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(共44張PPT)
蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第三章 不等式
3.2.2　基本不等式的應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握基本不等式，能夠通過拼湊、變形等利用基本不等式求最值.
2.能夠利用基本不等式解決實(shí)際問題.
3.通過學(xué)習(xí)掌握基本不等式及其應(yīng)用，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
情景導(dǎo)入
例 3
用長(zhǎng)為 4a 的鐵絲圍成一個(gè)矩形，怎樣才能使所圍矩形的面積最大
上式當(dāng)且僅當(dāng) x＝2a－x，即 x＝a 時(shí)，等號(hào)成立.由此可知，
當(dāng)x＝a時(shí)，S＝(2a－x)取得最大值 a2.
答： 將鐵絲圍成正方形時(shí)面積最大，最大面積為 a2.
課本例題
例 4
某工廠建造一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體貯水池，其容積為4 800 m，深度為 3m. 如果池底每平方米的造價(jià)為 150 元，池壁每平方米的造價(jià)為 120 元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低 最低總造價(jià)為多少元
課本例題
對(duì)于正數(shù) a，b，在運(yùn)用基本不等式時(shí)，應(yīng)注意：
歸納總結(jié)
例 5

課本例題
例 6
如圖 ，一份印刷品的排版面積(矩形)為 A，它的兩邊都留有寬為 a 的空白，頂部和底部都留有寬為的空白如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最少
解 設(shè)紙張的面積為 S，排版矩形的長(zhǎng)和寬分別是 x，y
(x＞0，y＞0)，則 xy＝A.
課本例題


D
課本練習(xí)
D
3. 設(shè) x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值.
4. 將一段圓木制成橫截面是矩形的柱子，怎樣加工才能使橫截面的面積最大
故 AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，
故 S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，
故當(dāng)α＝45°時(shí)，sin2α 取得最大值1，
此時(shí)面積 S 取得最大值 S＝2r2.
5. 如圖，質(zhì)量是 W 的重物掛在桿上距支點(diǎn) a 處. 質(zhì)量均的桿子每單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 m. 杠桿應(yīng)當(dāng)多長(zhǎng)，才能使得加在另一端用來平衡重物的力 F最小
錯(cuò)因分析
易錯(cuò)點(diǎn)1　忽略等號(hào)成立的條件而致錯(cuò)
A
9
錯(cuò)因分析
易錯(cuò)點(diǎn)2　多次應(yīng)用基本不等式而致錯(cuò)
C
錯(cuò)因分析
B
分層練習(xí)-基礎(chǔ)
2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，則a＋b的最小值為(　　)
C
3.欲用一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的面積最大的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m，則這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為(　　)
解析　設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，寬為y m，則x＋2y＝30，
A
C
4.將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2 m2、形狀為直角三角形的框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
∵要求夠用且浪費(fèi)最少，故選C.
C
∴9m≤54，即m≤6，故選C.
二、填空題
6.已知x，y都是正數(shù).
(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________.
5
7.某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站________千米處.
∴k1＝20，k2＝0.8.
三、解答題
9.已知x，y都是正數(shù).
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y，即x＝2，y＝3時(shí)，等號(hào)成立.
∴xy的最大值為6.
解　∵3x＋2y＝12，
解　設(shè)總費(fèi)用為y元.
由題意得
所以這次租車的總費(fèi)用最少是280元，此時(shí)的車速為70 km/h.
BC
11.(多選題)若正實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則下列說法正確的是(　　)
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立.
分層練習(xí)-鞏固
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，∴C正確；
又a2＋b2≥2ab，
∴B正確；
20
12.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為________m，面積最大為________m2.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝20時(shí)，等號(hào)成立，
即當(dāng)x＝20 m時(shí)，面積最大，最大值為400 m2.
400
13.設(shè)計(jì)用32 m2的材料制造某種長(zhǎng)方體車廂(無蓋)，按交通法規(guī)定廂寬為2 m，求車廂的最大容積.
解　設(shè)車廂的長(zhǎng)為b m，高為a m.
設(shè)a＋1＝t，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝3，即a＝2，b＝4時(shí)等號(hào)成立.
故車廂的最大容積是16 m3.
解析　正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
分層練習(xí)-拓展
感受·理解
1. 證明下列不等式：
(1) a2＋b2≥2a＋2b－2；
證明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，
∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b，
即 a2＋b2≥2a＋2b－2.
習(xí)題3.2
3. 證明：

6. 如圖，墻角線互相垂直，長(zhǎng)為 a m 的木棒AB的兩個(gè)端 點(diǎn)分別在這兩墻角線上，如何放置木棒才能使圍成區(qū)域的面積最大
解：如圖，設(shè) AO＝a m，BO＝y(tǒng) m.
∵OA⊥OB，∴ OA2＋OB2＝AB2∴ x2＋y2＝a2

證明：設(shè)點(diǎn)A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，
∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
∴點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第三象限，點(diǎn)C第三象限，
且點(diǎn)B、點(diǎn)C都在直線 y＝x上，
思考·運(yùn)用

解：設(shè)提價(jià)前的價(jià)格為1，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為，
方案甲：(1＋p %)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；
方案乙：(1＋q%)(1＋p%) ＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%；
探究·拓展
乙：因?yàn)閥＝2x2－1在區(qū)間[1，＋∞)上的圖象隨著x增大而逐漸上升，即y隨x增大而增大，所以y的最小值是 2×12＋1＝3.試判斷誰(shuí)錯(cuò)，錯(cuò)在何處
解：甲的解法錯(cuò)誤，乙的解法正確.
掌握1種方法——利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三個(gè)條件：
①一正——各項(xiàng)為正數(shù)；
②二定——和或積為定值；
③三相等——等號(hào)一定能取到.
(2)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得定值條件，要采用“拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、變形”等方法創(chuàng)建應(yīng)用基本不等式的條件.
課堂小結(jié)

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