資源簡介

(共21張PPT)
1.一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌
跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關系:
(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解,
(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
　　此時,這個方程叫作曲線的方程,這條曲線叫作方程的曲線.
2.求曲線方程的一般步驟
(1)建系設點:用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)列式(限制):找出曲線上的點所滿足的幾何關系式;
3.4 曲線與方程
3.5 圓錐曲線的應用
曲線的方程與方程的曲線
(3)代換:用坐標(x,y)來表示上述幾何關系;
(4)化簡:化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明:驗證以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.(一般變為確定點
的范圍即可)

1.圓錐曲線的統一定義
　　平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l(F不在l上)的距離的比等于常
數e的點的軌跡.
當0當e>1時,它表示雙曲線;
當e=1時,它表示拋物線.
　　其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線l是圓錐曲線的
準線.
2.橢圓 + =1(a>b>0)的準線方程為x=± ,
橢圓 + =1(a>b>0)的準線方程為y=± .
雙曲線 - =1(a>0,b>0)的準線方程為x=± ,
雙曲線 - =1(a>0,b>0)的準線方程為y=± .
1.根據方程研究曲線的性質時,若方程比較復雜,則應對方程進行同解變形,并注
意方程的附加條件以及隱含條件,一定要保證其等價性.
1　根據方程研究曲線的性質
2.研究曲線是否經過某個點時,只需驗證該點的坐標是否滿足曲線的方程,若滿
足,則點在曲線上,否則,點不在曲線上.
3.研究曲線的對稱性時,可將方程F(x,y)=0中的x用-x代替,y用-y代替,分析方程是
否發生變化,以確定其對稱性.
4.研究兩曲線是否相交時,可將兩曲線方程聯立,然后判斷方程組是否有實數解,
若有實數解,則有交點,否則,沒有交點.
典例 (多選)已知曲線C是平面內與兩個定點F1(-1,0),F2(1,0)的距離的乘積等于
常數m2(m>1)的點的軌跡,則下列結論中正確的是 (　 )
A.曲線C經過原點
B.曲線C關于原點對稱
C.若點P在曲線C上,則△PF1F2的面積不大于 m2
D.直線y=x與曲線C有兩個交點
BCD
解析 設動點坐標為(x,y),依題意有 · =m2,
即[(x+1)2+y2]·[(x-1)2+y2]=m4(m>1),此即為曲線C的方程.
將原點坐標(0,0)代入曲線C的方程,等式不能成立,所以曲線C不經過原點,故A選
項錯誤;
以-x代替x,-y代替y,方程不變,所以曲線C關于原點對稱,故B選項正確;
若點P在曲線C上,則△PF1F2的面積S= |PF1||PF2|sin∠F1PF2= m2·sin∠F1PF2≤ m
2,即△PF1F2的面積不大于 m2,故C選項正確;
由 消去y,得4x4+1=m4,即x4= ,由于m>1,所以
>0,因此方程x4= 有兩個實數解,即直線y=x與曲線C有兩個交點,故D選
項正確.
求動點軌跡方程的常用方法
(1)直接法:當所求動點滿足的條件簡單明確時,直接按“建系設點、列出條件、
代入坐標、整理化簡、限制說明”的基本步驟求解.
(2)定義法:若能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可由該曲線的定義
直接寫出曲線方程,即得動點的軌跡方程.
(3)代入法(相關點法):當題目中有多個動點時,將其他動點的坐標用所求動點的坐
標來表示,再代入其他動點滿足的曲線方程或條件中,整理即得所求動點的軌跡
方程.
(4)參數法:選取適當的參數,分別用參數表示動點坐標中的x,y,然后消去參數,即得
動點的軌跡方程.
2 求動點的軌跡方程
典例　如圖所示,動圓C1:x2+y2=t2,1A1,A2分別為C2的左、右頂點.

(1)當t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值 并求出其最大面積;
(2)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.
解析 (1)設A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0y0|.由 + =1得 =1- ,從而
= =- + ,∴當 = , = 時,Smax=6.從而t2= + =5,∴t= .
∴當t= 時,矩形ABCD的面積取得最大值6.
(2)由橢圓C2: +y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0).由曲線的對稱性及A(x0,y0),得B(x0,-y0).設點
M的坐標為(x,y).易知直線AA1的方程為y= (x+3)①,直線A2B的方程為y=
(x-3)②,由①②得y2= ·(x2-9)③,又點A(x0,y0)在橢圓C2上,故 =1- ④,將④代
入③得 -y2=1(x<-3,y<0),因此點M的軌跡方程為 -y2=1(x<-3,y<0).
名師點評 本題(2)的軌跡方程中,求解時要結合幾何性質和幾何直觀細心發掘.
求解中充分運用橢圓與圓的對稱性以及方程④的整體代入,避免了煩瑣運算,優
化了解題過程.
　　解應用題時涉及兩個基本步驟,即將實際問題抽象成數學問題和解決這個數
學問題,為此要注意以下四點:
(1)閱讀理解:讀懂題意,理解實際背景,領悟其數學實質.
(2)數學建模:將應用題的材料陳述轉化成數學問題,這就要抽象、歸納其中的數
量關系,并把這種關系用數學式子表示出來.
(3)數學求解:根據所建立數學關系的知識系統,得出結果.
(4)實際還原:將數學結論還原為實際問題.
3 圓錐曲線的實際應用
典例　神舟九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面
指揮中心在返回艙預計到達區域安排了三個救援中心(記為A,B,C),A在B的正東
方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某時刻,A
接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時
接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發現P的方向角.
解析 如圖所示,

以直線AB為x 軸,線段AB的垂直平分線為y 軸建立平面直角坐標系,則A(3,0),B(-3,
0),C(-5,2 ).
設P(x,y),BC的中點為D.∵|PB|=|PC|,
∴點P在線段BC的垂直平分線上.
易知kBC=- ,D(-4, ),
∴直線PD的方程為y- = (x+4).①
易得|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
∴點P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上,且a=2,c=3,
∴雙曲線方程為 - =1(x≥2).②
聯立①②,得P點坐標為(8,5 ),
∴kPA= = ,因此P在A的北偏東30°方向上.

　通過圓錐曲線的應用發展邏輯推理和數學建模的核心素養
　　圓錐曲線在數學、天文、光學、建筑以及實際生活中有廣泛的應用,求解此
類問題時要善于抓住問題的實質,建立適合的數學模型(橢圓、雙曲線、拋物線),從而發展數學建模的核心素養,然后利用圓錐曲線的相關定義、標準方程、性質
等知識求解,在求解過程中發展邏輯推理的核心素養.
素養解讀
例題　某同學觀看了2019年春節檔非常熱門的電影《流浪地球》后引發了他
的思考:假定地球(設為質點P,半徑忽略不計)借助原子發動機開始“流浪”的軌
道是以木星(看作球體,其半徑R約為7萬千米)的中心F為右焦點的橢圓C.已知地
球的近木星點A(軌道上離木星表面最近的點)到木星表面的距離為1萬千米,遠木
星點B(軌道上離木星表面最遠的點)到木星表面的距離為25萬千米.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若地球在“流浪”的過程中,由A第一次逆時針“流浪”到與軌道中心O的距
離為 (a,b分別為橢圓的長半軸長、短半軸長)萬千米時,由于木星引力,
部分原子發動機突然失去了動力,此時地球向著木星方向
開始變軌(如圖所示),假定地球變軌后的軌道為一條直線L,
稱該直線的斜率k為“變軌系數”.當“變軌系數”k
的取值為-2或1時,地球與木星會不會發生碰撞
典例呈現
解題思路 (1)設出橢圓的標準方程,再根據題意求出a,b,c的值即可.
設橢圓C的標準方程為 + =1(a>b>0).
由條件得 解得
故b2=256,
因此橢圓C的標準方程為 + =1.
(2)由P與軌道中點O的距離和橢圓的方程聯立得到的方程組的解得P的坐標,再由
點到直線的距離與R的大小關系列出不等式進行判斷.
設地球由近木星點A第一次逆時針“流浪”到與軌道中心O的距離為 萬千米
時所在位置為P(x0,y0),設x0>0,y0>0.
信息提取 以地球“流浪”的軌道為背景建立橢圓模型,受木星引力,地球“流
浪”的軌道變軌,為一條直線,從而建立直線模型,最后利用相關知識解決問題.
則
∴P ,
則直線L的方程為y- =k ,
即kx-y+ - k=0,
設木星的中心F到地球的距離為d萬千米.
由d>R得 >7,
化簡得425k2+128 k-839<0,
當k=-2時,不等式左邊=861-256 >0,故原不等式不成立,此時地球與木星會發生
碰撞.
當k=1時,不等式左邊=128 -414<0,故原不等式成立,此時地球與木星不會發生
碰撞.

利用圓錐曲線解應用問題的步驟(四步八字)
(1)審題:讀懂題意,理解問題的實際背景,領悟其實質.
(2)建模:將應用題的材料陳述轉化成數學問題,抽象、歸納其中的數量關系,并用
數學式子表示出來,建立數學模型.
(3)解模:求解數學模型,得出數學結論.
(4)還原:將數學問題還原為實際問題的意義.
思維升華3.5　圓錐曲線的應用
基礎過關練
題組一　圓錐曲線在天體運動軌道中的應用
1.如圖所示,“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時,首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行,然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行,最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行,設圓形軌道Ⅰ的半徑為R,圓形軌道Ⅲ的半徑為r,則下列結論中正確的為(　　)
①軌道Ⅱ的焦距為R-r;
②若R不變,則r越大,軌道Ⅱ的短軸長越小;
③軌道Ⅱ的長軸長為R+r;
④若r不變,則R越大,軌道Ⅱ的離心率越大.　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③　　　　B.①②④
C.①③④　　　　D.②③④
2.(多選)人造地球衛星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律:如圖所示,衛星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時,其運行速度是變化的,速度的變化服從面積守恒規律,即衛星的向徑(衛星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等.設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c,下列結論正確的是(　　)
A.衛星向徑的取值范圍是[a-c,a+c]
B.衛星在右半橢圓弧的運行時間大于其在左半橢圓弧的運行時間
C.衛星向徑的最小值與最大值的比值越大,橢圓軌道越扁
D.衛星運行速度在近地點時最大,在遠地點時最小
題組二　圓錐曲線在斜拋物體軌跡中的應用
3.某農場為節水推行噴灌技術,噴頭裝在管柱OA的頂端A處,噴出的水流在各個方向上呈拋物線狀,如圖所示.現要求水流最高點B離地面4 m,點B到管柱OA所在直線的距離為3 m,且水流落在地面上的以O為圓心,7 m為半徑的圓上,則管柱OA的高度為(　　)
A. m　　B. m　　C. m　　D. m
4.張燕同學在校運會的擲鉛球比賽中創造佳績.已知張燕所擲鉛球的軌跡可看成一段拋物線(人的身高不計,鉛球看成一個質點),如圖所示,設初速度的大小為v0 m/s,且其與水平方向所成的角為θ,已知張燕擲鉛球的最遠距離為10 m.當她擲得最遠距離時,鉛球軌跡(拋物線)的焦點到準線的距離為　　　m.(空氣阻力忽略不計,重力加速度為10 m/s2)
題組三　圓錐曲線在光學中的應用
5.拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面,用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質:一束平行于拋物線對稱軸的光線,經過拋物面的反射后,集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面,將所截得的拋物線放在平面直角坐標系中,對稱軸與x軸重合,頂點與原點重合,如圖,若拋物線過點A,平行于對稱軸的光線經過點A反射后,反射光線交拋物線于點B,則線段AB的中點到準線的距離為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
雙曲線有如下光學性質:如圖,從雙曲線上焦點F2發出的光線經雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經過下焦點F1.某雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),F1,F2為其下、上焦點,若從下焦點F1發出的光線經雙曲線上的點A和點B反射后(點A、F1、B三點共線),反射光線分別為AD,BC,且滿足∠ABC=90°,tan∠BAD=-,則該雙曲線的離心率e為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.橢圓有這樣的光學性質:從橢圓的一個焦點發出的光線,經過橢圓反射后,反射光線經過橢圓的另一個焦點.已知曲線C的方程為+=1,其左、右焦點分別是F1,F2,直線l與橢圓C相切于點P,且|PF1|=,過點P且與直線l垂直的直線l'與橢圓的長軸交于點M,則|F1M|∶|F2M|=　　　　.
題組四　圓錐曲線在現代建筑中的應用
8.某市為慶祝建黨100周年,舉辦城市發展巡展活動,巡展的車隊要經過一個隧道,隧道橫斷面由一段拋物線A1OA及一個矩形A1C1CA的三邊組成,尺寸如圖1(單位:m).
(1)以隧道橫斷面拋物線的頂點O為原點,以拋物線的對稱軸為y軸,建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy,求該段拋物線A1OA所在拋物線的方程;
(2)若車隊空車時能通過此隧道,現裝載一集裝箱,箱寬3 m,車與集裝箱總高4.5 m,此車能否安全通過隧道 請說明理由.
　　 　　圖1　　　　　　　　　　圖2
9.如圖,平面上P,Q兩地間的距離為4,O為PQ的中點,M處為一基站,設其發射的電波為直線,測量得∠MOQ=60°,且O,M間的距離為2,現一機器人N正在運行,它在運行過程中始終保持到P地的距離比到Q地的距離大2(P,O,M,N及電波直線均共面),請建立適當的平面直角坐標系.
(1)求出機器人N運行的軌跡方程;
(2)為了使機器人N免受M處發射的電波的影響(即機器人接觸不到過點M的直線),求出電波所在直線斜率k的取值范圍.
10.某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB,EF之間建造一個半橢圓形狀的主題公園,如圖所示,|AB|=2,O為AB的中點,OD為橢圓的長半軸,在半橢圓形區域內再建造一個三角形游樂區域OMN,其中M,N在橢圓上,且直線MN的傾斜角為45°,交OD于G.
(1)若|OE|=3,為了不破壞道路EF,求橢圓長半軸長的最大值;
(2)若橢圓的離心率為,當線段OG長為何值時,游樂區域△OMN的面積最大
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.C　①由橢圓的性質知a+c=R,a-c=r,得2c=R-r,故正確;②由①知a=,c=,所以2b=2=2=2,若R不變,則r越大,2b越大,即軌道Ⅱ的短軸長越大,故錯誤;③由①知2a=R+r,故軌道Ⅱ的長軸長為R+r,故正確;④因為橢圓的離心率e====1-=1-,若r不變,則R越大,越小,所以e越大,即軌道Ⅱ的離心率越大,故正確.故選C.
2.AD　由題意可得,衛星的向徑是橢圓上的點到焦點的距離,所以最小值為a-c,最大值為a+c,A正確.根據在相同時間內掃過的面積相等,知衛星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間,故B不正確.衛星向徑的最小值與最大值的比值越小,即==-1+越小,則e越大,橢圓越扁,故C不正確.因為運行速度是變化的,所以衛星運行速度在近地點時向徑越小,在遠地點時向徑越大,衛星的向徑(衛星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等,則向徑越大,速度越小,所以衛星運行速度在近地點時最大,在遠地點時最小,故D正確.故選AD.
3.B　如圖所示,建立平面直角坐標系,由題意知,水流的軌跡為一開口向下的拋物線,設拋物線的方程為x2=-2py(p>0),易得點C(4,-4),所以16=-2p×(-4),解得p=2,所以拋物線的方程為x2=-4y,設點A(-3,y0),因為點A在拋物線上,所以9=-4y0,解得y0=-,所以|OA|=4-=,所以管柱OA的高度為 m.故選B.
4.答案　5
解析　設鉛球的運動時間為t0 s,t時刻鉛球在水平方向上的位移大小為x m,則x=v0tcos θ,由v0sin θ-gt0=0知,t0=,∴t0時刻,x=,故當x=時,xmax==10,∴v0=10,∴t0=,∴最高點到地面的距離h=g=2.5(m).
如圖,建立平面直角坐標系,易得P(-5,-2.5),設拋物線方程為x2=-2py(p>0),則拋物線的焦點到準線的距離為p===5(m).
5.B　設拋物線的方程為y2=mx(m>0),將A的坐標代入可得12=m,解得m=4,所以拋物線的方程為y2=4x,則焦點為(1,0),準線方程為x=-1,由題意可得,反射光線過焦點(1,0),所以直線AB的方程為y-0=(x-1),整理可得y=-(x-1),聯立整理可得y2+3y-4=0,解得y1=-4,y2=1,代入直線方程可得x1=4,x2=,所以反射光線與拋物線的兩個交點為A,B(4,-4),所以線段AB的中點坐標為,所以線段AB的中點到準線的距離d=+1=,故選B.
6.D　連接AF2,BF2,設|BF2|=n,由tan∠BAD=-,得sin∠BAD=,即sin∠BAF2=,在Rt△ABF2中,可得|AF2|=n,|AB|=n,由雙曲線的定義知|AF1|=n-2a,∴|BF1|=n-=2a-n,又|BF2|-|BF1|=n-=2a,∴n=a,在Rt△BF1F2中,|BF2|=a,|BF1|=a,|F1F2|=2c,∴+=(2c)2,即=,可得e=,故選D.
7.答案　3∶5
解析　如圖,由橢圓的光學性質得直線l'平分∠F1PF2,所以=,由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5.
8.解析　(1)設拋物線的方程為y=ax2(a<0),
因為拋物線的頂點為坐標原點,隧道寬6 m,高5 m,矩形的高為2 m,所以拋物線過點A1(-3,-3),
將其代入拋物線方程,得-3=9a,解得a=-,
所以該段拋物線A1OA所在拋物線的方程為y=-x2,即x2=-3y.
(2)不能.理由如下:
如果此車能通過隧道,那么集裝箱處于對稱位置,
將x=1.5代入拋物線的方程,得到y=-0.75,
此時集裝箱最上方距離隧道的底5-0.75=4.25(m),又4.25 m<4.5 m,所以此車不能安全通過此隧道.
9.解析　(1)如圖所示,以點O為坐標原點,PQ所在的直線為x軸建立平面直角坐標系,則P(-2,0),Q(2,0),
設點N(x,y),則|NP|-|NQ|=2<|PQ|=4,
所以動點N的運動軌跡是以點P,Q為焦點的雙曲線的右支,
由題得a=1,c=2,
所以b2=4-1=3,
所以機器人N運行的軌跡方程為x2-=1(x>0).
(2)由題得,點M的坐標為(,3),
則電波所在直線的方程為y-3=k(x-),即y=k(x-)+3,與x2-=1(x>0)聯立,消去y,得(3-k2)x2+(2k2-6k)x+6k-3k2-12=0.
當3-k2=0時,若k=,則電波所在直線為y=x,是雙曲線的漸近線,符合題意;若k=-,則電波所在直線為y=-x+6,與機器人N的軌跡有交點,不符合題意.
當3-k2≠0時,由Δ<0,得(2k2-6k)2-4(3-k2)·(6k-3k2-12)<0,所以(k-)(k-2)<0,
所以綜上所述,≤k<2,即電波所在直線斜率k的取值范圍是[,2).
10.解析　(1)以點O為坐標原點,OD所在直線為x軸建立平面直角坐標系(圖略).
設橢圓方程為+=1(a>b>0),
因為|OE|=3,所以E(0,3),
又EB,EF的夾角為30°,所以直線EF的方程為y=-x+3.
又因為|AB|=2,所以b=1,則橢圓方程為+y2=1.
為了不破壞道路EF,則直線EF與半橢圓至多有一個交點,
聯立
整理,得(1+3a2)x2-6a2x+8a2=0,
則Δ=108a4-4(1+3a2)·8a2≤0,即a2(3a2-8)≤0,又a>0,所以0當a=時,半橢圓與EF相切,所以amax=.
(2)設橢圓的焦距為2c,
由橢圓的離心率為=,b=1,a2=b2+c2,得a2=4,所以橢圓的方程為+y2=1(x≥0).
設G(m,0),又直線MN的傾斜角為45°,且交OD于G,
所以直線MN的方程為x=y+m(0由得5y2+2my+m2-4=0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=-m,y1y2=,
則|y1-y2|===,
則S△OMN=×|OG|×|y1-y2|=m×
=≤1,當且僅當m=時等號成立,此時△OMN的面積最大.
故當線段OG長為時,游樂區域△OMN的面積最大.
103.4　曲線與方程
基礎過關練
題組一　曲線與方程的關系及其應用
1.已知直線l的方程是f(x,y)=0,點M(x0,y0)不在直線l上,則方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的曲線是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.直線l
B.與l垂直的一條直線
C.與l平行的一條直線
D.與l平行的兩條直線
2.方程(x2+3y2-3)·=0表示的曲線是(　　)
A.一個橢圓和一條直線
B.一個橢圓和一條射線
C.一條直線
D.一個橢圓
3.(多選)已知曲線C:x|x|-y|y|=1,則下列結論正確的是(　　)
A.曲線C與直線y=x沒有交點
B.曲線C與x軸的交點為(1,0),(-1,0)
C.A(x1,y1),B(x2,y2)是曲線C上任意兩點,若x1D.若點P(x,y)是曲線C上任意一點,則|x-y|≤
4.已知P(x,y)滿足=|x+y-1|,則點P的軌跡為　　　　.
題組二　求曲線的方程
5.已知A(2,1),B(2,-1),O為坐標原點,動點P(x,y)滿足=m+n,其中m,n∈R,且m2+n2=,則動點P的軌跡方程是(　　)
A.x2+=1　　　　B.+y2=1
C.x2-=1　　　　D.-y2=1
6.設A,B分別是直線y=2x和y=-2x上的動點,且滿足|AB|=4,則AB的中點M的軌跡方程為(　　)
A.x2+=1　　　　B.y2+=1
C.x2-=1　　　　D.y2-=1
7.已知橢圓+=1,作垂直于x軸的直線l交橢圓于A,B兩點,作垂直于y軸的直線m交橢圓于C,D兩點,且|AB|=|CD|,直線l與直線m交于P點,則點P的軌跡方程為　　　　　　　　.
8.如圖,圓E:(x+2)2+y2=4,點F(2,0),動圓P過點F,且與圓E內切于點M,則動圓P的圓心P的軌跡方程為　　　　　　　　　.
題組三　曲線與方程的綜合應用
9.若直線l:kx-y-2=0與曲線C:=x-1有兩個交點,則實數k的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.
C.∪　　　　D.
10.在平面直角坐標系中,定義兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的“L-距離”為|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,則平面內與x軸上的兩個不同定點F1,F2的“L-距離”之和等于定值(大于|F1F2|)的點的軌跡可以是(　　)
11.(多選)已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0),則下列說法正確的是(　　)
A.當m>0時,點C的軌跡是雙曲線
B.當m>0時,點C的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(除去兩個頂點)
C.當m=-1時,點C在圓x2+y2=25[除去點(5,0),(-5,0)]上運動
D.當m<-1時,點C所在的橢圓的離心率隨著m的增大而增大
12.已知曲線C1:+=1(a>b>0)所圍成的封閉圖形的面積為4,曲線C1的內切圓的半徑為,記C2是以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓.
(1)求橢圓C2的標準方程;
(2)設AB是過橢圓C2中心的任意弦,l是線段AB的垂直平分線,M是l上異于橢圓中心的點,|MO|=λ|OA|(O為坐標原點,λ≠0),當點A在橢圓C2上運動時,求點M的軌跡方程.
13.已知點P(x,y)與定點F(1,0)的距離和它到直線l:x=4距離的比值為.
(1)求點P的軌跡方程;
(2)記點P的軌跡為C,過F的直線l與曲線C交于點M,N,與拋物線y2=4x交于點A,B,設D(-1,0),記△DMN與△DAB的面積分別是S1,S2,求的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.C　因為點M(x0,y0)不在直線l上,所以f(x0,y0)是不為0的常數,所以方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的是過點M(x0,y0)且與直線l平行的一條直線.故選C.
2.C　原方程可化為x2+3y2-3=0(x≥4)或=0,即+y2=1(x≥4)或x=4,因為當x≥4時,+y2=1不成立,所以x=4,所以方程(x2+3y2-3)=0表示的曲線是直線x=4,故選C.
3.ACD　由x|x|-y|y|=1,知曲線C的方程由x2-y2=1(x≥0,y≥0),x2+y2=1(x>0,y<0),y2-x2=1(x<0,y<0)三部分組成,如圖所示,兩邊為雙曲線的一部分,中間為圓的一部分,且雙曲線的漸近線為直線y=x,所以曲線C與直線y=x沒有交點,故A正確;易知曲線C與x軸的交點為(1,0),故B錯誤;由圖可知曲線的方程所對應的函數單調遞增,所以若x14.答案　雙曲線
解析　由=|x+y-1|得=,其幾何意義可看成動點P(x,y)到定點(-1,0)的距離與到定直線x+y-1=0的距離之比為,由>1,結合圓錐曲線的統一定義可知,軌跡為雙曲線.
5.B　由題意得(x,y)=(2m+2n,m-n),
∴x=2m+2n,y=m-n,∴m=,n=,∵m2+n2=,∴+=,即+y2=1.
6.A　設A(x1,2x1),B(x2,-2x2),M(x,y),
則M,故x=,y=x1-x2,又因為|AB|2=(x1-x2)2+(2x1+2x2)2=16,所以y2+(4x)2=16,即x2+=1,所以點M的軌跡方程為x2+=1.
7.答案　-=1(-解析　設直線l的方程為x=p(-C,D,所以|AB|=2,|CD|=2,因為|AB|=|CD|,所以2=2,所以-=1(-8.答案　x2-=1(x≤-1)
解析　由已知,得圓E的半徑為2,|EF|=4,P,E,M三點共線,設圓P的半徑為R,
則|PE|=|PM|-|ME|=R-2,所以|PF|-|PE|=2,
易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由雙曲線的定義知,P的軌跡為雙曲線的左支,
由題意得a=1,c=2,所以b=,
故所求軌跡方程為x2-=1(x≤-1).
易錯警示
　　求軌跡方程時要注意“補點”和“去點”.“補點”是指求軌跡方程時,會漏掉曲線上的部分點或個別點,應根據條件進行補充;“去點”是指求軌跡方程時,有些方程會因整理、變形而產生不合題意的點,應去掉.
9.A　直線l:kx-y-2=0恒過定點(0,-2),曲線C:=x-1表示以點(1,1)為圓心,1為半徑,且位于直線x=1右側的半圓[包括點(1,2),(1,0)].如圖,當直線l 經過點(1,0)時,l 與曲線C有兩個交點,此時k=2,直線記為l1;當l 與半圓相切時,由=1,得k=,切線記為l2.分析可知當10.A　設F1(-c,0),F2(c,0),c>0,動點M(x,y)到定點F1,F2的“L-距離”之和為定值m(m>2c),則有|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m,即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.當x<-c,y≥0時,方程可化為x-y+=0;當x<-c,y<0時,方程可化為x+y+=0;當-c≤x11.BC　設C(x,y)(y≠0),則·=m -=1(y≠0).當m>0時,方程表示焦點在x軸上的雙曲線(除去兩個頂點),A錯誤,B正確;
當m=-1時,方程為x2+y2=25(y≠0),則點C在圓x2+y2=25[除去點(5,0),(-5,0)]上運動,C正確;當m<-1時,方程表示焦點在y軸上的橢圓(不含左、右頂點),則離心率e==,此時e隨著m的增大而減小,D錯誤.故選BC.
12.解析　(1)由題意得
所以a2=5,b2=4,所以C2的標準方程為+=1.
(2)設A(xA,yA),當AB所在直線的斜率存在且不為0時,設AB所在直線的方程為y=kx(k≠0),
由得=,=,
所以|OA|2=+=,
設M(x,y),由題意得|MO|2=λ2|OA|2(λ≠0),
即x2+y2=λ2·,
又因為直線l的方程為y=-x,即k=-,
所以x2+y2=λ2·=λ2·,
又因為x2+y2≠0,所以+=λ2.易得當AB所在直線的斜率不存在或為0時,上式仍然成立.綜上所述,點M的軌跡方程為+=λ2(λ≠0).
13.解析　(1)依題意有=,
化簡得3x2+4y2=12,即+=1,故點P的軌跡方程為+=1.
(2)依題意有=.
①當l不垂直于x軸時,設l的方程是y=k(x-1)(k≠0).
聯立得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,
則|AB|=x1+x2+2=.
聯立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,設M(x3,y3),N(x4,y4),
則x3+x4=,x3x4=,
則|MN|==,
則===+∈.
②當l垂直于x軸時,易知|AB|=4,|MN|==3,
此時==.
綜上,的取值范圍是.
10

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