資源簡介

3.3　拋物線
3.3.1　拋物線的標準方程
基礎過關練
題組一　拋物線的定義及其應用
1.動圓M 經過雙曲線x2-=1的左焦點F且與直線x=2相切,則圓心M的軌跡方程是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.y2=8x　　　　B.y2=-8x
C.y2=4x　　　　D.y2=-4x
2.已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=(　　)
A.1　　B.2　　C.4　　D.8
3.設O為坐標原點,F為拋物線C:x2=8y的焦點,P為C上一點,若|PF|=6,則△POF的面積為(　　)
A.2　　B.4　　C.4　　D.4
題組二　拋物線的標準方程和準線方程
4.設拋物線C:y2=2px(p>0)的準線被圓E:x2+y2-8y=0所截得的弦長為4,則拋物線C的方程為(　　)
A.y2=12x　　　　B.y2=8x
C.y2=4x　　　　D.y2=x
5.已知拋物線C1的頂點在坐標原點,焦點F在y軸正半軸上.若點F到雙曲線C2:-=1的一條漸近線的距離為2,則C1的標準方程是(　　)
A.y2=x　　　　B.y2=x
C.x2=8y　　　　D.x2=16y
6.拋物線x2=ay(a>0)的焦點到準線的距離為,則a的值為　　　　.
7.已知拋物線y2=8x的焦點為F,準線與x軸交于點E,A是拋物線上一點,AE⊥AF,則|AF|=　　　　.
題組三　拋物線的綜合應用
8.若橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,線段F1F2被拋物線y2=2bx(b>0)的焦點F分成5∶3的兩段,則此橢圓的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
中國古代的橋梁建筑有不少是世界橋梁史上的創舉,充分顯示了中國勞動人民的非凡智慧.如圖是一個拋物線形拱橋,當水面離拱頂2 m時,水面寬8 m.若水面下降1 m,則水面的寬度為(　　)
A.2 m　　　　B.4 m
C.4 m　　　　D.12 m
10.已知點P是拋物線y2=4x上一點,設點P到此拋物線的準線的距離為d1,到直線x+2y-12=0的距離為d2,則d1+d2的最小值是(　　)
A.5　　　　B.4
C. 　　　　D.
11.設F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為該拋物線上三個不同的點,若++=0,則||+||+||=　　　　.
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　拋物線的定義及其應用
1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,與拋物線的準線交于點P,且=2,|BF|=2,則p=(　　)
A.3　　B.2　　C.4　　D.6
2.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上在第一象限的一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,直線MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|=　　　　.
3.已知點A(0,2),拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,線段FA交拋物線于點B,過點B作l的垂線,垂足為M.若AM⊥MF,則三角形AFM的面積為　　　　.
題組二　拋物線的準線方程和標準方程
4.已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點F在x軸正半軸上,點M為圓O:x2+y2=12與C的一個交點,且|MF|=3,則C的標準方程是(　　)
A.y2=2x　　　　B.y2=3x
C.y2=4x　　　　D.y2=6x
5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點T在C上,且|FT|=,若點M的坐標為(0,1),且MF⊥MT,則C的方程為(　　)
A.y2=2x或y2=8x
B.y2=x或y2=8x
C.y2=2x或y2=4x
D.y2=x或y2=4x
題組三　拋物線的綜合應用
6.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,已知A,B為拋物線上的兩個動點,且滿足∠AFB=120°,過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線,垂足為N,則的最大值為(　　)
A.2　　　　B.
C.1　　　　D.
7.(多選)設拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,點M為C上一動點,E(3,1)為定點,則下列結論正確的是(　　)
A.準線l的方程是x=-2
B.|ME|-|MF|的最大值為2
C.|ME|+|MF|的最小值為5
D.以線段MF為直徑的圓與y軸相切
8.汽車前照燈的反射鏡為一個拋物面,它由拋物線沿它的對稱軸旋轉一周形成.通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,其中燈泡位于拋物面的焦點上,由燈泡發出的光經反射鏡反射后形成平行光束,再經過透鏡的折射等作用達到照亮路面的效果.如圖,從燈泡發出的光線FP經拋物線y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出,∠FPN的平分線PM交x軸于點M,直線PM的方程為2x+y-12=0,則拋物線的方程為　　　　.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　易知F(-2,0),由題意知圓心M到點F(-2,0)的距離和到直線x=2的距離相等,由拋物線的定義知M的軌跡是焦點為F,準線方程為x=2的拋物線,其方程為y2=-8x.故選B.
2.A　由拋物線C:y2=x可得p=,∴|AF|=x0=x0+=x0+,解得x0=1.
3.B　由題意知F(0,2),準線方程為y=-2.設P(x0,y0),則|PF|=y0+2=6,解得y0=4,代入拋物線方程得x0=±4,故S△POF=|OF||x0|=×2×4=4,故選B.
4.B　由題意得,準線方程為x=-,圓心E(0,4),半徑r=4,則42=+,所以p=4,所以拋物線C的標準方程為y2=8x.
5.D　雙曲線C2的漸近線方程是-=0,
即y=±x.該拋物線C1的標準方程為x2=2py(p>0),則F.因為拋物線C1的焦點F(p>0)到漸近線x-y=0的距離為2,所以=2,即p=8,所以C1的標準方程是x2=16y,故選D.
6.答案　5
解析　拋物線x2=ay(a>0)的焦點為,準線方程為y=-,則+=,解得a=5.
7.答案　2-2
解析　易知|EF|=4.設A(x0,y0).因為AE⊥AF,所以點A在以原點為圓心,2為半徑的圓上,即+=4,又因為A是拋物線上一點,所以=8x0,所以由解得x0=2-4(負值舍去),由拋物線的定義得|AF|=x0+2=2-2.
8.D　由題意得橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),拋物線y2=2bx(b>0)的焦點為F,則=,解得c=2b,又因為a2=b2+c2,所以5c2=4a2,
所以e====.故選D.
9.B　以拱橋頂點為原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,設拱橋所在拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),由題意知,拋物線過點A(-4,-2),將點A的坐標(-4,-2)代入拋物線方程,得p=4,所以拋物線的標準方程為x2=-8y,水面下降1 m,即y=-3,代入拋物線方程,解得x1=2,x2=-2,所以此時水面的寬度d=2x1=4 m.故選B.
10.C　設拋物線y2=4x的焦點為F,則F(1,0),由題意得d1=|PF|,則d1+d2的最小值即為F到直線x+2y-12=0的距離,則==,故選C.
11.答案　6
解析　易知F(1,0),因為++=0,所以點F為△ABC的重心,設A,B,C三點的橫坐標分別為xA,xB,xC,xA≥0,xB≥0,xC≥0,則=1,故||+||+||=xA+1+xB+1+xC+1=6.
能力提升練
1.A　如圖,設準線為l,l與x軸的交點為H,過點A作AE⊥l于點E,過點B作BC⊥l于點C.∵=2,
∴F是PA的中點,∴|AE|=|AF|=|PF|=|PA|.在Rt△PEA中,∵sin∠EPA==,∴∠EPA=30°,即∠HPF=30°.在Rt△PHF中,|HF|=p,∴|PF|=2p,∵△PCB∽△PHF,且|BC|=|BF|=2,∴=,即=,解得p=3.故選A.
2.答案　2
解析　如圖所示,連接MF,QF,設準線與x軸交于點H,由題意得|FH|=2,|PF|=|PQ|.
∵M,N分別為PQ,PF的中點,∴MN∥QF.
∵PQ垂直l于點Q,∴PQ∥OR,∴四邊形FRMQ為平行四邊形,
∴|FR|=|QM|,∠PQF=∠NRF=60°,又∵|PQ|=|PF|,∴△PQF為等邊三角形,∴FM⊥PQ,則四邊形HFMQ為矩形,
∴|QM|=|FH|=2,
∴|FR|=|QM|=2.
3.答案　
解析　如圖所示.
由拋物線的定義可知|BF|=|BM|,F,
又∵AM⊥MF,∴B為線段AF的中點,∴B,
把代入拋物線方程得1=2p×,解得p=(負值舍去),∴B,
∴S△AFM=2S△BFM=2××1×=.
4.C　設拋物線的方程為y2=2px(p>0),連接MO,則|MO|=2,過M作MM1垂直于準線于M1,交y軸于M2, 因為|MF|=3=xM+,所以|M2M|=xM=3-,所以|M2O|=yM==,在Rt△OMM2中,+=|MO|2,即6p-p2+=12,所以p=2,所以C的標準方程為y2=4x,故選C.
5.A　設T(x0,y0),則=(x0,y0-1),因為F,所以=.因為MF⊥MT,所以·=0,即x0-y0+1=0,與=2px0聯立,消去x0并整理,可得-4y0+4=0,所以y0=2,故T,又因為|FT|=x0+=,所以-=,即p2-5p+4=0,解得p=1或p=4,所以C的方程為y2=2x或y2=8x.故選A.
6.D　如圖,設|AF|=a,|BF|=b,分別過A,B作準線的垂線,垂足為Q,P,
由拋物線的定義,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.
在梯形ABPQ中,|MN|==.由余弦定理,得|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,當且僅當a=b時等號成立,所以|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值為.故選D.
7.ACD　由題意得p=4,則焦點F(2,0),準線l的方程是x=-=-2,A正確;|ME|-|MF|≤|EF|==,當點M在線段EF的延長線上時等號成立,所以|ME|-|MF|的最大值為,B錯誤;如圖所示,過點M,E分別作準線l的垂線,垂足分別為A,B,則|ME|+|MF|=|ME|+|MA|≥|EB|=5,當點M在線段EB上時等號成立,所以|ME|+|MF|的最小值為5,C正確;設點M(x0,y0),線段MF的中點為D,則xD==,所以以線段MF為直徑的圓與y軸相切,D正確.故選ACD.
8.答案　y2=4x
解析　設P,因為點P在直線PM上,所以+y0=12①,又因為PN∥FM,所以∠PMF=∠NPM,又因為PM平分∠FPN,所以∠FPM=∠NPM,所以∠PMF=∠FPM,所以|PF|=|MF|.易知M(6,0),F,所以|MF|=6-,又因為|PF|=+,所以6-=+②,由①②可得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.
11(共22張PPT)
3.3　拋物線
1 | 拋物線的定義
　　我們把平面內與一個定點F和一條定直線l(F l)距離相等的點的軌跡叫作
拋物線,點F叫作拋物線的焦點,直線l叫作拋物線的準線.
1.拋物線的簡單幾何性質
2 | 拋物線的標準方程和簡單幾何性質
標準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
簡圖
焦點坐標
頂點坐標 (0,0) 準線方程 x=- x= y=- y=
對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
離心率 e=1 2.p是拋物線的焦點到準線的距離,p值永遠大于0,p越大,開口越大.

1.焦點弦的概念
　　過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.
2.通徑
　　過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的
通徑,拋物線的通徑長為2p,是所有焦點弦中最短的弦.
3.有關拋物線焦點弦的性質
　　如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y
2),AA',BB'均垂直于準線,直線AB的傾斜角為θ,則有
(1)|AB|=x1+x2+p= ;
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;
(6)以AB為直徑的圓與準線相切;
(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.
1.平面內與一個定點F和一條定直線l距離相等的點的軌跡一定是拋物線嗎
不一定.若點F在直線l上,則點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線.
2.拋物線的離心率e越大,拋物線的開口越大嗎
不是.拋物線的離心率e為定值1,它對拋物線的形狀無影響.
3.“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的充要條件嗎
不是.當直線與拋物線有一個交點時,直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱
軸平行(或重合);當直線與拋物線相切時,直線與拋物線有一個交點,故為必要不
充分條件.
知識辨析
1 拋物線標準方程的求解
1.定義法
　　先判斷所求點的軌跡是否符合拋物線的定義,再根據定義求出方程.
2.待定系數法.其步驟如下:
　　當拋物線的位置沒有確定時,可設方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),這樣可
以減少討論不同情況的次數.
典例　根據下列條件分別求出拋物線的標準方程.
(1)準線方程為y= ;
(2)焦點在y軸上,焦點到準線的距離為5;
(3)經過點(-3,-1).
解析 (1)由題意可得拋物線的準線與y軸正半軸相交,故設所求拋物線的標準方
程為x2=-2py(p>0),則 = ,解得p= ,
故所求拋物線的標準方程為x2=- y.
(2)已知拋物線的焦點在y軸上,可設所求拋物線的方程為x2=2my(m≠0),
由焦點到準線的距離為5,可得|m|=5,即m=±5,
所以滿足條件的拋物線有兩條,標準方程分別為x2=10y和x2=-10y.
(3)因為點(-3,-1)在第三象限,所以設所求拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0)或x2=-
2p2y(p2>0).
若拋物線的標準方程為y2=-2p1x(p1>0),則由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若拋物線的標準方程為x2=-2p2y(p2>0),則由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故所求拋物線的標準方程為y2=- x或x2=-9y.
　　拋物線的定義主要用來進行拋物線上的點與焦點的距離及與準線的距離的
轉化,通過轉化可以求最值、參數、距離.
2 拋物線定義的應用
典例 (1)已知點P是拋物線y2=-2x上的動點,則點P到點M(0,2)的距離與點P到該
拋物線準線的距離之和的最小值為 (　 )
A. 　 B.3　
C. 　 D.
(2)已知動圓M與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,則動圓圓心M的軌跡
方程為　x2=-12y　 .
思路點撥 (1)求|PM|與P到準線的距離之和的最小值,即求|PM|+|PF|的最小值.
(2)將條件轉化為拋物線的定義,利用定義解決問題.
A
解析 (1)如圖所示,

由拋物線的定義知,點P到準線x= 的距離|PD|等于點P到焦點F 的距離|PF
|,因此點P到點M(0,2)的距離與點P到準線x= 的距離之和等于點P到點M(0,2)的
距離與點P到點F 的距離之和,其最小值為點M(0,2)到點F 的距離(當
點P位于P'的位置時),即最小值為 = .
(2)設動圓圓心M(x,y),由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.
由拋物線的定義可知,動圓圓心M的軌跡是以C(0,-3)為焦點,y=3為準線的拋物線,
其方程為x2=-12y.
　　解決拋物線焦點弦問題的關鍵是熟記有關焦點弦的性質,并靈活運用.這些
性質一般是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,但在實際應用中,有些拋物
線的方程可能不是這種形式,這時相關結論會隨之變化,不能盲目套用.
3 拋物線的焦點弦問題
典例　已知拋物線y2=4x,經過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于
M,N兩點,且|MF|=3|NF|,則k=　　　 .
解析 解法一:分別過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂
足為S,設|NF|=m(m>0),則|MF|=3m.由拋物線的定義得|MP|=3m,|NQ|=m,所以|MS|=2
m,|MN|=m+3m=4m,則sin∠MNS= = ,即∠MNS= ,故直線l的傾斜角為 ,所
以k=tan = .
解法二:設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
由于|MF|= ,|NF|= ,
且|MF|=3|NF|,所以 = ,
解得cos θ= ,所以θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:拋物線y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因為|MF|=3|NF|,
所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .
設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
所以 = ,解得sin θ= (負值舍去),
所以θ= ,故k=tan θ= .
　　研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方
法類似,一般是聯立直線與拋物線的方程,但涉及拋物線的弦長、中點、距離等
問題時,要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用.
4 直線與拋物線的位置關系
典例　已知拋物線C:y2=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為1的點到焦點F的距離為
3.
(1)求拋物線C的方程及其準線方程;
(2)過(-1,0)的直線l交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線x=-4于點E,直線BF交直線
x=-1于點D,是否存在這樣的直線l,使得DE∥AF 若存在,求出直線l的方程;若不存
在,請說明理由.
思路點撥 (1)根據拋物線的定義可以得到關于p的關系式,進而求解.
(2)從DE∥AF出發,我們可以從兩個角度展開求解,思路一:利用斜率相等;思路二:
由平行得到比例關系,進而求解.
解析 (1)因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3,
所以根據拋物線的定義可得1+ =3,解得p=4,
所以y2=8x,
所以準線方程為x=-2.
(2)存在.
顯然直線l的斜率存在且不為0,
設直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立 消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根與系數的關系得x1+x2= ,x1x2=1.

解法一:直線BF的方程為y= (x-2).
因為xD=-1,所以yD= ,
所以D .
因為DE∥AF,
所以直線DE與直線AF的斜率相等.
又E(-4,-3k),所以 = ,
整理得k= + ,
即k= + ,
化簡得1= + ,
即1= ,即x1+x2=7.
所以 =7,整理得k2= ,解得k=± .經檢驗,k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因為DE∥AF,
所以 = ,
所以 = ,
整理得x1x2+x1+x2=8,即 =7,
整理得k2= ,解得k=± .
經檢驗,k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).3.3.2　拋物線的簡單幾何性質
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　拋物線的幾何性質
1.若點P在拋物線x2=-12y上,且P到拋物線準線的距離為d,則d的取值范圍是(　　)
A.[6,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(6,+∞)　　　　D.(3,+∞)
2.等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,且OA⊥OB,則△AOB的面積是(　　)
A.8p2　　　　B.4p2
C.2p2　　　　D.p2
3.頂點在原點,對稱軸為y軸且經過點(4,1)的拋物線,其準線與對稱軸的交點坐標是　　　　.
4.已知點A(0,5),過拋物線x2=12y上一點P作直線y=-3的垂線,垂足為B,若|PB|=|PA|,則|PB|=　　　　.
題組二　直線與拋物線的位置關系
5.過點P(2,2)作拋物線y2=4x的弦AB,若弦AB恰好被P平分,則弦AB所在的直線方程是(　　)
A.x-y=0　　　　B.2x-y-2=0
C.x+y-4=0　　　　D.x+2y-6=0
6.過拋物線y2=4x上的一點A(3,y0)(y0>0)作其準線的垂線,垂足為B,拋物線的焦點為F,直線BF在x軸下方交拋物線于點E,則|FE|=(　　)
A.1　　　　B.
C.3　　　　D.4
7.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線分別交拋物線于A,B兩點,若|AF|=4,|BF|=1,則p=(　　)
A.　　　　B.2
C.　　　　D.1
8.若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有(　　)
A.1條　　　　B.2條
C.3條　　　　D.4條
9.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點,O是坐標原點.
(1)求證:OA⊥OB;
(2)當△OAB的面積等于時,求k的值.
10.在平面直角坐標系中,已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F到雙曲線x2-=1的漸近線的距離為.
(1)求該拋物線的方程;
(2)設拋物線的準線與x軸交于點M,過M作斜率為k的直線l與拋物線交于A,B兩點,弦AB的中點為P,AB的中垂線交x軸于點N,求點N橫坐標的取值范圍.
題組三　拋物線的綜合應用
11.下列圖形中,可能是方程ax+by2=0和ax2+by2=1(a≠0且b≠0)圖形的是(　　)
12.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑,“門”的造型是東方之門的立意基礎,“門”的內側曲線呈拋物線形,如圖1,兩棟建筑第八層由一條長60 m的連橋連接,在該拋物線兩側距連橋150 m處各有一窗戶,兩窗戶的水平距離為30 m,如圖2,則此拋物線頂端O到連橋AB的距離為(　　)
A.180 m　　　　B.200 m
C.220 m　　　　D.240 m
13.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,過F的直線與拋物線C交于點A,B,與l交于點D,若=4,|AF|=4,則p=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
能力提升練
題組一　拋物線的幾何性質
1.(多選)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,斜率為且經過點F的直線與拋物線C交于A,B兩點(點A在第一象限),與拋物線的準線l交于點D,若|AF|=4,則以下結論正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.p=2　　　 　B.F為AD的中點
C.|BD|=2|BF|　　　　D.|BF|=2
2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點,C的準線l與x軸相交于點B,A為C上的一點,直線AO與直線l相交于點E,若∠BOE=∠BEF,|AF|=6,則C的標準方程為　　　　.
3.已知拋物線x2=8y的焦點為F,準線為l,點P是l上一點,過點P作PF的垂線交x軸的正半軸于點A,AF交拋物線于點B,PB與y軸平行,則|FA|=　　　　.
題組二　直線與拋物線的位置關系
4.已知斜率為k的直線l與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,線段AB的中點為M(1,m)(m>0),則斜率k的取值范圍是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,1]
C.(1,+∞)　　　　D.[1,+∞)
5.已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準線的交點,點F為拋物線的焦點,點P在拋物線上,且滿足|PA|=m|PF|,則m的最大值是(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.4
6.(多選)過拋物線x2=6y的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,M為線段AB的中點,則(　　)
A.以線段AB為直徑的圓與直線y=-相切
B.以線段BM為直徑的圓與y軸相切
C.當=2時,||=
D.|AB|的最小值為6
題組三　拋物線的綜合應用
7.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B(O為坐標原點),若△OAB的垂心為拋物線C2的焦點,則雙曲線C1的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
8.扎花燈是中國的一門傳統手藝,逢年過節常常可以在大街小巷看到各式各樣的花燈.現有一個花燈,它的外圍輪廓是由兩段形狀完全相同的拋物線繞著它們共同的對稱軸旋轉而來的(縱截面如圖),花燈的下頂點為A,上頂點為B,AB=8分米,在它的內部放有一個半徑為1分米的球形燈泡,球心C在軸AB上,且AC=2分米,若球形燈泡的球心C到四周輪廓上的點的最近距離是在下頂點A處取得,建立適當的坐標系可得以A為頂點的拋物線方程為y=ax2(a>0),則實數a的取值范圍是　　　　.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范圍是[3,+∞).
2.B　不妨設點A在x軸上方,由拋物線的對稱性及OA⊥OB,可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故=×2p×4p=4p2.
3.答案　(0,-4)
解析　依題意設拋物線的方程為x2=2py(p>0),則有42=2p,即p=8,則拋物線的準線方程為y=-4,準線與對稱軸的交點坐標是(0,-4).
4.答案　7
解析　由題意得,焦點為F(0,3),準線方程為y=-3,由拋物線的定義可得|PB|=|PF|,
又∵|PB|=|PA|,
∴|PA|=|PF|,即△PAF是等腰三角形,∵A(0,5),F(0,3),∴yP==4,∴|PB|=yP+3=4+3=7.
5.A　易知弦AB所在的直線斜率存在,且不為0.設A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的方程為y-2=k(x-2),即y=kx+2-2k,由消去y并整理,得k2x2+[2k(2-2k)-4]x+(2-2k)2=0,則x1+x2=-,∵P為弦AB的中點,
∴-=4,解得k=1.∴所求的直線方程為y=x.故選A.
6.D　如圖,將(3,y0)(y0>0)代入y2=4x,得y0=2,則B(-1,2),又因為F(1,0),所以直線BF的方程為y=-x+,與y2=4x聯立并消去y,得3x2-10x+3=0,
解得x=3或x=,因為點E在x軸下方,所以xE=3,所以|FE|=xE+1=4,故選D.
7.C　由題意可知直線AB的斜率存在,設為k,則其方程為y=k,由消去y可得k2x2-(k2+2)px+=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令x1>x2>0,則x1x2=,x1+=4,x2+=1,所以=,解得p=.故選C.
8.C　當直線l的斜率不存在時,直線l:x=0與拋物線y2=2x有且只有一個交點;當直線l的斜率為0時,直線l:y=2與拋物線y2=2x有且只有一個交點;當直線l的斜率存在且不為0時,若直線l與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,則直線與拋物線相切,設直線方程為y=kx+2(k≠0),代入拋物線方程 y2=2x,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,即直線的方程為y=x+2.
綜上,滿足條件的直線l共有3條,故選C.
9.解析　(1)證明:當k=0時,直線與拋物線僅有一個交點,不符合題意,∴k≠0.
由y=k(x+1),y2=-x消去x并整理,得y2+y-1=0.
設A(-,y1),B(-,y2),
則y1+y2=-,y1y2=-1,
∴kOA·kOB=·==-1,∴OA⊥OB.
(2)設直線AB與x軸交于點E,
則E(-1,0),∴|OE|=1,
∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±.
10.解析　(1)易知F,雙曲線x2-=1的漸近線方程為y=±x,即x±y=0,則F到漸近線的距離d==,解得p=2.
∴拋物線的方程為y2=4x.
(2)由(1)知M(-1,0),則直線l的方程為y=k(x+1),k≠0.
聯立得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
則Δ=4(k2-2)2-4k4>0,所以0設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),N(x0,0),
則x3==-,y3=k=.
∴直線PN的方程為y=-+,
令y=0,得x0=1+.
又∵k2∈(0,1),∴x0>3.
∴點N橫坐標的取值范圍為(3,+∞).
11.D　方程ax+by2=0化為標準方程為y2=-x,則拋物線的焦點在x軸上,故B錯誤;若方程ax2+by2=1表示橢圓,則a>0,b>0,則-<0,拋物線應開口向左,故A錯誤;若方程ax2+by2=1表示焦點在y軸上的雙曲線,則a<0,b>0,則->0,則拋物線應開口向右,故C錯誤,D正確.
12.B　建立平面直角坐標系,如圖所示,
設拋物線的標準方程為x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),則點B(30,-150+t),
由B,D在拋物線上,
得解得
所以拋物線頂端O到連橋AB的距離為150+50=200(m),故選B.
13.B　如圖所示,過點A作AN⊥l于點N,過點B作BM⊥l于點M,則|AF|=|AN|,|BM|=|BF|,
又因為=4,即|DB|=4|BF|=4|BM|,所以cos∠DBM==,所以cos∠FAN=,過點F作FH⊥AN于點H,則cos∠FAN==,由|AF|=4可得|AH|=1,又因為|AN|=|AF|=4,所以|NH|=4-1=3,
所以點F到準線l的距離為3,由拋物線的定義可得p=3.
能力提升練
1.ABC　設準線l與x軸交于點N.如圖所示,過點A作AC⊥l于點C,AM⊥x軸于點M,過點B作BE⊥l于點E.因為直線的斜率為,所以tan∠AFM=,∠AFM=,又因為|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=2,所以A,將點A的坐標代入拋物線方程可求得p=2,所以|NF|=|FM|=2,故△AMF≌△DNF,故F為AD的中點,又因為∠BDE=,所以|BD|=2|BE|=2|BF|,|BD|+|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=.故選ABC.
2.答案　y2=8x
解析　∵∠BOE=∠BEF,∠OBE=∠EBF=90°,
∴△OBE∽△EBF,∴=,即|BE|2=|OB|·|BF|=·p=,∴|BE|=p,
∴tan∠BOE==,不妨令點A在第一象限,則直線AO的方程為y=x,
聯立得即A(p,p),所以|AF|=p+==6,解得p=4,所以C的標準方程為y2=8x.
3.答案　6
解析　由題意得焦點為F(0,2),準線方程為y=-2,設P(m,-2)(m>0),∴kPF==-.
∵PF⊥PA,∴kPA=,∴直線PA的方程為y+2=(x-m),令y=0,解得x=+m,即A,
∵PB與y軸平行,且B點在拋物線上,
∴可設B,∵F,A,B三點共線,∴=,
即m4+8m2-128=0,解得m=2或m=-2(舍去),
∴A(4,0),∴|FA|==6.
4.C　設直線l的方程為y=kx+b, A(x1,y1),B(x2,y2),聯立消去y,并整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,∴Δ=(2kb-4)2-4k2b2>0,且x1+x2=,x1x2=,∴kb<1,y1+y2=k(x1+x2)+2b=.∵線段AB的中點為M(1,m)(m>0),∴x1+x2==2,y1+y2==2m,∴b=,m=,∵m>0,∴k>0,又∵kb<1,∴2-k2<1,∴k>1.故選C.
5.B　由拋物線x2=4y可得準線方程為y=-1,故A(0,-1).如圖,不妨設點P在第一象限或為原點,過P作準線y=-1的垂線,垂足為E,則|PE|=|PF|,故===sin∠PAE.
當直線AP與拋物線相切時,∠PAE最小,而當點P的位置變化時,0<∠PAE≤,當∠PAE=時,點P與點O重合,此時m=1;當0<∠PAE<時,設直線AP:y=kx-1,由得x2-4kx+4=0,令Δ=16k2-16=0,得k=1或k=-1(舍去),所以直線AP與拋物線相切時,∠PAE=,故的最小值為,即m的最大值為,故選B.
6.ACD　由拋物線方程知F,準線方程為y=-,由題意可知,直線AB的斜率存在,可設AB:y=kx+,設A(x1,y1),B(x2,y2).對于A,易知|AB|=y1+y2+3,∵M為AB的中點,∴點M到準線y=-的距離d=+=,∴以線段AB為直徑的圓與直線y=-相切,A正確;對于B,由得x2-6kx-9=0,則Δ=36k2+36>0,∴x1+x2=6k,x1x2=-9,∴y1+y2=k(x1+x2)+3=6k2+3,
∴M,設BM的中點為N,則xN=,
|BM|=|AB|==,∵=不恒成立,∴以線段BM為直徑的圓與y軸未必相切,B錯誤;對于C,若=2,則x1=-2x2,不妨設x1<0,x2>0,∵x1x2=-9,∴x2=,x1=-3,則A(-3,3),B,∴||=3++3=,C正確;對于D,∵|AB|=y1+y2+3=6k2+6,∴當k=0時,|AB|min=6,D正確.故選ACD.
7.A　拋物線的焦點F的坐標為,設OA所在的直線方程為y=x,則OB所在的直線方程為y=-x,解方程組得則點A的坐標為.∵F是△OAB的垂心,
∴kOB·kAF=-1,∴-·=-1,即=,
∴e2==1+=,∴e=,故選A.
8.答案　
信息提取　①花燈的截面是兩段拋物線;②在它的內部放有一個半徑為1分米的球形燈泡,球心C在軸AB上.
數學建模　建立平面直角坐標系,利用拋物線的方程y=ax2(a>0)設出拋物線上的動點P(m,am2),構造函數|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,將問題轉化為不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4對任意的t≥0恒成立,從而求得a的范圍.
解析　由題意,以A為原點,AB所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示:
則A(0,0),C(0,2),由拋物線方程為y=ax2(a>0),設拋物線上任意一點P(m,am2),
則|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4.
由于|PC|的最小值是在P位于A(0,0)處取得的,即m=0時,|PC|取得最小值2,
故對任意的實數m,|PC|2=a2m4+(1-4a)m2+4≥4恒成立.
令t=m2,其中t≥0,則有a2t2+(1-4a)t+4≥4對任意的t≥0恒成立.
整理可得t(a2t+1-4a)≥0,
則a2t+1-4a≥0對任意的t≥0恒成立.
故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤.
綜上,實數a的取值范圍為.
8

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