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蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第三章 不等式
3.3從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式
3.3.1　從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解一元二次方程的根與二次函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.
2.會(huì)用函數(shù)的圖象判斷一元二次方程的根的情況.
3.通過用二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程的根的情況，提升直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng).
情景導(dǎo)入
我們知道，一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間有著密切的聯(lián)系. 例如，可以借助函數(shù) y＝2x－3 的圖象來(lái)求解 2x－3＝0，2x－3＞0，2x－3＜0.
反過來(lái)，也可以通過求解 2x－3＝0，2x－3＞0，
2x－3＜0，來(lái)深人理解函數(shù) y＝2x－3的性質(zhì)，那么
●怎樣從函數(shù)觀點(diǎn)進(jìn)一步解決方程、不等式的問題
新知探究
從函數(shù)的觀點(diǎn)看，方程 x2－2x－3＝0的兩個(gè)根 x1＝－1，x2＝3，就是二次函數(shù) y＝x2－2x－3 當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量x的值，即二次函數(shù) y＝x2－2x－3 的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
這時(shí)，我們稱－1，3 為二次函數(shù) y＝x2－2x－3 的零點(diǎn).
一、二次函數(shù)的零點(diǎn)
一般地，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根就是二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)_______________，即二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 的圖象與______________________，也稱為二次函數(shù) y＝ax2 ＋bx＋c (a≠0)的零點(diǎn).
自變量x的值
x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
歸納總結(jié)
二、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根、
二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象、
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點(diǎn)之間的關(guān)系.
歸納總結(jié)
(1) 關(guān)系 (當(dāng)a＞0時(shí)).
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根
x1，2＝ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c的圖象
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn) 有兩個(gè)零點(diǎn)
x1，2＝
有一個(gè)零點(diǎn)x＝－ 無(wú)零點(diǎn)
當(dāng)a＜0時(shí)，一元二次方程 ax2＋ba＋c＝0 的根次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的圖象次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c 的零點(diǎn)之間的關(guān)系請(qǐng)同學(xué)們自行完成(見練習(xí) 1).
例 1
求證：二次函數(shù) y＝2x2＋3x－7 有兩個(gè)零點(diǎn).
分析 要證明二次函數(shù) y＝x2＋3x－7 有兩個(gè)零點(diǎn)，只需證明元二次方程 2x2＋3x－7＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可.
課本例題
證明：考察一元二次方程 2x2＋3x－7＝0.
因?yàn)? ＝32－4×2×(－7) ＝65＞0，
所以方程 2x2＋3x－7＝0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
因此，二次函數(shù) y＝2x2＋3x－7有兩個(gè)零點(diǎn).
例 2
判斷二次函數(shù) y＝x2－2x－1在區(qū)間(2，3)上是否存在零點(diǎn).
課本例題
1. 當(dāng) a ＜ 0 時(shí)，請(qǐng)?zhí)钕卤恚?br/>判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根
x1，2＝ 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根
課本練習(xí)
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c的圖象
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函數(shù)
y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn) 有兩個(gè)零點(diǎn)
x1，2＝
有一個(gè)零點(diǎn)x＝－ 無(wú)零點(diǎn)
2. 畫出二次函數(shù) y＝x2－x－2 的圖象，并指出該函數(shù)的零點(diǎn).
解：二次函數(shù) y＝x2－x－2 圖象如下：
由 x2－x－2＝0 得，x＝－1或x＝2.
故所求零點(diǎn)為－1，2.
3. 求下列二次函數(shù)的零點(diǎn)：
(1) y＝(x＋1)(x－1)； (2) y＝x2－4x；
解：令 y＝0，得x1＝－l，x2＝1，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為－1和 1.
解：令 y＝0，即 x2－4x＝0，得x(x－4)＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
所以函數(shù)的零點(diǎn)為 0 和 4 .
(3) y＝－3x2－9； (4) y＝－x2＋2x－1.
解：令 y＝－3x2－9＝0，
方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)無(wú)零點(diǎn).
解：令 y＝－x2＋2x－1＝0，即x2－2x＋1＝0，
得 (x－1)2＝0，解得 x＝1.
所以函數(shù)的零點(diǎn)為1.
D
易錯(cuò)點(diǎn)　忽略對(duì)參數(shù)的分類討論而致錯(cuò)
錯(cuò)因分析
C
一、選擇題
1.函數(shù)y＝－x2＋x＋2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由－x2＋x＋2＝0得Δ＝1＋8＝9>0，
∴方程有兩個(gè)實(shí)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
2.已知關(guān)于x的方程x2－ax＋3＝0的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(4，＋∞) B.(－∞，4)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
解析　∵關(guān)于x的方程x2－ax＋3＝0的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，
∴令y＝x2－ax＋3，其圖象開口向上，
只需y|x＝1＝1－a＋3＝4－a<0，得a>4.
故選A.
A
3.若二次函數(shù)y＝ax2＋2x＋1(a≠0)有一個(gè)正零點(diǎn)和一個(gè)負(fù)零點(diǎn)，則有(　　)
A.a<0 B.a>0 C.a<－1 D.a>1
解析　法一　由y＝ax2＋2x＋1(a≠0)的圖象過(0，1)點(diǎn)，知要使函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)分別在y軸的左、右兩側(cè)，則a<0.
A
法二　由方程ax2＋2x＋1＝0有兩相異號(hào)實(shí)根，設(shè)兩根為x1，x2，
C
4.若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)根1，2，則函數(shù)y＝cx2＋bx＋a的零點(diǎn)為(　　)
解析　∵1和2是ax2＋bx＋c＝0的兩根，
B
5.若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)滿足y|x＝1＝0，且a>b>c，則該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)
A.1 B.2 C.0 D.不能確定
解析　由y|x＝1＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，
∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，
∴函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).
二、填空題
6.函數(shù)y＝x2－mx－2的一個(gè)零點(diǎn)是－1，則m＝________，另一個(gè)零點(diǎn)是________.
解析　由y|x＝－1＝1＋m－2＝0得m＝1，
∴y＝x2－x－2，由x2－x－2＝0得x1＝－1或x2＝2.
1
2
7.已知函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一個(gè)零點(diǎn)為1，則它的另一個(gè)零點(diǎn)為________.
－3
解析　由題意知ax2＋2ax＋c＝0的一個(gè)根為1，設(shè)另一根為x0.
則1＋x0＝－2，∴x0＝－3.
0
8.函數(shù)y＝x2－5x－6在區(qū)間[1，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
解析　由x2－5x－6＝0得x1＝－1，x2＝6.
即函數(shù)的零點(diǎn)是－1，6，
∴函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
三、解答題
9.已知二次函數(shù)y＝－x2－x＋a只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.
解　二次函數(shù)y＝－x2－x＋a只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程－x2－x＋a＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝1＋4a＝0.
10.已知函數(shù)y＝ax2＋2ax＋1有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　∵y＝ax2＋2ax＋1有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象過(0，1)且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，
11.若函數(shù)y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝___________.
當(dāng)a≠0時(shí)，ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0為一元二次方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
分層練習(xí)-鞏固
B
12.在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則y＝x⊙(x－2)的零點(diǎn)為(　　)
A.0和2 B.－2和1
C.－1和2 D.－2和0
解析　由題意y＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
令y＝0，
∴x＝－2或x＝1.
13.若二次函數(shù)y＝x2＋2x－m＋1沒有零點(diǎn)，試說(shuō)明關(guān)于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有實(shí)數(shù)根.
解　由題意知，關(guān)于x的方程x2＋2x－m＋1＝0沒有實(shí)數(shù)根，
∴此方程的判別式Δ＝22－4×1×(－m＋1)<0，解得m<0.
而方程x2＋mx＋12m＝1的根的判別式
Δ′＝m2－4×1×(12m－1)＝m2－48m＋4，
∵m<0，∴m2>0，－48m>0，
∴m2－48m＋4>0，即Δ′>0，
∴方程x2＋mx＋12m＝1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即一定有實(shí)數(shù)根.
ABD
14.(多選題)函數(shù)y1＝(x－2)(x－5)－1有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1A.x1<2且22且x2>5
C.x1<2且x2>5 D.25
解析　令y2＝(x－2)(x－5)，則y1＝y(tǒng)2－1，
∴函數(shù)y1＝(x－2)(x－5)－1的零點(diǎn)就是函數(shù)y2＝(x－2)·(x－5)與函數(shù)y＝1圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y2＝(x－2)(x－5)的圖象與
y＝1的圖象如圖所示，結(jié)合圖象知只有C正確.
分層練習(xí)-拓展
1.掌握1個(gè)概念——函數(shù)的零點(diǎn)
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點(diǎn)就是方程y＝0的實(shí)數(shù)根，也就是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)數(shù)而不是一個(gè)點(diǎn)，在寫函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，所寫的一定是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)坐標(biāo).
2.提升1個(gè)素養(yǎng)——數(shù)形結(jié)合
結(jié)合二次函數(shù)圖象理解一元二次方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系.
課堂小結(jié)

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