資源簡介

(共95張PPT)
蘇教版2019高一數學（必修一）第一章 集合
2.2 充分、必要、充要條件
學習目標
1.結合具體實例,理解充分條件、必要條件、充要條件的意義.
(數學抽象)
2.會求(判斷)某些問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.
(數學運算)
3.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明.
(邏輯推理)
情景導入
著名童話《愛麗絲漫游奇境記》的作者,
英國牛津大學數學講師卡羅爾曾提出如下趣題:
請判斷:我是否可以看瑪麗的信
結論是什么呢
如果已經知道以下信息:
①室內所有有日期的信都是用藍紙寫的;
②瑪麗寫的信都是以“親愛的”開頭的;
③除了查理以外沒有人用黑墨水寫信;
④我可以看到的信都沒有收藏起來;
⑤只有一頁信紙的信中,沒有一封沒注明日期;
⑥未作記號的信都是用黑墨水寫的;
⑦用藍紙寫的信都收藏起來了;
⑧一頁以上信紙的信中,沒有一封是做記號的;
⑨以“親愛的”開頭的信,沒有一封是查理寫的.
學習了本節內容后,運用充分、必要條件的知識進行邏輯推理就容易判斷結果了.
1.命題真假與推出關系
新知探究
一般地，當命題“若p，則q”為真命題時，
我們就說“由p可以推出q成立”，
記作“p>q”，讀作“p推出q”；
如果命題“若p，則q”為假命題，
就說“由p不能推出q成立”，
記作“p q”，讀作“p不能推出q".
命題真假 “若p，則q”為真命題 “若p，則q”為假命題
文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立
符號表示 _____ ______
讀法 p推出q p不能推出q
傳遞性 如果 p q，q s，那么 _______
p q
p q
p s
概念歸納
例如：
(1) x＝y x2＝y2，但 x2＝y2 x＝y；
(2) x＞1 x2＞1，但 x2＞1 x＞1；
這里，“x＞1”表示“x是大于1的實數”；
“S△ABC”表示“△ABC的面積”.
(3) △ABC ≌ △A′B′C′ S△ABC＝ S△A′B′C′，
但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ △ABC ≌ △A′B′C′.
● 如果“p＝q”，那么 p，q 之間有怎樣的關系
分析(1)(2)(3)，可以發現，“p q”的含義是：
一旦 p 成立，q 一定也成立.
即 p 對 q 的成立是充分的.
也可以這樣說：如果 q 不成立，那么p一定不成立.
即q對p的成立是必要的.
● 如果“p＝q”，那么 p，q 之間有怎樣的關系
2.充分條件、必要條件的定義
新知探究
如果“p q”，那么稱p是q的充分條件;
也稱q是p的必要條件.
推出關系 p q
條件關系 p是q的__________條件，
q是p的__________條件.
充分
必要
課本例1
下列所給的各組 p，q中，p 是 q 的充分條件的有哪些
解：因為p q，所以 p 是 q 的充分條件.
(1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0；
(2) p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是正方形.
解：因為p q，所以 p 不是 q 的充分條件.
(3) p：同位角相等，q：兩條直線平行；
(4) p：四邊形是平行四邊形，
q：四邊形的對角線互相平分.
解：因為p q，所以 p 是 q 的充分條件.
解：因為p q，所以 p 是 q 的充分條件.
課本例1
下列所給的各組 p，q中，p 是 q 的充分條件的有哪些
下列所給的各組 p，q 中，p 是 q 的必要條件的有哪些
(1) p：∣x∣＝1，q：x＝1；
(2) p：兩個直角三角形全等，
q：兩個直角三角形的斜邊相等；
解：因為 q p，所以 p 是 q 的必要條件.
解：因為 q p，所以 p 不是 q 的必要條件.
課本例2
(3) p：同位角相等，q：兩條直線平行；
(4) p：四邊形是平行四邊形，
q：四邊形的對角線互相平分
解：因為 q p，所以 p 是 q 的必要條件.
解：因為 q p，所以 p 是 q 的必要條件.
下列所給的各組 p，q 中，p 是 q 的必要條件的有哪些
課本例2
觀察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，
可以發現，其中既有 p q，也有q p.
一般地，
如果p=q，且q→p，那么稱p是q的充分且必要條件，
簡稱為p是q的充要條件，也稱q的充要條件是p.
推出關系 p q，且 q p，記作_______稱為“p與q等價”或“p等價于q”.
條件關系 p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件
p q
3.充要條件的定義
新知探究
充要條件的本質：
p是q的充分必要條件，也常說成p成立當且僅當q成立.
充要條件的應用：
充要條件是數學中非常重要的概念，
應用充要條件可以從不同的角度來理解、刻畫很多數學內容.
概念歸納
“ ”和“ ”都具有傳遞性，即
例：如果 p q，q s，那么 p s；
如果 p q，q s，那么 p s.
命題按條件和結論的充分性、必要性可分哪幾類
答： ① 充分必要條件(充要條件)，即 p q且q p.
② 充分不必要條件，即p q且q p.
③ 必要不充分條件，即p q且q p.
④ 既不充分又不必要條件，即p q且q p.
歸納總結
(1) p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的對應角相等；
解：根據三角形全等的性質，得出兩個三角形的對應角相等，所以 p q.
反過來，由兩個三角形的對應角相等，不能得出兩個三角形全等.
指出下列命題中，p 是 q 的什么條件：
課本例3
例如，兩個等腰直角三角形，它們對應的角相等，但對應邊不相等，這兩個三角形就不全等. 所以 q p.
因此，p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.
(2) p：三角形的三邊相等，q：三角形是等邊三角形；
解：根據等邊三角形的定義，可知三邊相等的三角形是等邊三角形，
所以 p q.
反過來，根據等邊三角形的定義，可知等邊三角形的三邊相等.
所以 q p.
因此，p q，即p是q的充要條件.
指出下列命題中，p 是 q 的什么條件：
課本例3
(3) p：a2 ＝ b2，q：a ＝ b；
解：a2－b2 a2－b2＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a－b＝0或 a＋b＝0 a＝－b或a＝b，
所以 p q.
反過來，a＝b a－b＝0 (a－b)(a＋b)＝0
a2－b2＝0 a2＝b2，
所以 q p.
指出下列命題中，p 是 q 的什么條件：
課本例3
因此，q p，但 p q，即p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.
還可以通過舉反例來說明，
如 42＝(－ 4)2，但 4≠－4.
概念歸納
(4) p：x ＞ y，q：x2＞y2.
解：取 x＝1，y＝－2，
此時，x＞y，但 x2＜y2，所以 p q.
反過來，取 x＝－2，y＝－1，
此時，x2＞y2，但 x＜y，所以q p.
因此，p 不是q 的充分條件， q也不是p的必要條件.
4.性質定理、判定定理和數學定義
新知探究
判定定理是指對象只要具有某具體的特征，
就一定有該對象的所有特征.
例：判定定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”表明，只要四邊形具有“對角線互相平分”這個特征，就一定具有“平行四邊形”的所有特征1，2，3，4….
這時，我們看到，判定定理具有“充分性”，“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.
進一步，我們看到，
“四邊形對角線互相平分”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件，
即“四邊形對角線互相平分”與“四邊形是平行四邊形”等價，
這與平行四邊形的定義“兩組對邊分別平行的四邊形”也等價，
因此，“對角線互相平分的四邊形”也可以作為“平行四邊形”的定義.
同樣地，下列三個命題：
（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
其中的任何一個命題都可以作為平行四邊形的定義.
性質定理、判定定理和數學定義
(1) 性質定理是指某類對象具有的具體特征.
性質定理具有“_____________”.
(2) 判定定理是指對象只要具有某具體的特征，
就一定有該對象的所有特征.
判定定理具有“_____________”.
(3) 數學定義既具有必要性也具有充分性.
必要性
充分性
概念歸納
題型一　充分條件的判斷
【例1】　指出下列哪些題中p是q的充分條件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)對于實數x，y，p：x＋y≠15，q：x≠5或y≠10.
(3)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0.
解　(1)在△ABC中，由大角對大邊知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分條件.
(2)對于實數x，y，因為x＝5且y＝10 x＋y＝15，
所以由x＋y≠15 x≠5或y≠10
故p是q的充分條件.
(3)由x＝1 (x－1)(x－2)＝0，
故p是q的充分條件.
故(1)(2)(3)題中p是q的充分條件.
典例剖析
要判斷p是不是q的充分條件，就是看p能否推出q，即判斷“若p，則q”這一命題是否為真命題.
1.下列各題中，p是q的充分條件的是________(填序號).
(1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
(2)p：兩個三角形面積相等，q：兩個三角形全等；
(3)p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0無實根.
解析　(1)∵(x－2)(x－3)＝0，
∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.
∴p不是q的充分條件.
(2)∵兩個三角形面積相等，不能推出兩個三角形全等，
∴p不是q的充分條件.
(3)∵m<－2，∴12＋4m<0，
∴方程x2－x－m＝0無實根，
∴p是q的充分條件.
(3)
練一練
題型二　必要條件的判斷
【例2】　判斷下列各組p，q中，p是否為q的必要條件？
(1)p：ac＝bc，q：a＝b.
(2)p：x＝y，q：x2＝y2.
解　(1)因為a＝b ac＝bc，所以p是q的必要條件.
(3)p：a＋5是無理數，q：a是無理數.
(3)由a是無理數 a＋5是無理數，所以p是q的必要條件.
典例剖析
“若p，則q”為真，即p q，則q是p的必要條件，
若q p，則p是q的必要條件.
2.判斷下列各組p，q中，p是否為q的必要條件？
(1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等；
(2)p：一個四邊形是矩形，q：四邊形的對角線相等；
解　(1)∵兩個三角形全等 兩個三角形相似，即q p.
∴p是q的必要條件.
(2)四邊形的對角線相等，這個四邊形不一定是矩形，
∴p不是q的必要條件.
練一練
∴p不是q的必要條件.
(3)p：A B，q：A∩B＝A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
解　(3)∵A∩B＝A A B，即q p，
∴p是q的必要條件.
(4)∵c的正負不確定，
練一練
題型三　充分條件、必要條件的應用
【例3】　已知p：實數x滿足3aq：實數x滿足－2≤x≤3.若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍.
解　p：3aq：－2≤x≤3，設集合B＝{x|－2≤x≤3}.
因為p q，所以A B，
典例剖析
充分條件與必要條件的應用技巧
(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題.
(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解.
歸納總結
3.(1)若“x2或x<1”的充分條件，求實數m的取值范圍.
(2)已知p：x<－3或x>1，q：x>a，且p是q的必要條件，求實數a的取值范圍.
解　(1)由已知條件知{x|x2或x<1}.
∴m≤1，即m的取值范圍為(－∞，1].
(2)由已知條件得{x|x>a} {x|x<－3或x>1}，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，＋∞).
練一練
題型四　充要條件的判斷
【例4】　指出下列各題中，p是q的什么條件：
(1)p：數a能被6整除，q：數a能被3整除；
(2)p：|x|>1，q：x2>1；
∴p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.
(2)∵p q，q p，
∴p是q的充要條件.
典例剖析
(3)p：△ABC有兩個角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
∴p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.
(4)∵ab＝0時，|ab|＝ab，
∴|ab|＝ab不能推出ab＞0，
∴p是q的必要條件，但p不是q的充分條件.
典例剖析
判斷p是q的什么條件，
關鍵是判斷p q及q p這兩個命題是否成立.
4.判斷下列各題中p是q的什么條件.
(1)p：ab>0，q：a，b中至少有一個不為零；
(2)p：x>1，q：x≥0；
(3)p：A∩B＝A，q： UB UA.
∴p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.
∴p是q的充分條件，但p不是q的必要條件.
(3)∵A∩B＝A A B UB UA，
∴p是q的充要條件.
練一練
題型五　充分條件、必要條件的探求
B
典例剖析
(2)設a∈R，則a＞4的一個必要條件但不是充分條件是(　　)
A.a＞1 B.a＜1
C.a＞5 D.a＜5
A
典例剖析
探求充分條件、必要條件的方法
(1)尋求q的充分條件p，即求使結論q成立的條件p，從集合的角度看，是找q對應集合的子集，得出子集對應的條件p；
(2)尋求q的必要條件p，即求以q為條件可推出的結論p，從集合的角度看，是找能包含條件q對應的集合，得出集合對應的結論p.
歸納總結
5. (1)0＜x＜2的一個必要條件但不是充分條件是(　　)
A.0＜x＜2 B.x≥－1
C.0＜x＜1 D.1＜x＜3
(2)函數y＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是________.
解析　(1)令0＜x＜2的一個必要條件但不是充分條件對應集合M，
則(0，2)?M，故B符合.
練一練
B
m＝－2
題型六　充要條件的證明
【例6】　已知ab≠0，求證：a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
證明　先證必要性：∵a＋b＝1，即b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.∴必要性成立.
再證充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
設關于a的二次函數y＝a2－ab＋b2，其中Δ＝(－b)2－4b2＝－3b2<0，∴a2－ab＋b2≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，∴充分性成立.
綜上所述，a＋b＝1的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
典例剖析
一般地，證明“p成立的充要條件為q”時，在證充分性時應以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結論”，即q p；證明必要性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結論”，即p q.
歸納總結
6.求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
證明：先證必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，
∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，則a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
再證充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1.
綜上，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.
練一練
題型七　充要條件的應用
【例7】　已知p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m]，若p是q的必要條件但不是充分條件，求實數m的取值范圍.
解　p：x∈[－2，10]，q：x∈[1－m，1＋m].
因為p是q的必要條件，但不是充分條件，
所以[1－m，1＋m]?[－2，10]，
又1－m<1＋m，所以m>0，
所以實數m的取值范圍為(0，3].
典例剖析
應用充分條件、必要條件、充要條件求參數值(范圍)的一般步驟.
(1)根據條件轉化為集合間的關系.
(2)根據集合間的關系構建關于參數的方程(組)或不等式(組)求解.
歸納總結
7.已知p：x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0.若p是q的必要條件但不是充分條件，
求實數m的取值范圍.
即m≥8，故m的取值范圍為[8，＋∞).
練一練
1.下列所給的各組 p，q中，p是q的充分條件的有哪些
(1) p：三角形有一個內角是 60°，
q：三角形是正三角形；
因為三角形有一個內角是60° 三角形是正三角形即 p q.
所以 p 不是 q 的充分條件.
課本練習
(2) p：兩個角相等，q：兩個角是對頂角；
因為兩個角相等，這兩個角有可能是內錯角或同位角，故兩個角相等 兩個角是對頂角，即 p q ，所以 p 不是q 的充分條件；
(3) p：四邊形是平行四邊形，
q：四邊形的對角線互相平分；
因為平行四邊形的對角線互相平分故四邊形是平行四邊形 四邊形的對角線互相平分，即 p q，
所以 p是q的充分條件；
(4) p：x ＞ 2，q：x ＞ 1.
因為 x＞2 x＞1，
所以 p是q的充分條件；
所以p是q的充分條件的有(3) (4)
2. 下列所給的各組 p，q中，p是q的必要條件的有哪些
(1) p：兩條直線平行，q：同位角相等；
(2) p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形；
解：q p，p是q的必要條件；
解：q p，p是q的必要條件；
(3) p：a ＝ b，q：∣a∣＝ ∣b∣ ；
(4) p：x2 ＝ l，q：x ＝ 1.
解：q p，p不是q的必要條件；
解：q p，p是q的必要條件；
3. 從符號“ ”“ ”“ ”中選擇適當的一個填空：
(1) x2＞1 _______ x＞1；
(2) a，b 都是偶數 _______ a＋b是偶數；
(3) x2＝1 ______ ∣x∣ ＝ 1；
(4) n 是偶數 _______ n 是4 的倍數.




1. 下列所給的各組 p，q中，p是 q 的充分條件的有哪些
p是q的必要條件的有哪些 p是q的充要條件的有哪些
(1) p：兩個三角形全等，q：兩個三角形的面積相等；
解：由p：兩個三角形全等能推出 q： 兩個三角形的面積相等，
故p是q的充分條件；
由q：兩個三角形的面積相等不能推出 p：兩個三角形全等，
故p不是q的必要條件.
從而p不是q的充要條件；
習題1.2
感受·理解
(2) p：三角形是直角三角形，q：三角形的兩個銳角互余；
解：由 p：三角形是直角三角形能推出q：三角形的兩個銳角互余，
故p是q的充分條件；
由 q：三角形的兩個銳角互余能推出 p：三角形是直角三角形，
故p是q的必要條件.
從而p是q的充要條件；
(3) p：m≤1，q：關于的方程 x2＋2x＋m＝0有實數解；
解：∵關于x的方程 x2＋2x＋m＝0 有實數解，
∴Δ＝22－4m＞0，解得：m≤1，
故由 p：m＜1能推出 q：關于的方程 x2＋2x＋m＝0有實數解，
故p是q的充分條件；
由q：關于x的方程 x2＋2x＋m＝0有實數解能推出 p：m≤1，
故p是q的必要條件.
從而p是q的充要條件；
(4) p：ab＝0，q：a＝0.
解：由 p：ab＝0 不能推出q：a＝0，故p不是q的充分條件；
由 q：a＝0能推出 p：ab＝0，故p是q的必要條件.
從而p不是q的充要條件.
綜上知：p是q的充分條件的有(1)(2)(3)，
p是q的必要條件的有(2)(3)(4)，
p是q的充要條件有(2)(3).
2. 從符號“ ”“ ”“ ”中選擇適當的一個填空：
(1) x∈A ______ x∈A∩B
(2) x A∪B _____ x∈A∩B；
(3) x∈ U(A∪B) _____ x∈( UA ) ∩ ( UB )；
(4) x∈ U(A∩B) ______ x∈( UA)∪( U B).




3. 下列所給的各組 p，q 中，p 是 q 的什么條件
(1) p：△ABC中，∠BAC＞∠ABC，
q： △ABC 中，BC ＞ AC；
充要條件
思考·運用
(2) p：a2 ＜ 1，q：a ＜ 2；
充分不必要條件
既不充分也不必要條件
(4) p：m ≤ 1，
q：關于的方程 mx2＋2x＋1＝0有兩個實數解.
必要不充分條件
4. 設 a，b，c ∈R，求證：關于x 的方程 ax2＋bx＋c＝0有一個根是 1 的充要條件為 a＋b＋c＝0.
證明：(1) 必要性，即“若 1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，則 a＋b＋c＝0”.
∵ x＝1是方程的根，將 x＝1 代入方程，得 a·12＋b·1＋c＝0，
即 a＋b＋c＝0.
(2) 充分性，即“若 a＋b＋c ＝ 0，則 x＝1是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根”.
把 x＝1代入方程的左邊，得a·12＋b.1＋c＝a＋b＋c.
∵ a＋b＋c＝0，
∴x＝1是方程的根.
綜合(1)(2)知命題成立.
5. 設集合A＝ {x∣x滿足條件p}，B＝{x∣x滿足條件q}.
(1) 如果 A B，那么p是q的什么條件
(2) 如果 B A，那么p是q的什么條件
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么條件
試舉例說明.
探究·拓展
解：（1）若A B，則有 x∈A x∈B，
即每個使 p 成立的元素也使q成立，即p q，
所以 p 是 q 的充分條件.
(3) 如果 A＝B，那么p是q的什么條件
解：若A＝B，則 A B 且 B A，所以p是q的充要條件.
(2) 如果 B A，那么p是q的什么條件
解：若 B A，則有 x∈B x ∈A，
即每個使 q 成立的元素也使p成立，即 q p，
所以 p是 q 的必要條件.
如A ＝ {x∣x ＞0}，B ＝ {x∣x ＞1}，B A，
則 x＞1是x＞0的充分條件，x＞0是x＞1的必要條件.
易錯點1　條件判定不全面而致誤
A
錯因分析
解析：
錯因分析
易錯點2　不能正確區分命題的條件與結論而致誤
錯因分析
求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.
錯因分析
一、選擇題
1.使x>3成立的一個充分條件是(　　)
A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2
A
解析　只有x>4 x>3，其他選項均不可推出x>3.
2.若a∈R，則“a＞1”是“|a|＞1”的(　　)
A.充分條件 B.必要條件
C.既不充分又不必要 D.無法判斷
分層練習-基礎
A
3.(多選題)下列選項中不是“x＞y”的一個充分條件的是(　　 )
A.|x|＞y B.x2＞y2
C.|x|＞|y| D.x＞|y|
解析　取x＝－2，y＝1，
適合選項A，B，C，但推不出“x＞y”；
由x＞|y|≥y知“x＞|y|”是“x＞y”的一個充分條件.
ABC
分層練習-基礎
ABD
A.a<0分層練習-基礎
C
5.設p：－1≤x＜2，q：x＜a.若q是p的必要條件，則實數a的取值范圍(　　)
A.{a|a≤－1} B.{a|a≤－1或a≥2}
C.{a|a≥2} D.{a|－1≤a＜2}
解析　由題意p q，即{x|－1≤x＜2} {x|x＜a}，
∴a≥2.
分層練習-基礎
二、填空題
6.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，
則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的________條件(填“充分”或“必要”).
充分
解析　若“四邊形ABCD為菱形”，則“對角線AC⊥BD”成立；
而若“對角線AC⊥BD”成立，則“四邊形ABCD不一定為菱形”，
所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件.
分層練習-基礎
必要
分層練習-基礎
②
8.下列說法不正確的是________(填序號).
①“x>5”是“x>4”的充分條件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分條件；
③“－2解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，則②不正確；①③正確.
分層練習-基礎
A
一、選擇題
1.設p：實數x，y滿足x>1且y>1，q：實數x，y滿足x＋y>2，則p是q的(　　)
A.充分條件但不是必要條件
B.必要條件但不是充分條件
C.充要條件
D.無法判斷
解析　當x>1且y>1時，x＋y>2，所以充分性成立；
令x＝－1，y＝4，則x＋y>2，但x<1，所以必要性不成立，
故選A.
分層練習-基礎
2.已知p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2，則p是q的(　　)
A.充分條件但不是必要條件
B.必要條件但不是充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要
解析　p：－2＜x＜2，q：－1＜x＜2.
∵(－1，2)?(－2，2)，
∴p是q的必要條件但不是充分條件.
B
分層練習-基礎
3.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關，黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的(　　)
A.必要條件但不是充分條件
B.充分條件但不是必要條件
C.充要條件
D.無法判斷
解析　“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉”，但“返回家鄉”一定有“攻破樓蘭”.
A
分層練習-基礎
C
解析　選項中只有x∈{－1，3，5}
分層練習-基礎
5.(多選題)－1＜x＜3的一個必要條件但不是充分條件可以是(　　)
A.－2C.0AB
解析　由于－1－1分層練習-基礎
二、填空題
6.設x∈R，則0|x－1|<1是0解析　由|x－1|<1，解得0因為(0，2)?(0，5)，
故0＜x＜5是|x－1|＜1的必要條件但不是充分條件，
|x－1|＜1是0＜x＜5的充分條件但不是必要條件.
必要條件但不是充分
充分條件但不是必要
分層練習-基礎
7.已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m(3，＋∞)
解析　由p q，∴A B，
分層練習-基礎
8.關于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的所有實數根的和為2的充要條件是________.
解析　當m2＝0，即m＝0時，此時方程為x＝2，適合；
當m2≠0，即m≠0時，
m＝0
解之m∈ .綜上：m＝0.
分層練習-基礎
三、解答題
9.下列各題中，p是否為q的充分條件？
(1)p：四邊形是平行四邊形，q：四邊形的對邊分別相等；
(2)p：x為無理數，q：x2為無理數.
解　(1)p q，所以p是q的充分條件.
分層練習-鞏固
10.下列各題中，p是q的什么條件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四邊形是正方形，q：四邊形的四條邊相等；
分層練習-鞏固
a2＋b2＝0 a＋b＝0.
∴p是q的必要條件，但不是充分條件.
(2)∵四邊形是正方形 四邊形的四條邊相等，
∴p是q的充分條件，但不是必要條件.
∴p是q的充分條件，也是必要條件.
分層練習-鞏固
11.已知集合A＝{x∈R|－1A.[2，＋∞) B.(－∞，2]
C.(2，＋∞) D.(－2，2)
A
解析　因為x∈B成立的一個充分條件是x∈A，所以A B，
所以3≤m＋1，即m≥2.
分層練習-鞏固
12.(多選題)下列選項中能成為x>y的充分條件的有(　　 )
ACD
解析　A.由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2 x>y；
B.當t>0時，x>y，當t<0時，xyt x>y；
C.由x3＞y3 x＞y；
分層練習-鞏固
解　若方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不等的實根，
分層練習-鞏固
從而方程mx2－2x＋3＝0有兩個同號且不等實根.
分層練習-鞏固
14.設集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數m的取值范圍；
解　若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，則B A.
∵A＝{x|－1≤x≤2}，
分層練習-鞏固
(2)若B∩( RA)中只有一個整數，求實數m的取值范圍.
解　∵A＝{x|－1≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x＜－1或x＞2}.
分層練習-鞏固
三、解答題
9.指出下列各題中p是q的什么條件.
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
故p是q的必要條件但不是充分條件.
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.
解　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，
故p是q的充分條件但不是必要條件.
(3)a>b a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c a>b，故p是q的充要條件.
分層練習-鞏固
10.求證：一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.
證明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
x＝0時y＝0，函數圖象過原點.
②必要性：因為y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點，
所以x＝0時y＝0，得0＝k·0＋b，b＝0.
綜上，一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象過原點的充要條件是b＝0.
分層練習-鞏固
11.“二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象開口向上”的一個必要條件但不是充分條件的是(　　)
C
分層練習-鞏固
12.設A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5，a∈R}，B＝[3，22].則A (A∩B)的
充要條件為________.
解析　由題意A (A∩B) A B，B＝{x|3≤x≤22}.
若A＝ ，則2a＋1>3a－5，解得a<6；
a≤9
解得6≤a≤9.
綜上可知，A (A∩B)的充要條件為a≤9.
分層練習-鞏固
14.求方程ax2＋2x＋1＝0只有負實根的充要條件.
當a≠0時，原方程為一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有負實根，
綜上，方程只有負根的充要條件是0≤a≤1.
分層練習-鞏固
如圖所示的電路圖中,“閉合開關A”是“燈泡B亮”的什么條件
分層練習-拓展
點評：實際問題中的充要條件要從實際含義去理解其是否成立,從而確定充要條件,主要考查邏輯推理的核心素養.
解 如題圖1,閉合開關A或者閉合開關C都可能使燈泡B亮.
反之,若要燈泡B亮,不一定非要閉合開關A.
因此“閉合開關A”是“燈泡B亮”的充分不必要條件.
如題圖2,閉合開關A而不閉合開關C,燈泡B不亮.
反之,若要燈泡B亮,則開關A必須閉合,說明“閉合開關A”是“燈泡B亮”的必要不充分條件.
如題圖3,閉合開關A可使燈泡B亮,而燈泡B亮,開關A一定是閉合的,因此“閉合開關A”是“燈泡B亮”的充要條件.
如題圖4,閉合開關A但不閉合開關C,燈泡B不亮.
反之,燈泡B亮也可不必閉合開關A,只要閉合開關C即可,說明“閉合開關A”是“燈泡B亮”的既不充分又不必要條件.
分層練習-拓展
課堂小結
1.理解3個概念
(1)充分條件；(2)必要條件. (3)充要條件
2.掌握2種方法——充分條件、必要條件的判斷方法
(1)定義法：直接利用定義進行判斷.
(2)等價法：“p q”表示p等價于q，等價命題可以進行轉換，當我們要證明p成立時，就可以去證明q成立.
(3)利用集合間的包含關系進行判斷：如果條件p和結論q相應的集合分別為A和B，那么若A B，則p是q的充分條件；若A B，則p是q的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件.
3.注意2個易錯點
(1)充分條件、必要條件不唯一.
(2)求參數范圍時，要注意能否取到端點值.
課堂小結
課堂小結
充分條件與必要條件
分類
應用
充分條件
必要條件
充要條件
既不充分也不必要條件
充分與必要條件的判斷
充要條件的證明