資源簡介

(共53張PPT)
蘇教版2019高一數學（必修一）第一章 集合
2.3.2 全程量詞命題與存在量詞命題
學習目標
1.理解全稱量詞與存在量詞的意義.
2.會判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，
并會判斷它的真假.（重點）
3.用全稱量詞、存在量詞梳理、表達學過的相應數學內容，
重點提升數學抽象、邏輯推理素養.（難點）
情景導入
在某個城市中有一位理發師,他的廣告詞是這樣寫的:
“本人的理發技藝十分高超,譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對各位表示熱誠歡迎!”
來找他刮臉的人絡繹不絕,這些人自然都是那些不給自己刮臉的人.
可是,有一天,這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀.
你們覺得他能不能給自己刮臉呢
如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉.而如果他給自己刮臉,他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.
這就是著名的“羅素理發師悖論”問題,如果我們學習了全稱量詞命題與存在量詞命題的知識,就可以通過邏輯推理方法進行分析了.
在日常生活和學習中，我們經常遇到這樣的語句：
（1）對任意實數 x，都有 x >0；
（2）存在有理數x，使x -2=0；
（3）有的矩形是菱形；
（4）所有的質數都是奇數；
（5）有一個素數是偶數.
這些語句中用到了“任意”“存在”“有的”等詞，它們表示什么含義？
1.全稱量詞與存在量詞
新知探究
語句（1）使用了“任意”，
表示對每一個實數x，必定有“x ≥0”，
即沒有使“x ≥0”不成立的實數x存在.
語句（2）使用了“存在”，
表示至少可以找到一個有理數 x，使“x —2 = 0”成立.
語句（3）使用了“有的”，
表示可以找到一個矩形，它是菱形.
語句（4）使用了“所有”，
表示每一個質數都是奇數.
全稱量詞與存在量詞
全稱量詞 存在量詞
量詞 “所有”“________”
“每一個”等表示________的詞 “存在”“_______” “有一個”等表示_______或_______的詞
符號 用“_______”表示“對任意 x” 用“_______”表示“存在 x”
任意
全體
有的
部分
個體
x
x
概念歸納
例如：
上面的語句（1）可以表示為“ ∈R，x ≥ 0”，
即“任意實數的平方都不小于 0”.
上面的語句（2）可以表示為“ x∈Q，x —2=0”，
即“方程x -2 =0 存在有理數解”.
那么你知道常見的全稱量詞、存在量詞還有哪些
答：（答案不唯一）
常見的全稱量詞還有“一切”“任給”“凡是”等.
常見的存在量詞還有“有些”“對某些”“有的”等.
想一想
(1) 定義和表示方法：
全稱量詞命題 存在量詞命題
定義 含有_________的命題稱為全稱量詞命題 含有_________的命題稱為存在量詞命題
表示 一般形式可表示為：____________ 一般形式可表示為：____________
全稱量詞
存在量詞
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
2.全稱量詞命題與存在量詞命題
新知探究
(2) 本質：
全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.
(3) 應用:
全稱量詞、存在量詞是數學和日常生活中使用頻率很高的一種邏輯用語，數學中存在大量的全稱量詞命題和存在量詞命題.
概念歸納
全稱量詞命題中的“x，M與p(x)”表達的含義分別是什么
答：元素x可以表示實數、方程、函數、不等式，也可以表示幾何圖形，
相應的集合M是這些元素的某一特定的范圍，
p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質，也可以用q(x)，r(x)等符號表示.
想一想
判斷下列命題的真假：
課本例1
解：因為對任意實數x，都有 x2≥0 ，
所以對任意實數x，都有 x2＋2≥2＞0，
即對任意實數x，都有 x2＋2＞0 成立，
因此，“ x∈R，x2＋2＞0”是真命題.
由例1我們發現：
要判定一個存在量詞命題為真，只要在給定的集合中找到一個元素，使命題為真即可；否則命題為假.
要判定一個全稱量詞命題為真，必須對給定的集合中的每一個元素，命題都為真；但要判定一個全稱量詞命題為假，只要在給定的集合中找到一個元素，使命題為假.
概念歸納
給定的集合對存在量詞命題、全稱量詞命題的真假有沒有影響
試舉例說明.
思考探究
例 1.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.
(1)平面內,凸多邊形的外角和等于360° ;
(2)至少有一個整數,它既能被11整除,又能被9整除;
(3) x∈{x|x>0},x+ ≥2.
解 (1)可以改寫為“平面內,所有凸多邊形的外角和都等于360°”,故是全稱量詞命題,是真命題.
(2)命題中含有存在量詞“至少有一個”,因此是存在量詞命題,是真命題.
(3)命題中含有全稱量詞“ ”,是全稱量詞命題,是真命題.
典例剖析
題型一 全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析及真假判斷
1.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題的方法
(1)分析命題中是否含有量詞;
(2)分析量詞是全稱量詞還是存在量詞;
(3)若命題中不含量詞,要根據命題的意義去判斷.
歸納總結
2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法
(1)要判定全稱量詞命題“ x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)都成立;如果在集合M中找到一個元素x,使得p(x)不成立,那么這個全稱量詞命題就是假命題.
(2)要判定存在量詞命題“ x∈M,p(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個存在量詞命題就是假命題.
歸納總結
1.以下四個命題既是存在量詞命題又是真命題的是(　　)
A.銳角三角形的內角是銳角或鈍角
B.至少有一個實數x,使x2≤0
C.兩個無理數的和必是無理數
D.存在一個負數x,使 >2
B
練一練
例2.若命題p“ x∈R,2x2-3ax+9<0”為假命題,則實數a的取值范圍是　　　　.
解析 命題p的否定為“ x∈R,2x2-3ax+9≥0”,真命題.
典例剖析
題型二 由全稱(存在)量詞命題的真假確定參數的范圍
應用全稱(存在)量詞命題求參數范圍的兩類題型
(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱量詞命題為真時,意味著命題對應的集合中的每一個元素都具有某種性質,所以可以利用代入體現集合中相應元素的具體性質中求解,也可以根據函數等數學知識來解決.
(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題,一般要先對結論作出肯定存在的假設,然后從肯定的假設出發,結合已知條件進行推理證明,若推出合理的結論,則存在性隨之解決;若導致矛盾,則否定了假設.
歸納總結
2.是否存在整數m,使得命題“ x≥- ,-5<3-4m若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
練一練
1.(2020廣東廣州期末)設命題p: x∈[0,1],都有x2-1≤0.則命題p的否定為(　　)
A. x∈[0,1],使x2-1≤0
B. x∈[0,1],使x2-1≥0
C. x∈[0,1],使x2-1>0
D. x∈[0,1],使x2-1>0
解析 根據全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,命題p: x∈[0,1],都有x2-1≤0的否定為 x∈[0,1],使x2-1>0.故選C.
C
隨堂練
2.(2020山東滕州第一中學新校高一月考)設命題p: k∈N,k2>2k+3,則命題p的否定為(　　)
A. k∈N,k2>2k+3
B. k∈N,k2<2k+3
C. k∈N,k2≤2k+3
D. k∈N,k2≤2k+3
隨堂練
解析 因為命題p: k∈N,k2>2k+3,所以其否定為 k∈N,k2≤2k+3.故選C.
C
3.(2020江蘇南京外國語學校高一月考)下列命題為真命題的是(　　)
A. x∈Z,1<4x<3
B. x∈Z,15x+1=0
C. x∈R,x2-1=0
D. x∈R,x2+x+2>0
D
隨堂練
4.已知命題:“ x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”為真命題,則實數a的取值范圍是　　　　　.
解析 當x∈[1,2]時,x2+2x=(x+1)2-1單調遞增,
所以3≤x2+2x≤8,由題意可得a+8≥0,解得a≥-8.
隨堂練
[-8,+∞)
5.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并判斷其真假.
(1)對某些實數x,有2x+1>0;
(2) x∈{3,5,7},3x+1是偶數;
(3) x∈Q,x2=3.
隨堂練
解： (1)命題中含有存在量詞“某些”,因此是存在量詞命題,真命題.
(2)命題中含有全稱量詞的符號“ ”,因此是全稱量詞命題.
把3,5,7分別代入3x+1,得10,16,22,都是偶數,因此,該命題是真命題.
(3)命題中含有存在量詞的符號“ ”,因此是存在量詞命題.
由于使x2=3成立的實數只有± ,且它們都不是有理數,故沒有一個有理數的平方等于3,所以該命題是假命題.
隨堂練
1. 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：
(1) 任何實數的平方都是非負數；
(2) 任何數與0相乘，都等于0；
任何實數指都是，故是全稱命題；
任何實數指都是，故是全稱命題；
課本練習
(3) 任何一個實數都有相反數；
(4) 有些三角形的三個內角都是銳角.
任何實數指都是，故是全稱命題；
有些是指存在的，故是存在性命題.
課本練習
2. 判斷下列命題的真假：
(1) 任意一個平行四邊形對邊都相等；
(2) 有的四邊形既是矩形又是菱形；
因為平行四邊形的對邊相等，所以任意一個平行四邊形對邊都相等是正確的，所以是真命題.
正方形既是矩形又是菱形，所以是真命題.
課本練習
(3) 實系數方程都有實數解；
(4) 有的正數比它的倒數小.
實系數方程 x2＋1＝0沒有實數解，所以是假命題；
課本練習
錯因分析
易錯點　不能正確理解全稱量詞與存在量詞的概念而致錯
判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題．
(1)矩形有一個外接圓；
(2)非負實數有兩個平方根；
(3)有一對實數(x，y)，使2x－y＋1<0成立．
解：
(1)可以改寫為“所有的矩形都有一個外接圓”，是全稱量詞命題．
(2)可以改寫為“所有的非負實數都有兩個平方根”，是全稱量詞命題．　
(3)可以改寫為“ x∈R，y∈R，使2x－y＋1<0成立”，是存在量詞命題．　
一、選擇題
1.下列命題中存在量詞命題的個數是(　　)
①有些自然數是偶數；②正方形是菱形；③能被6整除的數也能被3整除；
④對于任意x∈R，總有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
解析：命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數也都能被3整除”，是全稱量詞命題；而命題④是全稱量詞命題，故有一個存在量詞命題.
分層練習-基礎
2.已知命題p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(0，4) B.(4，＋∞) C.(－∞，0) D.[4，＋∞)
解析　∵p是假命題，
∴方程x2＋4x＋a＝0沒有實數根，
即Δ＝16－4a<0，即a>4.
B
分層練習-基礎
3.下列命題不是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A.有一個x∈R，使得x2>3成立
B.對有些x∈R，使得x2>3成立
C.任選一個x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一個x∈R，使得x2>3成立
解析：“任選一個”“任意一個”是全稱量詞.
C
分層練習-基礎
A
4.將命題“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱量詞命題為(　　)
A.對任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B.存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C.對任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D.存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
解析：B，D有存在量詞“存在”，
C中，x，y的范圍與原命題不符.
分層練習-基礎
5.(多選題)下列命題中的真命題是(　　 )
ACD
解析:A項，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正確；
B項，∵x∈N*，∴當x＝1時，(x－1)2＝0與(x－1)2>0矛盾，故B錯誤；
D項，當x＝1時，5x－3＝2，故D正確.
分層練習-基礎
二、填空題
6.命題“有些負數滿足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“ ”寫成存在量詞命題為__________________________.
解析：存在量詞命題“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符號簡記為“ x∈M，p(x)”.
x<0，(1＋x)(1－9x)2>0
分層練習-基礎
7.若命題“ x∈R，使x2＋2x－3m＝0”為真命題，則實數m的取值范圍為
________________.
解析　由方程有實根，即Δ＝4＋12m≥0，
分層練習-基礎
8.下列全稱量詞命題中真命題的個數為________.
① x∈R，x2＋2>0；
② x∈N，x4≥1；
③對任意x，y，都有x2＋y2≠0.
1
解析：①由于 x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，
所以命題“ x∈R，x2＋2>0”是真命題.
②由于0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立，所以命題“ x∈N，x4≥1”是假命題.
③當x＝y＝0時，x2＋y2＝0，所以是假命題.
分層練習-基礎
三、解答題
9.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題？
(1)矩形有一個外接圓.
(2)非負實數有兩個平方根.
(3)方程x2－x＋1＝0有實數根.
解　(1)原命題可改寫為“所有的矩形都有一個外接圓”，是全稱量詞命題.
(2)原命題可改寫為“任意的非負實數都有兩個平方根”，是全稱量詞命題.
(3)原命題可改寫為“存在實數x，使x2－x＋1＝0”，是存在量詞命題.
分層練習-鞏固
10.用量詞符號“ ”“ ”表示下列命題，并判斷其真假.
(1)實數都能寫成分數形式；
解:(1) x∈R，x能寫成分數形式.因為無理數不能寫成分數形式，
所以該命題是假命題.
分層練習-鞏固
(3)平行四邊形的對角線互相平分；
(4)至少有一個集合A，滿足A?{1，2，3}.
解：(3) x∈{x|x是平行四邊形}，x的對角線互相平分.
由平行四邊形的性質可知此命題是真命題.
(4) A∈{A|A是集合}，A?{1，2，3}.
例如存在A＝{3}，使A?{1，2，3}成立，所以該命題是真命題.
分層練習-鞏固
11.已知命題p： x≥3，使2x－15
解析：命題p為假命題，則任意x≥3，2x－1因為當x≥3時，2x－1≥5，故m≤5.
分層練習-鞏固
12.(多選題)已知a＞0，函數y＝ax2＋bx＋c，實數m滿足關于x的方程2ax＋b＝0，當x＝m時的函數值記為M，則下列選項中的命題為真命題的是(　　 )
A. x∈R，ax2＋bx＋c≤M B. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
C. x∈R，ax2＋bx＋c≤M D. x∈R，ax2＋bx＋c≥M
ABD
分層練習-鞏固
13.若 x∈R，函數y＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點，求實數a的取值范圍.
解　(1)當m＝0時，y＝x－a與x軸恒有公共點，所以a∈R.
(2)當m≠0時，二次函數y＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
設y1＝4m2＋4am＋1，則可轉化為此關于m的二次函數的圖象恒在m軸上方(或圖象頂點在m軸上)的充要條件是Δ1＝(4a)2－16≤0，可得－1≤a≤1.
綜上所述，當m＝0時，a∈R；
當m≠0時，a∈{a|－1≤a≤1}.
分層練習-鞏固
14.已知命題p：存在實數x∈R，使得ax2＋2x－1＝0成立.若命題p為真命題，求實數a的取值范圍.
解　當a＝0時，方程2x－1＝0顯然有解，符合題意；
當a≠0時，由題意可知Δ＝4＋4a≥0，∴a≥－1且a≠0.
綜上a的取值范圍為[－1，＋∞).
分層練習-鞏固
15.已知函數y=x2-2x+5.
(1)是否存在實數m,使不等式m+y>0對于任意x∈R恒成立,并說明理由;
(2)若存在一個實數x,使不等式m-y>0成立,求實數m的取值范圍.
分層練習-拓展
全稱(存在)量詞命題在不等式中的應用
解 (1)存在.不等式m+y>0可化為m>-y,即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4對于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在實數m,使不等式m+y>0對于任意x∈R恒成立,且m>-4.
(2)不等式m-y>0可化為m>y,若存在一個實數x,使不等式m>y成立,只需m>ymin.
又y=(x-1)2+4,∴ymin=4,則m>4.
故實數m的取值范圍是(4,+∞).
分層練習-拓展
一般地,對任意的實數x,a>y恒成立,只要a>ymax;
若存在一個實數x,使a>y成立,只需a>ymin.
課堂小結
1.理解2個概念
(1)全稱量詞命題.
(2)存在量詞命題.
2.掌握3種方法
(1)判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞或存在量詞，有些全稱量詞命題不含全稱量詞，可以根據命題涉及的意義去判斷.
(2)要確定一個全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個反例說明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題.
(3)要確定一個存在量詞命題是真命題，舉出一個例子說明該命題成立即可；若經過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題.
課堂小結
全程量詞命題與存在量詞命題
全程量詞
存在量詞
全程量詞命題
全程量詞命題

展開更多......

收起↑