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(共56張PPT)
蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第三章 不等式
第二課時(shí)　一元二次不等式的應(yīng)用
3.3.2　從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.
2.能夠從實(shí)際生活和生產(chǎn)中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解決.
3.從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，解決不等式的實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，在解決實(shí)際問題時(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
情景導(dǎo)入
隨著城市人口的急劇增加和人們生活水平的不斷提高,道路上車輛日益增多,很多城市需要通過修建立交橋和高架道路形成多層立體的布局,以提高車速和通過能力.城市環(huán)線和高速公路網(wǎng)的連接也必須通過大型互通式立交橋進(jìn)行分流和引導(dǎo),保證交通的暢通.城市立交橋已成為現(xiàn)代化城市的重要標(biāo)志.為了保證安全,交通部門規(guī)定,在立交橋的某地段的運(yùn)行汽車的車距d正比于速度v的平方與車身長的積,且車距不得小于
半個(gè)車身長,假定車身長均為l m,當(dāng)車速為60 km/h時(shí),
車距為1.44個(gè)車身長,那么在交通繁忙時(shí),應(yīng)規(guī)定最高車
速為多少,才使此處的車流量最大
例 2
用一根長為 100 m的繩子能圍成一個(gè)面積大于 600 m的矩形嗎 當(dāng)長、寬分別為多少米時(shí)，所圍成的矩形的面積最大
解：設(shè)矩形一邊的長為 x m，則另一邊的長為 (50－x) m，其中0＜x＜50.
由題意，得 x(50－x) ＞600，
即 x2－50x＋600＜0，
解得 20＜x＜30.
課本例題
所以，當(dāng)矩形一邊的長在 20 m 至 30 m 的范圍內(nèi)取值時(shí)，能圍成一個(gè)面積大于 600 m2 的矩形.
例 2
用一根長為 100 m的繩子能圍成一個(gè)面積大于 600 m的矩形嗎 當(dāng)長、寬分別為多少米時(shí)，所圍成的矩形的面積最大
課本例題
用 S 表示矩形的面積，則
S＝x(50－x)
＝－ (x－25)2＋625 (0＜x＜50).
當(dāng)x＝25 時(shí)，S 取得最大值，此時(shí) 50－x＝25.
答 當(dāng)矩形的長、寬都為25m時(shí)，所圍成的矩形的面積最大.
例 3
某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量 x 件(x∈N*)與貨價(jià) P 元/件之間的關(guān)系為 P＝160－2x，生產(chǎn) x 件所需成本為 C＝500＋30x 元.
問：該廠日產(chǎn)量多大時(shí)，日獲利不少于1300 元
解 由題意，得 (160－2x)x－(500＋30x)＞1300，
化簡，得 x2－65x＋900＜0，
解得 20≤x≤45.
答 該廠日產(chǎn)量在20件至45件時(shí)，日獲利不少于1300元.
課本例題
例 4
汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故產(chǎn)生原因的一個(gè)重要因素.
在一個(gè)限速為 40 km/h的彎道上，甲乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰.
課本例題
事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離小于 12 m，乙車的剎車距離略超過 10 m. 又知甲兩種車型的剎車距離 (單位：m)與車速 x (單位：km/h)之間分別有如下關(guān)系：
s甲＝ 0.1x＋ 0.01x， s乙＝0.05x＋0.005x2.
問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象
分析 根據(jù)汽車的剎車距離可以估計(jì)汽車的車速.
解 由題意知，對(duì)于甲車，有 0.1x＋0.01x2＜12，
即 x2＋10x－1200＜0，
解得 －40＜x＜30.
這表明甲車的車速低于 30 km/h，未超過規(guī)定限速.
對(duì)于乙車，有 0.05x＋0.005x2＞10，
即 x2＋10x－2000＞0，
解得 x＞40 或 x＜－50 (不合實(shí)際意義，舍去).
這表明乙車的車速超過 40 km/h，超過規(guī)定限速.
答 甲車未超過規(guī)定限速，乙車超過規(guī)定限速.
1. 如果某廠擴(kuò)建后計(jì)劃后年的產(chǎn)量不低于今年的 2倍， 那么明、后兩年每年的平均增長率至少是多少
解：設(shè)該廠今的產(chǎn)量為a，明、后兩年每年的平均增長率至少是x%，
則a(1＋x%)2≥2a，
解得 x%≥41.4%.
∴ 明、后兩年每年的平均增長率至少是41.4%.
課本練習(xí)
3. 國家為了加強(qiáng)對(duì)飲用酒生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)行征收附 加稅政策.已知某種灑每瓶 70 元，不征收附加稅時(shí)，每年大約銷售 100 萬瓶；若政府征收附加稅每銷售 100 元要征稅 R元 (叫作稅率 R%)，則每年的銷售量將減少 10R 萬瓶. 要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收取的附加稅不少于 112 萬元，R 應(yīng)怎樣確定
解：設(shè)產(chǎn)銷量為每年x萬瓶，則銷售收入為每年70x萬元，從中征收的稅金為 70x·R%萬元，其中 x＝100－10R.
由70(100 － 10R)·R%≥112，
即 R2－10R＋16 ＜ 0.
解得 2≤R≤8.
故稅率定在2% ~ 8%之內(nèi)，年收附加稅額將不低于112萬元.
錯(cuò)因分析
易錯(cuò)點(diǎn)1　忽略二次項(xiàng)系數(shù)的討論而致錯(cuò)
{a|0≤a≤4}
{m|2易錯(cuò)點(diǎn)2　審題不仔細(xì)而致錯(cuò)
D
易錯(cuò)點(diǎn)3　認(rèn)為分式不等式與一元二次不等式等價(jià)致錯(cuò)
D
故－1分層練習(xí)-基礎(chǔ)
2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝ ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(0，4) B.[0，4) C.(0，4] D.[0，4]
解析　當(dāng)a＝0時(shí)，ax2－ax＋1<0無解，符合題意；
當(dāng)a<0時(shí)，ax2－ax＋1<0的解集不可能為空集；
當(dāng)a>0時(shí)，要使ax2－ax＋1<0的解集為空集，
D
B
故選B.
D
4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.{a|a<2} B.{a|a≤2}
C.{a|－2解析　當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，原不等式為－4<0，恒成立；
解得－2AB
5.(多選題)某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量x(件)與單價(jià)P(元)之間的關(guān)系為P＝160－2x，生產(chǎn)x件所需成本為C(元)，其中C＝(500＋30x)元.若要求每天獲利不少于1 300元，則日銷售量x的取值范圍可以是(　　)
A.{x|20≤x≤30，x∈N*} 　 B.{x|30≤x≤45，x∈N*}
C.{x|15≤x≤30，x∈N*} 　 D.{x|15≤x≤45，x∈N*}
解析　設(shè)該廠每天獲得的利潤為y元，
則y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0根據(jù)題意知，－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，
故當(dāng)20≤x≤45且x∈N*時(shí)，每天獲得的利潤不少于1 300元.故選AB.
二、填空題
6.已知命題p： x∈R，ax2＋ax＋1>0為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.
解析　當(dāng)a＝0時(shí)，1>0為真命題，符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使 x∈R，ax2＋ax＋1>0為真命題，
則對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上且與x軸沒有交點(diǎn)，
[0，4)
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4).
7.將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)售出時(shí)，能賣出400個(gè)，每漲價(jià)1元，其銷售量就減少20個(gè)，為了使商家利潤有所增加，售價(jià)b元所在的范圍應(yīng)是______________.
解析　設(shè)每個(gè)漲價(jià)a元，則漲價(jià)后的利潤與原利潤之差為(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a.
要使商家利潤有所增加，則必須使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，
得0∴售價(jià)b元所在的范圍應(yīng)為90{b|908.若關(guān)于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________________.
解析　不等式x2－ax－a≤－3變形為x2－ax＋3－a≤0，
∵不等式有解，
∴方程x2－ax＋3－a＝0的判別式Δ≥0，即a2－4(3－a)≥0，
解得a≤－6或a≥2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(－∞，－6]∪[2，＋∞)
10.已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解　對(duì)于所有實(shí)數(shù)x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函數(shù)y＝mx2－2x＋m－2的圖象全部在x軸下方.
當(dāng)m＝0時(shí)，－2x－2<0，顯然對(duì)任意x不能恒成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，由二次函數(shù)的圖象可知有
B
11.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.[－4，1] B.[－4，3] C.[1，3] D.[－1，3]
解析　由x2－(a＋1)x＋a≤0得(x－a)(x－1)≤0.
若a＝1，則不等式的解集為{1}，符合題意；
若a<1，則不等式的解集為[a，1]，若滿足[a，1] [－4，3]，則－4≤a<1；
若a>1，則不等式的解集為[1，a]，若滿足[1，a] [－4，3]，則1綜上，－4≤a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4，3].
分層練習(xí)-鞏固
12.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0解析　依題意得25x≥3 000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去).
因?yàn)?即最低產(chǎn)量是150臺(tái).
150
13.已知不等式ax2＋2ax＋1≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求關(guān)于x的不等式
x2－x－a2＋a<0的解集.
解　∵ax2＋2ax＋1≥0對(duì)任意x∈R恒成立，
∴當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0，不等式恒成立；
綜上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
B
14.若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)一切x∈(0，2]恒成立，則a的最小值是(　　)
解析　由于x∈(0，2]，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，
因此a≥－2，則a的最小值為－2.
分層練習(xí)-拓展
感受·理解
1. 證明：函數(shù) y＝x2－x＋1 沒有零點(diǎn).
解：∵ ＝ b2－4ac ＝ (－1)2－4×1×1＝1－4 ＝－3 ＜0.
∴ 函數(shù) y＝x2－x＋1沒有零點(diǎn).
習(xí)題3.3
2. 設(shè) m 為實(shí)數(shù)，若函數(shù) y＝ x2－mx＋2 有只有一個(gè)零點(diǎn)， 求 m 的值.
3. 設(shè)k為實(shí)數(shù)，若方程 x2－3x＋k－3＝0 有實(shí)數(shù)根，求 k的取值范圍.
解：將方程整理得：4x2－12x＋k－3＝0，有題意知：
＝122－4×4×(k－3)＜0，
解得：k＞12.
∴ k 取值范圍是(12，+∞).
故答案為：(12，＋∞)
解：令f(x)＝5x2－7x－1，則f(x)在R上是連續(xù)函數(shù).
∵ ＝(－7)2－4×5－(－1) ＝49＋20＝69＞0，∴方程 f(x)＝0 有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即f(x) ＝5x2－7x－1在R上有兩個(gè)零點(diǎn)；
又∵f(－1)＝5×(－1)2－7×(－1) －1＝11＞0， f(0)＝ －1＜0，
4. 證明：函數(shù) y＝5x2－7x－1的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間
(1，2)內(nèi).
∴ 在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1存在零點(diǎn)；
又∵ f(1) ＝ 5－7－1＝－3＜0，f(2) ＝ 5×22－7×2－1＝5＞0，
∴在區(qū)間(1，2)內(nèi)，函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1存在零點(diǎn).
又∵函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1在R上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴ 函數(shù)f(x)＝5x2－7x－1一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi).
5. 解下列不等式：
(1) x(x－1) ≤ 0；
(2) (x＋1)(x－5)＞0；
解：因?yàn)閷?duì)應(yīng)方程的兩根為0和1，
所以不等式的解集是{x∣0≤x≤1}.
解：因?yàn)閷?duì)應(yīng)方程的兩根為－1和5，
所以不等式的解集是{x∣x＜－1或x＞5}.
(3) x2－6x＋9≤0；
(4) 3x2－7x＋2 ＞ 0；
解：因?yàn)閷?duì)應(yīng)方程為(x－3)2＝0，
對(duì)應(yīng)方程的一個(gè)根為3，
所以不等式的解集是{x∣x＝3}.
(5) －2x2－x＋6＞0；
(6) x2－x＋1＞0.
解：因?yàn)閷?duì)應(yīng)方程判別式 ＜0，
所以不等式的解集為R.
6. 解下列不等式：
(1) 2x2－3x＞2；
(2) 3x2－5x＋4＞0；
解：∵ ＝25－4×3×4
＝－23＜0，
∴不等式3x2－5x＋4＞0的解集為R.
(3) x(x＋2) ＜x(3－x) ＋1；
(4) (3x－1) (x＋1)＞4.
7. 當(dāng)x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù) y＝－x2－8x＋20 的值是：
(1) 0
解：－x2－8x＋20 ＝0
x2＋8x－20 ＝0
(x－2)(x＋10) ＝0
x＝－10或x＝2
(2)正數(shù)
解：－x2－8x＋20 ＞0
x2＋8x－20 ＜0
(x－2)(x＋10) ＜0
－10＜x＜2
(3)負(fù)數(shù)
解：－x2－8x＋20 ＜0
x2＋8x－20 ＞0
(x－2)(x＋10) ＞0
x＜－10 或 x＞2
8. 制作一個(gè)高為 20 cm 的長方體容器，底面矩形的長比 寬多 10 cm，并且容積不少于 4 000 cm3.
問：底面矩形的寬至少應(yīng)是多少
解：設(shè)底面矩形的寬為 x cm，
由題意可得20x(x＋10) ≥ 4000.
即 x2＋10x－200≥0，
解得：x≤－20 (舍) 或x≥10.
∴ 底面矩形的寬至少應(yīng)為10 cm.
9. 已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1，0)，B(2，0)兩點(diǎn)，求關(guān)于x的不等式 x2＋bx＋c＞0 的解集.
解：∵ 二次函數(shù) y＝x2＋bx＋c 的圖象與x軸交于
A(－1，0)，B(2，0) 兩點(diǎn)，
∴ －1，2 是關(guān)于x的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0
的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c＞0 的解集為：{x∣x＜－1或x＞2}.
思考·運(yùn)用
10. 設(shè)m為實(shí)數(shù)已知二次函數(shù) y＝x2－5x＋m 的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)，求 m 的取值范圍.
11. (1) k 是什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
解：方程 x2＋2(k－1)x＋3k2－11＝0中，
令 ＞0，得 4(k－1)2－4(3k2－11)＞0，
化簡得 k2＋k－6＜0，
解得 －3＜k＜2，
所以 k∈(－3，2) 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2) 已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
12. 已知不等式 ax2＋b－1＞0的解集是{ x∣3＜x＜4 }，求實(shí)數(shù) a，b 的值.
解：由題意知，a＜0，
且 3，4 是方程 ax2＋bx－1＝0的根.
∴
解得
9a＋3b－1＝0
16a＋4b－1＝0

G

13. 如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司要在矩形地塊 ABCD 上規(guī)劃出一塊矩形地塊PQCR 建造住宅區(qū)為了保護(hù)文物，住宅區(qū)不能超越文物保護(hù)區(qū)△AEF的界線EF. 由實(shí)地測(cè)量知，AB＝200 m，AD＝160 m，AE ＝60 m，AF＝40 m.
問：怎樣設(shè)計(jì)矩形住宅區(qū)的長和寬，才能使其面積最大 最大面積是多少
14. 已知某公司每天生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的數(shù)量 (單位：百件)與其成本y (單位：千元)之間的函數(shù)解析式可以近似地用 y＝ax2＋b＋c 表示其中a，b，為常數(shù). 現(xiàn)有實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
產(chǎn)品數(shù)量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370
產(chǎn)品數(shù)量x/百件 6 10 20
成本y/千元 104 160 370

(1) 求a，b，c 的值；
(2) 若每件產(chǎn)品銷售價(jià)為 200 元，則該公司每天生產(chǎn)多少 產(chǎn)品時(shí)才能盈利 (假設(shè)每天生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部售完)
探究·拓展
15. (閱讀題)重新考察不等式 5x2－10x＋4.8＜0 這個(gè)不等式的左邊可分解因式為
(x－1.2)(5x－4). 根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的符號(hào)法則，問題可歸結(jié)為求一元一次不等式組
的兩個(gè)解集的并集.
x－1.2＜0， x－1.2＞0.
(1) 和 (2)
5x－4＞0 5x－4＜0
(1) (2x－3)(x＋1) ＞0；

2x－3＞0
x＋1＞0
2x－3＜0
x＋1＜0
(2) (1－x)(2＋x)≥0；
解：∵ (1－x)(2＋x)≥0，
∴ ，或
解得 －2≤x≤1，或 無解，
∴ 原不等式的解集為{x∣ －2≤x≤1}；
1－x≥0
2＋x≥0
1－x≤0
2＋x≤0

x－1＜0
x＋3＞0
x－1 ＞ 0
x＋3＜0

1－2x ≤ 0
x＋4＞0
1－2x ≥ 0
x＋4 ＜ 0
課堂小結(jié)
(3)利用不等式解決實(shí)際問題：
一般步驟
①選取合適字母表示未知數(shù).
②由題目條件，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式或不等式組.
③求解所列的不等式(組).
④結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.
課堂小結(jié)

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