資源簡(jiǎn)介

1.2.3　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算
1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S5=S2+a11,且a1=1,則S8=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.42　　B.56　　C.64　　D.82
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,若am-1+am+am+1=18,且Sm=28,則m的值為(　　)
A.7　　B.8　　C.14　　D.16
3.“嫦娥”奔月,舉國歡慶.根據(jù)科學(xué)家計(jì)算,運(yùn)載“嫦娥”飛船的“長征三號(hào)甲”火箭點(diǎn)火1 min內(nèi)通過的路程為2 km,以后每分鐘通過的路程增加2 km,在到達(dá)離地面240 km的高度時(shí),火箭與飛船分離,則這一過程需要的時(shí)間是(　　)
A.10 min　　B.13 min　　C.15 min　　D.20 min
4.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S2=2,S4=16,則a6=　　　　.
5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+4,則an=　　　　.
題組二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
6.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若S3=6,S6=18,則S9=(　　)
A.30　　B.36　　C.40　　D.48
7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若m>1,且am-1+am+1-=0,S2m-1=38,則m=(　　)
A.38　　　　B.20
C.10　　　　D.9
8.已知等差數(shù)列{an}共有(2n+1)項(xiàng),其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290,偶數(shù)項(xiàng)之和為261,則an+1的值為(　　)
A.30　　　　B.29
C.28　　　　D.27
9.等差數(shù)列{an}中,a1=-2 018,前n項(xiàng)和為Sn,若-=4,則S2 021=(　　)
A.-4 042　　　　B.-2 021
C.2 021　　　　D.4 042
題組三　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)Sn取得最大值,若a1=30,則公差d的取值范圍為(　　)
A.(-6,-5)　　　　
B.[-6,-5]
C.(-∞,-6)∪(-5,+∞)　　　　
D.(-∞,-6]∪[-5,+∞)
11.在數(shù)列{an}中,a1=19,an+1=an-3(n∈N+),當(dāng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和最大時(shí),n的值為(　　)
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
12.某大樓共有12層,有11人在第一層上了電梯,他們分別要去第2至12層,每層1人,因特殊原因,電梯只能停在某一層,其余10人都要步行到所要去的樓層,假設(shè)初始的“不滿意度”為0,每位乘客每向下步行一層的“不滿意度”增量為1,每向上步行1層的“不滿意度”增量為2,要使得10人“不滿意度”之和最小,電梯應(yīng)該停在第幾層(　　)
A.7　　　　B.8
C.9　　　　D.10
13.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S5-S2=3,且公差d=a3+3,則Sn的最小值為　　　　.
14.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且an+1=an+d(n∈N+,d為常數(shù)),若S3=12,a3a5+2a3-5a5-10=0.求:
(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)Sn的最值.
題組四　裂項(xiàng)相消法求和
15.在數(shù)列{an}中,an=++…+(n∈N+),bn=,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
16.知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4=24,S10=120.
(1)求Sn;
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,證明:Tn<.
能力提升練
題組一　求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且++…+=n2+n,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.n2+2n+1　　　　B.2n2+2n
C.3n2+n　　　　D.3n2-n
2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=S5,S6=21,若++…+<λ恒成立,則λ的最小值為(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S9=126,a4+a10=40,則的最小值為　　　　.
4.在“①an+1>an,a2a9=51,a4+a7=20;②S5=25a1,a2=3;③Sn=n2”這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面問題中,并解答.
已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且　　　　,n∈N+.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a5=12,S4=4S2.
(1)求an及Sn;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
題組二　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
6.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=,則=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(多選)已知首項(xiàng)為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為Sn,則下列四個(gè)命題中正確的有(　　)
A.若S10=0,則a5>0,a6<0
B.若S4=S12,則使Sn>0的最大的n為15
C.若S15>0,S16<0,則{Sn}中S7最大
D.若S88.在等差數(shù)列{an}中,前m(m為奇數(shù))項(xiàng)和為135,其中偶數(shù)項(xiàng)之和為63,且am-a1=14,則a100=　　　　.
題組三　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用
9.數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N+),若b3=-2,b10=12,則a8=(　　)
A.0　　B.3　　C.8　　D.11
10.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:“今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,二馬相逢.”問:良馬與駑馬　　　日相逢 (用數(shù)字作答)
11.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S2=2,S3=-6.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和Sn;
(2)是否存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差數(shù)列 若存在,求出n;若不存在,請(qǐng)說明理由.
12.為了凈化環(huán)境,保護(hù)水資源,某化工企業(yè)在2020年年底投入100萬元購入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元,此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi),第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.
(1)求該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費(fèi)用y(萬元);
(2)問:該企業(yè)污水處理設(shè)備使用幾年時(shí)年平均污水處理費(fèi)用最低 最低年平均污水處理費(fèi)用是多少萬元
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則5+d=2+d+1+10d,解得d=2,因此S8=8+×2=64,故選C.
2.B　因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以am-1+am+am+1=3am=18,解得am=6,所以Sm===28,解得m=8.故選B.
3.C　由題意知,火箭每分鐘通過的路程數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=2n+×2=n2+n,令Sn=240,解得n=15或n=-16(舍去).
4.答案　
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
∵S2=2,S4=16,∴
解得∴a6=a1+5d=-+15=.
5.答案　
解析　當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=5,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+4-(n-1)2-4=2n-1,此時(shí)a1=5不成立,所以an=
6.B　由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),所以2×(18-6)=6+(S9-18),解得S9=36.故選B.
7.C　根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得am-1+am+1=2am,
∵am-1+am+1-=0,∴am=0或am=2.
若am=0,則S2m-1=(2m-1)am=38顯然不成立,
∴am=2.
∴S2m-1=(2m-1)am=38,解得m=10.故選C.
8.B　解法一:由已知得數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng)共有(n+1)項(xiàng),其和為·(n+1)=·(n+1)=290,∴(n+1)an+1=290,偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng),其和為·n=·n=nan+1=261,∴an+1=290-261=29.故選B.
解法二:∵等差數(shù)列{an}有(2n+1)項(xiàng),∴S奇-S偶=an+1=29,故選B.
9.D　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+d =a1+d,∴-=4 -=2,即-=d=2,∴S2 021=2 021a1+d=2 021×(-2 018)+2 021×2 020=4 042.故選D.
10.A　由已知可得即解得-611.B　由題意得,an+1-an=-3,所以數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)、-3為公差的等差數(shù)列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,n∈N+.
設(shè)前k(k∈N+)項(xiàng)和最大,則有
所以解得≤k≤,
又因?yàn)閗∈N+,所以k=7,故選B.
12.C　設(shè)電梯所停的樓層是n(2≤n≤12,n∈N+),“不滿意度”之和為S,則S=1+2+…+(n-2)+2[1+2+…+(12-n)]=+2×=+157=-+157,其圖象開口向上,對(duì)稱軸為直線n==8,
因?yàn)閚∈N+,所以S在n=9時(shí)取最小值,故選C.
13.答案　-9
解析　依題意及等差數(shù)列的性質(zhì)知3=S5-S2=a3+a4+a5=3a4,解得a4=1.
又因?yàn)閐=a3+3,所以a4=a3+d=(d-3)+d=1,解得d=2.
由a4=a1+3d=1,得a1=-5.
所以Sn=-5n+×2=(n-3)2-9.當(dāng)n=3時(shí),(Sn)min=-9.
14.解析　(1)由已知得數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差為d,
由S3=a1+a2+a3=3a2=12,得a2=4,
又因?yàn)閍3a5+2a3-5a5-10=0,即(a3-5)(a5+2)=0,
所以a3=5或a5=-2.
由得d=a3-a2=1,a1=3,此時(shí)an=n+2,
由得d==-2,a1=6,此時(shí)an=-2n+8,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n+2或an=-2n+8.
(2)當(dāng)an=n+2時(shí),Sn=,顯然Sn=是關(guān)于正整數(shù)n的增函數(shù),
所以S1=3為Sn的最小值,Sn無最大值;
當(dāng)an=-2n+8時(shí),Sn=-n2+7n=-+,而n為正整數(shù),所以當(dāng)n=3或n=4時(shí),Sn有最大值,最大值為S3=S4=12,Sn無最小值,
所以S3=S4=12是Sn的最大值,Sn無最小值.
15.A　因?yàn)閍n=++…+=(1+2+…+n)=·=,
所以bn====4,
所以Sn=4=.
故選A.
16.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則解得
∴Sn=3n+×2=n2+2n.
(2)證明:∵==,
∴Tn=+++…+=×+++…++=×<×=.
能力提升練
1.B　∵++…+=n2+n①,
∴當(dāng)n=1時(shí),=2,
當(dāng)n≥2時(shí), ++…+=(n-1)2+(n-1)②,
①-②,得=2n(n≥2),此式對(duì)n=1也適用,
∴當(dāng)n∈N+時(shí),=2n,即an=4n2,
∴=4n,∵-=4(n+1)-4n=4,=4,
∴是首項(xiàng)為4、公差為4的等差數(shù)列,
∴=4n,∴Sn==2n2+2n.
2.A　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則4a1+d=,整理得a1=d,由S6=21,可得6a1+d=21,即2a1+5d=7,所以a1=d=1,所以Sn=n+=,所以==-,
所以++…+=1-+-+…+-=1-<1,
因?yàn)?+…+<λ恒成立,所以λ≥1,故選A.
3.答案　28
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
由題設(shè)知可得
∴Sn=2n+×3=,∴=3n++1≥2+1=12+1,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立,而n∈N+,且4<2<5,當(dāng)n=4時(shí),=28,當(dāng)n=5時(shí),=28.
故當(dāng)n=4或n=5時(shí),取得最小值,為28.
4.解析　(1)若選擇①.
易知a4+a7=a2+a9=20,聯(lián)立
結(jié)合an+1>an,解得
設(shè){an}的公差為d,則解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
若選擇②.
設(shè){an}的公差為d,由S5=25a1,得5a3=25a1,即a3=5a1,
則解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
若選擇③.
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,a1=1滿足上式.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.
(2)由題意得bn==-,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=1-+-+-+…+-==.
5.解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
則解得
∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
Sn=na1+=1×n+=n2.
(2)bn===-,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=-+-+-+…+-=1-.
6.A　由題意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列,因?yàn)?,所以=,
則數(shù)列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4為首項(xiàng),S4為公差的等差數(shù)列,
則S8-S4=S4,S12-S8=2S4,S16-S12=S4,
所以S8=S4,S12=S4,S16=7S4,所以=.故選A.
7.ABD　對(duì)于A,易知公差d<0,所以S10==0,即a1+a10=0,
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a5+a6=a1+a10=0,
又因?yàn)閐<0,所以a5>0,a6<0,故A正確;
對(duì)于B,因?yàn)镾4=S12,所以S12-S4=0,所以a5+a6+…+a11+a12=4(a8+a9)=0,又因?yàn)閍1>0,所以a8>0,a9<0,
所以S15===15a8>0,S16===0,所以使Sn>0的最大的n為15,故B正確;
對(duì)于C,S15===15a8>0,則a8>0,S16==<0,則a8+a9<0,即a9<0,所以{Sn}中S8最大,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)镾80,又因?yàn)閍1>0,所以a8=S8-S7>0,即S8>S7,故D正確.故選ABD.
8.答案　101
解析　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,由題意可知,Sm=135,前m項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)之和S偶=63,∴奇數(shù)項(xiàng)之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9,即a1+am=18.
又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16.
∵Sm==135,∴m=15,
∴d===1,∴a100=a1+99d=101.
9.B　設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.
∵b3=-2,b10=12,∴解得
∴bn=-6+(n-1)×2=2n-8,
∴an+1-an=2n-8,
∴a2-a1=2×1-8,
a3-a2=2×2-8,
a4-a3=2×3-8,
……
a8-a7=2×7-8,
以上各式相加,得a8-a1=2×(1+2+3+…+7)-8×7=0,又∵a1=3,∴a8=a1=3.
10.答案　9
解析　由題可知,良馬每日行程an構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為103、公差為13的等差數(shù)列;駑馬每日行程bn構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為97、公差為-的等差數(shù)列.則an=103+13(n-1)=13n+90,bn=97-(n-1)=-n,數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1 125×2=2 250,又∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(103+13n+90)=(193+13n),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為·=,∴(193+13n)+=2 250,整理得n2+31n-360=0,解得n=9或n=-40(舍去),即良馬與駑馬9日相逢.
11.解析　(1)設(shè){an}的公差為d,
則解得
∴an=4-6(n-1)=10-6n,
Sn=4n+×(-6)=7n-3n2.
(2)存在.由(1)可得Sn+Sn+3=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2=-6n2-4n-6,
Sn+2=7(n+2)-3(n+2)2=-3n2-5n+2,
∴2(Sn+2+2n)=2(-3n2-5n+2+2n)=-6n2-6n+4.
若存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差數(shù)列,
則Sn+Sn+3=2(Sn+2+2n),即-6n2-4n-6=-6n2-6n+4,解得n=5,
∴存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差數(shù)列.
12.解析　(1)設(shè)該企業(yè)第x年使用該設(shè)備的維護(hù)費(fèi)為ax 萬元,依題意得,a1=2,ax+1=ax+2,
因此數(shù)列{ax}是以a1=2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,故該企業(yè)使用該設(shè)備x年的總維護(hù)費(fèi)為(2+4+6+…+2x)萬元,
則總費(fèi)用為[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]萬元,
因此y==x++1.5(x∈N+).
(2)由(1)及x∈N+可得,y=x++1.5≥2+1.5=21.5, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時(shí),等號(hào)成立,即當(dāng)x=10時(shí),y取得最小值.
∴該企業(yè)污水處理設(shè)備使用10年時(shí)年平均污水處理費(fèi)用最低,最低年平均污水處理費(fèi)用是21.5萬元.
17(共12張PPT)
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn= =na1+ d.
2.公式Sn= 反映了等差數(shù)列的性質(zhì),任意第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首
末兩項(xiàng)之和,因此常與性質(zhì):若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq結(jié)合使用.
1.2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和
1 | 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解
　　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式可化成關(guān)于n的表達(dá)式Sn=na1+ = n2+
n.
(1)當(dāng)d≠0時(shí),Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù),注意其常數(shù)項(xiàng)為0.點(diǎn)(n,Sn)是拋物線Sn=
n2+ n上一系列離散的點(diǎn).
(2)當(dāng)d≠0時(shí), = n+ 可看成關(guān)于n的一次函數(shù),則 是公差為 的等差
數(shù)列.
2 | 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征
性質(zhì)1 公差為d的等差數(shù)列中依次k項(xiàng)之和Sk,S2k-Sk,S3k-S
2k,…組成公差為k2d的等差數(shù)列
性質(zhì)2 若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N+),則S2n=n(an+an+1),S
偶-S奇=nd, = (S奇≠0,an≠0);
若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n-1(n∈N+),則S2n-1=(2n-1)
an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0)
性質(zhì)3 {an}為等差數(shù)列 為等差數(shù)列
性質(zhì)4 若等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則Sn,
Tn 之間的關(guān)系為 = (bn≠0,T2n-1≠0)
3 | 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
1.若一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列
嗎
不一定.當(dāng)二次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)才為等差數(shù)列.
2.若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A≠0),則其最大值或最小值一定在n=-
處取得嗎
不一定.只有當(dāng)- 是正整數(shù)時(shí)才成立.
3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S3,S6-S3,S12-S9成等差數(shù)列嗎
不是.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.
知識(shí)辨析
　　在等差數(shù)列問題中共涉及五個(gè)量:a1,d,n,an,Sn,這五個(gè)量可以“知三求二”.解
決等差數(shù)列問題的一般思路為:設(shè)出基本量a1,d,構(gòu)建方程組,利用方程思想求解.
　　當(dāng)已知首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)時(shí),用公式Sn= 較簡(jiǎn)便,使用此公式時(shí)注意
結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì);當(dāng)已知首項(xiàng)、公差和項(xiàng)數(shù)時(shí),用公式Sn=na1+ d較簡(jiǎn)便.
1 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)
典例　已知等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,求S3m .
思路點(diǎn)撥　思路一:用方程思想求出a1,d,再代入公式求解.
思路二:利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m或 , , 成等差數(shù)列解題.
解析 解法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由 得
解得
故S3m=3ma1+ d=210.
解法二:由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,
∴30,70,S3m-100成等差數(shù)列,
∴2×70=30+(S3m-100),
∴S3m=210.
解法三:由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知, , , 成等差數(shù)列,
∴ = + ,
即S3m=3(S2m-Sm)
=3×(100-30)=210.
　　求等差數(shù)列{an}(公差d≠0)的前n項(xiàng)和Sn的最大(小)值的常用方法如下:
(1)函數(shù)法:將求Sn的最大(小)值問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大(小)值問題,解題時(shí)
注意n∈N+;
(2)利用 或 尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn),當(dāng)a1>0,d<0時(shí),正項(xiàng)和最大,當(dāng)a1
<0,d>0時(shí),負(fù)項(xiàng)和最小,進(jìn)而得到Sn的最大(小)值.
2 等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法
典例　在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S8=S18,求其前n項(xiàng)和Sn的最大值.
解析 解法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)镾8=S18,a1=25,
所以8×25+ d=18×25+ ×d,解得d=-2.
所以Sn=25n+ ×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
所以當(dāng)n=13時(shí),Sn取得最大值,最大值為169.
解法二:同解法一,求出公差d=-2,所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
由
得
因?yàn)閚∈N+,所以當(dāng)n=13時(shí),Sn取得最大值,最大值為 =169.
1.倒序相加求和
　　等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程采用了倒序相加求和.
2.裂項(xiàng)相消求和
(1)裂項(xiàng)相消求和就是將某些特殊數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)的差,并使它們求和的
過程中出現(xiàn)相同的項(xiàng),這些相同的項(xiàng)能夠相互抵消,從而達(dá)到求和的目的.
(2)常見的裂項(xiàng)技巧:
①已知{an}是等差數(shù)列,其公差為d(d≠0),則bn= = × .
②an= = .
③an=
3 與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和
= .
④an= = - .
⑤an=loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1.
典例　在等差數(shù)列{an}中,a1=3,公差d=2,Sn為其前n項(xiàng)和,求 + +…+ .
解析 由題意得Sn=na1+ d=3n+ ×2=n2+2n(n∈N+),
∴ = = = ,
∴ + +…+ = 1- + - + - +…+ - + - =

= - .

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