資源簡介

4.4　二項式定理
基礎過關練　　　　　　　　　　　　　　　
題組一　二項式定理及其應用
1.若(1+)4=a+b(a,b均為有理數),則a+b=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.33　　B.29　　C.23　　D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(　　)
A.x5　　　　B.x5-1
C.x5+1　　　　D.(x-1)5-1
3.設A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,則A-B的值為(　　)
A.128　　　　B.129
C.47　　　　D.0
4.已知3n+3n-1+3n-2+…+3+=212,則n=　　　　 .
題組二　二項展開式的特定項、項的系數及二項式系數
5.在的展開式中,中間一項的二項式系數為(　　)
A.20　　　　B.-20
C.15　　　　D.-15
6.已知的展開式中含的項的系數為-80,則實數a=(　　)
A.-2　　　　B.2
C.-　　　　D.
7.已知(n∈N+)的展開式中第2項與第3項的二項式系數之比是2∶5,則x3的系數為(　　)
A.14　　　　B.
C.240　　　　D.-240
8.(1+2x)6的展開式中含x3的項的系數為　　　　.
9.已知在的展開式中,第5項為常數項.
(1)求n的值;
(2)求展開式中含x2的項的系數;
(3)求展開式中所有的有理項.
題組三　二項式系數和及項的系數和
10.若的展開式中各二項式系數之和為256,則其展開式中各有理項系數之和為(　　)
A.85　　　　B.84
C.57　　　　D.56
11.已知的展開式中各項系數之和為M,各項二項式系數之和為N,且M-N=992,則展開式中含x2的項的系數為(　　)
A.90　　　　B.180
C.360　　　　D.540
12.觀察如圖所示的三角形數陣,則該數陣最后一行各數之和為　　　　.
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
……
1　10　45　…　45　10　1
題組四　二項式系數的性質
13.(多選)已知(a>0)的展開式中第3項與第9項的二項式系數相等,且展開式的各項系數之和為1 024,則下列說法正確的是(　　)
A.展開式中各偶數項的二項式系數和為512
B.展開式中第5項和第6項的系數最大
C.展開式中存在常數項
D.展開式中含x4的項的系數為210
14.若的展開式中,僅有第6項的二項式系數取得最大值,則展開式中含的項的系數是　　　　.
15.設n為正整數,(a+b)2n的展開式的二項式系數的最大值為x,(a+b)2n+1的展開式的二項式系數的最大值為y,若13x=7y,則n=　　　　.
16.已知(n∈N+)的展開式的第5項的系數與第3項的系數之比是10∶1.
(1)求展開式中各項系數的和;
(2)求展開式中含的項;
(3)求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.
能力提升練
題組一　與項的系數(和)、二項式系數(和)有關的問題
1.(x-2+y)6的展開式中,x2y2的系數為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.360　　B.180　　C.90　　D.-180
2.已知(1-2x)n的展開式中,各奇數項的二項式系數之和為64,則(1-2x)n的展開式中的常數項為(　　)
A.-14　　B.-13　　C.1　　D.2
3.(多選)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+…+a2 021x2 021,下列結論中正確的是(　　)
A.展開式中所有項的二項式系數的和為22 021
B.展開式中所有奇次項系數的和為
C.展開式中所有偶次項系數的和為
D.+++…+=-1
4.(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系數為　　　　.
題組二　二項式系數的性質
5.在的展開式中,只有第6項的二項式系數最大,且所有項的系數和為0,則展開式中含x6的項的系數為(　　)
A.45　　B.-45　　C.120　　D.-120
6.(多選)已知的展開式中各二項式系數之和為64,則下列結論正確的是(　　)
A.展開式中各項系數之和為36
B.展開式中二項式系數最大的項為160
C.展開式中無常數項
D.展開式中系數最大的項為90x3
7.已知的展開式的各二項式系數之和比(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和大992,求的展開式中:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項.
題組三　二項式定理的應用
8.假設今天是星期二,那么經過22 021天后是(　　)
A.星期三　　　　B.星期四
C.星期五　　　　D.星期六
9.(多選)中國南北朝時期的著作《孫子算經》對同余除法有較深的研究.設a,b,m(m>0)為整數,若a和b被m除得的余數相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡b(mod m).若a=+×3+×32+…+×320,a≡b(mod 5),則b的值可以是(　　)
A.2 005　　B.2 006　　C.2 020　　D.2 021
10.若n是正奇數,則7n+7n-1+7n-2+…+7被9除的余數為(　　)
A.2　　B.5　　C.7　　D.8
答案與分層梯度式解析
基礎過關練
1.B　∵(1+)4=()0+()1+()2+·()3+()4=17+12=a+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故選B.
2.B　逆用二項式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故選B.
3.A　A-B=×37-×36+×35-×34+×33-×32+×31-×30=(3-1)7=27=128.
4.答案　6
解析　3n+3n-1+3n-2+…+3+=3n·10+3n-1·11+3n-2·12+…+31·1n-1+30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6.
5.A　的展開式中共有7項,中間一項是第4項,對應的二項式系數為=20,故選A.
6.B　的展開式的通項為Tk+1=x5-k=(-a)kx5-2k,其中k=0,1,2,3,4,5,令5-2k=-1,解得k=3,所以展開式中含的項的系數為(-a)3=-80,解得a=2.故選B.
7.C　的展開式的通項為Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由題可得∶=2∶5,即5=2,故5n=n(n-1),解得n=6(n=0舍去),所以Tr+1=26-r(-1)r,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系數為26-2(-1)2=15×16×1=240,故選C.
8.答案　-516
解析　(1+2x)6=x(1+2x)6-(1+2x)6,因為(1+2x)6的通項為Tk+1=(2x)k=2kxk(0≤k≤6,k∈N),所以(1+2x)6的展開式中含x3的項為x·22x2-·25x5=-516x3.故(1+2x)6的展開式中含x3的項的系數為-516.
9.解析　(1)的展開式的通項為Tr+1=·()n-r=(0≤r≤n,r∈N).
因為展開式中的第5項為常數項,
所以當r=4時,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展開式的通項為Tr+1=·(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故所求系數為=-4.
(3)由題意得
所以r可取1,4,7,對應的有理項分別為T2=-4x2,T5=,T8=-,
故展開式中所有的有理項為-4x2,,-.
10.A　由題可得2n=256,解得n=8,故其展開式的通項為Tr+1=()8-r=(0≤r≤8,r∈N),
令r=2,5,8,得其展開式中各有理項系數之和為++=85,故選A.
11.A　令x=1,則=M,即4n=M,易知+++…+=2n=N,由M-N=992,得4n-2n=992,令2n=t,則t2-t-992=0,解得t=32(負值舍去),即2n=32,故n=5,則=,其展開式的通項為Tr+1=xr=35-r(0≤r≤5,r∈N),令r=3,則展開式中含x2的項的系數為35-3=10×9=90,故選A.
12.答案　1 024
解析　由題圖得最后一行各數之和為+++…+=210=1 024.
13.AD　由題意知=,∴n=10,∴=,令x=1,則(1+a)10=210=1 024,∴a=1.
對于A,展開式中各偶數項的二項式系數和為×210=512,故A正確;對于B,∵n=10,∴展開式中共有11項,中間項為第6項,該項的二項式系數最大,該項的系數也是其二項式系數,故B錯誤;對于C,展開式的通項為Tr+1=··x10-r=·(0≤r≤10,r∈N),令10-r=0,得r= Z,故展開式中不存在常數項,故C錯誤;對于D,令10-r=4,得r=4,故展開式中含x4的項的系數為=210,故D正確.故選AD.
14.答案　-
解析　因為僅有第6項的二項式系數取得最大值,所以=6-1,即n=10,故=,
其展開式的通項為Tr+1==·(-2)r,令5-r=,解得r=3,∴展開式中含的項的系數為··(-2)3=-.
15.答案　6
解析　由題意知x=,y=,又13x=7y,所以13=7,即13·=7·,
則13=7×,所以13×(n+1)=7×(2n+1),解得n=6.
16.解析　由題意知,第5項的系數為·(-2)4,第3項的系數為·(-2)2,則=10,
化簡得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故該式為.
(1)令x=1,得各項系數的和為(1-2)8=1.
(2)展開式的通項為Tr+1=()8-r·=(-2)r,令4-=,得r=1,故展開式中含的項為T2=-16.
(3)展開式中的第r項,第(r+1)項,第(r+2)項的系數的絕對值分別為·2r-1,·2r,·2r+1,設第(r+1)項的系數的絕對值最大,
則解得5≤r≤6(r∈N+).
又第6項的系數為負,所以系數最大的項為T7=1 792x-11.
由n=8知第5項的二項式系數最大,即T5=1 120x-6.
能力提升練
1.A　(x-2+y)6=[x+(y-2)]6,其展開式的通項為Tr+1=·x6-r·(y-2)r(0≤r≤6,r∈N),而(y-2)r的展開式的通項為Tk+1=·yr-k·(-2)k(0≤k≤r,k∈N),令r=4,k=2,可得x2y2的系數為(-2)2=360.故選A.
2.B　由條件可知2n-1=64,所以n=7,則(1-2x)n·=(1-2x)7=(1-2x)7+,易知(1-2x)7的展開式的常數項是17=1,的展開式的常數項是·16·(-2)=-14,所以原式的展開式中的常數項是1-14=-13.故選B.
3.ACD　令x=1,有a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,有a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.A:展開式中所有項的二項式系數的和為++…+=22 021,正確;B:由①-②可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,錯誤;C:由①+②可得a0+a2+a4+…+a2 020=,正確;D:令x=0,有a0=1,令x=,有a0+++…+=0,故++…+=-1,正確.故選ACD.
4.答案　1 330
解析　(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)20中,x2的系數為+++…+=+++…+=++…+====1 330.
5.A　由題意得+1=6,解得n=10,
∴=x+10.
∵展開式的所有項的系數和為0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴=,其展開式的通項為Tr+1=x10-r=(-1)rx10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展開式中含x6的項的系數為(-1)2==45.故選A.
6.AB　因為的展開式中各二項式系數之和為64,所以2n=64,解得n=6,所以該式為,其展開式的通項為Tr+1=(2x)6-r·=26-r(0≤r≤6,r∈N).對于A,令x=1,可得展開式中各項系數之和為36,所以A正確;對于B,第4項的二項式系數最大,此時r=3,則展開式中二項式系數最大的項為T4=26-3·=160,所以B正確;對于C,令6-r=0,得r=4,所以展開式中的常數項為T5=26-4=60,所以C錯誤;對于D,令第(r+1)項的系數最大,則解得≤r≤,因為r∈N,所以r=2時,所對應的項的系數最大,即展開式中系數最大的項為T3=24x3=240x3,所以D錯誤.故選AB.
7.解析　(+x2)2n的展開式的各二項式系數之和為22n,(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和為2n+1-1=2n.
由題意得22n-2n=992,解得n=5,
所以=.
(1)的展開式中二項式系數最大的項為第51項,即(2x)50=250.
(2)的展開式的通項為Tr+1=(2x)100-r·=·2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系數的絕對值為·2100-r,設系數的絕對值最大的項是第(k+1)項,
則解得≤k≤,
易知k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系數的絕對值最大的項為第34項,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
8.D　22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),由于·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各項都能被7整除,故整個式子除以7的余數為4=4,故經過22 021天后是星期六,故選D.
9.BD　a=+×3+×32+…+×320,則由二項式定理可得a=(1+3)20=420=(5-1)20,則a=·520-·519+…-·5+,因為·520-·519+…-·5能被5整除,所以a=·520-·519+…-·5+除以5的余數為1,又因為a≡b(mod 5),所以b除以5的余數為1,結合選項知,選BD.
10.C　原式=7n+7n-1+7n-2+…+7=(7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因為n為正奇數,所以上式可化簡為9n+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以該式除以9的余數為7.故選C.
2(共18張PPT)
1.公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-rbr+…+ bn稱為二項式定理. (其中0≤r≤n,r
∈N,n∈N+)叫作二項式系數,在定理中,令a=1,b=x,則得到公式(1+x)n= + x+ x2
+…+ xr+…+ xn.
2.二項展開式的通項為Tr+1= an-rbr,它是(a+b)n展開式的第(r+1)項.
4.4　二項式定理
1 | 二項式定理及相關概念
1.對稱性
　　在二項展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等,即 =
.
2.單調性和最大值
　　二項式系數從兩端向中間逐漸增大,當n為偶數時,中間一項的二項式系數
最大;當n為奇數時,中間兩項的二項式系數 , 相等,且同時取得最大值.
3.各二項式系數的和
(1) + +…+ =2n;
(2) + + +…= + + +…=2n-1.
2 | 二項式系數的有關性質
1.二項式(a+b)n和(b+a)n的展開式相同嗎
相同.雖然二者展開式相同,但展開式中項的排列順序是不同的,(a+b)n展開式中的
第(r+1)項是 an-r·br,(b+a)n展開式中的第(r+1)項是 bn-rar.
2.(a-b)n與(a+b)n的展開式中二項式系數和項的系數都相同嗎
二項式系數相同,項的系數不相同.二項式系數只與項數有關,與a,b的值無關,而項
的系數指項中除變量外的常數部分,不僅與項數有關,還與a,b的值有關.
3.令f(r)= (0≤r≤n,且r∈N),則f(r)的圖象關于直線r= 對稱嗎
對稱.
知識辨析
1.對于常數項,隱含的條件是字母的指數為0.
2.對于有理項,一般先寫出展開式的通項,然后令其所有的字母的指數都等于整
數.求解時必須合并通項中同一字母的指數,根據具體要求,令其為整數,再根據數
的整除性來求解.
3.對于整式項,其通項中同一字母的指數合并后應是非負整數,求解方式與求有理
項一致.
1 求二項展開式中的特定項(項的系數)
典例 (1) x- n(n∈N+)的展開式中,第5項是常數項,則常數項為 (　 )
A.-270　 B.-240　
C.240　 D.270
(2) 的展開式中的有理項共有 (　 )
A.4項　　B.5項　
C.6項　　D.7項
(3)(x- )n(n∈N+)的展開式中,第二項與第四項的系數之比為1∶2,則含x2的項為
　　12x2　 .
C
C
解析 (1)∵ x- n的展開式的通項為Tr+1= ·xn-r· - r=(-2)r · ,令r=4,則n
- ×4=0,解得n=6.∴展開式中的常數項為T5=(-2)4 =240.故選C.
(2) 的展開式的通項為Tr+1= ·2r· (r=0,1,2,…,10),令20- 為整數,可
得r=0,2,4,6,8,10,則有理項共有6項,故選C.
(3)(x- )n(n∈N+)的展開式中第二項與第四項分別為T2= xn-1·(- )=- nxn-1,T4=
xn-3·(- )3=-2 xn-3.依題意得 = ,即n2-3n-4=0且n≥3,解得n=4.故(x-
)n=(x- )4,其展開式的通項為Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x-
)4的展開式中含x2的項為T3= x2(- )2=12x2.
求三項式中特定項的方法
(1)因式分解法:先通過因式分解將三項式變成兩個二項式,然后用二項式定理分
別展開.
(2)逐層展開法:先將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含兩項的展開.
(3)利用組合知識:把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積,利用組合知識分析項的
構成,注意最后把各個同類項合并.
2 三項展開式問題
典例 的展開式中x2的系數為　800 .
解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5.
(1+x)5的展開式的通項為Tr+1= xr,(2+x)5的展開式的通項為Tk+1= ·25-kxk,
所以 的展開式的通項為Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N.
令r+k=2,可得 或 或
因此, 的展開式中x2的系數為 · ·23+ · ·24+ · ·25=800.
解法二: = ,且它的展開式的通項為Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,
2,…,5), 的展開式的通項為Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= ·3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),
所以Tk+1= 2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,0≤r≤5-k,r∈N),
令10-2k-r=2,得k=3,r=2或k=4,r=0.
當k=3,r=2時,x2的系數為 · ·23·32=720;當k=4,r=0時,x2的系數為 · ·24·30=80.
綜上, 的展開式中x2的系數為720+80=800.
　　賦值法是解決展開式中系數或展開式中系數的和、差問題的常用方法.要根
據所求,靈活地對字母賦值,通常賦的值為0,-1或1.
(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,常令x=1;對形如(ax+by)n
(a,b∈R,n∈N+)的式子,常令x=y=1.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則(ax+b)n的展開式中各項系
數之和為f(1);奇數項系數之和為a0+a2+a4+…= ;偶數項系數之和為a1+a
3+a5+…= .
3 賦值法求展開式中的系數和
典例 (1)已知(2x-1)n的展開式中,奇次項系數的和比偶次項系數的和小38,則
+ + +…+ 的值為 ( B )
A.28　　　　　　　　　B.28-1
C.27　　 D.27-1
(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,則a2+a4+…+a12=　364　 .
解析 (1)設(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次項的系數和為A,偶次項的系數和
為B,則A=a1+a3+a5+a7+…,B=a0+a2+a4+a6+…,
由已知可得B-A=38.
令x=-1,則a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,
即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n,
∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.
故 + + +…+ =2n- =28-1.
(2)令x=1,則a0+a1+a2+…+a12=36,①
令x=-1,則a0-a1+a2-…+a12=1,②
,得a0+a2+a4+…+a12= .
令x=0,則a0=1.故a2+a4+…+a12= -1=364.
1.求展開式中二項式系數最大的項時,可直接根據性質求解.
2.求二項展開式中系數的最值問題有兩種思路:(1)看成關于n的函數,結合函數的
單調性判斷系數的增減性,從而求出系數的最值;(2)在系數均為正值的前提下,求
它們的最大值只需比較相鄰兩個系數的大小,根據其展開式的通項列出不等式
(組)即可.
3.根據二項式系數的性質求參數時,關鍵是正確列出與參數有關的式子,然后解此
關系式即可.必要時,需檢驗所求參數是否符合題目要求.
4 二項式系數的性質及應用
典例　在 的展開式中,前三項系數的絕對值成等差數列.
(1)求項數n;
(2)求展開式中二項式系數最大的項;
(3)求展開式中所有系數的絕對值的和.
解析 (1) 的展開式的通項為Tr+1=
= - r ,
因為前三項系數的絕對值成等差數列,
所以2 · = + ,
化簡得n2-9n+8=0,
解得n=8或n=1,
因為n≥2,
所以n=8.
(2)由(1)知n=8,二項式的展開式共9項,故二項式系數最大的項為第5項,即T5= ·
=70× = .
(3)展開式中所有系數的絕對值的和為 + +…+
= = .
解決與楊輝三角有關的問題的一般思路

5 楊輝三角問題
典例 如圖,在由二項式系數所構成的楊輝三角中,若第n(n∈N)行中從左至右
第14與第15個數的比為2∶3,則n的值為(　 )
第0行　　　　　　　　 1
第1行　　　　　　　 1 1
第2行　　　　　　 1 2 1
第3行　　　　　 1 3 3 1
第4行　　　　 1 4 6 4 1
第5行　　 　 1 5 1010 5 1
……　　　　　　　 ……
A.32　　B.33　
C.34　　D.35
C
解析 (1)由題意知 ∶ =2∶3,
所以3 =2 ,
即
= ,
得 = ,所以n=34.
故選C.

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