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1.排列的定義包含兩個過程:(1)取出元素:從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同
的元素(可分成m步,一步取一個、不放回地取);(2)按序排列:把這m個不同的元素
按照一定的順序排成一列.因此,兩個排列相同,當且僅當這兩個排列的元素及其
排列順序完全相同.
2.組合是從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,不論次序地構成一組.兩個
組合相同,當且僅當這兩個組合的元素完全相同.
4.2　排列
4.3　組合
1 | 排列與組合概念的理解
1.排列數公式
(1) =n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)(常用來求值);
(2) = (常用來化簡或證明).
2.組合數公式
(1) = = ;
(2) = ;
(3) = 反映對稱性,當m> 時,通常將 轉化為 ;
(4) = + .
2 | 排列數公式與組合數公式
1.同一個排列中,同一個元素可以重復出現嗎
不可以.
2.在一個排列中,若交換兩個元素的位置,則該排列發生變化嗎
發生.排列是有順序的,元素位置發生變化,排列就會發生變化.

知識辨析
1.求解此類問題時要注意對公式的選擇與靈活應用.
2.解有關排列數、組合數的方程或不等式的步驟
1 與排列數、組合數有關的計算
典例1 (1) + + +…+ 等于 (　 )
A. 　　　　 B.
C. -1　　　 D. -1
(2)解方程:3 =5 ;
(3)解不等式: > .
C
解析 (1) + + +…+ = + + + +…+ - = + + +…+ -1
=…= + -1= -1.
(2)由排列數公式和組合數公式,知原方程可化為3· =5· ,
則 = ,
即(x-3)(x-6)=40,
解得x=11或x=-2.
易知x≥7,則x=11.
(3)由 > 得
6≤n<10.
因為n∈N+,所以原不等式的解集為{6,7,8,9}.
典例2　化簡求值:
(1) ;
(2) + + +…+ (n≥2且n∈N+).
解析 (1)
=
= =3.
(2)∵ = - ,
∴ + + +…+ = + + +…+ =1- .
1.“在”與“不在”問題
　　解決此類問題,常用的方法是特殊位置(元素)分析法,遵循的原則是優先排特
殊位置(元素),即需先滿足特殊位置(元素)的要求,再處理其他位置(元素),如果有
兩個及以上的約束條件,那么在考慮一個約束條件的同時要兼顧其他條件;當直
接求解困難時,可考慮用間接法解題.
2.“相鄰”與“不相鄰”問題
(1)當元素被要求相鄰時,通常采用“捆綁法”,即把相鄰元素看作一個整體并與
其他元素進行排列.
(2)當元素被要求不相鄰時,通常采用“插空法”,即先考慮不受限制的元素的排
列,再將不相鄰元素插在前面元素形成的空中.
2 有限制條件的排列問題
3.“定序”問題
　　在排列問題中,某些元素已排定了順序,對這些元素進行排列時,不再考慮其
順序.在具體的計算過程中,可采用“除階乘法”解決,即n個元素的全排列中有m
(m≤n)個元素的順序固定,則滿足題意的排法有 種.
典例1 7名師生站成一排照相留念,其中有1名老師,4名男學生,2名女學生.分別
求滿足下列情況的不同站法的種數.
(1)老師必須站在中間或兩端;
(2)2名女學生必須相鄰而站;
(3)4名男學生互不相鄰;
(4)4名男學生身高都不等,且按從高到低的順序站.
解析 (1)先考慮老師,有 種站法,
再考慮其余6人,有 種站法,
故不同站法的種數為 =2 160.
(2)2名女學生相鄰而站,有 種站法,將她們視為一個整體并與其余5人全排列,有
種站法,
所以不同站法的種數為 =1 440.
(3)先排老師和女學生,有 種站法,再在老師和女學生站位的空(含兩端)中插入
男學生,每空一人,則插入方法有 種,所以不同站法的種數為 =144.
(4)在7人全排列的所有站法中,4名男學生不考慮身高順序的站法有 種,而從高
到低順序站有從左到右和從右到左2種,所以不同站法的種數為2× =420.
典例2　用0,1,2,3,4,5這六個數字可以組成多少個:
(1)無重復數字且個位數字不是5的六位數
(2)無重復數字且為5的倍數的五位數
(3)無重復數字的六位數 若這些六位數按照從小到大的順序排成一列數,則240 1
35是該列數的第幾項
解析 (1)解法一(間接法):
0在十萬位或5在個位上時都有 種情況,0在十萬位且5在個位上時有 種情況.
故符合題意的六位數共有 -2 + =504(個).
解法二(直接法):
當個位數字為0時,符合題意的六位數有 個;
當個位數字不為0時,符合題意的六位數有 個.
故符合題意的六位數共有 + =504(個).
(2)符合題意的五位數可分為兩類:
第一類,個位數字是0的五位數,有 個;
第二類,個位數字是5的五位數,有 個.
故符合題意的五位數的個數為 + =216.
(3)符合題意的六位數共有 - =600(個),
其中十萬位數字為1的有 個,十萬位數字為2,萬位數字為0或1或3的共有3 個,
∵ +3 +1=193,∴240 135是該列數的第193項.
易錯警示 含有數字“0”的排列問題隱含了數字“0”不能在首位的條件,應將
其視為有限制條件的元素優先排列問題.若在一個題目中,除了數字“0”以外還
有其他受限制的數字,則應考慮受限制的數字對位置的選擇會不會影響數字
“0”對位置的選擇,若有影響,則應分類討論.
1.分組問題的求解策略
(1)非均勻不編號分組:將n個不同元素分成m(m≤n)組,每組元素數目均不相等,依
次記為m1,m2,…,mm,不考慮各組間的順序,不管是否分盡,分法種數N= · ·
·…· .
(2)均勻不編號分組:將n個不同元素分成不編號的m(m≤n)組,假定其中r組元素個
數相等,不管是否分盡,其分法種數為 (其中N為非均勻不編號分組中的分法種
數).若再有k組均勻分組,則應再除以 .
(3)非均勻編號分組:將n個不同元素分成m(m≤n)組,各組元素數目均不相等,且考
慮各組間的順序,其分法種數為N· (其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
(4)均勻編號分組:將n個不同元素分成m(m≤n)組,其中r組元素個數相等且考慮各
3 分組與分配問題
組間的順序,其分法種數為 · (其中N為非均勻不編號分組中的分法種數).
2.相同元素分配問題的處理策略
(1)隔板法:如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置,那么可看作排成一行的小
球的空隙中插入了若干隔板,相鄰兩塊隔板形成一個“盒”.每一種插入隔板的
方法對應著小球放入盒子的一種方法,此方法稱為隔板法.隔板法專門用于解決
相同元素的分配問題.
(2)將n個相同的元素分給m個不同的對象(n≥m),有 種方法.可理解為(n-1)個
空中插入(m-1)塊板.
典例1　把10個相同的小球分別放入編號為1,2,3的三個盒子中,要求每個盒子
中的小球數不小于盒子的編號數,則不同的方法共有　 15　 種.
解析 在編號為2,3的兩個盒子中分別放入1,2個小球,這樣還剩10-3=7個小球,則
問題變為求把7個相同的小球分別放入編號為1,2,3的三個盒子中,每個盒子至少
放一個小球的不同方法的種數,由隔板法可知共有 =15種方法.
典例2　按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方法
(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(2)分成三份,一份4本,另外兩份每份1本.
解析 (1)先從6本書中選擇1本,有 種方法,再從剩余5本書中選擇2本,有 種方
法,還剩3本書全選,有 種方法,所以總共有 =60種方法,再在此基礎上進行
分配,所以有 =360種方法.
(2)從6本書中選擇4本書的方法有 種,從剩余2本書中選擇1本書的方法有 種,
因為在最后2本書的選擇中發生了重復,所以分配方法共有 =15(種).
　　解決排列、組合問題首先要區分是排列問題還是組合問題,有序則用排列知
識求解,無序則用組合知識求解,要遵循兩個原則:
(1)按元素(或位置)的性質進行分類;
(2)按事情發生的過程進行分步.
4 排列、組合的綜合問題
典例　如圖,一個正方形花圃被分成5部分.
(1)若給這5個部分種植花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,現有紅、黃、藍、
綠4種顏色的花可選,問有多少種不同的種植方法
(2)若在這5個部分放入7個不同的盆栽,要求每個部分都有盆栽,問有多少種不同
的放法
A B C D E
解析 (1)先給A部分種植,有4種不同的種植方法;再給B部分種植,有3種不同的種
植方法;最后給C部分種植,分兩類:
①若C與B相同,則D有2種不同的種植方法,E有2種不同的種植方法,共有4×3×1×2
×2=48種不同的種植方法;
②若C與B不同,則C有2種不同的種植方法,D有1種不同的種植方法,E有2種不同
的種植方法,共有4×3×2×1×2=48種不同的種植方法.
綜上,共有48+48=96種不同的種植方法.
(2)將7個盆栽分成5組,每組至少有1個盆栽,有2種分法:
①若分成2,2,1,1,1的5組,有 種分法;
②若分成3,1,1,1,1的5組,有 種分法.
將分好的5組全排列,對應5個部分,
則一共有 × =16 800種放法.4.3　組合
基礎過關練
題組一　對組合概念的理解與簡單的組合問題
1.(多選)給出下列問題,屬于組合問題的有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.從甲、乙、丙3名同學中選出2名分別去參加兩個鄉鎮的社會調查,有多少種不同的選法
B.有4張電影票,要在7人中確定4人去觀看,有多少種不同的選法
C.某人射擊8槍,擊中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,則不同的結果有多少種
D.從2,3,5,7,11中任選兩個數相乘,可以得到多少個不同的積
2.以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數為(　　)
A.70　　B.64　　C.60　　D.58
題組二　組合數公式及其性質的簡單應用
3.(多選)若a=+,下列結論正確的是(　　)
A.n=10　　　　B.n=11
C.a=466　　　　D.a=233
4.不等式<的解集是　　　　　　　.
5.若+++…+=363,則正整數n=　　　　.
6.已知則x=　　　　.
題組三　“含”與“不含”問題
7.(多選)從6名男生和4名女生中選出4人參加一項創新大賽,則下列說法正確的有(　　)
A.如果4人中男、女生各有2人,那么有30種不同的選法
B.如果男生甲和女生乙必須在內,那么有28種不同的選法
C.如果男生甲和女生乙至少有1人在內,那么有140種不同的選法
D.如果4人中必須既有男生又有女生,那么有184種不同的選法
題組四　分組與分配問題
8.在中國傳統佳節元宵節中,賞花燈是常見的活動.某單位擬舉辦慶祝元宵節的活動,購買了A,B,C三種類型的花燈,其中A種花燈4個,B種花燈5個,C種花燈1個,現從中隨機抽取4個花燈,則A,B,C三種花燈各至少被抽取一個的選法種數為(　　)
A.30　　　　B.70
C.40　　　　D.84
9.某交通崗共有3人,從周一到周日的7天中,每天安排1人值班,每人至少值2天,則不同的排法種數為(　　)
A.5 040　　　　B.1 260
C.210　　　　D.630
10.將編號分別為1,2,3,4,5,6的6個小球隨機地放入編號分別為1,2,3,4,5,6的6個盒子中,每個盒子放一個小球,則恰好有4個小球的編號與其所在盒子的編號不一致的放法種數為(　　)
A.45　　　　B.90
C.135　　　　D.180
11.某校得到北京大學給的10個推薦名額,現準備將這10個推薦名額分配給高三年級的6個班級(每班至少一個名額),則該校高三(1)班恰好分到3個名額的概率為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
12.某影院一排有10個座位,選出3個用于觀影,要求選出座位的左、右兩邊都是空位,則不同的選法有　　　　種.(用數字作答)
題組五　排列與組合的綜合問題
13.某單位有四個不同的垃圾桶,因為場地限制,要將這四個垃圾桶擺放在三個固定角落,每個角落至少擺放一個,則不同的擺放方法共有(如果某兩個垃圾桶擺放在同一角落,那么它們的位置關系不作考慮)(　　)
A.18種　　　　B.24種
C.36種　　　　D.72種
14.在數學中,有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數,被稱為“回文數”.如44,585,2 662等,那么用數字1,2,3,4,5,6可以組成4位“回文數”的個數為(　　)
A.30　　　　B.36
C.360　　　　D.1 296
15.從6人中選出4人分別到北京、上海、深圳和廣州4個城市游覽,要求每個城市有1人游覽,每人只游覽1個城市,則這6人中甲、乙兩人不去北京游覽的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
16.有5名男生和3名女生,從中選出5人擔任5門不同學科的課代表,求分別符合下列條件的選法種數.
(1)女生甲擔任語文課代表;
(2)男生乙必須包括在內,但不擔任語文課代表;
(3)女生甲擔任語文課代表,男生乙擔任課代表,但不擔任數學課代表.
17.從1到9這九個數字中任取3個偶數和4個奇數,試問:
(1)能組成多少個沒有重復數字的七位數
(2)在(1)中的七位數中,3個偶數排在一起的有多少個
(3)在(1)中的七位數中,3個偶數排在一起、4個奇數也排在一起的有多少個
(4)在(1)中的七位數中,任意2個偶數都不相鄰的有多少個
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　組合數公式及其性質的綜合應用
1.化簡:1++++…+=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多選)下列等式正確的是(　　)
A.+m=　　　　
B.r=n
C.=++　　　　
D.=
題組二　組合的應用
3.北京冬奧會和冬殘奧會色彩系統的主色包括霞光紅、迎春黃、天霽藍、長城灰、瑞雪白,間色包括天青、梅紅、竹綠、冰藍、吉柿,輔助色包括墨、金、銀.若各賽事紀念品的色彩設計要求主色一種或兩種,間色兩種,輔助色一種,則某個紀念品的色彩搭配中包含瑞雪白、冰藍、銀這三種顏色的概率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.安排A,B,C,D,E,F共6名義工照顧甲、乙、丙三位老人,每兩名義工照顧一位老人,考慮到義工與老人住址距離問題,義工A不安排照顧老人甲,義工B不安排照顧老人乙,則安排方法共有(　　)
A.30種　　B.40種　　C.42種　　D.48種
5.某國際旅行社現有11名對外翻譯人員,其中有5人只會英語,4人只會法語,2人既會英語又會法語,現從這11人中選出4人當英語翻譯,4人當法語翻譯,則不同的選法種數為(　　)
A.225　　B.185　　C.145　　D.110
題組三　排列與組合的綜合應用
6.為了加強新冠疫苗的接種工作,某醫院欲從5名醫生和4名護士中選3人(醫生和護士均至少有一人)分配到A,B,C三個地區參加醫療支援工作(每個地區一人),要求醫生不能去A地區,則不同的分配方案共有(　　)
A.264種　　B.224種　　C.200種　　D.236種
7.有6個座位連成一排,安排3個人就座,則恰有兩個空位相鄰的不同坐法有　　　　種.(用數字作答)
8.現有分別標有1,2,3,4,5,6,7的七張卡片.
(1)若將七張卡片作為歷史、地理、物理、化學、生物五本書的書簽,每本書至少有一個書簽,則共有多少種不同的分配方法
(2)將七張卡片打亂,任意摸出四張卡片,記下卡片上的數字,若將這四個數字都填在下面的五個空格中,要求每個空格填一個數字,且相鄰的兩個空格不能填相同的數字,則共有多少種不同的填法
(3)若將七張卡片排成一排,求編號為1,2,3的卡片按從左到右、由小到大的順序連排的概率.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.BCD　
2.D　由題意知三棱錐的4個頂點不共面,從正方體的8個頂點中任選4個,有種選法,其中共面的有12種,∴符合題意的三棱錐有-12=58(個).故選D.
3.AC　由題意可知
解得9.5≤n≤10.5,∵n∈N+,∴n=10,
∴a=+=+=+31=466.故選AC.
4.答案　{0,1,2,3}
解析　根據題意得,
即
解得0≤n<4,n∈N,∴n=0,1,2,3,∴原不等式的解集為{0,1,2,3}.
5.答案　13
解析　由+++…+=363,
得1++++…+=364,
即++++…+=364.
又+=,所以++++…+=+++…+=+++…+=…=,所以=364,
即=364,解得n=13.
6.答案　5
解析　由=可得x=2x(舍去)或x+2x=n,
所以x=,
所以=,即=·,
化簡得11··=3··,
即11n(n+3)=6n(2n+3),解得n=15(n=0舍去),所以x=5.
7.BC　對于A,從6名男生中任選2人的選法有=15(種),從4名女生中任選2人的選法有=6(種),故共有15×6=90種不同的選法,A錯誤;對于B,從除了男生甲和女生乙以外的8人中任選2人,有=28種不同的選法,B正確;對于C,從10人中任選4人,有=210種不同的選法,甲、乙都不在其中的選法有=70(種),故所求選法有210-70=140(種),C正確;對于D,從10人中任選4人,有=210種不同的選法,只有男生的選法有=15(種),只有女生的選法有=1(種),則4人中既有男生又有女生的選法有210-15-1=194(種),D錯誤.故選BC.
8.B　有兩種情況:A種花燈選2個,B種花燈選1個,C種花燈選1個,有=30種選法;A種花燈選1個,B種花燈選2個,C種花燈選1個,有=40種選法.故不同的選法共有30+40=70(種).故選B.
9.D　把7天按照2天,2天,3天分成三組,有=105種分法,3個人各選1組值班,共有=6種選法,所以不同的排法種數為105×6=630.故選D.
10.C　從6個盒子中任選2個,放入與其編號相同的小球,共有種選法,剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不相同,假設剩下的小球編號分別為1,2,3,4,則1號小球放2、3、4號盒子,有3種放法,剩下的3個小球放入剩下的3個盒子,有3種放法,故不同的放法有3×3×=135(種).故選C.
11.B　本題相當于將10個相同的小球分成6組,每組至少1個,可將10個小球排成一行,然后在除兩端的9個空位中選取5個,插入隔板,共有=126種方法.
若高三(1)班恰好分到3個名額,則只需將剩下的7個名額分給5個班,共有=15種方法,
從而高三(1)班恰好分到3個名額的概率為=.故選B.
12.答案　20
解析　先將其中的7個空位排成一排,有6個空隙,再把三個座位放在其中的3個空隙中,共有=20種不同的選法.
13.C　易知有一個角落放兩個垃圾桶,先選出兩個垃圾桶,有種選法,再與另外兩個垃圾桶擺放在三個不同的角落,有種放法,所以不同的擺放方法共有=6×6=36(種),故選C.
14.B　當回文數由一個數字組成時,有個;當回文數由兩個數字組成時,有個.故共有+=36(個),故選B.
15.B　基本事件總數為=360.這6人中甲、乙兩人不去北京游覽分三種情況:①不選甲、乙兩人去游覽,有=24種情況;②甲、乙兩人有一人去游覽,有=144種情況;③甲、乙兩人都去游覽,有=72種情況.所以不同的選擇方案有24+144+72=240(種),故所求概率為=,故選B.
16.解析　(1)除去女生甲,先選后排,不同的選法種數為=840.
(2)先選后排,優先安排男生乙,不同的選法種數為=3 360.
(3)先從除去女生甲和男生乙的6人中選3人,再安排男生乙,最后將其余3人全排列,所以不同的選法種數為=360.
17.解析　(1)分三步完成:第一步,在4個偶數中取3個,有種情況;
第二步,在5個奇數中取4個,有種情況;
第三步,將3個偶數,4個奇數進行全排列,有種情況.
所以符合題意的七位數有=100 800(個).
(2)在(1)中的七位數中,3個偶數排在一起的有=14 400(個).
(3)在(1)中的七位數中,3個偶數排在一起,4個奇數也排在一起的有=5 760(個).
(4)在(1)中的七位數中,任意2個偶數都不相鄰,可先把4個奇數排好,再將3個偶數分別插入到5個空位中,共有=28 800(個).
能力提升練
1.C　1++++…+=++++…+=++++…+=…=.故選C.
2.ABD　選項A,左邊=+m·= ==右邊,正確;
選項B,右邊=n·=·=r·=左邊,正確;
選項C,右邊=+=≠左邊,錯誤;
選項D,右邊=·
=
==左邊,正確.故選ABD.
3.B　當主色只選一種時,共有=150種色彩搭配方案,其中包含瑞雪白、冰藍、銀的有=4(種);當主色選兩種時,共有=300種色彩搭配方案,其中包含瑞雪白、冰藍、銀的有=16(種).故所求概率為=,故選B.
4.C　由題意可知共有=90種安排方法,其中A照顧老人甲的情況有=30(種),B照顧老人乙的情況有=30(種),A照顧老人甲,同時B照顧老人乙的情況有=12(種),故符合題意的安排方法有90-30-30+12=42(種),故選C.
5.B　分三類:①既會英語又會法語的2人均未入選,有=5種選法.②既會英語又會法語的2人中有1人入選,此時分該人當英語翻譯和法語翻譯兩種情況,有+=60種選法.③既會英語又會法語的2人均入選,這時分三種情況:兩個都當英文翻譯;兩個都當法語翻譯;一人當英語翻譯,一人當法語翻譯,有++=120種選法.故共有5+60+120=185種不同的選法.故選B.
6.C　當選取的是1名醫生,2名護士時,有=30種選法,分配到A,B,C三個地區(每個地區一人),且醫生不能去A地區,有2=4種分法,故共有30×4=120種方案;當選取的是2名醫生,1名護士時,有=40種選法,分配到A,B,C三個地區(每個地區一人),且醫生不能去A地區,有=2種分法,故共有40×2=80種方案.綜上所述,不同的分配方案共有120+80=200(種).故選C.
7.答案　72
解析　設6個座位的編號分別為1,2,3,4,5,6.當1,2號座位為空時,另一空位在4,5,6號中產生,共有種可能;當2,3號座位為空時,另一空位在5,6號中產生,共有種可能;當3,4號座位為空時,另一空位在1,6號中產生,共有種可能;4,5號座位為空和2,3號座位為空的情況相同;5,6號座位為空和1,2號座位為空的情況相同.故不同坐法的種數為(+)×2+=72.
8.解析　(1)把7張卡片分成3,1,1,1,1和2,2,1,1,1兩種情況,再分配給5本書,故共有·=16 800種不同的分配方法.
(2)將這四個數字填在五個空格中,則有1個數字用兩次.先將用一次的3個數字全排列,形成4個空,再將用兩次的數字插入即可,故共有=5 040種不同的填法.
(3)七張卡片排成一排,有種排法,其中編號為1,2,3的卡片按從左到右、由小到大的順序連排有種排法,故所求概率為=.
144.2　排列
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　對排列概念的理解
1.(多選)下列問題中,屬于排列問題的有(　　)
A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別擔任正、副班長,共有多少種不同的選取方法
B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名參加志愿者活動,共有多少種不同的選取方法
C.平面上有五個點,任意三點不共線,這五個點最多可確定多少條直線
D.從1,2,3,4四個數字中任選兩個組成一個兩位數,共有多少個不同的兩位數
2.從集合{3,5,7,9,11}中任取兩個元素,①相加可得多少個不同的和 ②相除可得多少個不同的商 ③作為橢圓+=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程 ④作為雙曲線-=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程
上面四個問題屬于排列問題的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.①②③④　　　　B.②④
C.②③　　　　D.①④
題組二　排列數與排列數公式
3.(多選)下列各式中與排列數相等的是(　　)
A.　　　　
B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.　　　　
D.
4.計算:=　　　　.
5.(1)解不等式:3≤2+6;
(2)解方程:=140.
題組三　簡單的排列問題
6.已知直線l:mx+ny=0,若m,n∈{1,2,3,4,5,6},則能得到的不同直線的條數是(　　)
A.22　　B.23　　C.24　　D.25
7.3張卡片正、反面分別標有數字1和2,3和4,5和7,若將3張卡片并列組成一個三位數,則可以得到　　　　個不同的三位數.
題組四　特殊元素與特殊位置問題
8.某校要安排一場文藝晚會的10個節目的演出順序,除第1個節目和最后1個節目已確定外,3個音樂節目要求排在第2,5,7的位置,3個舞蹈節目要求排在第3,6,8的位置,2個曲藝節目要求排在第4,9的位置,則不同排法的種數是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.14　　　　B.24
C.36　　　　D.72
9.由0,1,2,3,4這5個數字組成不同的五位偶數的個數為(　　)
A.24　　B.54　　C.60　　D.72
10.將分別標有數字1,2,3,4,5,6的6張卡片排成3行2列,要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為8,則不同的排法共有　　　　種.
11.某地有7個著名景點,其中5個為日游景點,2個為夜游景點.某旅行團要從這7個景點中選5個作為兩日游的旅游地.行程安排為第一天上午、下午、晚上各一個景點,第二天上午、下午各一個景點.
(1)行程共有多少種不同的排法
(2)甲、乙兩個日游景點恰選1個的不同排法有多少種
(3)甲、乙兩個日游景點在同一天游玩的不同排法有多少種
題組五　“相鄰”與“不相鄰”問題
12.小明與父母、爺爺、奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現場錄制,5人坐一排.若小明的父母都與他相鄰,則不同坐法的種數為(　　)
A.6　　B.12　　C.24　　D.48
13.某次聯歡會要安排3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序,則同類節目不相鄰的排法種數是(　　)
A.144　　B.120　　C.72　　D.48
14.航空母艦山東艦在某次艦載機起降飛行訓練中,有5架飛機準備著艦,如果甲、乙兩機必須相鄰著艦,而甲、丁兩機不能相鄰著艦,則不同的著艦方法有(　　)
A.36種　　B.24種　　C.16種　　D.12種
15.現將6張連號的電影票分給甲、乙等六人,每人1張,且甲、乙分得的電影票連號,則共有　　　　種不同的分法(用數字作答).
16.某小區有排成一排的6個車位,現有3輛不同型號的車需要停放,如果要求剩余的3個車位連在一起,那么不同的停放方法的種數為　　　　.
題組六　“定序”問題
17.元宵節燈展后,懸掛的8盞不同的花燈需要取下,如圖所示,每次取1盞,則不同的取法有(　　)
A.32種　　B.70種　　C.90種　　D.280種
18.若把英文單詞“anyway”的字母順序寫錯,則可能出現錯誤寫法的種數為　　　　.
能力提升練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　排列問題
1.學校要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作,若小張和小趙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這四項工作,則不同的選派方案的種數為(　　)
A.12　　　　B.24
C.30　　　　D.36
2.(多選)A,B,C,D,E五個人并排站在一起,則下列說法正確的有(　　)
A.A,B兩人站在一起有24種排法
B.A,B不相鄰共有72種排法
C.A在B的左邊有60種排法
D.A不站在最左邊,B不站在最右邊,有78種排法
3.某車隊有6輛車,現要調出4輛按一定的順序出去執行任務,要求甲、乙兩車必須參加,且甲車要先于乙車開出,則共有　　　　種不同的調度方案.(用數字作答)
4.“五一”假期期間,我校欲安排甲、乙、丙等7位工作人員在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙兩人都不安排在5月1日和5月2日,同時丙不安排在5月7日,則不同的排法有　　　　種.(用數字作答)
5.如圖,對A,B,C,D,E,F六個區域進行染色,每個區域只染一種顏色,且相鄰的區域不同色.若有四種顏色可供選擇,則共有　　　　種不同的染法.
6.有0,1,2,3,4這五個數字.
(1)能組成多少個無重復數字的五位數
(2)能組成多少個無重復數字且數字1與3相鄰的五位數
(3)組成無重復數字的五位數中,比21 034大的數有多少個
題組二　排列與概率的綜合應用
7.在高三年級畢業成人禮活動中,要求A,B,C三個班級各出三名同學,組成3×3小方陣,則來自同一班級的同學既不在同一行,也不在同一列的概率為　　　　.
8.5名師生站成一排照相留念,其中1名教師,2名男生,2名女生.
(1)求兩名女生相鄰而站的概率;
(2)求教師不站中間且女生不站兩端的概率.
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.AD　
2.B　∵加法滿足交換律,∴①不是排列問題;∵除法不滿足交換律,∴②是排列問題;若方程+=1(a>0,b>0)表示焦點在x軸上的橢圓,則必有a>b,故③不是排列問題;在雙曲線-=1(a>0,b>0)中不管a>b還是a3.AD　=,A正確;
n(n-1)(n-2)…(n-m)=≠,B錯誤;
==≠,C錯誤;
=n×==,D正確.
故選AD.
4.答案　
解析　=
===.
5.解析　(1)原不等式可化為3x(x-1)(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1),且x≥3,
解得3≤x≤5,
易知x∈N+,所以原不等式的解集為{3,4,5}.
(2)易得所以x≥3,且x∈N+,
由=140,得
2x(2x+1)(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),
化簡,得4x2-35x+69=0,
解得x1=3,x2=(舍去).
所以原方程的解為x=3.
6.B　當m,n相等時,只能得到1條直線;當m,n不相等時,有=30種情況,但==,==,=,=,=,=,重復了8條直線,因此共能得到1+30-8=23條不同的直線.故選B.
7.答案　48
解析　分兩步:
第一步:確定排在百位、十位、個位上的卡片,即3個元素的一個全排列,即;
第二步:分別確定百位、十位、個位上的數字,各有2種選法,即23.
根據分步乘法計數原理,可以得到×23=48個不同的三位數.
8.D　由題意得3個音樂節目有=6種排法,3個舞蹈節目有=6種排法,2個曲藝節目有=2種排法,則共有6×6×2=72種不同的排法,故選D.
9.C　當個位數字是0時,五位偶數的個數為=24,
當個位數字不是0時,五位偶數的個數為=36,故所求五位偶數的個數為24+36=60.故選C.
10.答案　64
解析　分兩步:①中間行的兩張卡片上的數字之和為8,則中間行的數字只能為2,6或3,5,共有2=4種排法;②將剩下的4個數字安排在其他4個位置,有4×2×=16種排法,則共有4×16=64種不同的排法.
11.解析　(1)先排夜游景點,有2種排法,再排日游景點,有=120種排法,故共有2×120=240種不同的排法.
(2)先排夜游景點,有2種排法,再排甲或乙,有2×4=8種排法,最后排其他日游景點,有=6種排法,故共有2×8×6=96種不同的排法.
(3)先排夜游景點,有2種排法,再排甲和乙,有·=4種排法,最后排其他日游景點,有=6種排法,故共有2×4×6=48種不同的排法.
12.B　先將小明父母與小明三人進行捆綁,其中小明居于中間,共有種不同的坐法,將其看成一個元素,再與其他兩人進行全排列,有種不同的坐法,故不同坐法的種數為=12.故選B.
13.B　先考慮只有3個歌舞類節目不相鄰,排法有=144(種),再考慮3個歌舞類節目不相鄰,2個小品類節目相鄰的排法有=24(種),因此同類節目不相鄰的排法種數是144-24=120.故選B.
14.A　將甲、乙看成一個整體,與丁不相鄰的排法有=24(種),甲、乙、丁相鄰且乙在中間的排法有=12(種),所以共有24+12=36種著艦方法.故選A.
15.答案　240
解析　將甲、乙分得的電影票看成一個整體,共有5=10種分法,其余四人每人分得1張電影票,共有=24種分法,故共有10×24=240種不同的分法.
16.答案　24
解析　先把3輛車排列,共有=6種方法,再把剩余的3個車位看成一個整體,插入4個空位里,共有=4種方法.故共有6×4=24種不同的停放方法.
17.B　因為取花燈時每次只能取一盞,所以每串花燈必須先取下面的花燈,即每串花燈取下的順序確定,故不同的取法有=70(種).故選B.
18.答案　179
解析　英文單詞“anyway”中有2個“a”,2個“y”,1個“n”,1個“w”,這6個字母的排列順序共有=180(種),則可能出現錯誤寫法的種數為180-1=179.
能力提升練
1.D　分兩種情況:①小張和小趙中有且只有一人從事前兩項工作中的一項,再安排剩余三人從事其他三項工作,不同的選派方案的種數為2=24;②小張和小趙兩人都從事前兩項工作,再從剩余三人選兩人從事其他兩項工作,不同的選派方案的種數為=12.故不同的選派方案的種數為24+12=36.故選D.
2.BCD　將A,B看成一個整體,和剩余的3人全排列,共有=48種排法,A不正確;先將A,B之外的3人全排列,產生4個空,再將A,B兩元素插空,共有=72種排法,B正確;5人全排列,其中A在B的左邊和A在B的右邊是等可能的,所以A在B的左邊的排法有=60(種),C正確;對A分兩種情況:①若A站在最右邊,則剩下的4人全排列,有=24種排法,②若A不站在最左邊也不站在最右邊,則A從中間的3個位置中任選1個,然后B從除最右邊的3個位置中任選1個,最后剩下3人全排列,共有=54種排法,由分類加法計數原理可知,共有24+54=78種排法,D正確.故選BCD.
3.答案　72
解析　當甲車排1號時,乙車可排2,3,4號,有3種選擇;當甲車排2號時,乙車可排3,4號,有2種選擇;當甲車排3號時,乙車只可排4號,只有1種選擇.除甲、乙兩車外,在其余4輛車中任意選取2輛按順序排列,有種選法,因此共有(3+2+1)·=72種不同的調度方案.
4.答案　2 112
解析　當甲、乙兩人中有一人排在5月7日,另一人排在3,4,5,6日時,剩余5人全排列,共有=960種排法;當甲、乙兩人均排在3,4,5,6日時,丙只有種排法,剩余4人全排列,共有=1 152種排法.故不同的排法共有960+1 152=2 112(種).
5.答案　96
解析　分兩類:①僅用三種顏色染色,則A與F同色,B與D同色,C與E同色,即從四種顏色中取三種,有4種取法,用三種顏色染三個區域有=6種染法,共有4×6=24種染法;②用四種顏色染色,即A與F,B與D,C與E三組中有一組不同色,有3種方案,將四種顏色全排列,有=24種排法,共有3×24=72種染法.由分類加法計數原理可得,不同的染法種數為24+72=96.
6.解析　(1)先排數字0,0只能占除最高位外的其余四個數位,有種情況,再排其他數字,有種情況,故滿足題意的數字共有=96(個).
(2)把1和3視為一個整體與其他3個元素全排列,且0不在最高位,同(1)有=36(個),
故滿足題意的數共有36個.
(3)分兩類:
①萬位比2大的五位數有=48(個);
②萬位是2的五位數中,千位比1大的有=12(個),千位是1,百位比0大的有=4(個),千位是1,百位是0,十位比3大的有1個.
由分類加法計數原理知,共有48+12+4+1=65(個),
故滿足題意的數共有65個.
7.答案　
解析　A,B,C三個班級各出三名同學組成3×3小方陣,有種安排方法.若來自同一班級的同學既不在同一行,也不在同一列,則分兩步:①第一行班級的排法有=6(種),第二行班級的排法有2種,第三行班級的排法有1種;②第一行的人員安排方法有3×3×3=27(種),第二行的人員安排方法有2×2×2=8(種),第三行的人員安排方法有1×1×1=1(種).故所求概率為=.
8.解析　5名師生站成一排照相留念共有=120種站法.
(1)記“兩名女生相鄰而站”為事件A,將兩名女生視為一個整體與其余3個人全排列,有種排法,兩名女生可互換位置,所以共有=48種不同站法,則P(A)==,
即兩名女生相鄰而站的概率為.
(2)記“教師不站中間且女生不站兩端”為事件B,事件B分兩類:①教師站在一端,另一端由男生站,有=24種站法;②兩端全由男生站,教師站除兩端和正中間外的2個位置之一,有=8種站法.
所以事件B共包含24+8=32種不同站法,
則P(B)==,
即教師不站中間且女生不站兩端的概率為.
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