資源簡介

北師大版·九年級上冊
1.3 正方形的性質與判定
第1課時
第一章 特殊平行四邊形
學 習 目 標
1.理解正方形的定義；
2.探索并證明正方形的性質，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區別；(重點、難點)
3.會應用正方形的性質解決相關證明及計算問題.（難點）
知識回顧
平行四邊形
菱形
矩形
對稱性
邊
角
對角線
中心對稱圖形
軸對稱圖形、中心對稱圖形
軸對稱圖形、中心對稱圖形
對邊平行且相等
對邊平行且相等
對邊平行，四邊都相等
對角相等,鄰角互補
對角相等，鄰角互補
四個角都是直角
對角線互相平分
對角線相等互相平分
對角線互相垂直平分,每條對角線平分一組對角
平行四邊形、菱形、矩形的性質：
情境引入
上面這些物品都是正方形的。正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.
問題1：觀察下面的物體，你有什么發現？
情境引入
問題2：圖中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發現它們有什么樣的共同特征？
正方形是如何定義的呢？結合我們剛復習的平行四邊形、矩形、菱形，大家覺得正方形和它們有什么聯系與區別呢？
1.準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，得到一個四邊形.
做一做
矩形
展開
新知探究
探究一：正方形的定義
問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？
正方形
2.把可以活動的菱形框架的一個角變為直角，觀察這時菱形框架的形狀.
菱形
新知探究
問題2：經過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？
正方形
你能總結出正方形的定義嗎？
新知探究
正方形的定義:
知識歸納
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
幾何語言：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
AB=AD，∠A=90°，
∴四邊形ABCD是正方形.
A
D
C
B
新知探究
已知四邊形 ABCD 是平行四邊形，若要使它成為正方形，則需要增加的條件是（ ）?
A. AB=BC 且∠A=90°?
B. AB=CD 且∠A=90°?
C. AB∥CD 且 AB=BC?
D. AB∥CD 且∠A=90°
A
D
C
B
A
新知探究
探究二：正方形的性質
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質.
（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？
（2）你認為正方形具有哪些性質？與同伴交流.
議一議
定理1：正方形的四個角都是直角,四條邊相等.
定理2：正方形的對角線相等且互相垂直平分.
請完成這兩個定理的證明.
已知：如圖，四邊形ABCD是正方形.
求證：正方形ABCD四邊相等，四個角都是直角.
A
D
C
B
新知探究
證明：∵四邊形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定義）.
又∵正方形ABCD是平行四邊形.
∴正方形ABCD是矩形（矩形的定義）,
正方形ABCD是菱形(菱形的定義).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.
1.求證：正方形的四個角都是直角,四條邊相等.
已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC，BD相交于點O.
求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
A
B
C
D
O
新知探究
證明：∵正方形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
2.求證：正方形的對角線相等且互相垂直平分.
新知探究
知識歸納
正方形的性質定理：
定理1：正方形的四個角都是直角,四條邊相等.
定理2：正方形的對角線相等且互相垂直平分.
幾何語言：∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D, AB=BC=CD=AD.
幾何語言：∵四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD，AC=BD, OA=OB=OC=OD.
A
B
C
D
O
2.如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，則下列說法不正確的是(　　)
A．AC⊥BD B．AD＝AO
C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC
新知探究
B
請同學們拿出準備好的正方形紙片,折一折,觀察并思考.??正方形是不是軸對稱圖形?如果是,那么對稱軸有幾條?
想一想
A
B
C
D
新知探究
新知探究
正方形的對稱性：
知識歸納
正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
正方形有 4 條對稱軸.
新知探究
議一議
平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關系？你能用一個圖直觀地表示它們之間的關系嗎？與同伴交流．
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系：
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
新知探究
平行四邊形
正方形
矩形
有一組鄰邊相等
菱形
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
有一個角是直角
有一個角是直角
有一組鄰邊相等
概念拓展
新知探究
3.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　 ）
A．對角線互相平分
B．對角線互相垂直
C．對角線相等
D．對角線互相垂直且相等
A
如圖，在正方形ABCD中,E為CD上一點，F為BC邊延長線上一點,且CE=CF. BE與DF之間有怎樣的關系？請說明理由.
例1
A
B
D
C
F
E
典例分析
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四邊形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四條邊都相等,四個角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
典例分析
A
B
D
C
F
E
M
(2)延長BE交DE于點M(如圖),
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.
∴∠CBE+∠F=90° ,
∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.
如圖，在正方形ABCD中， △BEC是等邊三角形，
求證： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
例2
典例分析
證明：∵ △BEC是等邊三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
鞏固練習
基礎鞏固題
1.正方形具有而矩形不一定具有的性質是 ( )
A.四個角相等
B.對角線互相垂直平分
C.對角互補
D.對角線相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性質（ ）
A.四條邊相等
B.對角線互相垂直平分
C.對角線平分一組對角
D.對角線相等
B
D
3.如圖，一個四邊形順次添加下列條件中的三個便得到正方形．
a．兩組對邊分別相等；b.一組對邊平行且相等；
c.一組鄰邊相等；d.有一個角是直角．
順次添加的條件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c.
則其中正確的是(　　)
A．僅① B．①② C．①③ D．②③
鞏固練習
基礎鞏固題
C
4.一個正方形的對角線長為2cm，則它的面積是（　　）
A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2
A
A
D
B
C
O
E
6.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點，且AE=AB，則∠EBC的度數是 .
5．在正方形ABC中,∠ADB= ，∠DAC= ，∠BOC= .
A
D
B
C
O
鞏固練習
基礎鞏固題
45°
90°
22.5°
45°
7.如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長．
鞏固練習
基礎鞏固題
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.
∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，????????=????????????+????????????=????????????,
∴FC＝AC－AF＝(????－1)cm，
∴BE＝(????－1)cm．
?
8.如圖，點E，F是正方形的對角線AC上的兩點，AE＝CF＝1，EF＝2，求四邊形BEDF的周長．
鞏固練習
基礎鞏固題
解：如圖，連接BD交AC于點O.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD⊥AC，
BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
∴四邊形BEDF為平行四邊形．
又∵BD⊥EF，
∴四邊形BEDF為菱形．
∴DE＝DF＝BE＝BF.
課堂小結
正方形的性質與判定1
正方形的定義
有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
正方形的性質
正方形既是矩形也是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質.
對稱性：即是軸對稱圖形(4條對稱軸),也是中心對稱圖形.
性質定理：
定理1：正方形的四個角都是直角,四條邊相等.
定理2：正方形的對角線相等且互相垂直平分.
作業布置
1.必做題：習題1.7第1-3題。
2.探究性作業：習題1.7第4題。
感謝聆聽!

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