資源簡介

3.1.2　橢圓的簡單幾何性質
基礎過關練
題組一　由橢圓的標準方程探究其幾何性質
1.已知橢圓x2+my2=1的焦點在x軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.2　　C.　　D.4
2.已知橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=1,則兩個橢圓(　　)
A.有相同的長軸與短軸
B.有相同的焦距
C.有相同的焦點
D.有相同的離心率
3.橢圓+=1(m>0)的焦點為F1,F2,上頂點為A,若∠F1AF2=,則m=　　(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
4.設AB是橢圓的長軸,點C在橢圓上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=,則橢圓的焦距等于(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
題組二　由橢圓的幾何性質求標準方程
5.已知中心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓C的長軸長為4,焦距為2,則C的方程為(　　)
A.+=1　　　　
B.+=1或+=1
C.+=1 　　　　
D.+=1或+=1
6.過點(2,),焦點在x軸上且與橢圓+=1有相同的離心率的橢圓方程為(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
7.以橢圓C:+=1(a>b>0)的短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為等邊三角形,且橢圓C上的點到左焦點的最大距離為6,則橢圓C的標準方程為(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
8.若橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點為F,焦距為2,橢圓C上的兩點P,Q關于原點對稱,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,則橢圓C的方程為　　　　.
題組三　橢圓的離心率
9.設e是橢圓+=1的離心率,且e∈,則實數k的取值范圍是(　　)
A.(0,3)　　　　B.
C.(0,2)　　　　D.(0,3)∪
10.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,離心率為,A是橢圓上位于x軸上方的一點,且|AF1|=|F1F2|,則直線AF1的斜率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
11.已知橢圓+=1(a>b>0)上存在點P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,則該橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.已知F是橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點,若過原點的直線與橢圓相交于 A,B兩點,且∠AFB=120°,則橢圓的離心率的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
題組四　直線與橢圓的位置關系
13.直線y=x+1與橢圓+=1的位置關系是(　　)
A.相交　　　　B.相切
C.相離　　　　D.無法判斷
14.直線y=x+m與橢圓+y2=1交于A,B兩點,若弦長|AB|=,則實數m的值為(　　)
A.±　　B.±1　　C.±　　D.±2
15.直線y=x+1被橢圓+=1所截得的線段的中點的坐標是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
16.過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為　　　　.
17.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,B1為橢圓的上頂點,△B1F1F2的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與橢圓C交于不同的兩點M,N,P,|MP|=|NP|,求實數m的取值范圍.
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　橢圓的幾何性質及其應用
1.已知點P(x,y)(x≠0,y≠0)是橢圓+=1上的一個動點,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,O是坐標原點,若M是∠F1PF2的平分線上的一點(不與點P重合),且·=0,則||的取值范圍為(　　)
A.[0,3)　　　　B.(0,2)
C.[2,3)　　　　D.[0,4]
2.(多選)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F1,F2且|F1F2|=2,點 P(1,1)在橢圓內部,點Q在橢圓上,則以下說法正確的是(　　)
A.|QF1|+|QP|的最小值為 2a-1
B.橢圓C的短軸長可能為2
C.橢圓C的離心率的取值范圍為
D.若=,則橢圓 C的長軸長為+
3.已知A,B為橢圓+=1(a>b>0)上的兩點,F1,F2分別為其左、右焦點,且滿足=2,當∠F1AF2=時,橢圓的離心率為　　　　.
4.已知橢圓+=1(a>b>0)的短軸長為8,上頂點為A,左頂點為B,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,且△F1AB的面積為4,P為橢圓上的任意一點,則+的取值范圍為　　　　.
5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦點為F1(-2,0),F2(2,0).過F1且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點A,以F1A,F1O(O為坐標原點)為鄰邊作平行四邊形OF1AB,點B恰好也在橢圓上,則b2=　　　　　.
題組二　直線與橢圓的位置關系
6.(多選)已知點M(-1,0)和N(1,0),若某直線上存在點 P,使得|PM|+|PN|=4,則稱該直線為“橢型直線”,下列直線是“橢型直線”的是(　　)
A.x-2y+6=0　　　　B.x-y=0
C.2x-y+1=0　　　　D.x+y-3=0
7.已知橢圓G:+=1(a>b>0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點的坐標為(,-),則橢圓G的方程為(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
8.已知曲線C上任意一點P(x,y)滿足+=2,則曲線C上到直線2x-y-4=0的距離最近的點的坐標是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
9.已知點P(0,1)為橢圓C:+=1(a>b>0)上一點,且直線x+2y-2=0過橢圓C的一個焦點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不經過點P(0,1)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,記直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,若k1+k2=-2,則直線l是否過定點 若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
10.如圖,已知動圓M過點E(-1,0),且與圓F:(x-1)2+y2=8內切,設動圓圓心M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過圓心F的直線l交曲線C于A,B兩點,問:在x軸上是否存在定點P,使得當直線l繞點F任意轉動時,·為定值 若存在,求出點P的坐標和·的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.D　易知長軸長2a=2,短軸長2b=2,
所以4=2,解得m=4.故選D.
2.D　將橢圓方程x2+2y2=2整理得+y2=1,其焦點在x軸上,a1=,b1=1,則c1==1,所以e1===.
將橢圓方程2x2+y2=1整理得+y2=1,其焦點在y軸上,a2=1,b2=,則c2==,
所以e2===,故選D.
3.C　由題意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O為坐標原點),則tan ===,所以m=.故選C.
4.A　不妨設橢圓的方程為+=1(a>b>0),A,B分別為長軸的左、右端點,則2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是+=1,解得b2=,所以c==,所以焦距2c=.
5.D　由題意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.
當焦點在x軸上時,橢圓的方程為+=1,當焦點在y軸上時,橢圓的方程為+=1.故選D.
6.D　設所求橢圓方程為+=λ(λ>0),將(2,)代入可得+=λ,即λ=2,所以所求橢圓方程為+=1.故選D.
7.C　由題意可得解得所以橢圓C的標準方程為+=1.
8.答案　+=1
解析　設橢圓C的左焦點為F',則F'(-c,0),由橢圓的對稱性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因為|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=,|QF|=,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,
即+=(2c)2=20,解得a2=8,又因為c=,所以b2=a2-c2=3,因此橢圓C的標準方程為+=1.
9.D　當橢圓的焦點在x軸上時,k>4,e=∈,∴∈,∴k∈;當橢圓的焦點在y軸上時,010.B　依題意e==,即a=2c.又因為|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c,|AF1|=|F1F2|,所以|AF2|=2c,所以△AF1F2是等邊三角形,所以∠AF1F2=60°,所以=tan∠AF1F2=tan 60°=,故選B.
11.D　由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,
又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a,
而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,當且僅當點P在橢圓右頂點時等號成立,即a-a≤2c,解得e=≥,即≤e<1,故選D.
12.D　設橢圓的另一個焦點為F',連接AF',BF',則四邊形AFBF'為平行四邊形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3,即(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,當且僅當|AF|=|AF'|時等號成立,則×4a2≤4c2,可得橢圓的離心率e=≥,所以e∈,故選D.
13.A　直線y=x+1過點(0,1),將(0,1)代入+=1,得0+<1,即點(0,1)在橢圓內部,所以直線與橢圓相交.
14.B　設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,則x1+x2=-,x1x2=,所以弦長|AB|=·=·=·=,解得m=±1,故選B.
15.C　聯立消去y并整理,得3x2+4x-2=0.設直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),則x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,
∴所截得的線段的中點的坐標為.
16.答案　
解析　由題意知,橢圓右焦點的坐標為(1,0),又因為直線的斜率k=2,所以直線的方程為y=2(x-1),將其與方程+=1聯立,消去y并整理,得3x2-5x=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=0,所以|AB|=·|x1-x2|=·=×=.設原點到直線的距離為d,則d==.所以S△OAB=|AB|·d=××=.
17.解析　(1)=·2c·b=bc=,又∵=,a2=b2+c2,∴a=2,b=1,∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由消去y并整理,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,
由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.
設MN的中點D的坐標為(x0,y0),
則x0==,y0=kx0+m=+m=,即D.
∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即=-,
∴4k2=-6m-1,
∴解得-6∴實數m的取值范圍是.
能力提升練
1.B　如圖,延長PF2,F1M交于點N,則△PF1N為等腰三角形,M為F1N的中點,||=||=|-|=|||-|||.由圖可知,當P在短軸端點時,||取得最小值,此時||=0;當P在長軸端點時,||取得最大值,此時||=2,又因為點P不能在坐標軸上,所以||的取值范圍為(0,2).
2.ACD　因為|F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,當點Q在F2P的延長線上時取等號,故A正確;若橢圓C的短軸長為2,即2b=2,則b2=1,a2=2,所以橢圓的方程為+y2=1,又因為+12>1,則點P在橢圓外,所以短軸長不可能為2,故B錯誤;因為點P(1,1)在橢圓內部,所以+<1,又因為a2-b2=1,所以+<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>,所以a>,所以e=<,所以e∈,故C正確; 若=,則F1為線段PQ的中點,所以Q(-3,-1),又因為點Q在橢圓上,所以+=1,又因為a2-b2=1,所以+=1(a>1),即a4-11a2+9=0(a>1),所以a2==,所以a=,所以橢圓C的長軸長為+,故D正確.故選ACD.
3.答案　
解析　由題意得A,F1,B三點共線,設|F1B|=m(m≠0),則|AF1|=2m,|AB|=3m.在橢圓中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=,由橢圓的定義可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得=+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cos ,化簡得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cos∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·cos,化簡得9m2-5am=0,因為m≠0,所以m=a,所以c2=a2+3·a2-3a·a=a2,所以=.
4.答案　
解析　由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面積為4,∴(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,
∴+=
==
==,
又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴當|PF1|=5時,-+25有最大值,為25;當|PF1|=2或|PF1|=8時,-+25有最小值,為16,即16≤-+25≤25,∴≤+≤,即≤+≤.
5.答案　2
解析　依題意可知c=2,設A(x1,y1),B(x2,y2),因為四邊形OF1AB為平行四邊形,所以y1=y2,又因為+=1,+=1,所以x2=-x1,因為F1A∥OB,且直線F1A的傾斜角為60°,所以==,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=,所以A(-1,),將其代入+=1,得+=1,又因為a2-b2=c2=4,所以a2=4+2,b2=2.
6.BC　|PM|+|PN|=4>|MN|=2,根據橢圓的定義可得點P的軌跡為焦點在x軸上的橢圓,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓的方程為+=1.由題意知“橢型直線”與橢圓有公共點,對于A,聯立消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程組無解,所以A中直線不是“橢型直線”;同理,D中直線也不是“橢型直線”;對于B,直線x-y=0過原點,必與橢圓相交,所以是“橢型直線”;對于C,因為直線2x-y+1=0過點(0,1),且點(0,1)在橢圓內部,則該直線必與橢圓相交,是“橢型直線”.故選BC.
7.D　設點A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式作差得+=0,整理可得=-,設線段AB的中點為M,則M(,-),則kAB·kOM=·=-,又因為kAB=kMF==,kOM=-1,所以-=×(-1)=-,所以解得因此橢圓G的方程為+=1.
故選D.
8.B　原等式可化為+=2,設F1(0,-1),F2(0,1),則|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2,∴點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓,且c=1,a=,∴b2=1,
∴曲線C的方程是x2+=1,設與直線2x-y-4=0平行且與曲線C相切的直線方程為2x-y+t=0(t≠-4).聯立消去y并整理,得6x2+4tx+t2-2=0,∴Δ=16t2-24(t2-2)=0,∴t=±,
易知當t=-時,切點到直線2x-y-4=0的距離最近,此時可求得x=,y=-,故所求點的坐標是.故選B.
9.解析　(1)由題意知P(0,1)為橢圓的上頂點,則b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,
所以a2=b2+c2=1+4=5,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)當直線l的斜率不存在時,
設A(x0,y0),B(x0,-y0)(-則k1+k2=+=-2,解得x0=1,所以直線方程為x=1;
當直線l的斜率存在時,設直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,則x1+x2=,x1x2=,所以k1+k2=+==-2,整理,得(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,
所以(k+1)·=,
即(m-1)(k+m+1)=0,
因為直線l不過點P(0,1),所以m≠1,
所以k+m+1=0,即m=-k-1,
所以y=kx+m=kx-k-1=k(x-1)-1,
當x=1時,y=-1,所以直線l過定點(1,-1).
又因為直線x=1也過點(1,-1),所以直線l恒過定點(1,-1).
10.解析　(1)由圓F的方程知,其圓心為F(1,0),半徑為2.
設圓M和圓F內切于點D,則D,M,F三點共線,且|DF|=2.因為圓M過點E,所以|ME|=|MD|,所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=2>|EF|=2,
所以圓心M的軌跡是以E,F為焦點的橢圓.
因為2a=2,所以a=,又因為c=1,則b2=a2-c2=1,所以曲線C的方程是+y2=1.
(2)當直線l與x軸不重合時,設直線l的方程為x=ty+1,代入+y2=1,得(ty+1)2+2y2=2,
即(t2+2)y2+2ty-1=0.設點A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=-,y1y2=-.
設點P(m,0),則=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),
·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ty1+1-m)(ty2+1-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=--+(1-m)2
=-+(1-m)2.
若·為定值,則=,解得m=,此時·=-+=-.
當直線l與x軸重合時,點A(-,0),B(,0).對于點P,則=,=,此時·=-2=-.
綜上所述,存在點P,使得·=-為定值.
方法技巧
　　在解決直線和橢圓的位置關系問題時,直線的方程可設為x=ty+m,這種設法避免了對斜率是否存在的討論.
17第3章　圓錐曲線與方程
3.1　橢圓　　
3.1.1　橢圓的標準方程
基礎過關練
題組一　橢圓的定義及其應用
1.已知平面內兩定點A,B及動點P,命題甲:“|PA|+|PB|是定值”,命題乙:“點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓”,那么甲是乙的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知F1,F2為橢圓+=1的兩個焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,若|F2A|+|F2B|=10,則|AB|=(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.10
3.設P是橢圓C:+=1上一點,F1(-3,0),F2(3,0)分別是C的左、右焦點,|PF1|=3,則|PF2|=(　　)
A.5　　　　B.10-3
C.4　　　　D.2-3
4.已知F1,F2是橢圓C:+=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A.28　　B.16　　C.12　　D.9
5.已知P是圓C:(x+2)2+y2=64上的動點,A(2,0).若線段PA的中垂線交CP于點N,則點N的軌跡方程為　　　　　　　.
題組二　橢圓的標準方程
6.已知橢圓的標準方程為+=1,若其焦點在x軸上,則k的取值范圍是(　　)
A.4C.k>3　　　　D.37.以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點P和Q,則此橢圓的標準方程是(　　)
A.+x2=1　　　　
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1　　　　
D.以上都不對
8.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,過F1的直線l垂直于x軸且交橢圓于A,B兩點,|AB|=3,橢圓與y軸正半軸交于點D,|DF1|=2,則橢圓C的方程為(　　)
A.+y2=1　　　　B.x2+=1
C.+=1　　　　D.+=1
9.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點為P,則橢圓的方程為　　　　　.
10.過點(,-)且與橢圓+=1有相同焦點的橢圓的標準方程為　　　　　　　.
題組三　橢圓的標準方程的應用
11.已知橢圓+=1的焦點在y軸上,且焦距為4,則m等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.4　　　　B.5
C.7　　　　D.8
12.在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC的頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢圓+=1上,則=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
13.設F1,F2分別是橢圓C:+=1的左、右焦點,O為坐標原點,點P在橢圓C上,且滿足|OP|=4,則△PF1F2的面積為(　　)
A.3　　　　B.3
C.6　　　　D.9
14.已知點P(n,1),橢圓+=1,點P在橢圓外,則實數n的取值范圍為　　　　.
15.已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則∠F1PF2=　　　　.
16.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經過點M,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,|F1F2|=2,P是橢圓C上的一個動點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若點P在第一象限,且·≤,求點P的橫坐標的取值范圍.
17.設O為坐標原點,動點M在橢圓E:+=1上,過點M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足=.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)設A(1,0),在x軸上是否存在一定點B,使|BP|=2|AP|恒成立 若存在,求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　橢圓的定義及其應用
1.已知F是橢圓C:+=1(a>b>0)的一個焦點,P是橢圓C上的任意一點且不在x軸上,M是線段PF的中點,O為坐標原點.連接OM并延長,交圓x2+y2=a2于點N,則△PFN的形狀是(　　)
A.銳角三角形　　　　B.直角三角形
C.鈍角三角形　　　　D.由點P的位置決定
2.已知定圓C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=49,定點M(2,1),動圓C滿足與C1外切且與C2內切,則|CM|+|CC1|的最大值為(　　)
A.8+　　　　B.8-
C.16+　　　　D.16-
3.(多選)已知P是橢圓E:+=1上一點,F1,F2分別是橢圓E的左、右焦點,且△F1PF2的面積為3,則下列說法正確的是(　　)
A.點P的縱坐標為3
B.∠F1PF2>
C.△F1PF2的周長為4+4
D.△F1PF2的內切圓半徑為-
4.已知橢圓C:+=1,M,N是坐標平面內的兩點,且點M與C的焦點不重合,若點M關于C的左、右焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在橢圓C上,則|AN|+|BN|=　　　　.
題組二　橢圓的標準方程及其應用
5.橢圓+=1的焦點為F1,F2,橢圓上的點P滿足∠F1PF2=60°,則點P到x軸的距離為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F1的直線交橢圓于A,B兩點,交y軸于點C,若F1,C是線段AB的三等分點,△F2AB的周長為4,則橢圓E的標準方程為(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+y2=1
7.橢圓+=1的焦點為F1,F2,P為橢圓上的動點,當∠F1PF2為鈍角時,點P的橫坐標的取值范圍是　　　　.
8.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點是F1,F2,點P(,1)
在橢圓C上,且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點P關于x軸的對稱點為Q,M是橢圓C上不同于P,Q的一點,直線MP和MQ與x軸分別相交于點E,F,O為原點.證明:|OE|·|OF|為定值.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　當|PA|+|PB|=|AB|時,動點P的軌跡為線段AB,當|PA|+|PB|>|AB|時,動點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,充分性不成立;由橢圓的定義可知必要性成立.故甲是乙的必要不充分條件,故選B.
2.C　由題意知a=4,由橢圓的定義知|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,∵|F2A|+|F2B|=10,∴|AB|=|F1A|+|F1B|=6.故選C.
3.A　依題意得橢圓C的焦點在x軸上,且c=3,b2=7,所以m=7+32=16,又因為|PF1|=3,|PF1|+|PF2|=2=8,所以|PF2|=5,故選A.
4.B　易知a2=16,所以a=4,因為點M在C上,所以|MF1|+|MF2|=2a=8,所以|MF1|·|MF2|≤==16,當且僅當|MF1|=|MF2|=4時等號成立,故|MF1|·|MF2|的最大值為16,故選B.
5.答案　+=1
解析　圓C的圓心為C(-2,0),半徑r=8,由線段PA的中垂線交CP于點N,可得|NA|=|NP|,所以|NA|+|NC|=|NP|+|NC|=|CP|=8>|CA|=4,故點N的軌跡是以A,C為焦點的橢圓,且2a=8,2c=4,因此b2=a2-c2=12,所以點N的軌跡方程為+=1.
6.A　∵方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓,∴解得47.A　設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則解得
∴橢圓的標準方程為+x2=1.故選A.
8.C　把x=-c代入橢圓方程,得y=±,所以|AB|==3,即=.易知D(0,b),F1(-c,0),所以|DF1|==2,即a=2,故b2=3,故橢圓C的方程為+=1.故選C.
9.答案　+=1
解析　根據題意知|PO|===c,
故F1(-,0),F2(,0).
∴|PF1|+|PF2|
=+
=4+2=6=2a,∴a=3,∴b2=a2-c2=4,
∴橢圓的方程為+=1.
10.答案　+=1
解析　由題意知所求橢圓的焦點在y軸上,設其標準方程為+=1(a>b>0),則c2=a2-b2=16①,把(,-)代入橢圓方程,得+=1②,由①②得b2=4,a2=20,所以所求橢圓的標準方程為+=1.
11.D　依題意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,解得212.D　由已知得a=5,b=3,橢圓的焦點坐標為(-4,0)和(4,0),恰好是A,C兩點,則|AC|=2c=8,|BC|+|BA|=2a=10,由正弦定理可得===,故選D.
13.D　由題意得c==4,則|F1F2|=2c=8,設點P(x0,y0),則+=1,可得=25-,
∴|OP|===4,∴=,∴|y0|=,因此=|F1F2||y0|=×8×=9.故選D.
14.答案　∪
解析　因為點P(n,1)在橢圓+=1外,所以+>1,解得n<-或n>,故實數n的取值范圍為∪.
15.答案　120°
解析　由橢圓的標準方程知a2=9,b2=2,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,即c=,∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2==-,
又∵0°≤∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
16.解析　(1)由題意得解得
∴橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)設P(x0,y0)(x0>0,y0>0),
∵c=,∴F1(-,0),F2(,0),
∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),
∴·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3.
∵點P在橢圓C上,∴+=1,即=1-,
∴·=+-3=+1--3≤,
解得-≤x0≤,又∵x0>0,∴0∴點P的橫坐標的取值范圍是(0,].
17.解析　(1)設P(x,y),M(x1,y1),則N(x1,0),=(x-x1,y),=(0,y1).
∵點M在橢圓E上,∴+=1(*),
由=,得即
代入(*)式,得x2+y2=4,
即點P的軌跡方程為x2+y2=4.
(2)假設存在點B(m,0)滿足條件,
∵|BP|=2|AP|,∴=2,
即點P的軌跡方程為3x2+3y2+(2m-8)x=m2-4,
由(1)知點P的軌跡方程為x2+y2=4,
故解得m=4,
∴存在點B(4,0)滿足條件.
能力提升練
1.B　不妨設F是橢圓C的右焦點,左焦點為F1,
則|PF1|+|PF|=2a.如圖,在△PFF1中,O,M分別是FF1,PF的中點,∴|PF1|=2|OM|,|PF|=2|PM|,
∴|PF1|+|PF|=2|OM|+2|PM|=2a,即|OM|+|PM|=a,∴|MN|=|ON|-|OM|=a-(a-|PM|)=|PM|,
∴|MN|=|PM|=|MF|,∴N在以線段PF為直徑的圓上,∴∠PNF=90°,故△PFN的形狀是直角三角形.故選B.
2.A　由題意知圓C1的圓心為C1(-3,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,0),半徑為7.設動圓C的半徑為r,由動圓C滿足與C1外切且與C2內切,知|CC1|=r+1,|CC2|=7-r,所以|CC1|+|CC2|=8>|C1C2|=6,所以動點C的軌跡是以C1和C2為焦點、8為長軸長的橢圓[除去點(-4,0)],如圖,易得其方程為+=1(x≠-4),由橢圓的定義可得|CC1|=2a-|CC2|=8-|CC2|,所以|CM|+|CC1|=8+|CM|-|CC2|,又因為|CM|-|CC2|≤|MC2|=(當點C在MC2的延長線上時取等號),所以|CM|+|CC1|≤8+,故選A.
3.CD　由已知得a=2,b=2,c=2,F1(-2,0),F2(2,0).不妨設P(m,n),m>0,n>0,
則=×2c×n=3,∴n=,
∴+=1,∴m=,∴P,
∴=+=+2,=+=-2,|F1F2|2=16,
∴+-|F1F2|2=>0,
∴cos∠F1PF2=>0,
∴∠F1PF2<,故A,B錯誤;
△F1PF2的周長為2a+2c=4+4,故C正確;
設△F1PF2的內切圓半徑為r,則r·(4+4)=3,
∴r=-,故D正確.故選CD.
4.答案　12
解析　設MN的中點為D,橢圓C的左、右焦點分別為F1,F2,如圖,連接DF1,DF2,∵F1,D分別是MA,MN的中點,∴|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),∵點D在橢圓上,∴|DF1|+|DF2|=2a=6,∴|AN|+|BN|=12.
5.C　易得c==6.設|PF1|=r1,|PF2|=r2,則r1+r2=20.在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=+-2r1r2cos 60°,即144=+-r1r2=-3r1r2=400-3r1r2,則r1r2=,所以=r1r2sin 60°=××=.設點P到x軸的距離為d,則=×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=.故選C.
6.A　由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,△F2AB的周長為|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=,所以橢圓E:+=1.不妨令點A在第一象限,C是F1A的中點,則A,所以C,又因為F1是BC的中點,所以B,把點B的坐標代入橢圓E的方程,得+=1,化簡得b2=20-16c2,又因為b2=5-c2,所以c2=1,b2=4.所以橢圓E的方程為+=1.故選A.
7.答案　(-,)
解析　由已知得c=2,不妨令F1(-2,0),F2(2,0),設P(x0,y0),則+=1,即=2-,=(x0+2,y0),=(x0-2,y0),當∠F1PF2為鈍角時,·=(x0+2)(x0-2)+=-4+2-=-2<0,解得-8.解析　(1)由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2,則橢圓C:+=1.
將點P(,1)的坐標代入+=1,得+=1,∴b2=2,∴橢圓C的方程是+=1.
(2)證明:由點P,Q關于x軸對稱,得Q(,-1).
設M(x0,y0),則有+2=4,x0≠,y0≠±1.
直線MP的方程為y-1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OE|=.
直線MQ的方程為y+1=(x-),
令y=0,得x=,∴|OF|=.
∴|OE|·|OF|=·===4,
∴|OE|·|OF|為定值.
15(共30張PPT)
　　平面上到兩個定點F1,F2的距離之和為常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫作橢圓.
這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫作焦距.
3.1　橢圓
1 | 橢圓的定義
2 | 橢圓的標準方程及簡單幾何性質
焦點的 位置 焦點 在x軸上 焦點
在y軸上
圖形
標準方程 + =1 (a>b>0) + =1
(a>b>0)
范圍 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b,
-a≤y≤a
對稱性 對稱軸為x軸、y軸; 對稱中心為(0,0) 頂點 A1(-a,0), A2(a,0), B1(0,-b), B2(0,b) A1(0,-a),
A2(0,a),
B1(-b,0),
B2(b,0)
軸長 長軸長為2a,短軸長為2b 離心率 e= (0
1.橢圓的通徑
　　過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦叫作橢圓的通徑,其長
度為 .
2.焦點弦
　　過焦點的弦,焦點弦中通徑最短.
3.焦半徑
　　橢圓上的點P(x0,y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段叫作橢圓的焦
半徑,記r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1) + =1(a>b>0),則r1=a+ex0,r2=a-ex0;
(2) + =1(a>b>0),則r1=a+ey0,r2=a-ey0.
1.點P(x0,y0)與橢圓 + =1(a>b>0)的位置關系
　　點P在橢圓上 + =1;點P在橢圓內部 + <1;點P在橢圓外部 +
>1.
2.代數法判斷直線與橢圓的位置關系
　　把橢圓方程與直線方程聯立,消去y(x),整理得到關于x(y)的方程Ax2+Bx+C=0
(Ay2+By+C=0),該一元二次方程根的判別式為Δ,①若Δ>0,則直線與橢圓相交;②若
Δ=0,則直線與橢圓相切;③若Δ<0,則直線與橢圓相離.
3 | 點與橢圓、直線與橢圓的位置關系
3.弦長公式
　　設直線y=kx+b與橢圓有兩個公共點M(x1,y1),N(x2,y2),則弦長公式為|MN|=
或|MN|= (k≠0).
1.平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數2a的點的軌跡一定是橢圓嗎
不一定.當2a>|F1F2|時,是橢圓;當2a=|F1F2|時,是線段;當2a<|F1F2|時,點的軌跡不存
在.
2.橢圓的離心率e越大,橢圓就一定越扁嗎
一定.e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓.
知識辨析
1.定義法
　　根據橢圓的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出標準方程.
2.待定系數法.其步驟為:
(1)作判斷.由題意判斷焦點在x軸還是y軸上,還是都有可能.
(2)設方程.依據判斷設方程,特別地,如果中心在原點,焦點位置不明確時方程可設
為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(3)找關系.由條件找關系,建立方程組.
(4)求解.解方程組,代入所設方程即可.
1 橢圓的標準方程的求解
3.兩種特殊方程的設法
(1)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程可設為 + =k1(k1>0,a>
b>0)或 + =k2(k2>0,a>b>0).
(2)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同焦點的橢圓的方程可設為 + =1(k 典例　求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)過點( ,- ),且與橢圓 + =1有相同的焦點;
(2)焦點在坐標軸上,且經過兩點(2,- ), .
解析 (1)解法一:因為所求橢圓與橢圓 + =1的焦點相同,所以所求橢圓的焦
點在y軸上,且c2=25-9=16.
設所求橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0).
因為c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①
因為點( ,- )在橢圓上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20,
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
解法二:設所求橢圓的方程為 + =1(λ>-9),
因為點( ,- )在橢圓上,所以 + =1,化簡得λ2+26λ+105=0,解得λ=-5或λ=
-21(舍去).
所以所求橢圓的方程為 + =1.
(2)解法一:若焦點在x軸上,設橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0).
由已知條件得 所以
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
若焦點在y軸上,設橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0).
由已知條件得 解得
則a2b>0矛盾,舍去.
綜上,所求橢圓的標準方程為 + =1.
解法二:設橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
由已知條件得 解得
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
1.橢圓上異于長軸端點的點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三
角形.解關于橢圓的焦點三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、
余弦定理等知識求解.
2 橢圓的焦點三角形問題
2.焦點三角形的常用結論
(1)焦點三角形的周長C=2a+2c.
(2)設P(xP,yP),焦點三角形的面積 =c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
(3)設∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則e= .
典例　設P是橢圓 + =1上異于長軸端點的一動點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,
求cos∠F1PF2的最小值.
思路點撥　將cos∠F1PF2用|PF1|,|PF2|表示出來 利用基本不等式求最值.
解析 由題意得a=3,b=2,c= ,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2 ,
所以cos∠F1PF2=
= = -1.
因為|PF1|·|PF2|≤ =9,當且僅當|PF1|=|PF2|=3時取等號,
所以cos∠F1PF2≥ -1=- ,
所以cos∠F1PF2的最小值為- .
1.當a,c易求時,直接代入e= 求解;當b,c易求時,利用e= 求解;當a,b易求時,
利用e= 求解.
2.若a,c的值不可求,則可列出只含a,c的齊次方程(不等式),列式時常用公式b=
代替式子中的b,然后將等式(不等式)兩邊同時除以a的最高次冪,得到關
于e的方程(不等式)求解即可.此時要注意03 求橢圓的離心率
典例　已知橢圓 + =1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上存在
點P使得PF1⊥PF2,則橢圓的離心率的取值范圍為　　　 .
思路點撥　由條件列出關于a,c的不等式,將其轉化為關于e的不等式,結合e∈(0,
1)求解.
解析 連接OP(O為坐標原點).由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c
≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤ c,所以e= ≥ ,因為01.求相交弦的長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標,用兩點間距離公式求弦長.
(2)當直線斜率存在時,利用弦長公式求弦長.
2.與橢圓中點弦有關問題的三種題型及解法
(1)利用根與系數的關系求中點坐標:聯立直線和橢圓方程,消去x(y)得到關于y(x)
的一元二次方程,利用根與系數的關系以及中點坐標公式求解.
(2)利用點差法求直線斜率或方程.其步驟為:
①設點.設出弦的兩端點坐標.
②代入.將端點坐標代入曲線方程.
4 直線與橢圓的相交弦問題
③作差.兩式相減,利用平方差公式把式子展開.
④整理.轉化為中點坐標和斜率的關系式求解.
(3)利用共線法求直線方程:設橢圓 + =1(a>0,b>0)與直線的一個交點為A(x,y),
另一個交點為B,如果弦AB的中點為P(x0,y0),則利用中點坐標公式可得B(2x0-x,2y0
-y),則有 + =1, + =1,兩式作差即可得所求直線方程.
這三種方法中“點差法”最常用,“點差法”體現了“設而不求,整體代入”的
解題思想;“點差法”還可用于解決對稱問題,因為此類問題一般也與弦的中點
和直線斜率有關.
典例　已知橢圓 + =1和點P(4,2),直線l經過點P且與橢圓交于A,B兩點.
(1)當直線l的斜率為 時,求線段AB的長度;
(2)當點P恰好為線段AB的中點時,求l的方程.
思路點撥 (1)求出直線方程 聯立,得方程組 得交點坐標 求得弦長.
(2)設A,B的坐標 利用“點差法”求出kAB 得出直線l的方程.

解析 (1)由已知可得直線l的方程為y-2= (x-4),即y= x.
由 得 或
不妨令A ,B ,
所以|AB|=
=3 .
所以線段AB的長度為3 .
(2)由題意知直線l的斜率存在.
設A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
則有
兩式相減,得 + =0,
整理,得kAB= =- .
又P(4,2)是線段AB的中點,
所以x1+x2=8,y1+y2=4,
于是kAB=- =- ,
于是直線l的方程為y-2=- (x-4),
即y=- x+4.
1.解決與橢圓有關的最大(小)值問題的常用方法
(1)定義法:利用定義轉化為常見問題來處理.
(2)幾何法:若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義,則考慮利用圖形性
質來解決,解題的關鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義,并能借助
相應曲線的定義及對稱知識求解.
(3)代數法:若題目的條件和結論能體現一種明確的函數,則可先建立目標函數,再
根據函數式的特征選用適當的方法求解目標函數的最值.常用方法有配方法、判
別式法、基本不等式法及函數的單調性法等.
2.與橢圓有關的定值、定點問題
(1)解決定點問題,需要注意兩個方面:
　　一是抓“特值”,涉及的定點多在兩條坐標軸上,所以可以先從斜率不存在
5 與橢圓有關的最值、定值及定點問題
或斜率為0的特殊情況入手找出定點,為解題指明方向.
　　二是抓“參數之間的關系”,定點問題多是直線過定點,實質就是求解直線
方程中參數之間的關系,熟悉直線方程的特殊形式是關鍵.
(2)解決定值問題的常用方法:
①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.
②直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.
典例1　已知橢圓 + =1的上焦點為F,M是橢圓上一點,點A(2 ,0),當點M在
橢圓上運動時,|MA|+|MF|的最大值為　10　　 .
解析 由題意得a=3,b= ,
∴c= =2.
如圖所示,設橢圓的下焦點為F',
則F'(0,-2).連接MF',AF'.
∵|MF|+|MF'|=2a=6,即|MF|=6-|MF'|,
∴|MA|+|MF|=|MA|-|MF'|+6,
又∵|MA|-|MF'|≤|AF'|= =4,當且僅當A,F',M共線且F'在線段AM上時,等
號成立,
∴|MA|+|MF|的最大值為4+6=10.
典例2　已知橢圓E: + =1(a>b>0)經過點 ,離心率為 .
(1)求E的方程;
(2)若點P是橢圓E的左頂點,直線l交E于A,B兩點(異于點P),直線PA和PB的斜率之
積為- .
①證明:直線l恒過定點;
②求△PAB面積的最大值.
解析 (1)由題意得 所以
所以E的方程為 + =1.
(2)①證明:由題意知P(-2,0).
當直線l的斜率存在時,設A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m,
由
消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
則x1+x2= ,x1x2= ,
則y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .
因為kPA·kPB= · =- ,
所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,且x1,x2≠-2,
則x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,
所以 + +4+ =0,整理得m2-km-2k2=0,
所以(m-2k)(m+k)=0,得m=2k或m=-k.
當m=2k時,直線l的方程為y=kx+2k=k(x+2),此時直線l恒過定點(-2,0),顯然不符合題
意;
當m=-k時,直線l的方程為y=kx-k=k(x-1),此時直線l恒過定點(1,0).
當直線l的斜率不存在時,設l:x=t(-2分別為 , ,
由kPA·kPB=- ,得 · =- ,解得t=1或t=-2(舍去),此時直線l的方程為x
=1,過點(1,0).
綜上,直線l恒過定點(1,0).
②當直線l的斜率存在時,由①知x1+x2= ,x1x2= ,
因為|AB|= ·
= ·
= ,
點P(-2,0)到直線l:y=kx-k的距離d= ,
所以S△PAB= × × = =18 .
令u=4k2+3,則u>3,k2= ,
所以S△PAB= =
= ,
由u>3得0< < ,
所以0< < ,
即S△PAB∈ .
當直線l的斜率不存在時,由①知直線l:x=1.此時|AB|=3,
所以S△PAB= ×3×3= .
綜上所述,△PAB面積的最大值為 .

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