資源簡介

(共63張PPT)
蘇教版2019高一數學（必修一）第一章 集合
2.3 全稱量詞命題與存在量詞命題
第二課時 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
學習目標
1.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.（重點）
2.通過全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的學習，
重點提升數學抽象、邏輯推理素養.
情景導入
有一個百米賽道，現在讓你和一只烏龜進行賽跑。
當你把這烏龜領先的2米跑完之后，烏龜又向前爬了0.4米……如此無窮無盡，你雖然越來越接近烏龜，但烏龜永遠領先你一丟丟。因此，你永遠也追不上這只烏龜。
你為了不欺負這只慢悠悠的老烏龜，決定讓它先跑50米。
但問題來了，如果你要追上這只烏龜，你需要先跑完這50米，而當你跑完這50米的時候，烏龜已經又向前爬了10米。
你要追上烏龜，就必須再抓緊時間跑完這10米，但你跑完10米，烏龜又向前爬了2米。
這就是芝諾悖論的故事
或許有人會憤怒地指出芝諾完全就是胡扯。
畢竟，我跑完100米只需要不到11秒，超過一只烏龜也是輕而易舉，我明明在跑步，你卻說我靜止不動，不是睜著眼睛說瞎話是什么？
但是，你覺得是芝諾哪里錯了嗎？
給出下列命題：
(1) 所有的正方形都是矩形；
(2) 存在有理數x，使 x－2 ＝ 0；
(3) 對任意的實數a，都有 a＞0；
(4) 有的矩形是菱形.
1.全稱量詞命題與存在量詞的否定
新知探究
(1) 所有的正方形都是矩形；
命題(1)的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，換言之，“有的正方形不是矩形”命題否定后，全稱量詞變為存在量詞，“肯定”變成“否定”.
(2) 存在有理數x，使 x－2 ＝ 0；
命題(2)的否定是“不存在有理數x，使x2－2＝0”，換言之，“對所有的有理數 x，x2－2≠0”.命題否定后存在量詞變為全稱量詞“肯定”成“否定”.
(3) 對任意的實數a，都有 a＞0；
命題(3)的否定是“不是對任意的實數 a，都有∣a∣≥ 0”，換言之“存在實數a，使∣a∣＜0”命題否定后，全稱量詞變為存在量詞，“肯定”變成“否定”.
(4) 有的矩形是菱形.
命題(4)的否定是“不是有的矩形是菱形”，換言之，“所有的矩形都不是菱形”命題否定后，存在量詞變為全稱量詞，“肯定”變成“否定”.
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
原命題 否定
x∈M，p(x) ___________________
x∈M，p(x) ___________________
注：“﹁p(x)”是對語句“p(x)”的否定
x∈M，﹁p(x)
x∈M，﹁p(x)
概念歸納
對省略量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題怎樣否定
答：對于省略了量詞的全稱量詞命題或存在量詞命題進行否定時，
可先根據題意補上適當的量詞，再對命題進行否定.
想一想
命題與其否定的真假關系
對一個命題進行否定，就得到了一個新的命題，
這兩個命題的關系是“一真一假”或“此假彼真”.
寫出下列命題的否定：
課本例1
解： “所有的無理數都是實數”的否定是
“有的無理數不是實數”.
解：“菱形不是矩形”是指“任意一個菱形都不是矩形”，它的否定是“存在一個菱形，它是矩形”，或 “存在是矩形的菱形”.
一般地，對全稱量詞命題的否定，
主要是對全稱量詞的否定，
“任意”“所有”的否定分別是“存在”“不都”；
對存在量詞命題的否定，主要是對存在量詞的否定，
“存在”“有”的否定分別是“任意”“所有”.
概念歸納
題型一　全稱量詞命題的否定
【例1】　判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定.
(1)三角形的內角和為180°；
(2)每個二次函數的圖象都開口向下；
(3)任何一個平行四邊形的對邊都平行；
(4)負數的平方是正數.
典例剖析
解：(1)是全稱量詞命題且為真命題.
命題的否定：三角形的內角和不全為180°，即存在一個三角形，它的內角和不等于180°.
(2)是全稱量詞命題且為假命題.
命題的否定：存在一個二次函數的圖象開口不向下.
(3)是全稱量詞命題且為真命題.
命題的否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行.
(4)是全稱量詞命題且為真命題.
命題的否定：某個負數的平方不是正數.
典例剖析
概念歸納
1.寫出下列全稱量詞命題的否定：
(1)每一個四邊形的四個頂點共圓；
(2)所有自然數的平方都是正數；
(3)任何實數x都是方程5x－12＝0的根；
(4)對任意實數x，x2＋1≥0.
解　(1)該命題的否定為：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓.
(2)該命題的否定為：有些自然數的平方不是正數.
(3)該命題的否定為：存在實數x不是方程5x－12＝0的根.
(4)該命題的否定為：存在實數x，使得x2＋1<0.
練一練
題型二　存在量詞命題的否定
【例2】　寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假：
(1) x∈R，x2＋2x＋3≤0；
(2)至少有一個實數x，使x3＋1＝0；
典例剖析
解　(1)命題的否定： x∈R，x2＋2x＋3>0.
∵ x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立，
∴命題的否定為真命題.
(2)命題的否定： x∈R，x3＋1≠0.
∵當x＝－1時，x3＋1＝0，∴命題的否定為假命題.
∴命題的否定為假命題.
典例剖析
概念歸納
2.寫出下列存在量詞命題的否定，并判斷其否定的真假.
(1)有些實數的絕對值是正數；
(2)某些平行四邊形是菱形.
解　(1)命題的否定是“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，即“所有實數的絕對值都不是正數”.它為假命題.
(2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”.它為假命題.
練一練
題型三　由命題真假求參數的值(取值范圍)
【例3】　已知p： x∈[－1，2]，x2－m≥0.若p的否定為假命題，
求實數m的取值范圍.
解　∵p的否定為假命題，∴p為真命題，
即x2－m≥0，x∈[－1，2]恒成立.
∴m≤x2，x∈[－1，2]恒成立.
易知y＝x2，x∈[－1，2]的最小值為0，∴m≤0，
即實數m的取值范圍是(－∞，0].
典例剖析
求解含有量詞的命題中參數范圍的策略
(1)對于全稱量詞命題“ x∈M，a>y(或aymax(或a(2)對于存在量詞命題“ x∈M，a>y(或aymin(或a概念歸納
3.已知命題p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若p的否定為假命題，求實數m的取值范圍.
解　因為p的否定為假命題，
所以命題p： x∈R，m－x2＋2x－5>0為真命題，
m－x2＋2x－5>0可化為m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，
即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，
故實數m的取值范圍為{m|m>4}.
(本題也可利用二次函數y＝－x2＋2x＋m－5的圖象的頂點在x軸上方，轉化為對應方程Δ>0進行解題)
練一練
例4 (1)命題“ x∈R,x2≠x”的否定是(　　)
A. x R,x2≠x B. x∈R,x2=x
C. x R,x2≠x D. x∈R,x2=x
(2)寫出下列命題的否定,并判斷其真假:
①p: x∈R,x2-x+ ≥0;
②p:所有的正方形都是菱形;
③p:至少有一個實數x,使x3+1=0.
題型四 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
D
典例剖析
解析 原命題的否定為“ x∈R,x2=x”,故選D.
②至少存在一個正方形不是菱形,假命題.
③ x∈R,x3+1≠0,假命題.
因為x=-1時,x3+1=0.
典例剖析
對全稱量詞命題和存在量詞命題進行否定的步驟與方法
(1)確定類型:是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(2)改變量詞:把全稱量詞換為恰當的存在量詞;把存在量詞換為恰當的全稱量詞.
(3)否定結論:原命題中“是”“有”“存在”“成立”等改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等.
歸納總結
4.寫出下列命題的否定,并判斷其真假.
(1)q:某些平行四邊形是菱形;
(2)r:不論m取何實數,方程x2+x-m=0必有實數根;
(3)t: x∈R,x2+2x+2≤0.
解：(1)命題q的否定是“任意平行四邊形都不是菱形”,假命題;
(2)命題r的否定是“存在實數m,使得方程x2+x-m=0沒有實數根”.
當Δ=1+4m<0時,即當m<- 時,方程x2+x-m=0沒有實數根,命題r的否定為真命題;
(3)命題t的否定是“ x∈R,x2+2x+2>0”.
因為x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0,命題t的否定為真命題.
練一練
4.命題p: x∈R,x2+2x+5<0是　　　　　　　　　(填“全稱量詞命題”或“存在量詞命題”),命題p是　　(填“真”或“假”)命題,命題p的否定為　　　　　　　　　　　.
解析 命題p: x∈R,x2+2x+5<0是存在量詞命題.
因為x2+2x+5=(x+1)2+4>0恒成立,所以命題p為假命題.
命題p的否定為 x∈R,x2+2x+5≥0.
隨堂練
存在量詞命題
假
x∈R,x2+2x+5≥0
1.判斷正誤
(1)命題“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全稱量詞命題.( )
解析：　是存在量詞命題.
(2)若命題p的否定是全稱量詞命題，則命題p是存在量詞命題.( )
(3)命題p： x＞2，x－2＞0，則p的否定是 x＞2，x－2≤0.( )
(4)命題 x∈N，x2＞0的否定是真命題.( )
解析:　其否定為 x∈N，x2≤0，顯然是假命題.
×
√
√
×
隨堂練
2.命題p：“存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根”，則p的否定是(　　)
A.存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數根
B.不存在實數m，使方程x2＋mx＋1＝0無實數根
C.對任意的實數m，方程x2＋mx＋1＝0無實數根
D.至多有一個實數m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數根
C
解析　命題p是存在量詞命題，其否定形式為全稱量詞命題，
即對任意的實數m，方程x2＋mx＋1＝0無實數根.
隨堂練
A
隨堂練
4.命題： x∈R，x2－x＋1＝0的否定是__________________________.
解析：因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，
所以 x∈R，x2－x＋1＝0的否定是： x∈R，x2－x＋1≠0.
x∈R，x2－x＋1≠0
隨堂練
1. 寫出下列命題的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四邊形；
(2) 有的梯形是平行四邊形；
存在一個矩形不是平行四邊形；
所有的梯形都不是平行四邊形；
課本練習
(3) 銳角都相等；
(4) 有的梯形是等腰梯形
有些銳角不相等；
所有的梯形都不是等腰梯形.
2. 寫出下列命題的否定：
(1) 三角形的內角和是 180°；
(2) 所有的正三角形都相似；
有的三角形的內角和不是180°；
存在一些正三角形不相似；
(3) 二次函數有最小值；
(4) 有的實系數一元二次方程無實數解.
存在二次函數的值域不是R；
實系數一元二次函數都有實數解.
D
(1) 任一個質數都是奇數；
(2) 所有實數的絕對值都是正數；
(3) 有些相似三角形全等；
1. 指出下列語句中的全稱量詞或存在量詞：
習題1.2
感受·理解
(4) 有的四邊形有外接圓；
(5) 任意一個矩形都是軸對稱圖形；
(6) 有一個數不能做除數
2. 試判斷下列命題的真假：
真命題
假命題
假命題
真命題
3. 判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并
判斷它們的真假：
(1) 有的偶數是 3 的倍數；
存在量詞命題，真命題
思考·運用
(4) 平面內，與一個圓只有一個公共點的直線是該圓的
切線.
全稱量詞命題，真命題
(2) 矩形的對角線相等；
(3) 有的平行四邊形的四個角都相等；
全稱量詞命題，真命題
存在量詞命題，真命題
4. 寫出下列命題的否定：
(1) 菱形的對角線互相垂直平分；
(2) 有的三角形一條邊上的高與中線相等；
有些菱形的對角線不互相垂直平分.
所有的三角形一條邊上的高與中線都不相等.
(3) 每一個正整數都比它的倒數大；
(4) 有的二次函數的圖象關于坐標原點中心對稱.
有的正整數不比它的倒數大.
所有二次函數的圖象都不關于坐標原點中心對稱.
5. 寫出下列命題的否定，并判斷其真假：
(1)大于3的自然數是不等式 x2＞10 的解；
該命題的否定為：
存在大于3的自然數不是不等式 x2＞10 的解.
因為大于3的自然數有4，5，6，···， 它們的平方一定大于10，
即大于3的自然數都是不等式 x2＞10 的解，故該否定為假命題；
(2) 存在有序整數組 (x，y) 滿足 xy ＝x＋y；
該命題的否定為：
所有有序整數組 (x，y) 不滿足 xy＝ x＋y.
取整數組(0，0)，滿足 xy ＝ x＋y，故該命題的否定為假命題；
(3) 任何一個四邊形的四個頂點都共圓；
該命題的否定為：
存在一個四邊形的四個頂點不共圓.
由于對角不互補的四邊形不內接于圓，故該命題的否定為真命題.
(4) 有的反比例函數的圖象與 軸有公共點.
該命題的否定為：
所有反比例函數的圖象與x軸沒有公共點.
由反比例函數的性質知該命題的否定為真命題.
6. (閱讀題) 假設我們要否定命題“所有水生動物都用鰓呼吸”，可以這樣做：
畫出表示用鰓呼吸的動物的集合，
并包含表示所有水生動物的集合，如
圖(1)所示，那么此圖就表示“所有水
生動物都用鰓呼吸”.
探究·拓展
再將圖(1)中水生動物的集合部分地移出用鰓呼吸的動物的集合，如圖(2)，那么此圖就表示“并非所有水生動物用鰓呼吸”，即“一些水生動物不用鰓呼吸”. 這就得到了原命題的否定.
可以看出，當我們否定一個含有全稱量詞的命題時，就會得到一個含有存在量詞的命題.
試舉社會生活或其他學科中命題的例子，并圖示命題及該命題的否定.
命題“所有動物都是哺乳動物”為全稱量詞命題，該命題可以用下圖表示：
該命題的否定可以用下圖表示：
易錯點　忽視否定的范圍而致錯
a，b∈R，方程ax2＋b＝0無解或至少有兩解
錯因分析
一、選擇題
1.關于命題p：“ x∈R，x2＋1≠0”的敘述，正確的是(　　)
A.p的否定為： x∈R，x2＋1≠0
B.p的否定為： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命題，p的否定是假命題
D.p是假命題，p的否定是真命題
C
解析　命題p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.
p是真命題，p的否定是假命題.
分層練習-基礎
2.設命題p： x∈Z，(x＋1)2－1>0，則p的否定為(　　)
A. x∈Z，(x＋1)2－1>0 B. x∈Z，(x＋1)2－1>0
C. x Z，(x＋1)2－1≤0 D. x∈Z，(x＋1)2－1≤0
解析：存在量詞命題的否定為全稱量詞命題.
D
分層練習-基礎
3.設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p： x∈A，2x∈B，則p的否定為(　　)
A. x∈A，2x∈B B. x A，2x B
C. x A，2x∈B D. x∈A，2x B
解析　命題p： x∈A，2x∈B是一個全稱量詞命題，
p的否定應為： x∈A，2x B.選D.
D
分層練習-基礎
4.已知命題p： x>0，總有x＋1>1，則p的否定為(　　)
A. x≤0，使得x＋1≤1 B. x>0，使得x＋1≤1
C. x>0，總有x＋1≤1 D. x≤0，總有x＋1≤1
B
解析　“ x>0，總有x＋1>1”的否定是“ x>0，使得x＋1≤1”.故選B.
分層練習-基礎
5.(多選題)下列命題p的否定正確的是( 　 　)
A.p：能被2整除的數是偶數；p的否定：存在一個能被2整除的數不是偶數
B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C.p：有的三角形為正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D.p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n>100.
ABD
解析：“有的三角形為正三角形”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故選項C錯誤.A，B，D正確.
分層練習-基礎
7.命題“每個函數都有最大值”的否定是__________________________.
解析　命題的量詞是“每個”，即為全稱量詞，因此其否定是存在量詞，
故應填：有些函數沒有最大值.
有些函數沒有最大值
x∈(0，＋∞)，x2≠x－1
分層練習-基礎
8.已知命題p： x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命題p是假命題，則實數a的取值范圍是____________________.
解析　若命題p為假命題，
則命題p的否定： x∈R，x2＋2ax＋a≤0為真命題，
故Δ＝4a2－4a≥0，∴a≤0或a≥1，
∴當p為假命題時，a的取值范圍是{a|a≤0或a≥1}.
{a|a≤0或a≥1}
分層練習-基礎
三、解答題
9.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.
(1)p：每一個素數都是奇數；
(2)q：有理數都能寫成分數的形式；
(3)s：有些實數的絕對值是正數.
解:(1)由于全稱量詞“每一個”的否定為“存在一個”，因此，p的否定為：存在一個素數不是奇數，是真命題.
(2)q是全稱量詞命題，省略了全稱量詞“任意一個”，即“任意一個有理數都能寫成分數的形式”，q的否定為：存在一個有理數不能寫成分數的形式，是假命題.
(3)由于存在量詞“有些”的否定為“所有”，因此，s的否定為：所有實數的絕對值都不是正數，是假命題.
分層練習-鞏固
10.寫出下列命題的否定，并判斷其真假.
(2)q的否定為：有的正方形不是矩形，假命題.
(3)r的否定為： x∈R，x2＋2x＋2＞0.
∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r的否定是真命題.
∴p的否定是假命題.
分層練習-鞏固
11.(多選題)下列命題的否定是假命題的是(　　 )
A.三角形角平分線上的點到角兩邊的距離相等
B.所有平行四邊形都不是矩形
C.任意兩個等邊三角形都是相似的
D.3是方程x2－9＝0的一個根
ACD
解析：A的否定：存在一個三角形，它的角平分線上的點到角兩邊的距離不相等，假命題，
B的否定：有些平行四邊形是矩形，真命題，
C的否定：有些等邊三角形不相似，假命題，
D的否定：3不是方程x2－9＝0的一個根，假命題.
分層練習-鞏固
12.已知命題“對于任意x∈R，函數y＝x2＋ax＋1≥0”，若此命題是假命題，則實數a的取值范圍為_______________.若此命題是真命題，則實數a的取值范圍為_______________.
解析　因為全稱量詞命題“對于任意x∈R，函數y＝x2＋ax＋1≥0”的否定為：“存在x∈R，函數y＝x2＋ax＋1<0”.
當此命題是假命題時，其否定為真命題.
由于函數y＝x2＋ax＋1是開口向上的拋物線，借助二次函數圖象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以實數a的取值范圍是a<－2或a>2.
當此命題是真命題時，知Δ≤0，
則a2－4≤0，得－2≤a≤2.
{a|a<－2或a>2}
{a|－2≤a≤2}
分層練習-鞏固
13.已知命題p： x∈R，x2－2x＋m＝0，若p的否定是假命題，求實數m的取值范圍.
解　因為p的否定為假命題，所以p為真命題，
即 x∈R，x2－2x＋m＝0成立，
即方程x2－2x＋m＝0有實根，有Δ＝(－2)2－4m≥0，所以m≤1.
故實數m的取值范圍為{m|m≤1}.
分層練習-鞏固
解析　由二次函數的性質可得函數y1＝x2－2x，
－1≤x1≤2的取值范圍為{y1|－1≤y1≤3}.
由一次函數的性質可知函數y2＝ax＋2(a＞0)，
－1≤x≤2的取值范圍是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}.
[3，＋∞)
分層練習-鞏固
1.理解2個概念
全稱量詞命題、存在量詞命題的否定.
2.注意4個問題
(1)確定命題類型，是全稱量詞命題還是存在量詞命題.
(2)改變量詞：把全稱量詞改為恰當的存在量詞；把存在量詞改為恰當的全稱量詞.
(3)否定結論：原命題中的“是”“有”“存在”“成立”等分別改為“不是”“沒有”“不存在”“不成立”等.
(4)無量詞的全稱量詞命題要先補回量詞再否定.
課堂小結
3.注意2個易錯點
對含有一個量詞的命題，否定時，不能只否定結論，而忘記改變量詞；也不能只改變量詞，而忘記對結論否定。
課堂小結

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