=a2+8,∵a2=2,∴a2 021=a2+8=10.故選D.
7.C　設(shè)雪花曲線的邊長分別為a1,a2,a3,a4,a5,邊數(shù)分別為b1,b2,b3,b4,b5,周長為Sn(n=1,2,3,4,5),由題圖可得,a2=a1×=1,a3=a2=,a4=a3=,a5=a4=,b1=3,b2=3×4,b3=3×4×4,b4=3×4×4×4,b5=3×4×4×4×4,則S1=9,S2=12,S3=16,S4=,S5=.故選C.
8.D　由題意知,
n∈N+,an=
由a7=1,得a6=2,∴a5=4,∴a4=1或a4=8.
①當(dāng)a4=1時,a3=2,∴a2=4,∴a1=1或a1=8,∴a0=2或a0=16.
②當(dāng)a4=8時,a3=16,∴a2=5或a2=32.當(dāng)a2=5時,a1=10,此時a0=3或a0=20;當(dāng)a2=32時,a1=64,此時a0=21或a0=128.
綜上,滿足條件的a0的值共有6個.故選D.
9.D　∵數(shù)列{an}對任意的n∈N+都有an+1<,∴an+2-an+1>an+1-an,
∴{an+1-an}為單調(diào)遞增數(shù)列,
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1.故選D.
10.答案　(1)　(2)5
解析　(1)因為am+n=am·an,a1=,所以a4=a2·a2==(a1·a1)2===.
(2)因為am+n=am·an,
所以an=an-1·a1=an-2·a1·a1=…=a2·=(a1)n=,所以n2an=n2.
設(shè)數(shù)列{n2·an}的第k項最大,
則有
即
解得k∈[2+,3+].
因為k∈N+,所以k=5,所以第5項最大.
11.解析　(1)解法一:∵a=-7,∴an=1+.
結(jié)合函數(shù)y=1+的單調(diào)性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N+),
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0.
解法二:∵a=-7,∴an=1+.
設(shè)數(shù)列中的最大項為an,
則(n≥2且n∈N+),
即解得又∵n≥2且n∈N+,∴n=5,即數(shù)列{an}中的最大項為a5=2.
同理可得,數(shù)列{an}中的最小項為a4=0.
(2)an=1+=1+.
∵對任意的n∈N+,都有an≤a6成立,
∴結(jié)合函數(shù)y=1+的單調(diào)性,知5<<6,
∴-1016

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