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蘇教版2019高一數學（必修一）第四章 指數與對數
4.2 對 數
4.2.1 對數的概念
學習目標
1.理解對數的概念.
2.知道自然對數和常用對數.
3.會用對數的定義進行對數式與指數式的互化.
4.通過理解和掌握對數的性質，求簡單的對數值，發展數學抽象及數學運算素養.
已知1個細胞經過 x 次分裂后，相應的細胞個數為
y＝2x.
由此，若知道了分裂的次數 x，就能求出分裂后相應的細胞數 y . 反過來，
● 若知道了分裂后相應的細胞數 y，怎樣求出分裂的次數 x 呢
情景導入
一、對數的概念
(1) 定義：
一般地，如果 ab＝N (a＞0，a≠1)，那么就稱 b 是以 a 為底 N 的對數，記作__________，其中，a叫作對數的底數，N叫作真數.
logaN＝b
上述問題也就是在 y＝2x中，已知 y，求 x 此時問題就轉化為已知底數和冪的值求指數的問題.
新知探究
(2) 特殊對數：
常用對數：以10為底，記作________；
自然對數：以e為底，記作_________.
(3) 指數與對數的關系：
當 a＞0，a≠1 時，ab＝N __________.
lg N
ln N
b＝logaN
由對數的定義可知，ab＝N與 b＝ logaN 兩個等式所表示的是a，b，N 這3個量之間的同一個關系.
例如：


根據對數的定義，要解決本節開頭提出的問題，就只要計算 log2y 的值.
例 1
將下列指數式改寫成對數式：
解：log216 ＝ 4.
解：log220 ＝ 5.
解：log3 0.45＝b.
課本例題
例 2
將下列對數式改寫成指數式：
(1) log5125＝3；
(2) log 3＝－2；

(3) log10 a ＝－1.699.
解：53 ＝ 125.
解：10－1.699 ＝ a .
課本例題
例 3
求下列各式的值：
(1) log264；
解：由 26＝64 ，得 log264 ＝ 6.
課本例題
(2) log9 27.
二、常用對數
通常將以10為底的對數稱為常用對數 ，如log102，log1012 等.為了方便起見，對數 log10N 簡記為lg N，如 lg 2，lg 12 等.
三、自然對數
在科學技術中，常常使用以 e為底的對數，這種對數稱為自然對數. e＝2.718 28···是一個無理數. 正數N的自然對數 logeN 一般簡記為 ln N，如loge2，loge15 分別記為 ln 2，ln 15 等.
1. 根據對數的定義，寫出下列各對數的值 (a＞0，a≠1)：
2

－1
0
課本練習
log33＝________，log 3＝_________，
loga1＝________， loga a＝__________，

1
－1
0
1
2. 填空：
題 號 指 數 式 對 數 式
(1) 24＝16 log216＝4
(2)
(3) 5a＝25 log525＝a
3. 將下列指數式改寫成對數式：
log3243＝5
log210＝x
log 12＝x

4. 將下列對數式改寫成指數式：
(1) log 4 ＝ － 4； (2) lg 10 000＝4；
(3) lg a＝ 0.4771； (4) ln 12＝b.

104＝10000
100.4771＝a
eb＝12
5. 求下列各式的值：

＝3
＝－3
＝－2
＝3
＝－2
6. 利用計算器計算下列對數的值(結果保留4 位小數)：
(1) lg 2； (2) lg 5；
(3) lg 1.078； (4) lg 0.84.
≈0.3010
≈0.6990
≈0.0326
≈－0.0757
7. 已知 a＞0，a≠1，N＞0，b∈R.
(1) logaa2 ＝_____________，logaa5 ＝___________，
logaa－3＝____________，logaa ＝___________，
一般地，logaab＝__________，請證明這個結論；

2log2a
5
－3
b
(2) 證明： a ＝ N.
logaN
C
一、選擇題
1.如果a＝b2(b>0，b≠1)，則有(　　)
A.log2a＝b B.log2b＝a
C.logba＝2 D.logb2＝a
解析　指數式b2＝a化為對數式2＝logba.
分層練習-基礎
B
3.設a＝log310，b＝log37，則3a－b的值為(　　)
A
解析　因為log2x＝3，所以x＝23＝8.
D
AD
5.(多選題)下列結論正確的是(　　)
A.lg(lg10)＝0
B.若10＝lg x，則x＝10
C.若e＝ln x，則x＝e2
D.使log(x－1)(x＋2)有意義的x的取值范圍是(1，2)∪(2，＋∞)
解析　lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正確；
若10＝lg x，則x＝1010，故B錯誤；
若e＝ln x，則x＝ee，故C錯誤；
8
7.若log2(log3x)＝log3(log4y)＝0，則x＝________，y＝________.
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1，∴x＝3.
∵log3(log4y)＝0，∴log4y＝1，∴y＝4.
3
4
解析　∵3log2x＝3－3，
三、解答題
9.將下列指數式、對數式互化.
解　(1)log3243＝5；
(4)27＝128.
10.求下列各式中的x的值.
解　(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1.
∴x＝2.
ACD
11.(多選題)下列指數式與對數式互化正確的有(　　 )
解析　log39＝2化為指數式為32＝9，故B錯誤；A，C，D正確.
分層練習-鞏固
3
13.求下列各式中的x的值.
解　(1)∵log5(log2x)＝1，
∴log2x＝5，∴x＝25＝32.
∵310＞215＞56，∴y＞x＞z.
分層練習-拓展
1.理解4個知識點
(1)對數的概念. (2)自然對數、常用對數.
(3)指數式與對數式的互化. (4)對數的性質.
課堂小結
2.理清1組關系——指數式與對數式的關系
(1)對數概念與指數概念有關，指數式和對數式是互逆的，即ab＝N logaN＝b(a＞0，且a≠1，N＞0)，據此可得兩個常用恒等式：①logaab＝b；②alogaN＝N.
(2)在關系式ax＝N中，已知a和x求N的運算稱為求冪運算，而如果已知a和N求x的運算就是對數運算，兩個式子實質相同而形式不同，互為逆運算.
3.規避1個易錯點
注意對數式中底數與真數的范圍.　
課堂小結

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