資源簡介

*1.4　數(shù)學(xué)歸納法
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
1.已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+-+…+-=2時,若已假設(shè)n=k(k≥2)為偶數(shù)時命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證(　　)　　　　　　　　　　　　
A.n=k+1時等式成立
B.n=k+2時等式成立
C.n=2k+2時等式成立
D.n=2(k+2)時等式成立
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N+)時,從n=k到n=k+1,等式左邊需增添的項(xiàng)是(　　)
A.2k+2　　　　
B.2(k+1)+1
C.(2k+2)+(2k+3)　　　　
D.[(k+1)+1][2(k+1)+1]
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明×…×=(n≥2,n∈N+).
題組二　利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
4.用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>1(n∈N+),在驗(yàn)證n=1時,左邊的代數(shù)式為(　　)
A.++　　　　B.+
C.　　　　D.1
5.對于不等式(1)當(dāng)n=1時,<1+1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N+)時,不等式成立,即則當(dāng)n=k+1時,
=<
==(k+1)+1,
所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
則上述證法(　　)
A.過程全部正確
B.n=1驗(yàn)證不正確
C.歸納假設(shè)不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+1)”的過程中,從n=k(k∈N+,k>1)到n=k+1時,左邊增加的項(xiàng)數(shù)為(　　)
A.k　　　　B.2k
C.2k-1　　　　D.2k-1
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明:++…+>1-+-+…+-(n∈N+).
題組三　歸納—猜想—證明解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題
8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=14,且an=Sn-2n-1(n∈N+).
(1)求,,;
(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
9.在數(shù)列{an}中,a1=,an+1=.
(1)求出a2,a3,并猜想{an}的通項(xiàng)公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　因?yàn)閚為正偶數(shù),所以當(dāng)n=k時,下一個偶數(shù)為k+2.
2.C　當(dāng)n=k(k∈N+,k>1)時,左邊=1+2+3+…+(2k+1),當(dāng)n=k+1時,左邊=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故選C.
3.證明　(1)當(dāng)n=2時,左邊=1-=,右邊==,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時,等式成立,
即×…×=,
那么當(dāng)n=k+1時,
×…×==·==,即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.
綜合(1)(2)知,對任意n≥2,n∈N+等式恒成立.
4.A　
5.D　在n=k+1時,沒有應(yīng)用n=k時的歸納假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法.
6.B　由題意知,當(dāng)n=k(k∈N+,k>1)時,左邊=1+++…+,當(dāng)n=k+1時,左邊=1+++…++++…+,所以從n=k到n=k+1時,左邊增加的項(xiàng)數(shù)為(2k+1-1)-(2k-1)=2k.
7.證明　(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=1-=,左邊>右邊,所以不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,不等式成立,
即++…+>1-+-+…+-.
則當(dāng)n=k+1時,
++…++
>1-+-+…+-+
>1-+-+…+-+
=1-+-+…+-+-,
即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.
由(1)(2)知,不等式對任何n∈N+都成立.
8.解析　(1)∵an=Sn-2n-1(n∈N+),
∴當(dāng)n=1時,a1=S1=S1-1,解得S1=2,則=1;
當(dāng)n=2時,a2=S2-2=14,解得S2=16,則=4;
當(dāng)n=3時,a3=S3-S2=S3-22,解得S3=72,則=9.
(2)由(1)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為=n2(n∈N+).
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
①當(dāng)n=1時,由(1)可得=1,結(jié)論成立.
當(dāng)n=2時,由(1)可得=4,結(jié)論成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥2)時,=k2,
則當(dāng)n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1-2k+1-1,
即Sk+1=Sk-2k=2k·k2-2k=(k2-1)·2k,
則Sk+1=(k+1)(k-1)·2k.
因?yàn)閗≥2,所以Sk+1=2(k+1)2·2k=(k+1)2·2k+1,
即=(k+1)2,
所以當(dāng)n=k+1時,結(jié)論也成立.
由①②可知,對任何n∈N+,=n2恒成立.
9.解析　(1)∵a1=,an+1=,
∴a2===,a3===.
猜想: an=(n∈N+).
(2)證明:①當(dāng)n=1時,a1==,猜想成立,
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,猜想成立,即ak=,
則當(dāng)n=k+1時,ak+1===
=,
即當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
由①②可知,對任意n∈N+,an=.
7(共13張PPT)
　
　　記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如
下:
　　條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N+,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.結(jié)論:P(n)為
真.
(1)第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n=n0時結(jié)論成立,即命題P(n0)為真;
(2)第二步是證明一種遞推關(guān)系,實(shí)際上是要證明一個新命題:若P(k)(k∈N+,k≥n0)
為真,則P(k+1)也為真.
　　只要將這兩步交替使用,就有P(n0)為真,P(n0+1)為真,……,P(k)為真,P(k+1)為
真,…….從而完成證明.
| 數(shù)學(xué)歸納法
*1.4 數(shù)學(xué)歸納法
1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1嗎
不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°時,初始值n0=3.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1,等式的項(xiàng)數(shù)一定增加了
一項(xiàng)嗎
不一定.如用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”時,由n=k(k∈N+,k
≥n0)到n=k+1,等式左邊增加了兩項(xiàng).
知識辨析
　　利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的一些恒等式問題時,關(guān)鍵是看清等式
兩邊的項(xiàng),弄清等式兩邊項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律,進(jìn)而利用當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N+)時的假設(shè).證
明恒等式的一個重要技巧就是兩邊“湊”.
1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
典例　用數(shù)學(xué)歸納法證明1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N+).
思路點(diǎn)撥 (1)驗(yàn)證當(dāng)n=1時等式成立;(2)由n=k(k∈N+)時等式成立推出n=k+1時等
式也成立.
證明 (1)當(dāng)n=1時,
等式左邊=1- = ,
右邊= ,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,等式成立,
即1- + - +…+ -
= + +…+ ,
那么當(dāng)n=k+1時,
1- + - +…+ - + -
= + +…+ + -
= + +…+ + ,
所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立.
由(1)(2)知,等式對一切正整數(shù)均成立.
　　證明不等式往往比證明恒等式難度更大,方法更靈活,除了綜合法外,作差比
較法、分析法、反證法也是常用的方法,另外恰當(dāng)?shù)胤趴s是證明不等式特有的技
巧.
2 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
典例　用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+).
思路點(diǎn)撥　分別確定當(dāng)n=k(k∈N+),n=k+1時不等式的左邊的值,找到它們之間的
關(guān)系,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.
證明 (1)當(dāng)n=1時,
1+ = ,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,不等式成立,
即1+ + +…+ ≤ +k,
則當(dāng)n=k+1時,
1+ + +…+ + + +…+
< +k+2k·
= +(k+1),
即當(dāng)n=k+1時,不等式成立.
由(1)(2)可知,
不等式對任意n∈N+都成立.
“歸納—猜想—證明”的解題步驟
3 歸納—猜想—證明解決與遞推公式有關(guān)的數(shù)列問題
典例　已知數(shù)列{an}滿足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表達(dá)式(用a和n表示),并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
思路點(diǎn)撥 (1)利用遞推公式求出a2,a3,a4.(2)結(jié)合(1)歸納出an的通項(xiàng)公式,再用數(shù)
學(xué)歸納法證明結(jié)論.
解析 (1)由已知得,a2= = ,
a3= = = ,
a4= = = .
(2)因?yàn)閍1=a= ,
a2= ,
……
所以猜想an= .
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)n=1時,
因?yàn)閍1=a= ,
所以當(dāng)n=1時,猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,猜想成立,
即ak= ,
所以當(dāng)n=k+1時,
ak+1= =
=
=
= ,
所以當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
根據(jù)①②可知,猜想對任意n∈N+都成立.

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