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蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第三章 不等式
3.1 不等式的基本性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握不等式的基本性質(zhì).
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題.
3.通過學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)及運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決問題，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
情景導(dǎo)入
我們知道，實(shí)數(shù)可分為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)，任給一個(gè)實(shí)數(shù)，它只可能為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)中的一種. 那么，對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù) a，b，它們的差 a－b 也只可能為正數(shù)、零和負(fù)數(shù)中的一種.
在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌，輕與重，不超過或不少于等.類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.
【等式】指的是用等號(hào)“=”連接起來的式子
【不等式】指的是用不等號(hào)
“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
連接起來的式子
文字語言 符號(hào)表示
當(dāng)a－b為正數(shù)時(shí)，稱a＞b； a＞b a－b＞0
當(dāng)a－b為零時(shí)，稱a＝b； a＝b a－b＝0
當(dāng)a－b為負(fù)數(shù)時(shí)，稱a＜b. a＜b a－b＜0.
新知探究
1.實(shí)數(shù)比較大小的基本事實(shí)
在小學(xué)和初中，我們知道等式有如下基本性質(zhì)：
● 不等式有哪些基本性質(zhì)呢
性質(zhì)1　如果a>b，那么bb，即a>b b性質(zhì)2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c a____c.
性質(zhì)3　如果a>b，那么a＋c____b＋c.
性質(zhì)4　如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc.
性質(zhì)5　如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d.
性質(zhì)6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd.
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新知探究
2.不等式的性質(zhì)
性質(zhì)1
若 a ＞ b，則 b ＜ a.
分析 要證 b ＜ a ，只要證 b － a ＜ 0.
證明 因?yàn)?a＞b，所以 a－b＞0.
又因?yàn)檎龜?shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，所以－(a－b)＜0，
即 b－a＜0.
所以 b＜a.
性質(zhì)2
若 a ＞ b，b ＞ c，則 a ＞ c.
分析 要證 a＞c，只要證 a－ c＞0.
證明 因?yàn)?a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0.
由兩個(gè)正數(shù)的和是正數(shù)，得(a－b)＋(b－c)＞0，
即 a－c＞0.
因此 a＞c.
性質(zhì)3
若 a＞b，則 a＋c＞b＋c.
分析 要證 a＋c＞b＋c，只要證(a＋c)－(b＋c)＞0，即 a－b ＞ 0.
證明 因?yàn)閍 ＞ b，所以 a－b＞0.
又因?yàn)?(a＋c) －(b＋c) ＝ a－b，
所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0.
故 a＋c ＞ b＋c.
本性質(zhì)告訴我們，不等式兩邊都加上(或都減去)同一個(gè)實(shí)數(shù)，不等號(hào)的方向不變. 利用它可以把不等式中某一項(xiàng)改變符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊，即
a ＋ b ＞ c a ＞ c － b.
性質(zhì)4
若 a ＞ b，c ＞ 0，則 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，則 ac ＜ bc.
證明 ac－bc＝(a － b)c.
因?yàn)?a＞b，所以 a－b＞0.
因此，當(dāng)c＞0時(shí)，(a－b)c＞0，從而 ac＞bc；
當(dāng)c＜0時(shí)，(a－b)c＜0，從而 ac ＜ bc.
本性質(zhì)告訴我們，不等式兩邊都乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；
不等式兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.
性質(zhì)5
若 a＞b，c＞d，則 a＋c ＞ b＋d.
證明 由 a ＞ b 和性質(zhì)3，得 a＋c ＞ b＋c.
又由 c ＞ d 和性質(zhì)3，得 b＋c ＞ b＋d.
于是，由性質(zhì) 2，得 a＋c ＞ b＋d.
本性質(zhì)告訴我們，兩個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得的不等式和原不等式同向.
性質(zhì)6
若 a＞b＞0，c＞d＞0，則 ac＞bd.
證明 因?yàn)閍＞b＞0，c＞0，由性質(zhì)4，得 ac＞bc.
因?yàn)閏＞d＞0，b＞0，由性質(zhì)4，得 bc＞bd.
由性質(zhì) 2，得 ac＞bd.
特別地，當(dāng) a＝c，且b＝d時(shí)，有a2＞b2.
以后，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明如下結(jié)論：
若 a＞b＞0，則 an＞bn( n∈N*).
本性質(zhì)告訴我們，兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得的不等式和原不等式同向。
性質(zhì) 5 和性質(zhì) 6 也可以看成是前面性質(zhì)的推論.
以上性質(zhì)是求解和證明不等式的基礎(chǔ).
例 1
課本例題
課本練習(xí)
例 2
已知 a＞b，c＜d，求證：a－c＞b－d.
證法1 由a＞b，得 a－b＞0；
由c＜d，得 d－c＞0.
因?yàn)?a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0，
所以 a－c＞b－d.
證法2 因?yàn)閏＜d，所以－c＞－d.
又因?yàn)?a＞b，所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d).
即 a－c＞b－d
課本例題
證明　(1)因?yàn)閍>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.
又e>f，即f∵a0，ab>0，
練一練
用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明時(shí)，要善于尋找欲證不等式與已知條件的關(guān)系,利用相應(yīng)的不等式性質(zhì)證明;
要注意觀察一個(gè)不等式是不是在某個(gè)已知條件的兩邊同乘(除以)一個(gè)常數(shù);
一個(gè)不等式是不是某兩個(gè)同向不等式相加得到的;
一個(gè)不等式是不是將一個(gè)不等式的兩邊取了倒數(shù)而得到的等等.
概念歸納
例 3
比較兩數(shù)(a2＋1)2與 a4＋a2＋1的大小.
解： 因?yàn)?(a2＋1)2－ (a4＋a2＋1)
＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1
＝a2.
當(dāng)a＝0時(shí)，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1；
當(dāng)a≠0時(shí)，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1.
課本例題
【解】運(yùn)用作差法：
作差
變形
定號(hào)
定論
0是相等與不等的分界線，它也為比較實(shí)數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.
這里，我們借助多項(xiàng)式減法運(yùn)算，得出了一個(gè)明顯大于0的數(shù)(式).
這是解決不等式問題的常用方法.
練一練
作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的基本步驟
概念歸納
作差
變形
定號(hào)
結(jié)論
a-b
采用配方、因式分解、通分、有理化等手段
判斷差與0的大小
利用實(shí)數(shù)a，b大小比較的基本事實(shí)
錯(cuò)因分析
1.若a＞b，則ac2________bc2.
易錯(cuò)警示　忽視因式可能為0
錯(cuò)解：因?yàn)閏2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.
易錯(cuò)防范：上面的解法錯(cuò)在忽視了c＝0的情況．當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性質(zhì)時(shí)，不可忽視條件．
正解：因?yàn)閏2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故應(yīng)填≥.
2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是(　　)
A.A≤B B.A≥B
C.A>B D.大小關(guān)系不確定
錯(cuò)因分析
因忽視配方法在判斷符號(hào)中的應(yīng)用致錯(cuò)
錯(cuò)解:因?yàn)锳-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小關(guān)系不確定.
B
防范措施
1.用作差法比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小時(shí),其關(guān)鍵是變形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段變形,這樣有利于定號(hào).特別是作差后的式子為二次三項(xiàng)式時(shí),常考慮因式分解或配方法變形.
2.注意培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
歸納總結(jié)
錯(cuò)用不等式的性質(zhì)
1.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范圍.
錯(cuò)解:1≤a-b≤2,①
2≤a+b≤4,②
錯(cuò)因分析
這個(gè)方法錯(cuò)在哪里？
提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但實(shí)際上答案是錯(cuò)誤的.
那到底是為什么呢
我們先看不等式4a-2b ≥3什么時(shí)候取等號(hào),
由上述解題過程可知,當(dāng) ,才取等號(hào),而此時(shí)a-b=0,不滿足①式,
因此4a-2b是不能等于3的.同理可驗(yàn)證4a-2b也不能等于12.
出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質(zhì)是單向的,用它來做變形,是非同解變形,因此結(jié)論是錯(cuò)誤的.
歸納總結(jié)
錯(cuò)因分析
防范措施
1.建立待求取值范圍的整體與已知取值范圍的整體的關(guān)系,利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,求得待求的取值范圍.
2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(減),但這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形,如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化,就有可能擴(kuò)大其取值范圍,所以我們選用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍時(shí)務(wù)必小心謹(jǐn)慎,必要時(shí)改換求解的思路和方法.
歸納總結(jié)
課本練習(xí)
1. 回答下列問題，并說明理由.
(1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？
不能
解：當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2＝0，∴當(dāng)c＝0時(shí)，不能得到 ac2＞bc2.
當(dāng)c≠0時(shí)，c2＞0，∴ ac2＞bc2，
∴ c≠0 時(shí)，能得到 ac2＞bc2，
故 c＝0時(shí)，不能得到ac2＞bc2；
c≠0 時(shí)，能得到 ac2＞bc2 .
(2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2，
滿足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d，
故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d.
1. 回答下列問題，并說明理由.
課本練習(xí)
(3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd
不能
解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd.
例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3.
滿足a＞b，c＞d，但是ac＝bd，
當(dāng) a＞b＞0，c＞d＞0時(shí)，可以得到 ac＞bd.
故只有 a＞b＞0，c＞d＞0時(shí)，可以得到ac＞bd.
1. 回答下列問題，并說明理由.
課本練習(xí)
3. 比較兩數(shù) (x＋1)(x2－x＋1)與(x－1)(x2＋x＋1)的大小.
解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1，
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1，
∵ x3＋1＞x3－1
∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)，
綜上所述，結(jié)論為：
(x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)
課本練習(xí)
4. 已知 a ＜ b ＜ 0，求證： a2 ＞ b2.
證明：∵ a＜b＜0，
∴－a＞－b＞0.
(→或由 a＜b＜0 得 ∣a∣＞∣b∣＞0，
進(jìn)而得 a2＞b2.
由不等式性質(zhì)6，得(－a)2＞(－b)2，
即a2＞b2.
課本練習(xí)
課本練習(xí)
題型一　用不等式的性質(zhì)判斷真假
a＋b<0，ab>0，則a＋ba3>b3，④正確.
故不正確的不等式的個(gè)數(shù)為2.
C
典例剖析
①③
綜上，真命題的序號(hào)是①③.
對(duì)于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
則7－0<6－(－10)，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，對(duì)于正數(shù)a，b，m，
若a所以0不等式的性質(zhì)常與比較大小結(jié)合考查，此類問題一般結(jié)合不等式的性質(zhì)，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解.
題型二　證明不等式
∵a>b>0，c∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0，
∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0.
∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0.
∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0，
1.不等式證明的實(shí)質(zhì)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小；
2.證明不等式可以利用不等式性質(zhì)證明，也可以用作差比較法證明，利用不等式性質(zhì)證明時(shí)，不可省略條件或跳步推導(dǎo).
題型三　利用不等式的性質(zhì)求范圍
解　∵3∴1－4典例剖析
求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時(shí)，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘(同正)不可除.
B
一、選擇題
1.設(shè)xA.x2ax>a2
C.x2a2>ax
解析　∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
2.設(shè)a當(dāng)c>0時(shí)選項(xiàng)B成立，其余情況不成立，則選項(xiàng)B不正確；
|a|＝－a>－b，則選項(xiàng)C正確；
B
∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0，
A
A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非正數(shù) D.非負(fù)數(shù)
C
4.已知a，b，c∈R，則下列命題正確的是(　　)
解析　當(dāng)c＝0時(shí)，A不成立；當(dāng)c<0時(shí)，B不成立；
ACD
5.(多選題)已知a，b，c，d∈R，則下列結(jié)論中不成立的是(　　 )
A.若a>b，c>b，則a>c
B.若a>－b，則c－a解析　選項(xiàng)A，若a＝4，b＝2，c＝5，顯然不成立；B正確；
選項(xiàng)C，不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>b>0，c<0選項(xiàng)D，若a＝－3，b＝2，顯然不成立.故選ACD.
D.若a2>b2，則－a<－b
又因?yàn)?2解析　由15又因?yàn)?2(－24，45)
①②④
7.下列命題中的真命題是________(填序號(hào)).
②a>b －2a<－2b c－2a解析　∵a>b>c>0，
y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc
＝2c(a－b)>0，
∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x.
z>y>x
三、解答題
9.判斷下列四個(gè)命題的真假.
(2)∵a>b，|c|≥0，當(dāng)c≠0時(shí)，|c|>0，∴a|c|>b|c|.
當(dāng)c＝0時(shí)，|c|＝0，∴a|c|＝b|c|＝0.
∴(2)是假命題.
(3)當(dāng)b－a>0.∴(－b)n>(－a)n.
∵n為奇數(shù)，∴－bn>－an.∴an>bn.∴(3)是真命題.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
B
11.若a>b>0，c法二　依題意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入驗(yàn)證得A，C，D均錯(cuò)誤，只有B正確.
分層練習(xí)-鞏固
13.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范圍.
∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.
∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.
則－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.
故4a－2b的取值范圍為[－2，10].
法二　令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.
∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b).
故4a－2b的取值范圍為[－2，10].
14.已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.
(1)求a＋b的取值范圍；
(2)求證：a，b中至少有一個(gè)大于或等于0.
(1)解　a＋b＝x2－1＋2x＋2＝(x＋1)2≥0.
故a＋b的取值范圍為[0，＋∞).
(2)證明　假設(shè)a，b都小于0，
即a＜0，b＜0，∴a＋b＜0.
又a＋b＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾.故假設(shè)不成立，
∴a，b中至少有一個(gè)大于或等于0.
分層練習(xí)-拓展
感受·理解
習(xí)題3.1
2. 已知a ≠b，比較 a2－ab 與ba－b2 的大小.
解： a2－ab－(ba－b2) ＝ a2－ab－ba＋b2
＝ a2－2ab＋b2
＝ (a－b)2
∵ a ≠b，
∴ (a－b)2＞0，
∴ a2－ab ＞ ba－b2.
3. 已知 x≠0，比較(x2＋2)2與x4＋x2＋4的大小.
解： (x2＋2)2 － x4＋x2＋4
＝ x4＋4x2＋4－x4 － x2－4＝3x2，
∵ x≠0，
∴ 3x2＞0，
∴ (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＞0，
∴ (x2＋2)2 ＞ x4＋x2＋4 .
4. 證明下面的結(jié)論：
(1) 如果 a＞b＞0，c＞d，且 c＞0，那么ac＞bd；
證明：由題知 a＞b＞0，c＞d，c＞0，
若d＞0即c＞d＞0，
由不等式的同向可乘性得 ac＞bd，
若 d＝0，則bd＝0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
若 d＜0，則bd＜0，又ac＞0，所以 ac＞bd，
綜上 ，ac＞bd；
(2) 如果 a＜b＜0，c＜d＜0，那么 ac＞bd；
證明：由題知 a＜b＜0，c＜d＜0，
則－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，
∴ (－a)·(－c) ＞(－b)·(－d)，
即 ac＞bd；
5. 設(shè)m為實(shí)數(shù)，解關(guān)于 x 的不等式 m(x＋2)x＋m.
思考·運(yùn)用
8. 已知 a＜b＜0，求證：a4＞ b4.
證明：∵ a＜b＜0 ，
∴ a－b＜0，且 a＋b＜0.
從而 (a－b)(a＋b)＞0，即 a2－b2＞0.
又∵ a＞0，b＞0，
∴ a＋b＞0，
從而 (a2－b2)(a2＋b2)＞0，即a－b＞0，故a4＞b4.
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求證：
9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求證：
探究·拓展
11. 已知b g糖水中含有a g(b＞a＞0)，若再添m g(m＞0) 解在其中，則糖水變得更甜(即糖水中含糖濃度變大).
試根據(jù)這個(gè)事實(shí)寫出 a，b，m 所滿足的不等關(guān)系，并給予證明.
1.牢記2組性質(zhì)
(1)等式的3個(gè)性質(zhì)；(2)不等式的7個(gè)性質(zhì).
2.掌握不等式性質(zhì)應(yīng)用的條件：
(1)使用的前提條件.
(2)是否可逆.
3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)
注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性.
課堂小結(jié)

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