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專題強化練8　雙曲線的綜合應(yīng)用
1.已知A(-4,0),B是圓C:(x-1)2+(y-4)2=1上的點,點P在雙曲線-=1的右支上,則|PA|+|PB|的最小值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.9　　　　B.2+6
C.10　　　　D.12
2.已知雙曲線C:-=1的左、右焦點分別為F1,F2,P為C右支上的點,且|PF2|=|F1F2|,則△PF1F2的面積等于(　　)
A.192　　　　B.96
C.48　　　　D.102
3.已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關(guān)于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡方程是(　　)
A.x2+=1　　　　B.x2-=1
C.+y2=1　　　　D.-y2=1
4.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,O為坐標(biāo)原點,過右焦點F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N,且△OMN為直角三角形,若S△OMN=,則C的方程為(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-y2=1　　　　D.-=1
5.若F1,F2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P,若|PF1|=|OP|,則該雙曲線的離心率為(　　)
A.5　　　　B.2
C.　　　　D.
6.(多選)已知F1,F2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,且a,b,c成等比數(shù)列(c為雙曲線的半焦距),點P為雙曲線右支上的點,點I為△PF1F2的內(nèi)心.若=+λ成立,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.當(dāng)PF2⊥x軸時,∠PF1F2=30°
B.離心率e=
C.λ=
D.點I的橫坐標(biāo)為定值a
7.已知點M(0,1),點P是雙曲線-y2=1上的點,點Q是點P關(guān)于原點的對稱點,則·的取值范圍是　　　　.
8.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線l與圓x2+y2=a2相切于點T,且直線l與雙曲線C的右支交于點P,若=3,則雙曲線C的離心率為　　　　.
9.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的實軸長為4,焦點到漸近線的距離為.
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線y=x-2與雙曲線的右支交于M,N兩點,且在雙曲線的右支上存在點D,使+=t(O為坐標(biāo)原點),求t的值及點D的坐標(biāo).
10.雙曲線C的中心在原點O,焦點在x軸上,且焦點到其漸近線y=±2x的距離為2.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P(0,2)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A,B兩點,與其漸近線分別交于M,N(從左至右)兩點.
(i)證明:|AM|=|BN|;
(ii)是否存在這樣的直線l,使得= 若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
1.C　如圖所示,設(shè)雙曲線的右焦點為A',易知C(1,4),由雙曲線的定義知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|+6≥|PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10,故選C.
2.A　由題意得a=6,b=8,則c==10,則|PF2|=|F1F2|=20,由雙曲線的定義可得|PF1|=|PF2|+2a=20+12=32,
所以△PF1F2中PF1邊上的高為=12,所以△PF1F2的面積為×32×12=192,故選A.
3.B　如圖,當(dāng)點P在y軸左側(cè)時,連接ON,PF1,
則|ON|=|F2M|=1,
所以|F2M|=2.因為直線PN為線段MF1的中垂線,所以|PF1|=|PM|=|PF2|-|F2M|=|PF2|-2,所以|PF2|-|PF1|=2<|F1F2|=4.同理,當(dāng)點P在y軸右側(cè)時,|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|=4.故點P的軌跡是雙曲線,其中a=1,c=2,則b2=3,所以方程為x2-=1.故選B.
4.C　如圖所示,由雙曲線的離心率e==,可得=,由題意可得∠MON=60°=2∠MOF,設(shè)∠OMN=90°,所以|MF|=|OM|,|ON|=2|OM|,因為S△OMN=|OM|·|ON|·sin 60°=,所以|OM|2=3,即|OM|=,所以|MF|=×=1,而焦點F(c,0)到漸近線bx-ay=0的距離d=|MF|==b,所以b=1,a=,
所以雙曲線的方程為-y2=1,故選C.
5.D　雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為bx-ay=0,∴點F2到此漸近線的距離d==b,即|PF2|=b,∴|OP|===a,cos∠PF2O=,如圖所示,∵|PF1|=|OP|,∴|PF1|=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2O,∴5a2=b2+4c2-2b·2c·=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),即2a2=c2,故e==,故選D.
6.BCD　∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,當(dāng)PF2⊥x軸時,|PF2|==c=|F1F2|,此時tan∠PF1F2=,∴A錯誤;易得|F1F2|=2c==,整理得e2-e-1=0,∵e>1,∴e=,∴B正確;設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又∵|F1F2|=2c,∴=|PF1|·r,=|PF2|·r,=·2c·r=cr,∵=+λ,∴|PF1|·r=|PF2|·r+λcr,
故λ====,∴C正確;如圖所示,設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與PF1,PF2,F1F2的切點分別為M,N,T,可得|PM|=|PN|,|F1M|=|F1T|,|F2N|=|F2T|,由|PF1|-|PF2|=|F1M|-|F2N|=|F1T|-|F2T|=2a,|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c,可得|F2T|=c-a,可得點T的坐標(biāo)為(a,0),即點I的橫坐標(biāo)為a,∴D正確.故選BCD.
7.答案　(-∞,-2]
解析　設(shè)點P(x0,y0),|x0|≥,則點Q(-x0,-y0),所以=(x0,y0-1),=(-x0,-y0-1),所以·=--+1,因為點P是雙曲線-y2=1上的點,所以-=1,所以·=--+1=2-≤-2,故·的取值范圍是(-∞,-2].
8.答案　
解析　如圖,由題可知,|OF1|=|OF2|=c,|OT|=a,則|F1T|=b,
∵=3,∴|TP|=2b,|F1P|=3b,
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=3b-2a.
作F2M∥OT,可得|F2M|=2a,|TM|=b,則|PM|=b.
在Rt△MPF2中,|PM|2+=,
即b2+(2a)2=(3b-2a)2,得2b=3a.
又∵c2=a2+b2,∴c2=a2+a2,化簡可得4c2=13a2,∴雙曲線的離心率為.
9.解析　(1)由題意知a=2,所以一條漸近線方程為y=x,即bx-2y=0,所以=,又因為c2=b2+12,所以b2=3.所以雙曲線的方程為-=1.
(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
則x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立,得x2-16x+84=0,則x1+x2=16,y1+y2=12,
所以所以
由+=t,得(16,12)=(4t,3t),
所以t=4,點D的坐標(biāo)為(4,3).
10.解析　(1)設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),由題意得b=2,=2,所以a=1,
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
(2)(i)證明:易知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+2,
聯(lián)立(λ=0或λ=1),
消去y可得(4-k2)x2-4kx-4-4λ=0,
易知Δ>0,且k∈(-2,2),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).
當(dāng)λ=1時,x1+x2=,即AB中點的橫坐標(biāo)為,
當(dāng)λ=0時,x3+x4=,即MN中點的橫坐標(biāo)為,
故線段AB,MN的中點重合,所以|AM|=|BN|.
(ii)存在.由(i)可得,x1+x2=x3+x4=,
x1x2=,x3x4=,
所以|MN|=
=,
|AB|=
=,
又因為==,所以k=±,滿足Δ>0,故存在這樣的直線l,其方程為y=±x+2.
9(共22張PPT)
1.雙曲線的定義
　　平面上到兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值為正常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌
跡叫作雙曲線.這兩個定點F1,F2叫作雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離|F1F2|叫
作雙曲線的焦距.
2.當(dāng)2a=|F1F2|時,動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點);
當(dāng)2a>|F1F2|時,動點的軌跡不存在;當(dāng)2a=0時,動點的軌跡為線段F1F2的垂直平分
線.

3.2 雙曲線
1 | 雙曲線的定義
1.標(biāo)準(zhǔn)方程
當(dāng)焦點在x軸上時, - =1(a>0,b>0);當(dāng)焦點在y軸上時, - =1(a>0,b>0).
2.一般方程
　　雙曲線的一般方程為Ax2-By2=1,其中AB>0,當(dāng)A>0,B>0時,焦點在x軸上;當(dāng)A<0,
B<0時,焦點在y軸上.

2 | 雙曲線的方程
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標(biāo)準(zhǔn)方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
圖形
1.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
3 | 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
性質(zhì) 范圍 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
對稱性 對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
漸近線 y=± x y=± x
離心率 e= ,e∈(1,+∞) 實軸 線段A1A2叫作雙曲線的實軸,它的長等于2a,a叫
作雙曲線的實半軸長 虛軸 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長等于2b,b叫
作雙曲線的虛半軸長 a,b,c的關(guān)系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
2.e= = = >1,它反映了雙曲線開口的大小,e越大,開口就越大.

1.等軸雙曲線
　　實軸與虛軸等長的雙曲線叫作等軸雙曲線.它有如下性質(zhì):
(1)方程形式為x2-y2=λ(λ≠0);
(2)漸近線方程為y=±x,兩條漸近線互相垂直;
(3)實軸長和虛軸長都等于2a,離心率e= .
2.距離
　　雙曲線 - =1(a>0,b>0)右支上任意一點M到左焦點的最小距離為a+c,到右
焦點的最小距離為c-a.
3.焦半徑
　　雙曲線上一點P(x0,y0)與左(下)焦點F1或右(上)焦點F2之間的線段叫作雙曲線
的焦半徑,記r1=|PF1|,r2=|PF2|.
(1) - =1(a>0,b>0),若點P在右支上,則r1=ex0+a,r2=ex0-a;若點P在左支上,則r1=-
ex0-a,r2=-ex0+a.
(2) - =1(a>0,b>0),若點P在上支上,則r1=ey0+a,r2=ey0-a;若點P在下支上,則r1=-
ey0-a,r2=-ey0+a.
1.已知平面上一點M到兩個定點F1,F2的距離之差為常數(shù)2a(a>0,2a<|F1F2|),則點M
的軌跡是雙曲線嗎
不是,它表示雙曲線的一支.當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a時,M的軌跡為焦點為F2的這一側(cè)的
一支;當(dāng)|MF2|-|MF1|=2a時,M的軌跡為焦點為F1的這一側(cè)的一支.
知識辨析
2.雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c的關(guān)系相同嗎
不相同.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a與b的大小關(guān)系不確定;橢圓的標(biāo)
準(zhǔn)方程中,a2=b2+c2,其中a>b>0.
3.給定一個方程Ax2+By2=1,它一定表示雙曲線嗎
不一定.當(dāng)AB<0時表示雙曲線,當(dāng)A>0,B>0,且A≠B時表示橢圓,當(dāng)A=B>0時表示圓.
4.雙曲線的焦點到其漸近線的距離是不是定值
是.雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b,此結(jié)論在解小題時可直接應(yīng)用.
1.定義法
1 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
　　根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點位置寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.待定系數(shù)法.其步驟如下:
(1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪個坐標(biāo)軸上,還是二者都有可能.
(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點位置,設(shè)其方程為 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦
點位置不確定時,可設(shè)為mx2+ny2=1(mn<0).
(3)尋關(guān)系:根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b或m,n的方程組.
(4)得方程:解方程組,將a,b或m,n的值代入所設(shè)方程即可.
3.常見雙曲線方程的設(shè)法
(1)漸近線方程為y=± x的雙曲線方程可設(shè)為 - =λ(λ≠0,m>0,n>0);如果漸近
線方程為Ax±By=0,那么雙曲線方程可設(shè)為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).
(2)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)
為 - =λ(λ≠0)或 - =λ(λ≠0).
(3)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程可設(shè)為 - =λ(λ>0)
或 - =λ(λ>0),這是因為由離心率不能確定焦點位置.
(4)與橢圓 + =1(a>b>0)共焦點的雙曲線方程可設(shè)為 - =1(b2<λ 典例　求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)以橢圓 + =1長軸的端點為焦點,且經(jīng)過點(3, );
(2)過點P ,Q ,且焦點在坐標(biāo)軸上;
(3)漸近線方程為y=± x,且經(jīng)過點A(2,-3).
解析 (1)由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且c=2 .
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=8,
由雙曲線過點(3, )得 - =1,
∴a2=3,b2=5.
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1.
(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.
∵點P,Q在雙曲線上,
∴ 解得
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1.
(3)解法一:當(dāng)焦點在x軸上時,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .①
∵點A(2,-3)在雙曲線上,∴ - =1.②
①②聯(lián)立,無解.
當(dāng)焦點在y軸上時,設(shè)方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .③
∵點A(2,-3)在雙曲線上,∴ - =1.④
聯(lián)立③④,可得a2=8,b2=32.
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1.
解法二:由題意可設(shè)雙曲線方程為 -y2=λ(λ≠0),
∵A(2,-3)在雙曲線上,∴ -(-3)2=λ,即λ=-8.
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1.
1.雙曲線上的點P(不在坐標(biāo)軸上)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形.雙曲
線中與焦點三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形
面積公式等知識進行運算,在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運
用.
2.焦點三角形中常用的結(jié)論
(1)設(shè)∠F1PF2=θ,則焦點三角形的面積S= =c|yP|.
(2)設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,P為雙曲線右支上一點,則e= .
2 雙曲線的焦點三角形
典例　設(shè)F1,F2為雙曲線 - =1的左、右焦點,P為雙曲線上一點,且∠F1PF2=1
20°,則△F1PF2的面積為　3　　 .
解析 由題意可得a=5,b=3,c= ,則F1(- ,0),F2( ,0),則|F1F2|2=136,||PF1|-|PF2||
=10.由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 120°= +3|PF1|
·|PF2|=100+3|PF1|·|PF2|=136,∴|PF1|·|PF2|=12,
∴△F1PF2的面積S= |PF1|·|PF2|·sin 120°= ×12× =3 .
1.焦點在x軸上和y軸上的雙曲線的漸近線方程不同,注意區(qū)分.
2.雙曲線的兩條漸近線的斜率互為相反數(shù).
3.漸近線與離心率的關(guān)系: = ,e= .
4.求雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)鍵是通過給出的幾何關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)a,c(或
a,b或b,c)的關(guān)系式,結(jié)合c2=a2+b2進行求解.
3 雙曲線的漸近線和離心率
典例　已知雙曲線 - =1(b>0)上任意一點P到兩條漸近線的距離之積等于3,
則該雙曲線的離心率等于　 (　D )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
解析 易知雙曲線的焦點在x軸上,所以漸近線方程為y=± x,即bx± y=0.設(shè)P(x
0,y0),則P到兩條漸近線的距離之積為 · = ,
又 - =1,即b2 -5 =5b2,
所以 =3,所以b2= ,
故雙曲線的離心率e= = = = ,故選D.
　　一般地,設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0)①,雙曲線C: - =1(a>0,b>0)②.把①代入②,
得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)當(dāng)b2-a2k2=0,即k=± 時,直線l與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線C相交于一
點.
(2)當(dāng)b2-a2k2≠0,即k≠± 時,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直線與雙曲線有兩個公共點;
Δ=0 直線與雙曲線有一個公共點;
Δ<0 直線與雙曲線沒有公共點.
4 直線與雙曲線的位置關(guān)系
典例 (1)已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),討論雙曲線與直線公共點的個數(shù);
(2)若直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=1交于A,B兩點,O是坐標(biāo)原點,且△AOB的面積
為 ,求實數(shù)k的值.
思路點撥 (1)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與雙曲線方程,得一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)
系得到x1+x2,x1x2,并求出k的范圍,根據(jù)△AOB的面積為 列出等式,進而求解.
解析 (1)聯(lián)立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
①當(dāng)1-k2=0,即k=±1時,方程(*)只有一個解x= .
故k=±1時,直線與雙曲線有一個公共點,此時直線l與漸近線平行.
②當(dāng)1-k2≠0,即k≠±1時,易得Δ=4(4-3k2),
(i)令Δ>0,得- 解,故直線與雙曲線有兩個公共點.
(ii)令Δ=0,得k=± ,此時方程(*)有兩個相等的解,故直線與雙曲線只有一個公共
點,此時直線l與雙曲線相切.
(iii)令Δ<0,得k<- 或k> ,此時方程(*)無實數(shù)解,方程組無解,故直線與雙曲
線無公共點.
綜上所述,當(dāng)k=±1或k=± 時,直線與雙曲線有一個公共點;
當(dāng)- 當(dāng)k<- 或k> 時,直線與雙曲線無公共點.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,
則x1+x2=- ,x1x2=- .
由
解得- 易知直線l恒過點(0,-1),設(shè)為D.
①當(dāng)x1x2<0時,S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|+ |x2|= |x1-x2|= .
②當(dāng)x1x2>0時,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|= = |x1-x2|= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 )2,
即 + =8,
解得k=0或k=± .
經(jīng)檢驗,均符合題意,
所以k=0或k=± .3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　雙曲線的定義及其應(yīng)用
1.已知平面上的定點F1,F2及動點M,甲:||MF1|-|MF2||=m(m為常數(shù)),乙:點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線,則甲是乙的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-=1的左、右焦點,若點P在雙曲線上,且|PF1|=3,則|PF2|=(　　)
A.5　　　　B.1
C.3　　　　D.1或5
3.動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=1,圓C2:x2+y2-8x+7=0都外切,則動圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.+y2=1　　　　B.x2-=1
C.x2-=1(x≥1)　　　　D.x2-=1(x≤-1)
4.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,過F1的直線與雙曲線的左支交于A,B兩點,線段AB的長為5.若2a=8,則△ABF2的周長是　　　　.
題組二　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
5.經(jīng)過點P(-3,2)和Q(-6,-7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
6.與橢圓+y2=1共焦點且過點Q(2,1)的雙曲線的方程是(　　)
A.-y2=1　　　　B.-y2=1
C.-=1　　　　D.x2-=1
7.已知雙曲線的一個焦點為F1(-,0),點P在該雙曲線上,線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.-y2=1　　　　B.x2-=1
C.-=1　　　　D.-=1
8.(多選)關(guān)于x,y的方程+=1(其中m2≠4)表示的曲線可能是(　　)
A.焦點在y軸上的雙曲線
B.圓心為坐標(biāo)原點的圓
C.焦點在x軸上的雙曲線
D.長軸長為2的橢圓
題組三　雙曲線的綜合應(yīng)用
9.若橢圓+=1(m>n>0)和雙曲線-=1(a>0,b>0)有相同的焦點F1,F2,P是兩曲線的一個交點,則|PF1|·|PF2|的值是(　　)
A.m-a2　　　　B.(m-a2)
C.m2-a2　　　　D.-
10.已知雙曲線C:-=1的左、右焦點分別是F1,F2,P是雙曲線C的右支上的一點,且不在x軸上,過F2作∠F1PF2的平分線的垂線,垂足是M,O是原點,則|MO|=(　　)
A.隨P點變化而變化　　　　
B.2
C.4　　　　
D.5
11.人們在進行工業(yè)設(shè)計時,巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì).如圖,從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線,且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.已知雙曲線的方程為x2-y2=1,則當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(其中P為入射點),∠F1F2P的大小為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.F1,F2分別是雙曲線-=1的左、右焦點,過F1的直線分別交該雙曲線的左、右兩支于A,B兩點,若AF2⊥BF2,|AF2|=|BF2|,則|AF2|=(　　)
A.2　　　　B.2
C.4　　　　D.4
13.設(shè)F1,F2是雙曲線-=1的兩個焦點,P是該雙曲線上一點,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△PF1F2的面積.
14.焦點在x軸上的雙曲線過點P(4,-3),且點Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
能力提升練
題組一　雙曲線的定義及其應(yīng)用
1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.y2-=1(y≤-1)　 　　　　B.y2-=1
C.x2-=1(x≤-1)　　　　D.x2-=1
2.已知雙曲線-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線交雙曲線右支于A,B兩點,若△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,則△ABF1的周長為(　　)
A.+8　　　　B.4(-1)
C.+8　　　　D.2(-2)
3.已知F1,F2分別為雙曲線x2-=1的左、右焦點,P為雙曲線右支上任意一點,點P不在x軸上,若A為△PF1F2內(nèi)切圓上一動點,則當(dāng)|AF1|的最大值為4時,△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.已知雙曲線C:-=1的左、右焦點分別是F1,F2,點M關(guān)于F1,F2對稱的點分別是A,B,線段MN的中點在雙曲線C的右支上,則|AN|-|BN|=　　　　.
題組二　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用
5.如圖,F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,且F1(-,0),過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的方程為(　　)
A.-=1　　　　B.-y2=1
C.x2-=1　　　　D.-=1
6.設(shè)P(x,y)是雙曲線-=1的右支上的點,則代數(shù)式-的最小值為(　　)
A.　　　　B.2-
C.-　　　　D.+-3
7.(多選)已知點P是雙曲線E:-=1的右支上一點,F1,F2分別為雙曲線E的左、右焦點,若△PF1F2的面積為20,則下列說法正確的有(　　)
A.點P的橫坐標(biāo)為
B.△PF1F2為銳角三角形
C.△PF1F2的周長為
D.△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為
8.若P是雙曲線x2-=1的右支上的一點,M,N分別是圓(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1 上的點,則|PM|-|PN|的最大值為　　　　.
9.已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1,F2.
(1)若點M在雙曲線上,且·=0,求點M到x軸的距離;
(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點,且過點(3,2),求雙曲線C的方程.
題組三　雙曲線的綜合應(yīng)用
10.設(shè)F1,F2是雙曲線C:-=1的兩個焦點,O為坐標(biāo)原點,點P在C的右支上,且+=2,則△PF1F2的面積為(　　)
A.　　　　B.4
C.8　　　　D.8
11.某地發(fā)生地震,為了援救災(zāi)民,救援員在如圖所示的P處收到一批救災(zāi)藥品.現(xiàn)要把這批藥品沿道路PA,PB運送到矩形災(zāi)民區(qū)ABCD中去,已知|PA|=100 km,|PB|=150 km,|BC|=60 km,∠APB=60°.試在災(zāi)民區(qū)中確定一條界線,使位于界線一側(cè)的點沿道路PA送藥較近,而另一側(cè)的點沿道路PB送藥較近,請說明這一界線是一條什么曲線,并求出其方程.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　根據(jù)雙曲線的定義,知乙 甲,但甲 /　乙,只有當(dāng)02.A　依題意得,a=1,b=3,因此c=,易知點P只可以在雙曲線的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故選A.
易錯警示
　　已知F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,點P在雙曲線上,若|PF1|3.D　易知圓C1的圓心為C1(-4,0),半徑 r1=1,圓C2的圓心為C2(4,0),半徑 r2=3.設(shè)M(x,y),動圓M的半徑為r,因為動圓M與圓C1,C2都外切,所以所以|MC2|-|MC1|=2,因為2<|C1C2|=8,所以點M的軌跡是以C1,C2為焦點,2a=2為實軸長的雙曲線的左支,所以a=1,c=4,所以b==,即M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1).故選D.
4.答案　26
解析　易知|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.B　設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),
則解得
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選B.
6.A　由橢圓方程可得焦點坐標(biāo)為(±,0),設(shè)與橢圓共焦點的雙曲線的方程為-=1(07.B　設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),易知c=,所以b2=5-a2,所以-=1.因為線段PF1的中點坐標(biāo)為(0,2),所以點P的坐標(biāo)為(,4).將(,4)代入雙曲線方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.故選B.
8.BC　若方程表示焦點在y軸上的雙曲線,則m2+2<0且4-m2>0,無解,A錯誤;若方程表示圓心為坐標(biāo)原點的圓,則m2+2=4-m2,解得m=±1,B正確;若方程表示焦點在x軸上的雙曲線,則4-m2<0且m2+2>0,所以m>2或m<-2,C正確;若方程表示長軸長為2的橢圓,則2a=2,則或無解,D錯誤.故選BC.
9.A　不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,由橢圓與雙曲線的定義可得所以
所以|PF1|·|PF2|=(+a)(-a)=m-a2.故選A.
10.C　延長F2M交PF1于Q,由題意得,直線PM是線段F2Q的中垂線,即|PQ|=|PF2|,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=|PF1|-|PQ|=|QF1|=8,又因為線段MO是△F1F2Q的中位線,所以|MO|=|QF1|=4.
11.D　由x2-y2=1,得a=1,b=1,c=.
設(shè)|PF2|=m(m>0),則|PF1|=2+m.
所以m2+(m+2)2=(2)2,解得m=-1(m=--1舍去),
所以cos∠F1F2P===,
所以∠F1F2P=.故選D.
12.C　由雙曲線的定義可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,因為|AF2|=|BF2|,所以|BF2|-|AF1|=2a,所以|BF1|-|AF1|=4a,即|AB|=4a,因為AF2⊥BF2,所以|AF2|2+=|AB|2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2,由-=1,得a2=2,所以2|AF2|2=|AB|2=16a2=32,解得|AF2|=4(負值舍去),故選C.
13.解析　∵F1,F2是雙曲線-=1的兩個焦點,
∴不妨設(shè)F1(-3,0),F2(3,0),∴|F1F2|=6,
由|PF1|∶|PF2|=2∶1,可設(shè)|PF2|=x(x>0),
則|PF1|=2x.
由雙曲線的定義知2x-x=2,解得x=2,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
∴cos∠F1PF2==,
∴sin∠F1PF2=.
∴△PF1F2的面積為×4×2×=12.
14.解析　因為雙曲線的焦點在x軸上,所以設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),兩焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0).
因為雙曲線過點P(4,-3),所以-=1①.
又因為點Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0,
解得c2=25②.又因為c2=a2+b2③,
所以由①②③可解得a2=16或a2=50(舍去),
所以b2=9.故此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是-=1.
能力提升練
1.A　由題意得|AC|==13,|BC|==15,|AB|=14,因為A,B 都在橢圓上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,
故F的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的下支,又因為2c=|AB|=14,2a=|AF|-|BF|=2,即c=7,a=1,所以b2=48,因此F的軌跡方程是y2-=1(y≤-1).故選A.
2.A　由題意得a=2,則|AF1|-|AF2|=2a=4,|BF1|-|BF2|=2a=4,設(shè)|AF2|=m,|BF2|=n,m>0,n>0,所以|AF1|=4+m,|BF1|=4+n.因為△ABF1是等腰三角形,且∠A=120°,所以|AF1|=|AB|,即4+m=m+n,所以n=4,所以|BF1|=8,|AB|=4+m,在△ABF1中,由余弦定理得=+|AB|2-2×|AF1|×|AB|×cos A,即82=(4+m)2+(4+m)2-2×(4+m)2×,所以3(4+m)2=64,解得m=-4(負值舍去),所以△ABF1的周長為|AF1|+|AB|+|BF1|=4+m+m+4+8=8+.故選A.
3.C　易得F1(-2,0),F2(2,0).設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1,PF2切于N,B,與F1F2切于M,圓心為C,如圖,則|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又因為點P在雙曲線右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,
設(shè)M的坐標(biāo)為(x,0),則(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則內(nèi)切圓圓心為C(1,r),則|AF1|的最大值為|CF1|+r=4,即+r=4,解得r=.故選C.
4.答案　16
解析　如圖,設(shè)線段MN的中點為D.由雙曲線的定義可得|DF1|-|DF2|=2a=8.易得D,F1,F2分別是線段MN,MA,MB的中點,則|AN|=2|DF1|,|BN|=2|DF2|,故|AN|-|BN|=2|DF1|-2|DF2|=4a=16.
5.C　根據(jù)雙曲線的定義,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2為等邊三角形,因此|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,則|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因為∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,則b2=c2-a2=6,
所以雙曲線的方程為x2-=1.
6.B　-=-,設(shè)A(0,1),F(3,0),則上式表示|PA|-|PF|,易知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F'(-3,0),F(3,0),實軸長2a=2,則|PF|=|PF'|-2a=|PF'|-2,則|PA|-|PF|=|PA|-|PF'|+2=-(|PF'|-|PA|)+2,因為|PF'|-|PA|≤|AF'|==,當(dāng)P為F'A的延長線與雙曲線右支的交點時等號成立,所以(|PA|-|PF|)min=-|AF'|+2=2-.故選B.
7.ACD　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a=4,b=3,c=5.對于A,設(shè)P(m,n),m>0,n>0,則=|F1F2|×n=cn=5n=20,即n=4,代入雙曲線的方程中,可解得m=(負值舍去),故A正確;對于B,由P,F2(5,0),可得=>0,則∠PF2F1為鈍角,所以△PF1F2為鈍角三角形,故B錯誤;對于C,易求得|PF1|==,|PF2|==,則△PF1F2的周長為++10=,故C正確;對于D,如圖,設(shè)△PF1F2的內(nèi)心為I,內(nèi)切圓半徑為r,連接IP,IF1,IF2,則r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=20,可得r=40,解得r=,故D正確.故選ACD.
8.答案　6
解析　設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,由題意得a=1,b=4,c=7,∴F1(-7,0),F2(7,0),∵M,N分別是圓(x+7)2+y2=9和(x-7)2+y2=1上的點,
∴|MF1|=3,|NF2|=1,由題意知|PF1|-|PF2|=2a=2,∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|-|NF2|,∴-|PN|≤-|PF2|+|NF2|,∴|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+|NF2|+|MF1|=2+1+3=6.
9.解析　(1)由題意得a=4,c==2,如圖所示,不妨設(shè)M在雙曲線的右支上,M點到x軸的距離為h,
∵·=0,∴MF1⊥MF2,
設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,
由雙曲線的定義,知m-n=2a=8,
又∵m2+n2=(2c)2=80,∴(m-n)2+2mn=64+2mn=80,
∴mn=8,∴mn=|F1F2|·h=4,∴h=.
故M點到x軸的距離為.
(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為-=1(-4<λ<16),
∵雙曲線C過點(3,2),
∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),
∴所求雙曲線C的方程為-=1.
10.C　由+=2,得·+·=2||,所以·(+)=·=2||,可得|OP|=2,
不妨設(shè)F1(-2,0),F2(2,0),
所以|OP|=|F1F2|,所以點P在以F1F2為直徑的圓上,所以△PF1F2是以P為直角頂點的直角三角形,
故+==48.
又因為點P在雙曲線的右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a=4,所以16=(|PF1|-|PF2|)2=+-2|PF1||PF2|=48-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=16,
所以=|PF1||PF2|=8,故選C.
11.解析　災(zāi)民區(qū)ABCD中的點可分為三類,第一類沿道路PA送藥較近,第二類沿道路PB送藥較近,第三類沿道路PA和PB送藥一樣近.依題意知,界線是第三類點的軌跡.
設(shè)M為界線上的任意一點,
則|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,
即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因為|AB|=
=50>50,
所以界線是以A,B為焦點的雙曲線的右支的一部分.
如圖所示,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=25,所以b2=c2-a2=3 750,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.
故界線的方程為-=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
173.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)
1.雙曲線-=1的離心率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.雙曲線4x2+ky2=4k的虛軸長是實軸長的2倍,則實數(shù)k的值是(　　)
A.16　　B.　　C.-16　　D.-
3.(多選)已知雙曲線W:-=1,則(　　)
A.m∈(-2,-1)
B.若W的頂點坐標(biāo)為(0,±),則m=-3
C.W的焦點坐標(biāo)為(±1,0)
D.若m=0,則W的漸近線方程為x±y=0
題組二　由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程
4.已知雙曲線的一條漸近線的方程為y=2x,且經(jīng)過點(,2),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.-y2=1　　　　B.-x2=1
C.x2-=1　　　　D.y2-=1
5.以橢圓+=1的焦點為頂點,左、右頂點為焦點的雙曲線的方程為(　　)
A.-x2=1　　　　B.x2-=1
C.-=1　　　　D.-=1
6.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)為等軸雙曲線,且焦點到漸近線的距離為1,則該雙曲線的方程為(　　)
A.x2-y2=　　　　B.x2-y2=1
C.x2-y2=　　　　D.x2-y2=2
7.已知雙曲線C與橢圓+=1有共同的焦點,且它們的離心率之和為,則雙曲線C的方程是　　　　　　　.
題組三　雙曲線的漸近線
8.已知橢圓+y2=1與雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率之積為2,則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±3x
C.y=±x　　　　D.y=±2x
9.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線分別為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線(其中O為坐標(biāo)原點),點B為該雙曲線的一個焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.1
10.設(shè)F1,F2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若P為C左支上的一點,滿足|PF1|=|F1F2|,且F1到直線PF2的距離為a,則C的漸近線方程為(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x
C.y=±x　　　　D.y=±x
11.已知雙曲線C:-=1的右焦點為F,點P在雙曲線C的一條漸近線上,O為坐標(biāo)原點,若|PO|=|PF|,則雙曲線C的實軸長為　　　　;△PFO的面積為　　　　.
題組四　雙曲線的離心率
12.已知雙曲線-=1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為(　　)
A.　　　　B.2
C.或2　　　　D.
13.點P在雙曲線-=1(a>0,b>0)上,F1,F2是雙曲線的兩個焦點,∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長滿足2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,則此雙曲線的離心率是(　　)
A.　　　　B.
C.2　　　　D.5
14.已知F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于點M,若·>0,則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A.(1,)　　　　B.(,+∞)
C.(1,2)　　　　D.(2,+∞)
題組五　直線與雙曲線的位置關(guān)系
15.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A.(-,-1)　　　　B.(1,)
C.(-,)　　　　D.(-1,1)
16.設(shè)離心率為e的雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　)
A.k2-e2>1　　　　B.e2-k2>1
C.k2-e2<1　　　　D.e2-k2<1
17.過雙曲線x2-=1的左焦點F1作傾斜角為的直線,與雙曲線交于A,B兩點,則|AB|=　　　　.
18.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的實軸長為4,一條漸近線方程為y=x.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l:y=k(x-1)與雙曲線C相交于不同的兩點,求實數(shù)k的取值范圍.
能力提升練
題組一　雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,點P在直線x=c上運動,若∠A1PA2的最大值為,則雙曲線的離心率為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多選)已知雙曲線C過點(3,),且漸近線方程為y=±x,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.C的方程為-y2=1
B.C的離心率為
C.曲線y=ex-2-1經(jīng)過C的一個焦點
D.直線x-y-1=0與C有兩個公共點
3.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P是C的右支上一點,PF1⊥PF2,PF1與y軸交于點M,若|F1O|=2|OM|(O為坐標(biāo)原點),則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±2x
C.y=±x　　　　D.y=±3x
4.(多選)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過雙曲線C上的一點M作兩條漸近線的垂線,垂足分別為A,B,O為坐標(biāo)原點,若=16|MA|·|MB|,則(　　)
A.雙曲線C的離心率為
B.四邊形AMBO的面積為a2
C.雙曲線C的漸近線方程為y=±x
D.直線MA與直線MB的斜率之積為定值
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為　　　　.
6.設(shè)雙曲線C:x2-=1(b>0)的右焦點為F,點Q(0,b),已知點P在雙曲線C的左支上,若△PQF的周長的最小值是8,則雙曲線C的離心率是　　　　,此時,點P的坐標(biāo)為　　　　.
題組二　直線與雙曲線的位置關(guān)系
7.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左焦點為F(-c,0),過點F且斜率為1的直線與雙曲線C交于A,B兩點,若線段AB的垂直平分線與x軸交于點P(2c,0),則雙曲線C的離心率為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.2
8.設(shè)點P為雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上任意一點,雙曲線E的離心率為,右焦點與橢圓G:+=1(t>0)的右焦點重合.
(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點P作雙曲線兩條漸近線的平行線,分別與兩條漸近線交于點A,B,O為坐標(biāo)原點,求證:平行四邊形OAPB的面積為定值,并求出此定值.
9.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值m1,m2,且滿足m1m2=3a2.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)若a=2,過點F1的直線交雙曲線于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交y軸于點D(異于坐標(biāo)原點O),求的最小值.
10.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,點A為C上位于第二象限的動點.
(1)若點A的坐標(biāo)為(-2,3),求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)B,F分別為雙曲線C的右頂點、左焦點,是否存在常數(shù)λ,使得∠AFB=λ∠ABF 如果存在,請求出λ的值;如果不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　由雙曲線-=1,得a2=4,b2=3,
∴a=2,c==,∴e==,故選C.
2.C　雙曲線方程可化為+=1,易知k<0,所以雙曲線的焦點在y軸上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2,又因為虛軸長是實軸長的2倍,所以2×4=2,解得k=-16.故選C.
3.BD　因為方程表示雙曲線,所以(2+m)(1+m)>0,解得m>-1或m<-2,A錯誤;因為W的頂點坐標(biāo)為(0,±),所以-m-1=()2,解得m=-3,B正確;當(dāng)m>-1時,c2=(2+m)+(m+1)=2m+3>1,當(dāng)m<-2時,c2=-(2+m)-(m+1)=-2m-3>1,C錯誤;當(dāng)m=0時,雙曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1,則漸近線方程為y=±x,即x±y=0,D正確.故選BD.
4.C　由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2-=k(k≠0),將(,2)代入,可得-=k,解得k=1,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.故選C.
5.B　易知橢圓+=1的焦點為(±1,0),左、右頂點分別為(-2,0),(2,0),
∴雙曲線的頂點為(±1,0),焦點為(±2,0).
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0,b>0),
則a=1,c=2,∴b2=c2-a2=3,
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.故選B.
6.B　由題意得a2=b2,則c==a,所以雙曲線的焦點坐標(biāo)為(±a,0),漸近線方程為x±y=0,
因為焦點到漸近線的距離為1,所以=1,解得a=1,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1.故選B.
7.答案　-=1
解析　因為雙曲線C與橢圓+=1有共同的焦點,所以雙曲線的焦點在y軸上,設(shè)雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),則c==4,+=,解得a=2,所以b2=16-4=12,因此雙曲線C的方程是-=1.
8.D　易得橢圓的離心率為=,故×=2,即=,則==2,所以雙曲線的漸近線方程為y=±2x.故選D.
9.A　由題意可知雙曲線的兩條漸近線互相垂直,則×=-1,即a=b,故漸近線方程為y=±x,∵正方形OABC的邊長為2,B為雙曲線的一個焦點,∴|OB|=2,即c=2,則a2+b2=c2=8,即2a2=8,解得a=2(負值舍去),故選A.
10.C　由題意知|PF1|=|F1F2|=2c,|PF2|-|PF1|=2a,∴|PF2|=2a+2c,則(2c)2=(a+c)2+(a)2,得3c2-2ac-8a2=0,3·-2·-8=0,所以=2,故a2+b2=4a2,所以=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.故選C.
11.答案　4;3
解析　由雙曲線C的方程可知其實軸長為4,右焦點為F(2,0),又因為|PO|=|PF|,所以點P在線段OF的中垂線上,所以點P的橫坐標(biāo)為,易得雙曲線C:-=1的漸近線方程為y=±x,所以點P的縱坐標(biāo)為±,即△PFO的高為,所以△PFO的面積為×|OF|×=3.
12.A　雙曲線的漸近線方程為y=±x,因為兩條漸近線的夾角為,所以直線y=x的傾斜角是或,即=tan 或=tan ,解得a=或a=,又因為a>,則a=,所以c=2,所以雙曲線的離心率e==.故選A.
13.D　設(shè)點P在雙曲線的右支上,F1,F2分別為左、右焦點,則|PF1|-|PF2|=2a,因為|F1F2|=2c,2|PF1|=|PF2|+|F1F2|,所以|PF1|=2c-2a,|PF2|=2c-4a,因為∠F1PF2=90°,所以△F1PF2是直角三角形,所以+==4c2,所以(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,即c2-6ac+5a2=0,所以e2-6e+5=0,解得e=5或e=1(舍去),所以此雙曲線的離心率是5,故選D.
14.D　由題意可設(shè)過點F1(-c,0)且與雙曲線的一條漸近線y=x平行的直線的方程為y=x+,與另一條漸近線y=-x的交點為M,由·>0得·>0,即>3,又因為e==,所以e>2,故選D.
15.D　當(dāng)直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時,k=±1,此時直線l只與雙曲線的左支或右支有一個交點,
∵直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,
∴k的取值范圍為(-1,1),故選D.
16.B　當(dāng)直線l的斜率k不存在時,直線l只與雙曲線的一支相交,不滿足題意,故k存在,由直線l過右焦點F,可設(shè)直線l的方程為y=k(x-c),易求得雙曲線的漸近線方程為y=±x,若直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交,則|k|<,故k2<,即e2-k2>1,故選B.
規(guī)律總結(jié)
　　解決直線與雙曲線的交點問題,可先把雙曲線的漸近線與直線進行對比,然后把問題轉(zhuǎn)化成漸近線的斜率與直線斜率之間的大小關(guān)系求解.
17.答案　3
解析　依題意,得雙曲線的左焦點F1的坐標(biāo)為(-2,0),直線AB的方程為y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=
=
=3.
18.解析　(1)由條件可知所以所以雙曲線C的方程為-=1.
(2)聯(lián)立消去y,得(3-4k2)x2+8k2x-4k2-12=0,
因為l與雙曲線交于不同的兩點,
所以
解得-1故k的取值范圍為∪∪.
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1.A　設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,∠F2PA1=α,∠F2PA2=β,則∠A1PA2=α-β.依題意不妨設(shè)點P在第一象限,坐標(biāo)為(c,t)(t>0),則tan α=,tan β=,所以tan(α-β)===.因為t>0,所以t+≥2b,當(dāng)且僅當(dāng)t=b時等號成立,則tan(α-β)≤.因為∠A1PA2的最大值為,所以=,即a=b,則c2=a2+b2=4b2,所以c=2b,故e==,故選A.
2.AC　由題意可設(shè)雙曲線的方程為-y2=λ(λ>0),把(3,)代入,得-2=λ,即λ=1,∴雙曲線C的方程為-y2=1,故A正確;由a2=3,b2=1,得c==2,∴雙曲線C的離心率為=,故B錯誤;令x-2=0,得x=2,則ex-2-1=0,故曲線y=ex-2-1過定點(2,0),故C正確;雙曲線的漸近線方程為x±y=0,因為直線x-y-1=0與雙曲線的一條漸近線平行,所以直線x-y-1=0與C有1個公共點,故D不正確.故選AC.
3.B　易得F1(-c,0),F2(c,0),因為PF1⊥PF2,所以∠F1PF2=90°,因為∠F1OM=90°,∠MF1O=∠F2F1P,所以△MOF1∽△F2PF1,故==2,所以|PF1|=2|PF2|,因為|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,|PF1|=4a,在Rt△PF2F1中,由勾股定理可得+=,即16a2+4a2=4c2,可得5a2=c2,所以b2=c2-a2=4a2,故=4,即=2,所以漸近線方程為y=±x=±2x.
4.ABD　設(shè)M(x0,y0),則-=1,即b2-a2=a2b2,且雙曲線C的兩條漸近線的方程分別為bx+ay=0和bx-ay=0,不妨設(shè)點A在直線bx+ay=0上,于是得|MA|=,|MB|=,從而得(2c)2=16··=16·=,即c2=2ab,即a2+b2-2ab=0,所以a=b,所以c=a,故雙曲線的離心率e==,A正確;雙曲線的漸近線方程為x±y=0,即兩條漸近線互相垂直,四邊形AMBO為矩形,其面積為|MA|·|MB|=·(2c)2=c2=a2,B正確,C不正確;因為直線MA⊥MB,且兩直線都不垂直于坐標(biāo)軸,所以直線MA與直線MB的斜率之積為-1,D正確.故選ABD.
5.答案　-=1
解析　如圖,直線CD是雙曲線的一條漸近線,其方程為y=x,即bx-ay=0,且F(c,0),AC⊥CD,BD⊥CD,故四邊形ACDB是梯形,作EF⊥CD,垂足為E,因為F是AB的中點,所以|EF|==3,又因為|EF|==b,所以b=3,因為雙曲線的離心率為2,所以=2,即=4,解得a=(負值舍去),則雙曲線的方程為-=1.
6.答案　;
解析　如圖,設(shè)D為雙曲線C的左焦點,連接PD,QD,則|QD|=|QF|,|PF|=|PD|+2,設(shè)△PQF的周長為l,則l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PD|+|QD|+2,因為|PQ|+|PD|≥|QD|=,所以△PQF的周長l≥2+2,因為△PQF的周長的最小值是8,所以2+2=8,即c2+b2=9,即1+b2+b2=9,所以b=2,所以c=,所以雙曲線C的離心率e==,其方程為x2-=1.當(dāng)△PQF的周長取最小值時,點P在直線QD上,易得Q(0,2),D(-,0),所以直線QD的方程為y=x+2,聯(lián)立解得或(舍去),
故點P的坐標(biāo)為.
7.D　設(shè)線段AB的中點坐標(biāo)為(x0,y0),則有解得設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,又因為點A,B在雙曲線C上,所以-=1,-=1,兩式相減,得-=0,可得-·1=0,即=,即b2=3a2,∴c=2a,∴e=2.故選D.
8.解析　(1)由題意可得則
所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-=1.
(2)易求得雙曲線漸近線方程為y=±x.設(shè)點P坐標(biāo)為(x0,y0),過點P且與兩條漸近線平行的直線分別為l1,l2,A在l1上,且l1的斜率為,則l1,l2的方程分別為y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),
聯(lián)立
則A,聯(lián)立
則B,
又因為漸近線方程為y=±x,所以sin∠AOB=,
所以=|OA|2×|OB|2×sin2∠AOB
=··=,
又因為點P在雙曲線上,所以-=1,即2-=2,
所以=,即平行四邊形OAPB的面積為定值,且此定值為.
9.解析　(1)由題意知F1(-c,0),F2(c,0).
由雙曲線的性質(zhì)知m1=c+a,m2=c-a,
∴m1m2=c2-a2=3a2,∴c=2a,
故雙曲線的離心率e==2.
(2)當(dāng)a=2時,c=-a2=12.
∴雙曲線的方程為-=1,F1(-4,0).
由題知直線AB的斜率存在,設(shè)為k,則k≠±,直線AB的方程為y=k(x+4).
聯(lián)立消去y并整理,得(3-k2)x2-8k2x-16k2-12=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=
=
=.
又∵線段AB的中點的坐標(biāo)為,
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-=-.令x=0,得y= ,
∴D點的坐標(biāo)為,∴|OD|=,
∴===≥,
當(dāng)且僅當(dāng)|k|=1,即k=±1時等號成立,
∴的最小值為.
10.解析　(1)因為離心率e==2,所以c=2a,
又因為b2=c2-a2=3a2,所以雙曲線C的方程為-=1,把(-2,3)代入雙曲線方程,得-=1,解得a2=1,故雙曲線C的方程為x2-=1.
(2)存在.由(1)知雙曲線C的方程為-=1,
故B(a,0),F(-2a,0).
①當(dāng)直線AF的斜率不存在時,∠AFB=90°,|FB|=3a,|AF|==3a,所以∠ABF=45°,此時λ=2.
②當(dāng)直線AF的斜率存在時,設(shè)∠AFB=α,∠ABF=β,A(x0,y0),其中x0<-a,y0>0,
因為e=2,所以c=2a,b=a,故雙曲線C的漸近線方程為y=±x,
所以α∈,β∈,
又因為tan α=,tan β=-,
所以tan 2β==
==
==,
所以tan α=tan 2β,
又因為α,2β∈,所以α=2β.
綜上,存在常數(shù)λ=2滿足∠AFB=2∠ABF.
15

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