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1.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項之比都等于同一個常數(shù),
那么這個數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比.
2.等比數(shù)列中的每一項都不為0,因此公比q≠0.
3.如果一個數(shù)列不是從第2項起,而是從第3項或第4項起每一項與它的前一項之
比都是同一個常數(shù),那么此數(shù)列不是等比數(shù)列.
1.3.1　等比數(shù)列及其通項公式
1.3 等比數(shù)列
1.3.2　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)
1 | 等比數(shù)列的概念
1.等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1涉及四個量a1,an,n,q,只要知道其中任意三個量,就
能求出第四個量.
2.等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1 (q≠0)可以推廣為an=amqn-m(q≠0),即已知等比
數(shù)列的任意兩項,都可以求出數(shù)列的任何一項.
2 | 等比數(shù)列的通項公式
1.“a,G,b成等比數(shù)列”等價于“G2=ab(a,b均不為0)”,當a,b同號時,a,b的等比中
項有兩個,且它們互為相反數(shù).
2.在一個等比數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項
與后一項的等比中項.
3 | 等比中項
1.在等比數(shù)列{an}中,若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則akal=aman.特別地,若m+n=2r(m,n,r
∈N+),則aman= .
2.若數(shù)列{an}是公比為q(q>0)且各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列{logban}(b>0且b
≠1)是公差為logbq的等差數(shù)列;若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{ }(b>
0且b≠1)是公比為bd的等比數(shù)列.
3.在公比為q(q≠-1)的等比數(shù)列{an}中,依次取相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或
)的等比數(shù)列.
4.若{an}是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列{λan}(λ≠0)是公比為q的等比數(shù)列,數(shù)列
是公比為 的等比數(shù)列,數(shù)列{ }是公比為q2的等比數(shù)列,數(shù)列{|an|}是公比為 |q|的等比數(shù)列.
4 | 等比數(shù)列的性質(zhì)
5.若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則在數(shù)列{an}中,每隔k(k∈N+)項取出一項,按
原來的順序排列,所得數(shù)列仍為等比數(shù)列,且公比為qk+1.
6.在等比數(shù)列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N+)成等差數(shù)列,則am,an,ap成等比數(shù)列.
7.若{an},{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列,公比分別是p和q,則數(shù)列{anbn}與 也都
是等比數(shù)列,公比分別為pq和 .
1.等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系
(1)當q>0且q≠1時,等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)= ·qx(x∈R)當x=n時
的函數(shù)值,即an=f(n).
(2)任意指數(shù)型函數(shù)f(x)=kax(k,a是常數(shù),k≠0,a>0且a≠1),則f(1)=ka, f(2)=ka2,……, f(n)=kan,……構(gòu)成等比數(shù)列{kan},其首項為ka,公比為a.
2.等比數(shù)列的單調(diào)性
5 | 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)
a1的正負 a1>0 a1<0 q的范圍 01 01
{an}的單調(diào)性 單調(diào)遞減 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 不具有單調(diào)性 單調(diào)遞減
1.如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于一個常數(shù),這個數(shù)列是
等比數(shù)列嗎
不一定.當這個常數(shù)為同一個常數(shù)時才是等比數(shù)列.
2.存在既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列的數(shù)列嗎
存在.當數(shù)列為非零常數(shù)列時,它既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,常數(shù)列0,0,0,…是等
差數(shù)列,不是等比數(shù)列.
3.2和8的等比中項是4嗎
不是.應(yīng)該是±4,可以說4是2和8的等比中項.
4.若等比數(shù)列{an}的首項為正,則該數(shù)列的所有奇數(shù)項都是正數(shù)嗎
是.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則其奇數(shù)項為a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N+),因此當a1>
0時,a2n-1>0.等比數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項、偶數(shù)項的符號分別相同.
知識辨析
1.定義法:若數(shù)列{an}滿足 =q(q為常數(shù)且不為零)或 =q(n≥2,q為常數(shù)且不為
零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
2.等比中項法:對于數(shù)列{an},若 =anan+2且an≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
3.通項公式法:若數(shù)列{an}的通項公式為an=cqn(c≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
　　其中,定義法和等比中項法可作為證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù).
1 等比數(shù)列的判定(證明)
典例　已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值;
(2)若bn=an-1,試證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
解析 (1)因為Sn=2an+n-4,
所以當n=1時,a1=S1=2a1+1-4,
解得a1=3.
(2)證明:因為Sn=2an+n-4,
所以當n≥2時,Sn-1=2an-1+n-5,
所以Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)(n≥2),即an=2an-1-1(n≥2),
所以an-1=2(an-1-1)(n≥2),
又bn=an-1,所以bn=2bn-1(n≥2),
易知b1=a1-1=2≠0,
所以數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.
1.在解決等比數(shù)列問題的過程中常需要設(shè)未知量,為了盡量減少未知量的個數(shù),常
采用對稱設(shè)法:
　　當項數(shù)n為奇數(shù)時,先設(shè)中間一個數(shù)為a,再以公比為q向兩邊對稱依次設(shè)項即
可.如三個數(shù)成等比數(shù)列,可設(shè)為 ,a,aq.當項數(shù)n為偶數(shù)且公比大于0時,先設(shè)中間
兩個數(shù)為 和aq,再以公比為q2向兩邊對稱依次設(shè)項即可.如四個數(shù)成等比數(shù)列,可
設(shè)為 , ,aq,aq3.
2.構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式
　　當已知數(shù)列{an}不是等比數(shù)列時,往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的
等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的通項公式求出包含an的關(guān)系式,進而求出an.常見類型:
2 等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用
(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化為an+1- =c ,當a1- ≠0時,數(shù)列
為等比數(shù)列,從而把一個非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題;也可消
去常數(shù)項,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N+),兩式相減,得an+1-an=c(an-an-1),當a2-a1
≠0時,數(shù)列{an+1-an}是公比為c的等比數(shù)列.
(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化為an+1- =c 或?qū)⑦f推公式兩邊同除以
dn+1化為(1)型或兩邊同除以cn+1,累加求通項.
(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化為an+1- =c +dn,即(2)型.
典例1　在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項公式.
思路點撥　思路一:引入?yún)?shù)λ,使an+1+λ=3(an+λ),則數(shù)列{an+λ}為等比數(shù)列.思路
二:通過觀察遞推公式的特征,直接消去常數(shù),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項公式.
解析 解法一:令an+1+λ=3(an+λ),即an+1=3an+2λ,
又an+1=3an+2,∴λ=1,∴an+1+1=3(an+1).
∵a1+1=2,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項,3為公比的等比數(shù)列,
∴an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
解法二:∵an+1=3an+2,∴an=3an-1+2(n≥2),
兩式相減,得an+1-an=3(an-an-1)(n≥2).
∵a2-a1=3a1+2-a1=2a1+2=4,
∴{an+1-an}是首項為4,公比為3的等比數(shù)列,
∴an+1-an=4×3n-1.∴3an+2-an=4×3n-1,∴an=2×3n-1-1.
解題模板 構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式:在條件中出現(xiàn)an+1=kan+b時,往往構(gòu)造等比
數(shù)列{an+λ},方法是把an+1+λ=k(an+λ)與an+1=kan+b對照,求出λ后再求解.
典例2　在數(shù)列{an}中,已知a1= ,an+1= an+ ,求數(shù)列{an}的通項公式.
思路點撥　根據(jù)遞推公式的特征,用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列求解.
解析 令an+1-A× = ,
得an+1= an+ × .
根據(jù)已知條件得 =1,即A=3,
所以an+1-3× = .
又a1-3× =- ≠0,
所以 是首項為- ,公比為 的等比數(shù)列,
所以an-3× =- × ,
所以an=3× -2× .
方法歸納 形如an=pan-1+kqn(n≥2,pqk≠0,p≠1,q≠1)的遞推公式,除利用待定系數(shù)
法直接化為等比數(shù)列外,也可以兩邊同除以qn得 = · +k,進而化為等比數(shù)列,
還可以兩邊同除以pn得 = +k ,再利用累加法求出 ,進而求得an.
1.與等比數(shù)列有關(guān)的問題中,常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運算,若按常規(guī)的解題方
法,則需建立關(guān)于a1,q的方程組求解,這種方法運算量比較大,如果結(jié)合等比數(shù)列的
有關(guān)性質(zhì)來求解,那么會起到化繁為簡的效果.
2.在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時,需時刻注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件.
3 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
典例　已知{an}為等比數(shù)列.
(1)若{an}滿足a2a4= ,求a1 a5;
(2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解析 (1)在等比數(shù)列{an}中,∵a2a4= ,∴ =a1a5=a2a4= ,∴a1 a5= .
(2)由等比中項,化簡條件得 +2a6a8+ =49,即(a6+a8)2=49,
∵an>0,∴a6+a8=7.
(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10
=log3(a1a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]
=log395=10.
規(guī)律總結(jié) 利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題時要充分發(fā)揮項的“下標”的指導(dǎo)作用,分
析等比數(shù)列項與項之間的關(guān)系,選擇恰當?shù)男再|(zhì)解題.1.3　等比數(shù)列
1.3.1　等比數(shù)列及其通項公式
1.3.2　等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　等比數(shù)列的概念
1.(多選)下列說法正確的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.等比數(shù)列中的項不能為0
B.等比數(shù)列的公比的取值范圍是R
C.若一個常數(shù)列是等比數(shù)列,則其公比為1
D.22,42,62,82,…成等比數(shù)列
2.設(shè)an=(-1)n(n∈N+),則數(shù)列{an}是(　　)
A.等比數(shù)列　　　　B.等差數(shù)列
C.遞增數(shù)列　　　　D.遞減數(shù)列
3.已知函數(shù)f(x)=logkx(k為常數(shù),k>0且k≠1).下列條件中,能使數(shù)列{an}為等比數(shù)列的是　　　　(填序號).
①數(shù)列{f(an)}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列;
②數(shù)列{f(an)}是首項為4,公差為2的等差數(shù)列;
③數(shù)列{f(an)}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項和構(gòu)成的數(shù)列.
題組二　等比數(shù)列的通項公式
4.已知等比數(shù)列{an}的公比q為正數(shù),且a3a9=2,a2=1,則a1=(　　)
A.　　　　B.
C. 　　　　D.2
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an(n∈N+).若am≤128,則正整數(shù)m的最大值是(　　)
A.7　　　　　B.8　
C.9　　　　　D.10
6.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,a2a3=8,則=(　　)
A.8　　B.6　　C.4　　D.2
7.已知數(shù)列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,則a2 020=(　　)
A.2 017　　B.2 018　　C.2 019　　D.2 020
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判斷數(shù)列{bn}是不是等比數(shù)列,并說明理由;
(3)求{an}的通項公式.
題組三　等比中項
9.等比數(shù)列{an}中,a1=,q=2,則a4與a8的等比中項為(　　)
A.4　 　　　　B.-4　　 C.±4　　　 　　D.±2
10.設(shè)數(shù)列{an}的每一項都不為零,且對任意n∈N+滿足an+1=an·a2,若a3=3,則a2=(　　)
A.±3　　　　B.±
C.3　　　　D.
11.已知a,b,c成等差數(shù)列,a+1,b,c和a,b,c+2都分別成等比數(shù)列,則b的值為(　　)
A.16　　B.15　　C.14 　　D.12
題組四　 等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用
12.在等比數(shù)列{an}中,若a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,則a7+a8+a9=(　　)
A.24　　　　B.
C.　　　　D.-
13.若{an}是無窮等比數(shù)列,則“0A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
14.在等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,則數(shù)列{an}有　　　　項.
15.在等比數(shù)列{an}中,a5,a21是方程x2+11x+5=0的兩根,則的值為　　　　.
16.在等比數(shù)列{an}中,a1>1,公比q>0.設(shè)bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)求{bn}的前n項和Sn及{an}的通項公式.
能力提升練
題組一　等比數(shù)列的通項公式
1.(多選)設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則下列數(shù)列一定為等比數(shù)列的是(　　)　　　　　　　　　　　
A.{2an}　　　　B.{}
C.{}　　　　D.{log2|an|}
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=an+sin2(n∈N+),則a19·log2a20的值為　　　.
3.已知數(shù)列{an}中,a1=728,3an+1=an-1,則滿足不等式ak-1·ak<0的k的值為　　　　.
4.從①前n項和Sn=n2+p(p∈R),②a6=11且2an+1=an+an+2這兩個條件中任選一個,填在下面的橫線上,并解答.
在數(shù)列{an}中,a1=1,　　　　,其中n∈N+.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若a1,an,am構(gòu)成等比數(shù)列,其中m,n∈N+,且m>n>1,求m的最小值.
5.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩實數(shù)根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3.
(1)試用an表示an+1;
(2)求證:是等比數(shù)列;
(3)當a1=時,求數(shù)列{an}的通項公式.
題組二　等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應(yīng)用
6.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為3,若aman=9,則+的最小值等于(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
7.已知等比數(shù)列{an}滿足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),則當n≥1時,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=(　　)
A.n(2n-1)　　　B.(n+1)2 C.n2　　　　 D.(n-1)2
8.2020年12月17日凌晨1時59分,嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸,這是我國首次實現(xiàn)地外天體采樣返回,標志著中國航天向前又邁出了一大步.月球距離地球約38萬千米,有人說:在理想狀態(tài)下,若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折n次,其厚度就可以超過從地球到達月球的距離,那么至少對折的次數(shù)n是(lg 2≈0.3,lg 3.8≈0.6)(　　)
A.40　　B.41　　C.42　　D.43
9.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的,它們是按照嚴格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載堉創(chuàng)立了十二平均律,他是第一個利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例,把八度分成十二個半音,使相鄰兩個半音的頻率的比值為常數(shù),如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示這些半音的頻率,它們滿足log2=1(i=1,2,…,12).若某一半音與D#的頻率的比值為,則該半音為(　　)
頻率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
半音 C C# D D# E F F#
頻率 a8 a9 a10 a11 a12 a13
半音 G G# A A# B C (八度)
A.F#　　　　B.G C.G#　　　　D.A
10.已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則下列結(jié)論中正確的個數(shù)為(　　)
①a2a4=a1a5;
②a1+a5≥2a3;
③a1+a5≥a2+a4;
④若a5>a3,則a4>a2.
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
11.在等比數(shù)列{an}中,a1=-16,a4=-2.記Tn=a1a2·…·an(n=1,2,…,n),則數(shù)列{Tn}(　　)
A.有最大項和最小項
B.有最大項,無最小項
C.無最大項,有最小項
D.無最大項和最小項
12.已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=2,a4=14,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)若對任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整數(shù)k的值.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.AC　
2.A　
3.答案　②
解析　①中, f(an)=2n,即logkan=2n,得an=,
∵==≠常數(shù),∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列;
②中, f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0,
∵==k2 ,且k2為非零常數(shù),∴數(shù)列{an}是以k4為首項、k2為公比的等比數(shù)列;
③中, f(an)=2n+×2=n2+n,即logkan=n2+n,得an=kn(n+1),
∵==k2(n+1)≠常數(shù),∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.
4.B　∵q>0,a3a9=2=,∴a6=a5,∴q=.∵a2=a1q=1,∴a1=.
5.B　由題意得=2,所以數(shù)列{an}是以1為首項、2為公比的等比數(shù)列,所以an=a1qn-1=2n-1.
若am≤128,則2m-1≤128,所以m-1≤7,解得m≤8,
故正整數(shù)m的最大值是8.
A　由題設(shè)知a2a3=q3=8,又∵a1=1,∴q=2,∴===8,
故選A.
7.C　∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n),又∵a1-1=1≠0,
∴數(shù)列{an-n}是以1為首項、-1為公比的等比數(shù)列,∴an-n=(-1)n-1,
∴an=n+(-1)n-1,∴a2 020=2 020-1=2 019.
8.解析　(1)由條件可得an+1=an.
令n=1,得a2=4a1=4.
令n=2,得a3=3a2=12.
從而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){bn}是等比數(shù)列.理由如下:
由條件可得=,即bn+1=2bn,
又因為b1=1≠0,
所以{bn}是首項為1、公比為2的等比數(shù)列.
(3)由(2)可得=bn=1×2n-1=2n-1,
所以an=n·2n-1.
9.C　由題意得a4=a1q3=×23=1,a8=a1q7=×27=16,∴a4與a8的等比中項為±=±4.
10.B　令n=1,則a2=a1a2,∵a2≠0,∴a1=1.由an+1=an·a2得=a2,即{an}是首項為1、公比為a2的等比數(shù)列,故=a1a3=3,解得a2=±.故選B.
11.D　由題意得2b=a+c,b2=(a+1)·c,b2=a·(c+2),聯(lián)立可得b=12.
12.B　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a4+a5+a6=q3·(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-,因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=×(-3)=.故選B.
13.A　充分性:因為{an}為無窮等比數(shù)列,0an+1=anq,即{an}為遞減數(shù)列.必要性:若無窮等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,則它的第一項和第二項可以為負,如-,-,-,-1,-2,…,所以不一定得到014.答案　12
解析　由題意及等比數(shù)列的性質(zhì)得a1a2a3an-2·an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,則a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故{an}有12項.
15.答案　-
解析　由根與系數(shù)的關(guān)系得a5+a21=-11,a5a21=5,則a7a19==a5a21=5,且a5,a21同為負值,∴a13=-,故=-.
16.解析　(1)證明:因為bn=log2an,
所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q為常數(shù),
所以數(shù)列{bn}是公差為log2q的等差數(shù)列.
(2)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,
因為b1+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2.
因為a1>1,
所以b1=log2a1>0,
又因為b1b3b5=0,所以b5=0,
所以解得
因此Sn=4n+×(-1)=,
由(1)可知d=log2q=-1,解得q=,
由b1=log2a1=4,解得a1=16,
所以an=a1qn-1=25-n(n∈N+).
能力提升練
1.AB　設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q.
對于A,2an=2a1qn-1,所以數(shù)列{2an}是公比為q的等比數(shù)列;
對于B,=q2n-2=(q2)n-1,所以數(shù)列{}是公比為q2的等比數(shù)列;
對于C,=,所以當n≥2時,==,不是一個非零常數(shù),所以數(shù)列{}不是等比數(shù)列;
對于D,當n≥2時,=,不是一個非零常數(shù),所以數(shù)列{log2|an|}不是等比數(shù)列.
故選AB.
2.答案　100
解析　當n為奇數(shù)時,an+2=an+1,數(shù)列{an}隔項成等差數(shù)列.設(shè)n=2k-1,則a2k-1=k,故a19=10.當n為偶數(shù)時,an+2=2an,數(shù)列{an}隔項成等比數(shù)列.設(shè)n=2k,則a2k=2k,故a20=210.故a19·log2a20=10×10=100.
3.答案　8
解析　由3an+1=an-1得an+1+=,因為a1+=729,所以數(shù)列是首項為729、公比為的等比數(shù)列,所以an+=729×,所以an=37-n-.
當n≥2時,an-an-1=-=-2·37-n<0,所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.
若ak-1·ak<0,則有
即得2·37<3k<2·38,又因為k∈N+,所以k=8.
4.解析　(1)選擇條件①.
當n=1時,由S1=a1=1,得p=0,故Sn=n2.
當n≥2時,有Sn-1=(n-1)2,
所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).
經(jīng)檢驗,a1=1符合上式,所以an=2n-1(n∈N+).
選擇條件②.
由2an+1=an+an+2,得an+1-an=an+2-an+1,
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d.
因為a1=1,a6=a1+5d=11,所以d=2.
所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N+).
(2)因為a1,an,am構(gòu)成等比數(shù)列,
所以=a1am,即(2n-1)2=1×(2m-1),
化簡,得m=2n2-2n+1=2+.
因為m,n∈N+,且m>n>1,所以當n=2時,m取得最小值,最小值為5.
5.解析　(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,得
代入6α-2αβ+6β=3,
得-=3,所以an+1=an+.
(2)證明:因為an+1=an+,
所以an+1-=.
若an=,則方程anx2-an+1x+1=0可化為x2-x+1=0,即2x2-2x+3=0,
此時Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0,
所以an≠,即an-≠0.
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.
(3)當a1=時,a1-=,
所以an-=×=,
所以an=+,n=1,2,3,….
6.C　由題意得a2·3m-2·a2·3n-2=·3m+n-4=9,
∴m+n=6,
∴+=(m+n)=2+++≥×=,當且僅當m=2n=4時取等號.
∴+的最小值為.
7.C　因為{an}為等比數(shù)列,所以a1·a2n-1=a3·a2n-3=…=a5·a2n-5=22n,所以log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a2n-1==log2=n2.故選C.
8.C　設(shè)對折n次時,紙的厚度為an毫米,
由題意知,每次對折后,紙的厚度變?yōu)樵瓉淼?倍,則{an}是首項為0.1×2=0.2,公比為2的等比數(shù)列,
所以an=0.2×2n-1=0.1×2n,
令an=0.1×2n≥38×104×106,
即2n≥3.8×1012,所以lg 2n≥lg 3.8+12,
即0.3n≥0.6+12,解得n≥=42,
所以至少對折的次數(shù)n是42,故選C.
9.B　依題意可知an>0(n=1,2,…,12,13).由于a1,a2,…,a13滿足log2=1(i=1,2,…,12),則=2 =,所以數(shù)列{an}(n=1,2,…,12,13)為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則q=,D#對應(yīng)的頻率為a4,又因為所求半音與D#的頻率的比值為==()4,故所求半音對應(yīng)的頻率為a4·()4=a8.故選B.
10.D　設(shè){an}的公比為q(q>0).
對于①,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a4=a1a5,①正確;
對于②,a1+a5=a3≥a3×2=2a3,當且僅當q=1時,等號成立,②正確;
對于③,因為a1+a5-(a2+a4)=a3=(1-q)(1-q3)=(1-q)2(1+q+q2)≥0,所以a1+a5≥a2+a4,③正確;
對于④,因為{an}的各項均為正數(shù),所以a5>a3 a3q2>a3,所以q2>1,又因為q>0,所以q>1,所以a4=a2q2>a2,④正確.
綜上,正確結(jié)論的個數(shù)為4.故選D.
11.A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q3==,所以q=,則an=-25-n,所以Tn=a1a2·…·an=(-1)n×24×23×…×25-n=(-1)n×=(-1)n×,
令t=n(9-n),所以當n=4或n=5時,t有最大值,無最小值.當n為偶數(shù)時,Tn為正數(shù);當n為奇數(shù)時,Tn為負數(shù).故n=4時,Tn取得最大值,當n=5時,Tn取得最小值,所以數(shù)列{Tn}有最大項和最小項.故選A.
12.解析　(1)設(shè){an}的公差為d,則d==4,
所以an=2+(n-1)×4=4n-2(n∈N+).
設(shè)cn=an-bn,則{cn}為等比數(shù)列.
c1=a1-b1=2-1=1,
c4=a4-b4=14-6=8,
設(shè){cn}的公比為q,則q3==8,故q=2.
則cn=2n-1,即an-bn=2n-1,
所以bn=4n-2-2n-1(n∈N+).
(2)由題意得,bk應(yīng)為數(shù)列{bn}的最大項.
由bn+1-bn=4(n+1)-2-2n-4n+2+2n-1=4-2n-1(n∈N+).
易得當n<3時,bn+1-bn>0,即bn當n=3時,bn+1-bn=0,即b3=b4;
當n>3時,bn+1-bn<0,即bn>bn+1,即b4>b5>b6>…,
所以k=3或k=4.
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