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蘇教版2019高一數學（必修一）第三章 不等式
第一課時　一元二次不等式的解法
3.3.2　從函數觀點看一元二次不等式
學習目標
1.理解一元二次方程、二次函數、一元二次不等式的關系.
2.能借助二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.從函數觀點認識不等式，感悟數學知識之間的關聯，認識函數的重要性，重點提升數學抽象和數學運算素養.
我們來看下面的問題：
某雜志以每冊 2 元的價格發行時，發行量為 10 萬冊經過調查若單冊價格每提高 0.2 元，則發行量就減少 5000 冊要使雜志社的銷售收入大于 22.4 萬元，每冊雜志的價格應定在怎樣的范圍內
情景導入
一、一元二次不等式的概念
只含有一個未知數，并且未知數最高次數是 2 的_______________叫作一元二次不等式.
整式不等式
我們知道，一元二次方程和相應的二次函數有著密切的聯系，一元二次方程的根就是相應二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標.那么，
● 一元二次不等式和相應的二次函數是否也有內在的聯系
新知探究
二、一元二次不等式和相應的二次函數的對應關系
(1) 關系：(a＞0)
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
方程
ax2＋bx＋c＝0的根 有兩個相異的實數根
x1，x2 (x1＜x2) 有兩個相等的實數根
x1＝x2＝－ 沒有實數根
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
二次函數
y＝ax2＋bx＋c的圖象
判別式
＝b2－4ac ＞0 ＝0 ＜0
ax2＋bx＋c＞0的解集 (－∞，x1)
∪
(x2，＋∞) (－∞，－) ∪
(－，＋∞) R
ax2＋bx＋c＜0的解集 (x1＜x2)
當a＜0 時，通過不等式兩邊同乘以－1，可將問題轉化為二次項系數為正的情形，利用表上表解決.
例 1
解下列不等式：
(1) x2－7x＋12＞0；
(2) －x2－2x＋3≥0；
課本例題
解 方程 x2－7x＋12＝0 的解為
x1＝3，x2＝4.
根據 y＝x2－7x＋12 的圖象
可得原不等式的{ x∣x＜3 或 x＞4}.
解 不等式兩邊同乘以－1，得 x2＋2x－3≤0.
方程 x2＋2x－3＝0 的解為 x1＝－3，x2＝1.
根據 y ＝ x2＋2x－3 的圖象，
可得原不等式的解集為 { x∣－3≤x≤1).
(3) x2－2x＋1＜0；
解 方程 x2－2x＋1＝0
有兩個相同的解x1＝x2＝1.
根據 y＝x2－2x＋1的圖象，
可得原不等式的解集為 .
(4) x2－2x＋2＞0.
解 因為 ＜0，所以方程 x2－2x＋2＝0
無實數解.
根據 y＝x2－2x＋2 的圖象，
可得原不等式的解集為 R .
1. (1) 不等式(x－1)(x－3)＞0的解集為( )。
A.{ x∣x＜1} B.{ x∣x＞3}
C.{ x∣x＜1 或 x＞3} D.{ x∣1＜x＜3}
(2) 不等式－x2＋2x－4＞0 的解集為( ).
A. R B.
C. { x∣x＞0，x∈R} D.{ x∣x＜0，x∈R}.
C
B
課本練習
2. 解下列不等式：
(1) x2＋4x－12＞0；
解：該不等式可化為(x＋6)(x－2)＞0，
解得 x＜－6或 x＞2，
故原不等式的解集為
{ x∣x＜－6 或 x＞2}.
(2) x2－x＋1≤0；
(3) 2x2－5x＋3＜0；

(4) 3x2－x－4＞0；

(5) 2x2＋4x＋3＞0；
解：該不等式可化為
2(x＋1)2＋1＞0，
恒成立，
故原不等式的解集為R.
(6) 9x2－6x＋1≤0.
3. 解下列不等式：
(1) －6x2－x＋2＜0；

(2) 1－4x2≥4x＋2；
解：不等式可變形為4x2＋4x＋1＜0，
即(2x＋1)2＜0，
顯然無解，
即解集為 .
(3) 1－3x＜x2；

(4) (x－2)(x＋2) ＞1.
4. 當 x 是什么實數時，函數 y＝－x2＋5x＋14 的值是：
(1) 0
解： －x2＋5x＋14＝0
x2－5x－14＝0
(x－7)(x＋2) ＝0
x1＝7，x2＝－2
(2) 正數
解： －x2＋5x＋14＞0
x2－5x－14＜0
(x－7)(x＋2) ＜0
－2＜x＜7
(3) 負數
解： －x2＋5x＋14＜0
x2－5x－14＞0
(x－7)(x＋2) ＞0
x＞7 或 x＜－2.
5. (1)已知集合 M＝{x|－4≤x≤7，N＝{x|x2－x－6＞0}， 求M∩N；
解：∵集合M ＝ {x∣－4≤x≤7}，
N ＝ {x|x2－x－6＞0}
＝ {x∣x＜－2或 x＞3}，
∴ M∩N ＝{x∣－4≤x＜－2 或 3＜ x≤7}；
(2) 已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)(x－5) ＜0}，求 A∪B.
解：∵集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}
＝{x∣1＜x＜3}，
B＝{x|(x－2)(x－5)＜0}
＝{x∣2＜x＜5}，
∴ A∪B ＝{x∣1＜x＜5}.
錯因分析
易錯點　隨意消項致錯
A
一、選擇題
1.不等式6x2＋x－2≤0的解集為(　　)
解析　因為6x2＋x－2≤0 (2x－1)(3x＋2)≤0，
分層練習-基礎
D
3.如果關于x的不等式x2A.－81 B.81 C.－64 D.64
解析　不等式x2B
故1和3是x2－ax－b＝0的兩根，
解得a＝4，b＝－3.
所以ba＝(－3)4＝81.故選B.
B
4.在R上定義運算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數x的取值范圍為(　　)
A.{x|0C.{x|x<－2或x>1} D.{x|－1解析　根據給出的定義得，
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，
又x⊙(x－2)<0，
則(x＋2)(x－1)<0，
故不等式的解集是{x|－2A
5.若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x<－3或x>5}，則ax2－bx＋c<0的解集為(　　)
A.{x|x<－5或x>3} B.{x|－5C.{x|x<－3或x>5} D.{x|－3解析　由題意知－3和5是ax2＋bx＋c＝0的兩根，
由根與系數的關系得：
代入得ax2＋2ax－15a<0，
又由解集的形式知a<0，∴x2＋2x－15>0，
∴(x－3)(x＋5)>0
∴x>3或x<－5.
4
故a＋b＝4.
7.不等式－1解析　由－1＜x2＋2x－1≤2，
{x|－3≤x<－2或0∴－3≤x<－2或08.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為2，－1，則當a＜0時，不等式
ax2＋bx＋c≥0的解集為_______________.
[－1，2]
解析　由題意ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x＋1)，
故原不等式可化為a(x－2)(x＋1)≥0，
又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0，
所求解集為[－1，2].
三、解答題
9.解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(2)原不等式等價于3x2－6x＋2≥0.
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
作出函數y＝4x2－4x＋1的圖象如圖③.
③
(4)原不等式可化為x2－6x＋10<0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0無實根，
∴原不等式的解集為 .
10.已知不等式x2＋x－6<0的解集為A，不等式x2－2x－3<0的解集為B.
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集為A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集.
解　(1)由x2＋x－6<0得－3∴A＝{x|－3∴B＝{x|－1(2)由已知得－1和2為x2＋ax＋b＝0的兩根，
∴不等式ax2＋bx＋3＜0為－x2－2x＋3<0，即x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1.
∴所求不等式的解集為{x|x<－3或x>1}.
BC
11.(多選題)下列不等式的解集為R的是(　　)
B中，Δ＝62－4×10＜0，解集為R；
C中，不等式可化為x2－x＋2＞0，Δ＝(－1)2－4×2＜0，解集為R；
D中不等式化為2x2－3x＋3<0，Δ＝(－3)2＋4×2×3＜0，解集為 .
分層練習-鞏固
∴m的取值范圍是{m|m<0}.
(－∞，0)
13.解關于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R).
解　原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.
當a<0時，aa2}；
當a＝0時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠0，x∈R}；
當0a}；
當a＝1時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠1，x∈R}；
當a>1時，aa2}.
綜上所述，當a<0或a>1時，原不等式的解集為{x|xa2}；
當0a}；
當a＝1時，原不等式的解集為{x|x≠1，x∈R}；
當a＝0時，原不等式的解集為{x|x≠0，x∈R}.
又f(1)＝a－b＋c＞0，f(－1)＝a＋b＋c＜0，
作出函數y＝ax2－bx＋c的簡圖如圖.
③⑤
∴b＜0，而f(0)＝c＞0，
故③⑤正確.
分層練習-拓展
1.掌握1個知識點——一元二次不等式的解法
(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：
①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并畫出對應函數y＝ax2＋bx＋c圖象的簡圖；
③由圖象得出不等式的解集.
(2)代數法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.
當m＜n時，若(x－m)(x－n)＞0，則可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，則可得{x|m＜x＜n}.
有口訣如下：大于取兩邊，小于取中間.
課堂小結
2.突破1個重難點——含參數的一元二次不等式的解法
在解含參數的一元二次型的不等式時，往往要對參數進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進行考慮
(1)關于不等式類型的討論：二次項系數a＞0，a＜0，a＝0.
(2)關于不等式對應的方程根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ＜0).
(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
3.規避1個易誤點
當二次項系數小于0時，需兩邊同乘－1，化為正的.
課堂小結

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